Ciri Utama Cluster Sampling

• Intra-cluster heterogeneity: Elemen dalam satu gerombol cenderung berbeda.
• Inter-cluster homogeneity: Gerombol yang berbeda memiliki karakteristik yang mirip.

Kapan Digunakan?

1. Ketika kerangka elemen populasi tidak tersedia.
2. Ketika biaya atau waktu untuk mengamati elemen secara langsung terlalu tinggi.

Contoh:

• Populasi: Seluruh siswa SMA.
• Elemen: Siswa individu.
• Gerombol: Kelas di SMA tersebut.

Pendugaan Rata-rata Populasi (\(\mu\))

Rumus penduga rata-rata populasi: \[ \hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^n y_i}{\sum_{i=1}^n m_i} \] dengan:

• \(y_i\): Total amatan pada gerombol ke-\(i\).
• \(m_i\): Banyak elemen dalam gerombol ke-\(i\).
• \(n\): Banyaknya gerombol yang terpilih.

Variansi dari penduga rata-rata: \[ \hat{V}(\hat{\mu}) = \frac{(1 - \frac{n}{N})}{n} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n (y_i - \hat{\mu} m_i)^2}{\sum_{i=1}^n m_i^2} \] dengan:

• \(N\): Total jumlah gerombol dalam populasi.

Selang kepercayaan \(100(1-\alpha)\%\): \[ \text{Selang Kepercayaan} = \hat{\mu} \pm t_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\hat{V}(\hat{\mu})} \]

Pendugaan Total Populasi (\(\tau\))

Jika total elemen dalam populasi \(M\) diketahui: \[ \hat{\tau} = M \cdot \hat{\mu} \] Jika \(M\) tidak diketahui: \[ \hat{\tau} = N \cdot \frac{\sum_{i=1}^n y_i}{n} \]

Variansi dari penduga total: \[ \hat{V}(\hat{\tau}) = M^2 \cdot \hat{V}(\hat{\mu}) \]

Pendugaan Proporsi Populasi (\(p\))

Rumus penduga proporsi: \[ \hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^n a_i}{\sum_{i=1}^n m_i} \] dengan:

• \(a_i\): Banyak elemen dengan karakteristik tertentu dalam gerombol ke-\(i\).

Variansi dari penduga proporsi: \[ \hat{V}(\hat{p}) = \frac{(1 - \frac{n}{N})}{n} \cdot \frac{\sum_{i=1}^n \left(\frac{a_i}{m_i} - \hat{p}\right)^2}{\sum_{i=1}^n m_i^2} \]

Selang kepercayaan \(100(1-\alpha)\%\): \[ \text{Selang Kepercayaan} = \hat{p} \pm t_{\alpha/2} \cdot \sqrt{\hat{V}(\hat{p})} \]

a. Pendugaan Rata-rata Populasi

# Data
cluster <- 1:25
m_i <- c(8, 12, 4, 5, 6, 6, 7, 5, 8, 3, 2, 6, 5, 10, 9, 3, 6, 5, 5, 4, 6, 8, 7, 3, 8)
y_i <- c(96, 121, 42, 65, 52, 40, 75, 65, 45, 50, 85, 43, 54, 49, 53, 50, 32, 22, 45, 37, 51, 30, 39, 47, 41)

# Hitung rata-rata populasi
mu_hat <- sum(y_i) / sum(m_i)

# Variansi rata-rata
n <- length(y_i)
N <- 100 # Total gerombol dalam populasi
V_mu_hat <- ((1 - n / N) / n) * sum((y_i - mu_hat * m_i)^2) / sum(m_i^2)

# Selang kepercayaan
alpha <- 0.05
t_alpha <- qt(1 - alpha / 2, df = n - 1)
CI_mu <- c(mu_hat - t_alpha * sqrt(V_mu_hat), mu_hat + t_alpha * sqrt(V_mu_hat))

list(Rata_rata = mu_hat, Selang_Kepercayaan = CI_mu)

## $Rata_rata
## [1] 8.801325
## 
## $Selang_Kepercayaan
## [1]  7.438006 10.164643

b. Pendugaan Total Populasi

# Total elemen populasi diketahui
M <- 2500
tau_hat <- M * mu_hat
bound_error <- t_alpha * sqrt(M^2 * V_mu_hat)

list(Total_Populasi = tau_hat, Bound_of_Error = bound_error)

## $Total_Populasi
## [1] 22003.31
## 
## $Bound_of_Error
## [1] 3408.297

c. Pendugaan Proporsi

# Data untuk proporsi
a_i <- c(4, 7, 1, 3, 3, 4, 4, 2, 3, 2, 1, 3, 2, 5, 4, 1, 4, 3, 3, 1, 3, 3, 4, 0, 3)

# Hitung proporsi populasi
p_hat <- sum(a_i) / sum(m_i)

# Variansi proporsi
V_p_hat <- ((1 - n / N) / n) * sum((a_i / m_i - p_hat)^2) / sum(m_i^2)

# Selang kepercayaan
CI_p <- c(p_hat - t_alpha * sqrt(V_p_hat), p_hat + t_alpha * sqrt(V_p_hat))

list(Proporsi = p_hat, Selang_Kepercayaan = CI_p)

## $Proporsi
## [1] 0.4834437
## 
## $Selang_Kepercayaan
## [1] 0.4749971 0.4918903