Metode Penarikan Contoh - Penarikan Contoh Sistematik

Video Pembelajaran - P3

Video Pembelajaran dapat diakses melalui link berikut : https://ipb.link/materis2mpc

Definisi Penarikan Contoh Sistematik

Penarikan contoh sistematik adalah metode pengambilan sampel yang menggunakan interval tetap (\(k\)) untuk memilih elemen dalam populasi setelah elemen pertama dipilih secara acak dari interval awal.

Ciri Utama:

  1. Elemen pertama dipilih secara acak.
  2. Elemen-elemen berikutnya diambil dengan jarak tetap (\(k\)) dari elemen sebelumnya.
  3. Cocok untuk populasi yang terurut secara natural (contoh: daftar pegawai, nomor rumah).

Prosedur Penarikan Contoh Sistematik

Langkah-langkah untuk melakukan penarikan contoh sistematik:

  1. Hitung nilai interval sistematik (\(k\)): \[ k = \frac{N}{n} \] dengan:

    • \(N\): jumlah elemen dalam populasi
    • \(n\): ukuran sampel.

  2. Pilih angka acak (\(m\)) dari interval \([1, k]\): Angka ini adalah elemen pertama sampel.

  3. Tentukan elemen-elemen sampel lainnya: Elemen sampel adalah: \[ m, \, (m + k), \, (m + 2k), \, \dots, \, \left( m + (n-1)k \right) \]

Ilustrasi Teoretis:

  • Misalkan populasi terdiri dari 20 elemen (\(N = 20\)).
  • Sampel yang ingin diambil terdiri dari 4 elemen (\(n = 4\)).
  • Hitung interval sistematik: \[ k = \frac{N}{n} = \frac{20}{4} = 5 \]
  • Pilih angka acak \(m\) dari \([1, 2, 3, 4, 5]\). Misalkan \(m = 3\).
  • Elemen sampel yang terpilih adalah: \[ 3, \, 8, \, 13, \, 18 \]

Keunggulan:

  1. Proses lebih cepat dibandingkan penarikan acak sederhana.
  2. Dapat digunakan pada populasi yang terurut.

Kelemahan:

  1. Rentan terhadap bias jika populasi memiliki pola periodik.
  2. Tidak sepenuhnya acak.

Implementasi dalam R:

# Parameter input
N <- 20  # Ukuran populasi
n <- 4   # Ukuran sampel

# Hitung interval sistematik
k <- N / n  # Interval sistematik

# Pilih angka acak antara 1 dan k
set.seed(123)  # Agar hasil dapat direproduksi
m <- sample(1:k, 1)

# Elemen yang terpilih dalam sampel
sampel <- seq(m, by = k, length.out = n)
sampel  # Output: 3, 8, 13, 18
## [1]  3  8 13 18

Pendugaan Parameter Populasi

Penarikan sampel digunakan untuk menduga parameter populasi seperti rataan (\(\mu\)), total (\(\tau\)), dan proporsi (\(p\)).

A. Pendugaan Rataan Populasi (\(\mu\))

Penduga rataan populasi: \[ \hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} \] di mana:

  • \(y_i\): nilai elemen ke-\(i\) dalam sampel.
  • \(n\): jumlah elemen dalam sampel.

Contoh Implementasi:

# Data sampel
y <- c(10, 20, 30, 40)  # Nilai elemen sampel

# Pendugaan rataan populasi
mu_hat <- mean(y)  # Rata-rata sampel
mu_hat  # Output: 25
## [1] 25

B. Pendugaan Total Populasi (\(\tau\))

Penduga total populasi dihitung dengan mengalikan rataan sampel dengan ukuran populasi: \[ \hat{\tau} = N \cdot \hat{\mu} \]

Contoh Implementasi:

# Pendugaan total populasi
tau_hat <- N * mu_hat
tau_hat  # Output: 500
## [1] 500

Variansi Penduga

Variansi digunakan untuk mengukur seberapa jauh penduga (\(\hat{\mu}\) atau \(\hat{\tau}\)) dari nilai sebenarnya.

A. Variansi Rataan (\(\hat{V}(\hat{\mu})\))

Rumus variansi rataan: \[ \hat{V}(\hat{\mu}) = \frac{N - n}{N \cdot n} \cdot s^2 \] di mana:

  • \(s^2\): variansi sampel, dihitung dengan: \[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - \bar{y} \right)^2 \]

B. Variansi Total (\(\hat{V}(\hat{\tau})\))

Rumus variansi total: \[ \hat{V}(\hat{\tau}) = N^2 \cdot \hat{V}(\hat{\mu}) \]

Contoh Implementasi:

# Variansi sampel
s2 <- var(y)  # Variansi sampel

# Variansi rataan
V_mu_hat <- ((N - n) / (N * n)) * s2
V_mu_hat  # Output: Variansi rataan
## [1] 33.33333
# Variansi total
V_tau_hat <- N^2 * V_mu_hat
V_tau_hat  # Output: Variansi total
## [1] 13333.33

Pendugaan Proporsi Populasi (\(p\))

Jika data sampel berupa biner (misal, 1 untuk “Ya” dan 0 untuk “Tidak”), pendugaan proporsi dihitung dengan: \[ \hat{p} = \frac{\sum_{i=1}^{n} y_i}{n} \] Variansi proporsi: \[ \hat{V}(\hat{p}) = \frac{N - n}{N \cdot n} \cdot \hat{p}(1 - \hat{p}) \]

Contoh Implementasi:

# Data sampel (biner)
y_prop <- c(1, 0, 1, 1)  # 1 = "Ya", 0 = "Tidak"

# Pendugaan proporsi
p_hat <- mean(y_prop)
p_hat  # Output: 0.75
## [1] 0.75
# Variansi proporsi
V_p_hat <- ((N - n) / (N * n)) * p_hat * (1 - p_hat)
V_p_hat  # Output: Variansi proporsi
## [1] 0.0375

Tiga Tipe Populasi

  1. Random Population:
    • Tidak ada pola tertentu, sehingga variansi sistematik sama dengan variansi acak sederhana: \[ V_{sy}(y) = V_s(y) \]
  2. Ordered Population:
    • Data terurut, sehingga variansi sistematik lebih kecil: \[ V_{sy}(y) < V_s(y) \]
  3. Periodic Population:
    • Data memiliki pola periodik, sehingga variansi sistematik lebih besar: \[ V_{sy}(y) > V_s(y) \]

Kesimpulan

  • Penarikan contoh sistematik efisien untuk populasi besar dengan elemen terurut.
  • Kelemahan utama: Bias jika pola data periodik.
  • Syntax R membantu menghitung parameter seperti rataan, total, proporsi, dan variansi dengan mudah.