Penduga Rasio Populasi (\(R\)) dengan PCAS

Penduga rasio untuk populasi dihitung dengan: \[ R = \frac{\bar{y}}{\bar{x}} \] di mana:

• \(\bar{y}\) adalah rata-rata sampel dari variabel \(y\),

• \(\bar{x}\) adalah rata-rata sampel dari variabel \(x\).

Penduga Rasio untuk Total

Penduga rasio untuk total populasi (\(\hat{Y}\)) dihitung sebagai: \[ \hat{Y} = R \cdot X \] di mana:

• \(R\) adalah rasio antara \(\bar{y}\) dan \(\bar{x}\),

• \(X\) adalah total populasi dari variabel \(x\).

Penduga Rasio untuk Rataan

Penduga rasio untuk rataan populasi (\(\hat{\mu}_y\)) dihitung dengan: \[ \hat{\mu}_y = R \cdot \mu_x \] di mana:

• \(\mu_x\) adalah rataan populasi dari variabel \(x\).

Menentukan Ukuran Sampel

Ukuran sampel (\(n\)) ditentukan menggunakan formula: \[ n = \frac{N \sigma^2}{N D + \sigma^2} \] dengan: \[ \sigma^2 = \frac{\sum (y_i - r x_i)^2}{n' - 1} \]

Penduga Ragam

Untuk penduga rasio, ragamnya dihitung dengan: \[ D = \frac{B^2 \mu_x^2}{4} \] atau untuk rataan: \[ D = \frac{B^2}{4} \] dan untuk total: \[ D = \frac{B^2}{4N^2} \]

Estimasi Parameter Regresi

Parameter \(\beta_1\) dihitung dengan: \[ \beta_1 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \] Parameter \(\beta_0\) dihitung dengan: \[ \beta_0 = \bar{y} - \beta_1 \bar{x} \]

Penduga Regresi untuk Rataan

Penduga regresi untuk rataan dihitung dengan: \[ \hat{\mu}_y = \bar{y} + \beta_1 (\mu_x - \bar{x}) \]

Penduga Ragam Regresi

Ragam penduga regresi dihitung dengan: \[ V(\hat{\mu}_y) = \left[ \frac{N - n}{nN} \right] \cdot \frac{1}{n - 2} \left[ \sum (y_i - \bar{y})^2 - \beta_1^2 \sum (x_i - \bar{x})^2 \right] \]

Penduga Ragam Metode Beda

Ragam penduga beda dihitung dengan: \[ V(\hat{\mu}_y) = \left[ \frac{N - n}{nN} \right] \cdot \frac{\sum (d_i - \bar{d})^2}{n - 1} \]

Efisiensi Relatif

Untuk membandingkan dua metode penduga, efisiensi relatif (\(ER\)) digunakan: \[ ER = \frac{V(\hat{E}_2)}{V(\hat{E}_1)} \] dengan interpretasi: - Jika \(ER > 1\), maka \(\hat{E}_1\) lebih efisien dibandingkan \(\hat{E}_2\).

a. Pendugaan Rasio untuk Rataan

Penduga rasio dihitung menggunakan formula: \[ \hat{R} = \frac{\sum y_i}{\sum x_i} \] \[ \hat{\mu}_y = \hat{R} \cdot \mu_x \] Dengan perhitungan: \[ \hat{R} = \frac{106.1}{96.1} = 1.1041 \] \[ \hat{\mu}_y = 1.1041 \cdot 9 = 9.9365 \]

Ragam penduga rasio: \[ \hat{V}(\hat{\mu}_y) = \left[\frac{N-n}{nN}\right] \cdot \frac{\sum (y_i - r x_i)^2}{n-1} \] \[ \hat{V}(\hat{\mu}_y) = \frac{490}{5000} \cdot \frac{3.2436}{9} = 0.0353 \]

b. Pendugaan Regresi

Penduga regresi dihitung sebagai berikut: \[ \hat{b} = \frac{\sum (y_i - \bar{y})(x_i - \bar{x})}{\sum (x_i - \bar{x})^2} \] \[ \hat{b} = \frac{104.549}{109.169} = 0.9577 \] \[ \hat{\mu}_y = \bar{y} + b(\mu_x - \bar{x}) \] \[ \hat{\mu}_y = 10.61 + 0.9577 \cdot (9 - 9.61) = 10.0258 \]

Ragam penduga regresi: \[ \hat{V}(\hat{\mu}_y) = \left[\frac{N-n}{nN}\right] \cdot \left[\frac{1}{n-2} \sum (y_i - \bar{y})^2 - \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}\right] \] \[ \hat{V}(\hat{\mu}_y) = \frac{490}{5000} \cdot \frac{1}{8} \cdot 0.0895 = 0.0111 \]

c. Penduga Beda

Karena \(b \approx 1\), metode beda dapat digunakan: \[ \hat{\mu}_y = \mu_x + (\bar{y} - \bar{x}) \] \[ \hat{\mu}_y = 9 + (10.61 - 9.61) = 10 \]

Kode R:

# Data
data <- data.frame(
  anak = 1:10,
  x = c(10.1, 11.2, 8.9, 11.8, 4.0, 4.6, 15.2, 12.7, 9.9, 7.7),
  y = c(10.9, 11.9, 9.5, 12.9, 5.7, 6.0, 16.3, 13.8, 10.7, 8.4)
)

# Penduga Rasio
R <- sum(data$y) / sum(data$x)
mu_x <- 9
mu_y_rasio <- R * mu_x
var_rasio <- (490 / 5000) * (sum((data$y - R * data$x)^2) / 9)

# Penduga Regresi
x_bar <- mean(data$x)
y_bar <- mean(data$y)
b <- sum((data$y - y_bar) * (data$x - x_bar)) / sum((data$x - x_bar)^2)
mu_y_regresi <- y_bar + b * (mu_x - x_bar)

# Output
list(
  Rasio = list(mu_y = mu_y_rasio, var = var_rasio),
  Regresi = list(mu_y = mu_y_regresi)
)

## $Rasio
## $Rasio$mu_y
## [1] 9.936524
## 
## $Rasio$var
## [1] 0.03531913
## 
## 
## $Regresi
## $Regresi$mu_y
## [1] 10.02582