Pengantar

• Deskripsi: Pada model dua faktor, interaksi terjadi jika pengaruh salah satu faktor terhadap variabel respon bergantung pada level faktor lainnya. Ini berarti bahwa efek gabungan dari dua faktor tidak bisa dijelaskan hanya dengan menjumlahkan efek masing-masing faktor, melainkan ada pengaruh tambahan ketika keduanya dikombinasikan.

• Notasi Model Linier untuk Interaksi: \[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau\beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \] di mana:

  • \(y_{ijk}\): nilai respon atau pengamatan dari pengulangan ke-\(k\) pada level ke-\(i\) dari faktor pertama (A) dan level ke-\(j\) dari faktor kedua (B).
  • \(\mu\): rata-rata keseluruhan (overall mean).
  • \(\tau_i\): efek dari faktor pertama pada level \(i\) (sering disebut sebagai efek utama faktor A).
  • \(\beta_j\): efek dari faktor kedua pada level \(j\) (efek utama faktor B).
  • \((\tau\beta)_{ij}\): efek interaksi antara level ke-\(i\) dari faktor A dan level ke-\(j\) dari faktor B.
  • \(\epsilon_{ijk}\): error acak yang mengikuti distribusi normal dengan rata-rata nol dan varians \(\sigma^2\), yaitu \(\epsilon_{ijk} \sim N(0, \sigma^2)\).

   # Membuat data simulasi untuk melihat interaksi dua faktor
   data <- data.frame(
     faktorA = factor(rep(c("A1", "A2"), each = 4)),
     faktorB = factor(rep(c("B1", "B2"), times = 4)),
     respon = c(10, 12, 15, 14, 20, 25, 28, 30)
   )

   # Membuat plot interaksi
   interaction.plot(data$faktorA, data$faktorB, data$respon, type = "b",
                    col = c("red", "blue"), pch = c(19, 17),
                    xlab = "Faktor A", ylab = "Respon", main = "Plot Interaksi")

Model Linier Dua Faktor dengan Interaksi

• Penjelasan Model: Model linier dengan dua faktor dan interaksi dapat membantu menentukan apakah interaksi antara dua faktor ini signifikan atau tidak. Dengan model ini, kita juga bisa menguji efek utama dari masing-masing faktor.

• Hipotesis:

  1. Hipotesis Nol untuk Interaksi: \[ H_0 : (\tau\beta)_{ij} = 0, \quad \text{untuk semua } i \text{ dan } j \] Hipotesis ini menyatakan bahwa tidak ada interaksi antara faktor \(A\) dan faktor \(B\).
  2. Hipotesis Nol untuk Efek Utama:
     • Untuk faktor \(A\): \[ H'_0 : \tau_1 = \tau_2 = \dots = \tau_a = 0 \]
     • Untuk faktor \(B\): \[ H''_0 : \beta_1 = \beta_2 = \dots = \beta_b = 0 \]

   # Membuat model linier dua arah dengan interaksi
   model <- aov(respon ~ faktorA * faktorB, data = data)
   summary(model)

##                 Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## faktorA          1  338.0   338.0  22.915 0.00873 **
## faktorB          1    8.0     8.0   0.542 0.50231   
## faktorA:faktorB  1    4.5     4.5   0.305 0.61012   
## Residuals        4   59.0    14.8                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Model Linier dalam Bentuk Matriks

• Bentuk Matriks dari Model: Model linier di atas bisa dinyatakan dalam bentuk matriks sebagai: \[ \mathbf{y} = \mathbf{X}\beta + \epsilon \] di mana:
  • \(\mathbf{y}\): vektor respon (misalnya, \(y_{111}, y_{112}, \dots, y_{abn}\)).
  • \(\mathbf{X}\): matriks desain yang menyatakan level dari faktor A, faktor B, dan interaksi keduanya.
  • \(\beta\): vektor parameter yang mencakup rata-rata keseluruhan \(\mu\), efek utama faktor A \(\tau_i\), efek utama faktor B \(\beta_j\), dan efek interaksi \((\tau\beta)_{ij}\).
  • \(\epsilon\): vektor error acak.
• Sistem Persamaan Normal: Untuk mendapatkan estimasi parameter, kita perlu menyelesaikan sistem persamaan normal sebagai berikut: \[ X'X \beta = X'y \]

   # Memproyeksikan model linier ke dalam bentuk matriks
   library(MASS)
   X <- model.matrix(~ faktorA * faktorB, data = data)
   y <- data$respon
   beta <- ginv(t(X) %*% X) %*% t(X) %*% y  # Menghitung estimasi parameter
   beta

##      [,1]
## [1,] 12.5
## [2,] 11.5
## [3,]  0.5
## [4,]  3.0

Pengujian Interaksi

• Tujuan Pengujian: Uji interaksi dilakukan untuk memeriksa apakah interaksi antara kedua faktor tersebut signifikan. Jika hasil pengujian menunjukkan bahwa interaksi signifikan, maka kita dapat menyimpulkan bahwa efek gabungan dari kedua faktor berbeda secara signifikan.

• Statistik Uji: Statistik uji untuk interaksi biasanya menggunakan distribusi \(F\) untuk menentukan signifikansi efek interaksi.

• Rumus Uji F untuk Interaksi: \[ F = \frac{\text{JK}_{\text{Interaksi}} / \text{df}_{\text{Interaksi}}}{\text{JK}_{\text{Error}} / \text{df}_{\text{Error}}} \] di mana:

  • \(\text{JK}_{\text{Interaksi}}\): jumlah kuadrat untuk interaksi.
  • \(\text{df}_{\text{Interaksi}}\): derajat bebas untuk interaksi.
  • \(\text{JK}_{\text{Error}}\): jumlah kuadrat untuk error.
  • \(\text{df}_{\text{Error}}\): derajat bebas untuk error.

   # Uji interaksi dengan ANOVA
   anova(model)

## Analysis of Variance Table
## 
## Response: respon
##                 Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
## faktorA          1  338.0  338.00 22.9153 0.008731 **
## faktorB          1    8.0    8.00  0.5424 0.502309   
## faktorA:faktorB  1    4.5    4.50  0.3051 0.610122   
## Residuals        4   59.0   14.75                    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Metode Solusi Persamaan Normal

• Metode Matriks Kebalikan Umum (MKU): Solusi dari sistem persamaan normal bisa didapat dengan menggunakan matriks kebalikan umum. Matriks ini berguna terutama ketika matriks \(X'X\) tidak memiliki invers unik.
• Reparameterisasi: Dalam beberapa kasus, kita perlu melakukan reparameterisasi dengan menetapkan beberapa restriksi pada parameter agar sistem persamaan normal dapat diselesaikan.

   # Menghitung solusi dengan matriks kebalikan
   XtX_inv <- ginv(t(X) %*% X)
   b <- XtX_inv %*% t(X) %*% y  # Solusi sistem persamaan normal
   b

##      [,1]
## [1,] 12.5
## [2,] 11.5
## [3,]  0.5
## [4,]  3.0

Contoh Soal

Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2 ; \quad j = 1,2 ; \quad k = 1,2 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X)

\[ y = \begin{bmatrix} y_{111} \\ y_{112} \\ y_{121} \\ y_{122} \\ y_{211} \\ y_{212} \\ y_{221} \\ y_{222} \end{bmatrix} ; \quad \beta = \begin{bmatrix} \mu \\ \tau_1 \\ \tau_2 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \tau_1 \beta_1 \\ \tau_1 \beta_2 \\ \tau_2 \beta_1 \\ \tau_2 \beta_2 \end{bmatrix} ; \quad \epsilon = \begin{bmatrix} \epsilon_{111} \\ \epsilon_{112} \\ \epsilon_{121} \\ \epsilon_{122} \\ \epsilon_{211} \\ \epsilon_{212} \\ \epsilon_{221} \\ \epsilon_{222} \end{bmatrix} \]

\[ X'X = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 4 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 2 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 2 & 0 & 4 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]

\[ X'y = \begin{bmatrix} y_{...} \\ y_{1..} \\ y_{2..} \\ y_{.1.} \\ y_{.2.} \\ y_{11.} \\ y_{12.} \\ y_{21.} \\ y_{22.} \end{bmatrix} \]

\[ r(X) = ab = 2 \times 2 = 4 \]

b. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\)

\[ X'X = \begin{bmatrix} 8 & 4 & 4 & 4 & 4 & 2 & 2 & 2 & 2 \\ 4 & 4 & 0 & 2 & 2 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 4 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 2 & 4 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 4 & 2 & 2 & 0 & 4 & 2 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 2 & 0 & 2 & 2 & 0 & 2 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 2 & 2 \end{bmatrix} \]

\[ r(X) = r(X'X) = a \cdot b = 2 \cdot 2 = 4 \]

• Pilih matriks Minor (M) yang berukuran \(4 \times 4\) dari matriks \(X'X\):

\[ M = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \quad (X'X)^c = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1/2 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

c. Tunjukkan bahwa \((\tau \beta)_{11}^* = (\tau \beta)_{11} - (\tau \beta)_{.1} + (\tau \beta)_{.1}\) dapat diduga.

\[ (\tau \beta)_{11}^* = (\tau \beta)_{11} - \frac{(\tau \beta)_{11} + (\tau \beta)_{12} - (\tau \beta)_{11} + (\tau \beta)_{21}}{2} + \frac{(\tau \beta)_{11} + (\tau \beta)_{12} + (\tau \beta)_{21} + (\tau \beta)_{22}}{4} \]

\[ (\tau \beta)_{11}^* = \frac{1}{4} (\tau \beta)_{11} - \frac{1}{4} (\tau \beta)_{12} - \frac{1}{4} (\tau \beta)_{21} + \frac{1}{4} (\tau \beta)_{22} \]

\[ (\tau \beta)_{11}^* = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{bmatrix} \beta = t' \beta \]

\(t' \beta\) dapat diduga jika \(t' (X'X)^c (X'X) = t'\)

Dengan \(t' = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & -\frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{bmatrix}\) dan

\[ (X'X)^c (X'X) = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \]

maka \(t' (X'X)^c (X'X) = t'\)

Jadi fungsi \((\tau \beta)_{11}^* = (\tau \beta)_{11} - (\tau \beta)_{.1} + (\tau \beta)\) dapat diduga (estimable).

Latihan Soal

Soal 1: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2 ; \quad j = 1,3 ; \quad k = 1,2 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 2: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2,3 ; \quad j = 1,2 ; \quad k = 1,2 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 3: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2 ; \quad j = 1,2,3 ; \quad k = 1 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 4: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2,3 ; \quad j = 1,2,3 ; \quad k = 1,2 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 5: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2 ; \quad j = 1,2 ; \quad k = 1,2,3 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 6: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2,3 ; \quad j = 1,2 ; \quad k = 1 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 7: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2 ; \quad j = 1,2,3 ; \quad k = 1,2 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 8: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2 ; \quad j = 1,3 ; \quad k = 1 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 9: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,3 ; \quad j = 1,2 ; \quad k = 1,2 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).

Soal 10: Dari suatu percobaan dua faktor dengan interaksi dengan model sebagai berikut:

\[ y_{ijk} = \mu + \tau_i + \beta_j + (\tau \beta)_{ij} + \epsilon_{ijk} \]

\[ i = 1,2 ; \quad j = 1,2,3 ; \quad k = 1,2,3 \]

1. Jika model tersebut ditulis dalam bentuk \(y = X \beta + \epsilon\), tentukanlah \(X'X\), \(X'y\), dan Rank(X).

2. Tentukan matriks kebalikan umum dari \(X'X\).