PML - Model dua arah Tanpa Interaksi

Video Pembelajaran - P11

Video Pembelajaran dapat diakses melalui link berikut : https://ipb.link/materipml

Model Linier Dua Faktor Tanpa Interaksi

  • Deskripsi: Model ini digunakan dalam eksperimen yang melibatkan dua faktor (Faktor A dan Faktor B) tanpa adanya interaksi antar keduanya. Artinya, efek dari satu faktor pada respons tidak dipengaruhi oleh faktor lainnya.
  • Model Matematika: \[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij} \]
    • \(y_{ij}\): Nilai respons untuk observasi pada taraf ke-\(i\) dari Faktor A dan taraf ke-\(j\) dari Faktor B.
    • \(\mu\): Rataan umum dari semua observasi dalam percobaan.
    • \(\tau_i\): Pengaruh dari taraf ke-\(i\) dari Faktor A terhadap respons.
    • \(\beta_j\): Pengaruh dari taraf ke-\(j\) dari Faktor B terhadap respons.
    • \(\varepsilon_{ij}\): Komponen error acak, yang diasumsikan berdistribusi normal dengan nilai tengah nol dan variansi konstan, \(\varepsilon_{ij} \sim N(0, \sigma^2)\).
  • Implementasi R:
     # Data simulasi untuk dua faktor tanpa interaksi
     set.seed(123)
     data <- data.frame(
       FaktorA = factor(rep(1:3, each = 5)), # Tiga taraf Faktor A
       FaktorB = factor(rep(1:5, times = 3)), # Lima taraf Faktor B
       response = rnorm(15, mean = 10, sd = 2) # Nilai respons
     )

     # Model linier dua faktor tanpa interaksi
     model <- lm(response ~ FaktorA + FaktorB, data = data)
     summary(model)
## 
## Call:
## lm(formula = response ~ FaktorA + FaktorB, data = data)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -2.78910 -0.74222  0.08356  0.65451  2.57210 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  11.6682     1.3253   8.804 2.18e-05 ***
## FaktorA2     -0.4758     1.2270  -0.388    0.708    
## FaktorA3      0.2287     1.2270   0.186    0.857    
## FaktorB2     -1.1921     1.5841  -0.753    0.473    
## FaktorB3     -1.1228     1.5841  -0.709    0.499    
## FaktorB4     -1.9229     1.5841  -1.214    0.259    
## FaktorB5     -2.1673     1.5841  -1.368    0.208    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.94 on 8 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2475, Adjusted R-squared:  -0.3168 
## F-statistic: 0.4386 on 6 and 8 DF,  p-value: 0.8345

Pengujian Hipotesis dalam Model Dua Faktor Tanpa Interaksi

  • Deskripsi: Untuk menilai apakah ada perbedaan signifikan antara taraf dari setiap faktor, dilakukan pengujian hipotesis terhadap parameter \(\tau\) dan \(\beta\).
  • Hipotesis:
    • Untuk Faktor A: \[ H_0: \tau_1 = \tau_2 = \cdots = \tau_a \] Hipotesis nol ini menyatakan bahwa tidak ada perbedaan pengaruh antara taraf dari Faktor A pada respons.
    • Untuk Faktor B: \[ H_0: \beta_1 = \beta_2 = \cdots = \beta_b \] Hipotesis nol ini menyatakan bahwa tidak ada perbedaan pengaruh antara taraf dari Faktor B pada respons.
  • Implementasi R:
     # Melakukan uji ANOVA untuk menguji hipotesis faktor A dan B
     anova(model)
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: response
##           Df  Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## FaktorA    2  1.2915  0.6457  0.1716 0.8454
## FaktorB    4  8.6141  2.1535  0.5721 0.6908
## Residuals  8 30.1120  3.7640

Matriks Desain (X) dan Parameter Model

  • Deskripsi: Matriks desain \(\mathbf{X}\) digunakan untuk menyusun model linier dalam bentuk matriks yang memudahkan analisis statistik, terutama dalam perhitungan matriks untuk model linier.
  • Bentuk Matriks Desain: \[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\varepsilon} \] Di mana:
    • \(\mathbf{y}\): Vektor respons dari percobaan.
    • \(\mathbf{X}\): Matriks desain, dengan ukuran \(n \times (1 + a + b)\), di mana \(n\) adalah jumlah observasi, \(a\) adalah jumlah taraf Faktor A, dan \(b\) adalah jumlah taraf Faktor B.
    • \(\boldsymbol{\beta}\): Vektor parameter yang berisi \(\mu\), \(\tau_i\), dan \(\beta_j\).
    • \(\boldsymbol{\varepsilon}\): Vektor error acak, yang memiliki sebaran normal dengan nilai tengah nol dan ragam \(\sigma^2\).
  • Implementasi R:
     # Matriks desain untuk model linier
     X <- model.matrix(~ FaktorA + FaktorB, data = data)
     X # Menampilkan matriks desain
##    (Intercept) FaktorA2 FaktorA3 FaktorB2 FaktorB3 FaktorB4 FaktorB5
## 1            1        0        0        0        0        0        0
## 2            1        0        0        1        0        0        0
## 3            1        0        0        0        1        0        0
## 4            1        0        0        0        0        1        0
## 5            1        0        0        0        0        0        1
## 6            1        1        0        0        0        0        0
## 7            1        1        0        1        0        0        0
## 8            1        1        0        0        1        0        0
## 9            1        1        0        0        0        1        0
## 10           1        1        0        0        0        0        1
## 11           1        0        1        0        0        0        0
## 12           1        0        1        1        0        0        0
## 13           1        0        1        0        1        0        0
## 14           1        0        1        0        0        1        0
## 15           1        0        1        0        0        0        1
## attr(,"assign")
## [1] 0 1 1 2 2 2 2
## attr(,"contrasts")
## attr(,"contrasts")$FaktorA
## [1] "contr.treatment"
## 
## attr(,"contrasts")$FaktorB
## [1] "contr.treatment"

Rancangan Acak Kelompok Lengkap (RAKL)

  • Deskripsi: RAKL adalah desain percobaan yang digunakan ketika terdapat satu sumber keragaman selain perlakuan (misalnya lingkungan, blok, atau lokasi). RAKL membagi unit percobaan ke dalam blok, di mana setiap blok memiliki kondisi yang serupa. Ini membantu mengurangi variasi yang disebabkan oleh faktor lingkungan.
  • Model Linier RAKL: \[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \varepsilon_{ij} \] Di mana:
    • \(y_{ij}\): Nilai respons pada taraf ke-\(i\) dari perlakuan dan blok ke-\(j\).
    • \(\mu\): Rataan umum.
    • \(\tau_i\): Efek dari perlakuan pada taraf ke-\(i\).
    • \(\beta_j\): Efek dari blok ke-\(j\).
    • \(\varepsilon_{ij}\): Error acak dengan sebaran normal.
  • Implementasi R:
     # Data simulasi untuk RAKL
     set.seed(123)
     blok_data <- data.frame(
       treatment = factor(rep(1:4, each = 3)), # Empat taraf perlakuan
       block = factor(rep(1:3, times = 4)), # Tiga blok
       response = rnorm(12, mean = 10, sd = 2) # Nilai respons
     )

     # Model linier untuk RAKL
     rakl_model <- lm(response ~ treatment + block, data = blok_data)
     summary(rakl_model)
## 
## Call:
## lm(formula = response ~ treatment + block, data = blok_data)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1.4647 -1.0375 -0.5359  1.1815  2.5415 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   9.8863     1.3539   7.302 0.000336 ***
## treatment2    0.7645     1.5634   0.489 0.642184    
## treatment3   -1.5060     1.5634  -0.963 0.372591    
## treatment4    0.2468     1.5634   0.158 0.879751    
## block2        0.1664     1.3539   0.123 0.906186    
## block3        1.7107     1.3539   1.264 0.253275    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.915 on 6 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.4161, Adjusted R-squared:  -0.07048 
## F-statistic: 0.8551 on 5 and 6 DF,  p-value: 0.5587

Uji Efisiensi Relatif (RE) dalam RAKL

  • Deskripsi: Efisiensi relatif (RE) adalah ukuran efektivitas blok dalam meningkatkan presisi hasil. RE membandingkan variasi dalam RAKL dengan variasi dalam desain satu faktor (tanpa blok).
  • Rumus Efisiensi Relatif: \[ RE = \frac{SS_{\text{blocks}} + b(a - 1) s^2}{(ab - 1) s^2} \] Di mana:
    • \(SS_{\text{blocks}}\): Jumlah kuadrat dari blok.
    • \(s^2\): Ragam dari residual.
    • \(b\): Jumlah blok.
    • \(a\): Jumlah perlakuan.
  • Implementasi R:
     # Menghitung Efisiensi Relatif
     s2 <- deviance(rakl_model) / df.residual(rakl_model) # Ragam residual
     ss_blocks <- sum(anova(rakl_model)["block", "Sum Sq"]) # Jumlah Kuadrat Blok
     re <- (ss_blocks + length(unique(blok_data$block)) * (length(unique(blok_data$treatment)) - 1) * s2) /
           ((length(blok_data$response) - 1) * s2)
     re # Menampilkan hasil Efisiensi Relatif
## [1] 0.9947014

File PDF yang Anda unggah berisi materi “Model dua arah tanpa interaksi” yang mencakup model linier dua faktor. Berikut adalah isi lengkapnya:

Contoh Soal

Perhatikan model linier rancangan dua faktor tanpa interaksi.

\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2,3, \quad j = 1,2. \]

a. Susun model tersebut dalam bentuk matriks

Untuk \(i = 1, 2, 3\) dan \(j = 1, 2\) \[ \begin{align*} y_{11} &= \mu + \tau_1 + \beta_1 + \epsilon_{11}, \\ y_{12} &= \mu + \tau_1 + \beta_2 + \epsilon_{12}, \\ y_{21} &= \mu + \tau_2 + \beta_1 + \epsilon_{21}, \\ y_{22} &= \mu + \tau_2 + \beta_2 + \epsilon_{22}, \\ y_{31} &= \mu + \tau_3 + \beta_1 + \epsilon_{31}, \\ y_{32} &= \mu + \tau_3 + \beta_2 + \epsilon_{32}. \end{align*} \]

dalam bentuk matriks: \[ \mathbf{y} = \mathbf{X} \boldsymbol{\beta} + \boldsymbol{\epsilon} \] dengan: \[ \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_{11} \\ y_{12} \\ y_{21} \\ y_{22} \\ y_{31} \\ y_{32} \\ \end{pmatrix}, \quad \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\beta} = \begin{pmatrix} \mu \\ \tau_1 \\ \tau_2 \\ \tau_3 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \end{pmatrix}, \quad \boldsymbol{\epsilon} = \begin{pmatrix} \epsilon_{11} \\ \epsilon_{12} \\ \epsilon_{21} \\ \epsilon_{22} \\ \epsilon_{31} \\ \epsilon_{32} \\ \end{pmatrix}. \]

b. Tentukan matriks X, X’X, X’y.

Matriks \(\mathbf{X}\) adalah:

\[ \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}. \]

Matriks \(\mathbf{X}' \mathbf{X}\):

\[ \mathbf{X}' \mathbf{X} = \begin{pmatrix} 6 & 2 & 2 & 2 & 3 & 3 \\ 2 & 2 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 1 & 1 & 1 & 0 & 3 \\ \end{pmatrix}. \]

Matriks \(\mathbf{X}' \mathbf{y}\):

\[ \mathbf{X}' \mathbf{y} = \begin{pmatrix} y_{..} \\ y_{1.} \\ y_{2.} \\ y_{3.} \\ y_{.1} \\ y_{.2} \\ \end{pmatrix}. \]

c. Tentukan Rank (X) atau Rank (X’X)

Properties : \(X_{n \times k}, n \geq k, r(X) = k \Rightarrow r(X) = r(X') = r(X'X) = k\)

\[ r(X) = r(X'X) = a + b - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 \]

Latihan Soal

Berikut adalah 10 soal tanpa poin d dan e pada tiap pertanyaan.

Soal 1
Perhatikan model linier rancangan dua faktor tanpa interaksi berikut ini:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2,3,4, \quad j = 1,2. \]
a. Susun model tersebut dalam bentuk matriks.
b. Tentukan matriks \(X\), \(X'X\), dan \(X'y\).
c. Tentukan Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 2
Model linier rancangan dua faktor tanpa interaksi adalah sebagai berikut:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2,3, \quad j = 1,2,3. \]
a. Susun model tersebut dalam bentuk matriks.
b. Tentukan matriks \(X\), \(X'X\), dan \(X'y\).
c. Tentukan Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 3
Dengan model linier rancangan dua faktor tanpa interaksi sebagai berikut:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2, \quad j = 1,2,3. \]
a. Bentuk model dalam matriks.
b. Tentukan matriks \(X\), \(X'X\), \(X'y\).
c. Hitung Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 4
Perhatikan model linier dua faktor tanpa interaksi berikut:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2,3,4 \quad j = 1,2,3,4 \]
a. Susun model tersebut dalam matriks.
b. Hitung \(X\), \(X'X\), dan \(X'y\).
c. Tentukan Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 5
Diberikan model linier dua faktor tanpa interaksi:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2, \quad j = 1,2,3,4 \]
a. Susun model dalam bentuk matriks.
b. Hitung matriks \(X\), \(X'X\), dan \(X'y\).
c. Tentukan Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 6
Perhatikan model linier tanpa interaksi berikut:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2,3,4, \quad j = 1,2. \]
a. Bentuk model dalam matriks.
b. Tentukan \(X\), \(X'X\), \(X'y\).
c. Cari Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 7
Model linier dua faktor tanpa interaksi:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2,3, \quad j = 1,2. \]
a. Susun model dalam bentuk matriks.
b. Tentukan \(X\), \(X'X\), dan \(X'y\).
c. Tentukan Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 8
Perhatikan model linier dua faktor tanpa interaksi berikut ini:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2,3,4, \quad j = 1,2,3. \]
a. Bentuk model dalam matriks.
b. Hitung matriks \(X\), \(X'X\), dan \(X'y\).
c. Tentukan Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 9
Model rancangan dua faktor tanpa interaksi adalah sebagai berikut:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2, \quad j = 1,2,3,4,5. \]
a. Susun model tersebut dalam bentuk matriks.
b. Tentukan \(X\), \(X'X\), dan \(X'y\).
c. Tentukan Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).

Soal 10
Diberikan model dua faktor tanpa interaksi berikut ini:
\[ y_{ij} = \mu + \tau_i + \beta_j + \epsilon_{ij}, \quad i = 1,2,3,4,5 \quad j = 1,2,3. \]
a. Bentuk model dalam matriks.
b. Hitung matriks \(X\), \(X'X\), \(X'y\).
c. Cari Rank(\(X\)) atau Rank(\(X'X\)).