Modelo de Bernoulli e Modelo Binomial
Distribuição de Bernoulli
Uma varável aleatória X segue o modelo de Bernoulli quando associa 1 (sucesso) ou 0 (fracasso) a probabilidade de ocorrência de um determinado evento. Denotamos por “p” a probabilidade de sucesso e 1-p = q a probabilidade de fracasso.
Exemplo: Para participar de um sorteio, você e mais 5 colegas escolheram um número de 1 a 6, sem que houvesse números repetidos. Supondo que você escolheu o número 4. Um dado foi lançado e:
Notação: \(X \sim Ber(p)\)
| X |
0 |
1 |
| P(X=x) |
1 - p |
p |
| P(X=x) |
\(1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}\) |
\(\frac{1}{6}\) |
Veja esse outro exemplo: Ao lançar uma moeda uma única vez (n=1), qual a probabilidade de se obter uma cara/sucesso (X = 1)? Qual é a probabilidade de fracasso?
P(X=1) = \(\frac{1}{2}\)
A probabilidade de fracasso é 1 - p, ou seja \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\), isso é dados por:
\(f(X) = P(X = x) = p^x \times q^{(n-x)}\)
Vamos considerar três lançamentos da moeda (n=3) e esperar exatamente dois sucessos, ou seja, cara aparecer exatamente duas vezes. Temos o seguinte espaço amostral:
\(\Omega = \{ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk\}\) temos que \(P(X=2) = \frac{3}{8}\)
Observe a distribuição de probabilidade.
\[
\begin{array}{ccccccccc}
\Omega & ccc & cck & ckc & ckk & kcc & kck & kkc & kkk \\
X & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
P(X=x) & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} & \frac{1}{8} \\
\end{array}
\]
Continuando…
Lembremos do modelo de Bernoulli para n = 1: \(p^x \times q^{(n-x)}\)
Aplicando para n = 3 e dois sucessos (X= 2), temos: \((\frac{1}{2})^2 \times (\frac{1}{2})^{(3-2)} = \frac{1}{8}\)
O valor de \(\frac{1}{8}\) obtido acima ainda não é o resultado final, que já sabemos ser \(\frac{3}{8}\) . Então, o que falta?
\(\Omega = \{ccc, cck, ckc, ckk, kcc, kck, kkc, kkk\}\)
Observando o espaço amostral, vemos que a quantidade de sucesso pode ocorrer em uma combinação de 3 elementos tomados 2 a 2, ou seja \(\frac{n!}{(n-x)!.x!} = \frac{3!}{(3-2)!.2!} = 3\)
Resposta: \(3 \times \frac{1}{8} = \frac{3}{8}\)
Continuando…
Modelo Binomial
Pode-se dizer que o modelo de Bernoulli é uma condição especial do modelo binomial, em que n = 1.
\(P(X = x) = {n \choose x} \times p^x \times q^{(n-x)}\)
Notacção: \(X \sim b(n, p)\)
Exemplo: Para chegar no IFPE, você precisa passar por cinco semáforos. Qual é a probabilidade de você pegar dois semáforos vermelhos, dado que o semáforo fica vermelho 30% do tempo? \({n \choose x}.p^x.q^{n-x}= \frac{n!}{(n-x)!.x!}.p^x.q^{n-x}= \frac{5!}{(5-2)!.2!}. 0.3^2.0.7^{5-2}=\) 0.3087
Uso da tabela binomial
Considere o exemplo anterior \(X \sim b(3; 0.3)\)
![]()
A probabilidade de exatos 2 sucessos é: 0,1890 (Esquerda)
A probabilidade de até 2 sucessos é: 0,9730 (Direita)
Uso de softwares (Calc e R)
Dado \(X \sim b(3; 0.3)\) , temos a probabilidade de exatos 2 sucessos e de até 2 sucessos.
\(P(X = 0) = 0,343\) \(P(X = 1) = 0,441\) \(P(X = 2) = 0,189\) \(\longrightarrow\) 0,343 + 0,441 + 0,189 = 0,973
Exercício
Sabendo-se que, em certa indústria, um em cada dez tabletes de goaibada produzido está abaixo da massa ideal (500 g). Qual é a probabilidade de que uma amostra aleatória de tamanho quatro tenha:
a) nenhum abaixo do ideal?
b) exatamente um abaixo do ideal?
c) exatamente dois abaixo do ideal?
d) não mais do que dois abaixo do ideal?
e) todos abaixo do ideal?
