Distribuição de Poisson

Modelo de Poisson

Observe as seguintes sentenças:

a) Número de chamadas recebidas durante cinco minutos

b) Número de falhas de um computador em um dia

c) Número de ataques de abelhas em um ano

Uma variável aleatória X tem uma distribuição de Poisson com parâmetro \(\lambda > 0\) se:

\[ P(X = k) = \frac{e^{-\lambda}.\lambda^k}{k!}, com \ k = 0,1,2,... \]

Em que \(\lambda\) é o número médio de eventos ocorrendo no intervalo considerado e \(k\) o número de ocorrências

Notação: \(X \sim Pois(\lambda)\)

Exemplo: Em uma central telefônica, o número de chamadas chega segundo uma distribuição de Poisson, com a média de oito chamadas por minuto. Determinar qual é a probabilidade de ser ter em um minuto: a) dez ou mais chamadas; b) menos que nove chamadas; c) entre sete (inclusive) e nove (exclusive) chamadas

a) \(P(X \ge 10) = \frac{e^{-\lambda}.\lambda^k}{k!} \rightarrow\) seria preciso achar as probabilidades de k = 10 até o infinito. Como a soma das probabilidades é igual a 1, podemos achar a probabilidade de k = 0 até 9 e subtrair de 1.

\[ 1 - \sum_{k=0}^{9} \left( \frac{e^{-\lambda}.\lambda^k}{k!} \right ) = \]

1 - sum(dpois(0:9, 8))

[1] 0.2833757

1-ppois(9,8)

[1] 0.2833757

b) \(P(X < 9) = \sum_{k=0}^{8} \left ( \frac{e^{-\lambda}.\lambda^k}{k!} \right )\)

sum(dpois(0:8, 8))

[1] 0.5925473

ppois(8,8)

[1] 0.5925473

c) \(P(X \le 9) - P(X \le7)\)

\[ \sum_{k=0}^{8} \left( \frac{e^{-\lambda}.\lambda^k}{k!} \right ) - \sum_{k=0}^{6} \left( \frac{e^{-\lambda}.\lambda^k}{k!} \right ) = \]

sum(dpois(0:8, 8)) - sum(dpois(0:6, 8))

[1] 0.2791731

ppois(8,8) - ppois(6,8)

[1] 0.2791731