Distribuição Normal
(Modelo de Gauss)
Modelo de Distribuição Normal (Gauss)
Uma variável aleatória contínua X tem distribuição Normal com parâmetro \(\mu\) e \(\sigma^2\) (média e variância), se sua função de densidade é dada por
\[
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} }. e^\frac{-(x - \mu)^2}{2 \sigma^2 }
\]
Usa-se a notação 𝑋 ∼ 𝑁( \(\mu\) , \(\sigma^2\) ) para indicar que uma v.a.c. tem distribuição normal, com parâmetro \(\mu\) e \(\sigma^2\).
Por exemplo: X ~ N(167, 100)
Exemplos de Funções
Função Linear
\(f(x) = 2x\)
Função Quadrática
\(f(x) = -x^2 + 20x\)
Função de Densidade de Probabilidade - Normal
\(f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} }. e^\frac{-(x - \mu)^2}{2 \sigma^2 }\)
Áreas = Probabilidades
Como calcular essas áreas?
Como calcular essas áreas?
Manualmente - Calculando-se a integral de f(x) para o intervalo de interesse (Procedimento difícil)
Softwares - Fazendo-se uso de softawares: LibreOffice Calc, Rstudio, etc. (Procedimento fácil)
Tabelas padronizadas - Utilizando-se tabelas padronizadas (Procedimento mediano)
Considere X ~ N(173, 100). Calcule a probabilidade de X \(\le\) 163
Você pode resolver a integral \[
\int_{-\infty}^{163} \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}}.e^{\frac{-(x - \mu)^2}{2 \sigma^2}}.dx
\]
Mas, eu aconselho usar um software
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Ou usar uma Tabela.
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1 - 0,8413 = 0,1587
z? \(\mu\)? e \(\sigma\)?
Quem é Z?
Z é a variável aleatória reduzida, obtida por: \(Z = \frac{x- \mu}{\sigma}\)
Ou seja, Z é uma transformação de X, que tem o objetivo de padronizar os valores. A tabela de distribuição de probabilidade de Z é igual a de X, então, podemos usar a de z, que está tabelada.
Por exemplo: Para uma distribuição normal com \(\mu = 173\) e \(\sigma = 10\) a probabilidade de X \(\le\) 163 é igual a 0,1587, que é a mesma de Z \(\le\) -1, uma vez que :
\[
z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{163-173}{10} = \frac{-10}{10} = -1
\]
Exercícios
1º) Seja a v.a. X = {2, 3, 4, 6, 7}, calcule o valor de z para cada xi, sabendo-se que \(\mu = 3\) e \(\sigma^2 = 2,25\) .
2º) Dado X ~ N(30; 16), represente graficamente e calcule:
a) \(P(X \le 30)\)
b) \(P(X > 40)\)
c) \(P(27 < X \le 40)\)
3º) (Bussab e Morettin, 2017. p 193) Os depósitos efetuados no Banco da Ribeira durante o mês de janeiro são distribuídos normalmente, com média de R$ 10.000,00 e desvio padrão de R$ 1.500,00. Um dpósito é selecionado ao acaso dentre os referentes ao mês em questão. Encontrar a probabilidade de que o depósito seja:
a) R$ 10.000,00 ou menos
b) pelo menos R$ 10.000,00
c) um valor entre R$ 12.000,00 e R$ 15.000,00
d) maior que R$ 20.000,00
Respostas
1º) Para \(\mu = 3\) , \(\sigma = 1.5\) e X = {2, 3, 4, 6, 7}
a) x = 2 temos \(z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{2-3}{1.5}\) = -0.6667
b) x = 3 temos \(z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{3-3}{1.5}\) = 0
c) x = 4 temos \(z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{4-3}{1.5}\) = 0.6667
d) x = 6 temos \(z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{6-3}{1.5}\) = 2
e) x = 7 temos \(z = \frac{x-\mu}{\sigma} = \frac{7-3}{1.5}\) = 2.6667
2º) X ~ N(30;16) ou seja \(\mu = 30\) e \(\sigma = 4\)
a)
\(P(X \le 30)\) = \(P(Z \le \frac{30 - 30}{4})\) = \(P (Z \le 0)\) = 0.5
b)
\(P(X > 40)\) = \(P(Z > \frac{40 - 30}{4})\) = \(P (Z >\) 2.5 ) = 0.0062
c)
\(P(27< X \le 40)\) = \(P(\frac{27 - 30}{4} < X \le \frac{40 - 30}{4})\) = \(P (X \le 40) - P(27 < X)\)
temos que: \(P(27 < X)\) = \(P(\frac{27 - 30}{4} < Z)\) = \(P(\) -0.75 \(< Z)\)) = 0.2266274
e \(P(X \le 40)\) = \(P(Z \le \frac{40-30}{4})\) = \(P(Z \le\) 2.5 \()\) = 0.9937903
Logo \(P (X \le 40) - P(27 < X)\) = 0.7672
