Nguyễn Thúy Vy
2025-01-19
Lớp học có 100 sinh viên, trong đó có 40 sinh viên giỏi Ngoại ngữ, 30 sinh viên giỏi Tin học, 20 sinh viên giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên trong lớp, tính xác suất để:
a. Sinh viên này giỏi ít nhất một môn học.
b. Sinh viên này không giỏi môn học nào.
c. Sinh viên này chỉ giỏi đúng 1 môn học.
Giải:
Gọi:
Từ đề bài ta có:
\[P(A_1) = \frac{40}{100} = 0.4; P(A_2) = \frac{30}{100} = 0.3\]
\[P(A_1 A_2) = \frac{20}{100} = 0.2\]
a.
Gọi \(A\) là biến cố “sinh viên này giỏi ít nhất một môn”.
Ta có: \(A = A_1 + A_2\)
\(\Rightarrow P(A) = P(A_1 + A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 A_2) = 0.4 + 0.3 - 0.2 = 0.5\)
b.
Gọi \(B\) là biến cố “sinh viên này không giỏi môn nào”.
Ta thấy biến cố \(A\) là biến cố đối của biến cố \(B\).
\(\Rightarrow P(A) = 1 - P(B) \Rightarrow P(B) = 1 - 0.5 = 0.5\)
c.
Gọi \(C\) là biến cố “sinh viên này chỉ giỏi một môn”.
Ta có: \(C = (A_1 \overline{A_2}) + (\overline{A_1} A_2)\)
\(\Rightarrow P(C) = P(A_1 \overline{A_2}) + P(\overline{A_1} A_2) = P(A_1) + P(A_2) - 2P(A_1 A_2) = 0.4 + 0.3 - 2 \times 0.2 = 0.3\)
Trong trò chơi “Bầu – Cua – Tôm – Cá”. Một người đặt tiền vào 1 ô bất kỳ (trong 6 ô). Tính:
a. Số phần tử của không gian mẫu.
b. Xác suất để ngươi này thua.
c. Tính xác suất để người này thắng 1 con, 2 con, 3 con.
Giải:
a.
Trong trò chơi bầu cua tôm cá, sử dụng 3 con xúc xắc, mỗi con xúc xắc có 6 mặt, tương ứng với 6 con vật.
Vậy số phần tử của không gian mẫu là: \(| \Omega| = 6^3 = 216\)
b.
Người chơi đặt tiền vào một trong sáu ô bất kỳ. Vì vậy để thua thì cả 3 lần con xúc xắc đều phải ra 5 con còn lại.
Cho \(B\) là biến cố “người chơi này thua”.
Phần tử của biến cố \(B\) là \(|B| = 5^3 = 125\)
\(\Rightarrow P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{125}{216} \approx 0.5787\)
c.
Gọi:
Trường hợp thắng 1 con:
Người chơi thắng 1 con chỉ khi 1 trong 3 con xuất hiện con vật đã chọn.
\(|C_1| = C_1^3 \times 5^2 = 75\)
\(\Rightarrow P(C_1) = \frac{|C_1|}{|\Omega|} = \frac{75}{216} \approx 0.3472\)
Trường hợp thắng 2 con:
Người chơi thắng 2 con khi có 2 con xuất hiện con vật đã chọn và con còn lại không xuất hiện lại con vật đó.
\(|C_2| = C_2^3 \times 5 = 15\)
\(\Rightarrow P(C_2) = \frac{|C_2|}{|\Omega|} = \frac{15}{216} \approx 0.0694\)
Trường hợp thắng 3 con:
Người chơi thắng 3 con khi cả 3 con xúc xắc đều xuất hiện mặt đã chọn.
\(|C_3| = 1\)
\(\Rightarrow P(C_3) = \frac{|C_3|}{|\Omega|} = \frac{1}{216} \approx 0.00463\)
Một hệ thống gồm 3 bộ phận hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để mỗi bộ phận bị hỏng trong một ngày lần lượt là 0,05; 0,1; 0,15. Hệ thống ngừng hoạt động nếu có ít nhất một bộ phận bị hỏng. Tính xác suất để hệ thống hoạt động tốt (không bị ngừng hoạt động) trong một ngày.
Giải:
Gọi:
Ta có:
\[P(A_1) = 0.05; P(A_2) = 0.1; P(A_3) = 0.15\]
\(A = \overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3}\)
\(\Rightarrow P(A) = P(\overline{A_1}) \times P(\overline{A_2}) \times P(\overline{A_3}) = (1 - 0.05) \times (1 - 0.1) \times (1 - 0.15) = 0.72675\)
Có 3 người chơi bóng rổ, mỗi người ném một quả. Xác suất ném trúng rổ của mỗi người lần lượt là 0,5 ; 0,6 ; 0,7. Tính xác suất để:
a. Cả 3 người đều ném trúng rổ.
b. Chỉ có người thứ 2 ném trúng rổ.
c. Có ít nhất một người ném trúng rổ.
d. Có nhiều nhất một người ném trúng rổ.
Giải:
Gọi \(A_i\) là biến cố “người thứ i ném trúng rổ”, \(i = 1,2,3\).
Ta có:
\[P(A_1) = 0.5; P(A_2) = 0.6; P(A_3) = 0.7\]
a.
Gọi \(A\) là biến cố “cả 3 đều ném trúng rổ”.
Ta có: \(A = A_1 A_2 A_3\)
\(\Rightarrow P(A) = P(A_1 A_2 A_3) = P(A_1) \times P(A_2) \times P(A_3)= 0.5 \times 0.6 \times 0.7 = 0.21\)
b.
Gọi \(B\) là biến cố “chỉ có người thứ hai ném trúng rổ”.
\(B = \overline{A_1} A_2 \overline{A_3}\)
\(\Rightarrow P(B) = P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \times P(A_2) \times P(\overline{A_3}) = (1 - 0.5) \times 0.6 \times (1 - 0.7) = 0.09\)
c.
Gọi C là biến cố “có ít nhất một người ném trúng rổ”.
\(C = A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} + \overline{A_1} A_2 \overline{A_3} + \overline{A_1} \overline{A_2} A_3 + A_1 A_2 \overline{A_3} + A_1 \overline{A_2} A_3 + \overline{A_1} A_2 A_3 + A_1 A_2 A_3\)
\[\begin{align*} \Rightarrow P(C) &= P(A_1 \overline{A_2} \overline{A_3}) + P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3}) + P(\overline{A_1} \overline{A_2} A_3) + P(A_1 A_2 \overline{A_3}) + P(A_1 \overline{A_2} A_3) + P(\overline{A_1} A_2 A_3) + P(A_1 A_2 A_3) \\ &= [P(A_1)P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})] + [P(\overline{A_1})P(A_2)P(\overline{A_3})] + [P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(A_3)] + [P(A_1)P(A_2)P(\overline{A_3})] + [P(A_1)P(\overline{A_2})P(A_3)] + [P(\overline{A_1})P(A_2)P(A_3)] + [P(A_1)P(A_2)P(A_3)] \\ &= [0.5 \times 0.4 \times 0.3] + [0.5 \times 0.6 \times 0.3] + [0.5 \times 0.4 \times 0.7] + [0.5 \times 0.6 \times 0.3] + [0.5 \times 0.4 \times 0.7] + [0.5 \times 0.6 \times 0.7] + [0.5 \times 0.6 \times 0.7] \\ &= 0.94. \end{align*}\]
d.
Gọi \(D\) là biến cố “có nhiều nhất một người ném trúng”.
\(D = \overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3} + A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} + \overline{A_1} A_2 \overline{A_3} + \overline{A_1} \overline{A_2} A_3\)
\[\begin{align*} \Rightarrow P(D) &= P(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3}) + P(A_1 \overline{A_2} \overline{A_3}) + P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3}) + P(\overline{A_1} \overline{A_2} A_3) \\ &= [P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})] + [P(A_1)P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})] + [P(\overline{A_1})P(A_2)P(\overline{A_3})] + [P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(A_3)] \\ &= [0.5 \times 0.4 \times 0.3] + [0.5 \times 0.4 \times 0.7] + [0.5 \times 0.6 \times 0.3] + [0.5 \times 0.4 \times 0.3] \\ &= 0.35. \end{align*}\]
Ba bác sĩ có xác suất chẩn đoán bệnh đúng là 0,8; 0,9; 0,7. Một bệnh nhân được ba người này khám bệnh độc lập nhau.
a. Tính xác suất để sau khi chẩn bệnh chỉ có một kết quả đúng.
b. Tính xác suất chỉ có bác sĩ thứ hai chẩn bệnh đúng.
Giải:
Gọi \(A_i\) là biến cố “bác sĩ thứ i chẩn đoán bệnh đúng”, \(i = 1,2,3\).
Ta có: \(P(A_1) = 0.8; P(A_2) = 0.9; P(A_3) = 0.7\)
a.
Gọi \(A\) là biến cố “sau khi chẩn đoán bệnh thì chỉ có 1 kết quả đúng”.
\(A = A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} + \overline{A_1} A_2 \overline{A_3} + \overline{A_1} \overline{A_2} A_3\)
\[\begin{align*} \Rightarrow P(A) &= P(A_1 \overline{A_2} \overline{A_3}) + P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3}) + P(\overline{A_1} \overline{A_2} A_3) \\ &= [P(A_1)P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})] + [P(\overline{A_1})P(A_2)P(\overline{A_3})] + [P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(A_3)] \\ &= [0.8 \times 0.1 \times 0.3] + [0.2 \times 0.9 \times 0.3] + [0.2 \times 0.1 \times 0.7] \\ &= 0.092. \end{align*}\]
b.
Gọi \(B\) là biến cố “chỉ có bác sĩ thứ hai chẩn đoán bệnh đúng”.
\(B = \overline{A_1} A_2 \overline{A_3}\)
\(\Rightarrow P(B) = P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \times P(A_2) \times P(\overline{A_3}) = 0.1 \times 0.9 \times 0.3 = 0.054\)
Một nhân viên bán hàng, mỗi năm đến bán ở công ty A ba lần. Xác suất để lần đầu bán được hàng là 0,8. Nếu lần trước bán được hàng thì xác suất lần sau bán được hàng là 0,9; còn nếu lần trước không bán được hàng thì xác suất để lần sau bán được hàng chỉ là 0,4. Tính xác suất để:
a. Cả ba lần đều bán được hàng.
b. Có đúng hai lần bán được hàng.
Giải:
Gọi \(A_i\) là biến cố “bán được hàng ở lần thứ i”, \(i=1,2,3\).
Ta có:
\[P(A_1) = 0.8; P(A_2|A_1) = 0.9; P(A_3|\overline{A_1}) = 0.4\]
a.
Gọi \(A\) là biến cố “cả 3 lần đều bán được hàng”.
Khi đó \(P(A_3|A_2) = 0.9\)
Vậy \(P(A) = P(A_1) \times P(A_2|A_1) \times P(A_3|A_2) = 0.8 \times 0.9 \times 0.9 = 0.648\)
b.
Gọi \(B\) là biến cố “có đúng hai lần bán được hàng”.
Ta có các trường hợp sau:
\[P(A_1) \times P(A_2|A_1) \times P(\overline{A_3}) = 0.8 \times 0.9 \times 0.1 = 0.072\]
\[P(A_1) \times P(\overline{A_2}|A_1) \times P(A_3|\overline{A_2}) = 0.8 \times 0.1 \times 0.4 = 0.032\]
\[P(\overline{A_1}) \times P(A_2|\overline{A_1}) \times P(A_3|A_2) = 0.2 \times 0.4 \times 0.9 = 0.072\]
Vậy \(P(B) = 0.072 + 0.032 + 0.072 = 0.176\)
Người ta thống kê được 90% máy vi tính (sử dụng lần đầu) do công ty A sản xuất hoạt động tốt trong năm đầu tiên. Một nhân viên văn phòng mua 4 máy (mới) của công ty này để sử dụng, xét trong một năm, tính xác suất để không có máy nào trong 4 máy này cần phải sửa chữa.
Giải:
Gọi
Ta có: \(P(A_i) = 0.9; i = 1,2,3,4\)
Vậy \(A = A_1 A_2 A_3 A_4\)
\(\Rightarrow P(A) = P(A_1 A_2 A_3 A_4) = P(A_1) \times P(A_2) \times P(A_3) \times P(A_4) = 0.9^4 = 0.6561\)
Có 2 thùng hàng, thùng thứ I có 6 sản phẩm được sản xuất trong nước và 4 sản phẩm nhập khẩu, thùng thứ II có 8 sản phẩm nhập khẩu và 4 sản phẩm sản xuất trong nước. Mỗi thùng chọn ra 1 sản phẩm để giao cho khách hàng. Tính xác suất để:
a. 2 sản phẩm đều được sản xuất trong nước.
b. 1 sản phẩm sản xuất trong nước và 1 sản phẩm nhập khẩu.
Giải:
Gọi \(A_i\) là biến cố “lấy được sản phẩm sản xuất trong nước từ thùng thứ i”, \(i=1,2\).
Từ đề bài ta có:
\[P(A_1) = 0.6 ; P(A_2) = \frac{1}{3}\]
a.
Gọi \(A\) là biến cố “2 sản phẩm đều được sản xuất trong nước”.
\(A = A_1 A_2\)
\(\Rightarrow P(A) = P(A_1 A_2) = P(A_1) \times P(A_2) = 0.6 \times \frac{1}{3} = 0.2\)
b.
Gọi \(B\) là biến cố “1 sản phẩm trong nước và 1 sản phẩm nhập khẩu”.
Ta có các trường hợp sau:
\[\frac{0.4}{1} \times \frac{1}{3} = \frac{2}{15}\]
\[\frac{2}{3} \times 0.6 = 0.4\]
Vậy \(P(B) = \frac{2}{15} + 0.4 = \frac{8}{15} \approx 0.533\)
Hai người, mỗi người cùng bắn một viên đạn vào mục tiêu. Xác suất bắn trúng của người thứ nhất là 0,75 và của người thứ hai là 0,85. Mục tiêu bị tiêu diệt khi bị trúng đạn. Tính xác suất mục tiêu bị tiêu diệt.
Giải:
Gọi - \(A\) là biến cố “mục tiêu bị tiêu diệt”. - \(A_i\) là biến cố “người i bắn trúng mục tiêu”, \(i=1,2\).
Từ \(A\) ta suy ra \(\overline{A}\) : “không có người nào bắn trúng”.
Ta có: \(P(A_1) = 0.75; P(\overline{A_2}) = 0.85\)
Xác suất không người nào bắn trúng:
\(P(\overline{A}) = P(\overline{A_1}) \times P(\overline{A_2}) = 0.15 \times 0.25 = 0.0375\)
\(\Rightarrow P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0.0375 = 0.9625\)
Tỷ lệ người mắc bệnh tim trong một vùng dân cư là 7%, mắc bệnh huyết áp là 15%, mắc cả hai bệnh là 4%. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng. Tính xác suất để người đó:
a. Bị bệnh tim hay bị bệnh huyết áp.
b. Không bị bệnh tim cũng không bị bệnh huyết áp.
c. Không bị bệnh tim hay không bị bệnh huyết áp.
d. Bị bệnh tim nhưng không bị bệnh huyết áp.
e. Không bị bệnh tim nhưng bị bệnh huyết áp.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.07; P(A_2) = 0.15; P(A_1 A_2) = 0.04\]
a.
Gọi \(A\) là biến cố “người đó bị bệnh tim hay huyết áp”.
\(A = A_1 + A_2\)
\(\Rightarrow P(A) = P(A_1 + A_2) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 A_2)= 0.07 + 0.15 - 0.04 = 0.18\)
b.
Gọi \(B\) là biến cố “người đó không bệnh tim cũng không huyết áp”
Vì người này không bị tim cũng không huyết áp thì người này không bị bệnh nào \(\Rightarrow\) biến cố B là biến cố đối của biến cố \(A\).
\(\Rightarrow P(B) = 1 - P(A) = 1 - 0.18 = 0.82\)
c.
Gọi \(C\) là biến cố “không bị tim hay không huyết áp”.
\(C = \overline{A_1} + \overline{A_2}\)
\(\Rightarrow P(C) = P(\overline{A_1}) + P(\overline{A_2}) - P(\overline{A_1} \overline{A_2}) = 0.93 + 0.85 - 0.182 = 0.96\)
d.
Gọi \(D\) là biến cố “bị bệnh tim nhưng không bị huyết áp”.
\(D = A_1 - A_1 A_2\)
\(\Rightarrow P(D) = P(A_1) - P(A_1 A_2)= 0.07 - 0.04 = 0.03\)
e.
Gọi \(E\) là biến cố “không bị tim nhưng bị huyết áp”.
\(E = A_2 - A_1 A_2\)
\(\Rightarrow P(E) = P(A_2) - P(A_1A_2) = 0.15 - 0.04 = 0.11\)
Xác suất để máy thứ nhất sản xuất được sản phẩm loại A là 0,9. Đối với máy thứ hai xác suất là 0,8. Cho mỗi máy sản xuất 1 sản phẩm thì thấy có 1 sản phẩm loại A. Tính xác suất để sản phẩm loại A đó là do máy thứ nhất sản xuất.
Giải:
Gọi
A là biến cố “sản xuất được sản phẩm loại A”.
Ta có:
\[P(A_1) = 0.5; P(A_2) = 0.5\]
\[P(A|A_1) = 0.9; P(A|A_2) = 0.8\]
Dựa vào công thức xác suất đầy đủ ta có:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2) = 0.5 \times 0.9 + 0.5 \times 0.8 = 0.85\)
\(\Rightarrow P(A_1|A) = \frac{P(A_1) \times P(A|A_1)}{P(A)} = \frac{0.5 \times 0.9}{0.85} = 0.529\)
Để đưa sản phẩm ra thị trường. Thì sản phẩm phải qua 3 giai đoạn kiểm tra. Mỗi giai đoạn kiểm tra xác suất để phát hiện ra sản phẩm lỗi lần lượt là: 80%, 90% và 99%. Tính xác suất sản phẩm bị lỗi được đưa ra thị trường?
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.8; P(A_2) = 0.9; P(A_3) = 0.99\]
\(A = \overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3}\)
\(\Rightarrow P(A) = P(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3}) = P(\overline{A_1}) \times P(\overline{A_2}) \times P(\overline{A_3}) = 0.2 \times 0.1 \times 0.01 = 0.0002\)
Một phân xưởng có 4 máy đóng gói, nhân viên kỹ thuật cho biết xác suất bị hỏng trong một tháng của từng máy tương ứng là 0,1; 0,15; 0,25 và 0,3. Tính xác suất để trong một tháng:
a. Có duy nhất một máy bị hỏng.
b. Tính xác suất có một máy bị hỏng và máy đó không phải là máy số 3.
Giải:
Gọi \(A_i\) là biến cố “máy thứ i bị hỏng”, \(i=1,2,3,4\)
Ta có: \(P(A_1) = 0.1; P(A_2) = 0.15; P(A_3) = 0.25 \text{ và } P(A_4) = 0.3\)
a.
Gọi \(A\) là biến cố “có đúng nhất một máy bị hỏng”.
\(A = A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} \overline{A_4} + \overline{A_1} A_2 \overline{A_3} \overline{A_4} + \overline{A_1} \overline{A_2} A_3 \overline{A_4} + \overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3} A_4\)
\[\begin{align*} \Rightarrow P(A) &= P(A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} \overline{A_4}) + P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3} \overline{A_4}) + P(\overline{A_1} \overline{A_2} A_3 \overline{A_4}) + P(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3} A_4) \\ &= [P(A_1)P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})P(\overline{A_4})] + [P(\overline{A_1})P(A_2)P(\overline{A_3})P(\overline{A_4})] + [P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(A_3)P(\overline{A_4})] + [P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})P(A_4)] \\ &= [0.1 \times 0.85 \times 0.75 \times 0.7] + [0.9 \times 0.15 \times 0.75 \times 0.7] + [0.9 \times 0.85 \times 0.25 \times 0.7] + [0.9 \times 0.85 \times 0.75 \times 0.3] \\ &= 0.4215. \end{align*}\]
b.
Gọi \(B\) là biến cố “máy bị hỏng và đó không phải là máy 3”
\(B = A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} \overline{A_4} + \overline{A_1} A_2 \overline{A_3} \overline{A_4} + \overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3} A_4\)
\[\begin{align*} \Rightarrow P(B) &= P(A_1 \overline{A_2} \overline{A_3} \overline{A_4}) + P(\overline{A_1} A_2 \overline{A_3} \overline{A_4}) + P(\overline{A_1} \overline{A_2} \overline{A_3} A_4) \\ &= [P(A_1)P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})P(\overline{A_4})] + [P(\overline{A_1})P(A_2)P(\overline{A_3})P(\overline{A_4})] + [P(\overline{A_1})P(\overline{A_2})P(\overline{A_3})P(A_4)] \\ &= [0.1 \times 0.85 \times 0.75 \times 0.7] + [0.9 \times 0.15 \times 0.75 \times 0.7] + [0.9 \times 0.85 \times 0.75 \times 0.3] \\ &= 0.287625. \end{align*}\]
Trong một khu dân cư, có 15% nam giới và 12% nữ giới mắc bệnh về tai. Giả sử rằng, tỉ lệ nam nữ trong khu dân cư này là bằng nhau. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một người dân trong khu vực này thì người này bị mắc bệnh về tai.
Giải:
Gọi
Dựa vào đề ta có:
\[P(A_1) = 0.5; P(A_2) = 0.5\]
\[P(A|A_1) = 0.15; P(A|A_2) = 0.12\]
Áp dụng công thức ta có:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2) = 0.5 \times 0.15 + 0.5 \times 0.12 = 0.135\)
Một thùng đựng 2 loại thuốc: Số lượng thuốc loại A bằng 2/3 số lượng thuốc loại B. Tỷ lệ thuốc loại A và loại B hết hạn sử dụng lần lượt là 15% và 20%. Từ thùng lấy ngẫu nhiên một lọ thuốc.
a. Tính xác suất lọ thuốc được lấy ra đã hết hạn sử dụng.
b. Giả sử lấy được lọ thuốc hết hạn sử dụng. Tính xác suất lọ này là thuốc loại A.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A) = \frac{2}{5}; P(B) = \frac{3}{5}\]
\[P(C|A) = 0.15; P(C|B) = 0.2\]
a.
Áp dụng công thức, ta có:
\(P(C) = P(A) \times P(C|A) + P(B) \times P(C|B)= \frac{2}{5} \times 0.15 + \frac{3}{5} \times 0.2 = 0.18\)
b.
\(P(A|C) = \frac{P(A) \times P(C|A)}{P(C)} = \frac{\frac{2}{5} \times 0.15}{0.18} = \frac{1}{3} \approx 0.333\)
Một nhà máy sản xuất có 3 phân xưởng I, II và III cùng sản xuất sản phẩm A với tỷ trọng như sau: xưởng I chiếm 30%, xưởng II chiếm 50% và xưởng III chiếm 20% công xuất của nhà máy. Với tỷ lệ phế phẩm tương ứng là: 8%, 9% và 10%.
a. Tìm tỷ lệ phế phẩm của nhà máy?
b. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm để kiểm tra thì được phế phẩm. tính xác suất để sản phảm này do phân xưởng I, phân xưởng II, phẩn xưởng III sản xuất?
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.3; P(A_2) = 0.5; P(A_3) = 0.2\]
a.
\[P(A|A_1) = 0.08; P(A|A_2) = 0.09; P(A|A_3) = 0.1\]
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2) + P(A_3) \times P(A|A_3)= 0.3 \times 0.08 + 0.5 \times 0.09 + 0.2 \times 0.1 = 0.089\)
b.
\(P(A_1|A) = \frac{P(A_1) \times P(A|A_1)}{P(A)} = \frac{0.3 \times 0.08}{0.089} \approx 0.26966\)
\(P(A_2|A) = \frac{P(A_2) \times P(A|A_2)}{P(A)} = \frac{0.5 \times 0.09}{0.089} \approx 0.50562\)
\(P(A_3|A) = \frac{P(A_3) \times P(A|A_3)}{P(A)} = \frac{0.2 \times 0.1}{0.089} \approx 0.22472\)
Khảo sát dân cư trong một vùng người ta nhận thấy tỉ lệ bệnh bạch tạng đối với nam giới là 1,6 % và đối với nữ giới là 2,36%. Giả sử tỉ lệ nam / nữ trong vùng này là 125/100 Tính tỉ lệ người dân bị bệnh bạch tạng trong vùng này?
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = \frac{125}{125 + 100} = \frac{5}{9}; P(A_2) = \frac{100}{100 + 125} = \frac{4}{9}\]
\[P(A|A_1) = 0.016; P(A|A_2) = 0.0236\]
Tỷ lệ người dân bị bệnh bạch tạng là:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2) = \frac{5}{9} \times 0.016 + \frac{4}{9} \times 0.0236 = 0.01937\)
Hai nhà máy cùng sản xuất một loại bóng đèn. Năng suất nhà máy hai gấp 3 lần nhà máy một. Tỷ lệ hỏng của nhà máy một và hai lần lượt là 0,1% và 0,2%. Mua một bóng đèn, giả sử bóng đèn bán trên thị trường chỉ do hai nhà máy này sản xuất.
a. Tính xác suất để bóng đèn đó hỏng.
b. Giả sử mua một bóng đèn và thấy nó hỏng. Theo bạn thì bóng đèn đó do nhà máy nào sản xuất.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = \frac{1}{4}; P(A_2) = \frac{3}{4}\]
\[P(A|A_1) = 0.001; P(A|A_2) = 0.002\]
a.
Xác suất bóng đèn đó hỏng là:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2)=\frac{1}{4} \times 0.001 + \frac{3}{4} \times 0.002= 0.00175\)
b.
\[P(A_1|A) = \frac{P(A_1) \times P(A|A_1)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{4} \times 0.001}{0.00175} \approx 0.1428\]
\[P(A_2|A) = \frac{P(A_2) \times P(A|A_2)}{P(A)} = \frac{\frac{3}{4} \times 0.002}{0.00175} \approx 0.857\]
Do \(P(A_2|A) > P(A_1|A) \Rightarrow\) do nhà máy 2 sản xuất.
Có 8 thùng hàng loại A, mỗi thùng có 7 sản phẩm tốt và 3 sản phẩm không tốt và 14 thùng hàng loại B mỗi thùng có 5 sản phẩm tốt và 5 sản phẩm không tốt. Lấy ngẫu nhiên 1 thùng rồi từ đó lấy 3 sản phẩm. Gọi X là số sản phẩm tốt trong 3 sản phẩm được chọn lập bảng phân phối xác suất cho X, tính kỳ vọng, phương sai.
Giải:
Gọi
\(\Rightarrow P(A) = \frac{8}{8+14} = \frac{8}{22} = \frac{4}{11}; P(B) = \frac{14}{8+14} = \frac{14}{22} = \frac{7}{11}\)
Gọi \(X\) là số sản phẩm tốt lấy được.
Đối với thùng A:
\(P(X=0|A) = \frac{C_3^3 \times C_7^0}{C_{10}^3} = \frac{1}{120} \approx 0.0083\)
\(P(X=1|A) = \frac{C_2^2 \times C_8^1}{C_{10}^3} = 0.175\)
\(P(X=2|A) = \frac{C_7^2 \times C_3^1}{C_{10}^3} = 0.525\)
\(P(X=3|A) = \frac{C_7^3 \times C_3^0}{C_{10}^3} = \frac{7}{24} \approx 0.292\)
Đối với thùng B:
\(P(X=0|B) = \frac{C_5^0 \times C_5^3}{C_{10}^3} = \frac{1}{12} \approx 0.083\)
\(P(X=1|B) = \frac{C_5^1 \times C_5^2}{C_{10}^3} = \frac{5}{12} \approx 0.416\)
\(P(X=2|B) = \frac{C_5^2 \times C_5^1}{C_{10}^3} = \frac{5}{12} \approx 0.416\)
\(P(X = 3|B) = \frac{C_5^3 \times C_5^0}{C_{10}^3} = \frac{1}{12} \approx 0.083\)
Vậy các xác suất tương ứng cho \(X\) là:
Ta có bảng phân phối xác suất như sau:
## x p
## 1 0 0.0558
## 2 1 0.3280
## 3 2 0.4560
## 4 3 0.1590\(E(X) = \sum_{i=1}^{n} p_i \times x_i = 0 \times 0.0558 + 1 \times 0.3284 + 2 \times 0.4556 + 3 \times 0.159 = 1.7166\)
\(Var(X) = \sum_{i=1}^{n} [x_i - E(X)]^2 \times p_i = E(X^2) - [E(X)]^2 =(0^2 \times 0.0558 + 1^2 \times 0.3284 + 2^2 \times 0.4556 + 3^2 \times 0.159) - 1.7166^2 = 0.635\)
Một hãng sản xuất tủ lạnh ước tính khoảng 80% số người dùng tủ lạnh có đọc quảng cáo về tủ lạnh do hãng ấy sản xuất. Trong số những người đọc quảng cáo, có 30% mua loại tủ lạnh X; 10% không đọc quảng cáo cũng mua loại tủ lạnh X. Tính xác suất để một người tiêu dùng đã mua loại tủ lạnh X mà có đọc quảng cáo.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A|A_1) = 0.3; P(A|A_2) = 0.1\]
\[P(A_1) = 0.8; P(A_2) = 0.2\]
Xác suất để người dùng mua tủ lạnh:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2)= 0.8 \times 0.3 + 0.2 \times 0.1 = 0.26\)
Xác suất người tiêu dùng mua tủ lạnh mà có đọc quảng cáo:
\(P(A_1|A) = \frac{P(A_1) \times P(A|A_1)}{P(A)} = \frac{0.8 \times 0.3}{0.26} \approx 0.923\)
Một công ty có 3 ca làm việc, trong đó có 1000 công nhân làm việc ca sáng, 500 công nhân làm việc ca chiều, 300 công nhân làm việc ca tối. Xác suất một công nhân vắng mặt trong các ca làm việc sáng, chiều, tối tương ứng là 0,02; 0,05; 0,07. Tính tỉ lệ vắng của công ty.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = \frac{5}{9}; P(A_2) = \frac{5}{18}; P(A_3) = \frac{1}{6}\]
\[P(A|A_1) = 0.02; P(A|A_2) = 0.05; P(A|A_3) = 0.07\]
Vậy tỷ lệ vắng mặt của công nhân là:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2) + P(A_3) \times P(A|A_3)= \frac{5}{9} \times 0.02 + \frac{5}{18} \times 0.05 + \frac{1}{6} \times 0.07 = 0.0367\)
Một nhà máy sản xuất 2 loại đĩa từ, trong đó 25% là đĩa Backup ( dùng để lưu trữ) và 75% là đĩa Main storage (dùng để truy xuất dữ liệu). Xác suất để tuổi thọ 2 loại đĩa này lớn hơn 5 năm lần lượt là 0,98 và 0,99.
a. Chọn ngẫu nhiên một cái đĩa do nhà máy này sản xuất để kiểm tra, tính xác suất để cái đĩa này có tuổi thọ lớn hơn 5 năm.
b. Giả sử chọn được cái đĩa có tuổi thọ lớn hơn 5 năm, tính xác suất cái đĩa này là đĩa Backup.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.25; P(A_2) = 0.75\]
\[P(A|A_1) = 0.98; P(A|A_2) = 0.99\]
a.
Xác suất đĩa được sản xuất có tuổi thọ trên 5 năm
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2) = 0.25 \times 0.98 + 0.75 \times 0.99 = 0.9875\)
b.
Xác suất đĩa có tuổi thọ trên 5 năm và là đĩa Backup
\(P(A_1|A) = \frac{P(A_1) \times P(A|A_1)}{P(A)} = \frac{0.25 \times 0.98}{0.9875} \approx 0.2481\)
Tần suất bạch tạng là 0,6 % với nam và 0,36% với nữ. Trong một khu dân cư có số người nam = 1/2 số người nữ.
a. Tính tỉ lệ người bị bạch tạng trong khu dân cư này.
b. Giả sử trong một mẫu xét nghiệm từ một người trong khu dân cư này phát hiện người này bị bạch tạng tính xác suất người này là nam.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A|A_1) = 0.006; P(A|A_2) = 0.0036\]
\[ P(A_1) = \frac{1}{3}; P(A_2) = \frac{2}{3}\]
a.
Xác suất người bị bạch tạng:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2)= \frac{1}{3} \times 0.006 + \frac{2}{3} \times 0.0036= 0.0044\)
b.
Xác suất người bị bạch tạng và là nam
\(P(A_1|A) = \frac{P(A_1) \times P(A|A_1)}{P(A)} = \frac{\frac{1}{3} \times 0.006}{0.0044} = \frac{5}{11} \approx 0.4545\)
Một nhóm xạ thủ tập bắn. Nhóm thứ I có 5 người, nhóm thứ 2 có 8 người, nhóm thứ 3 có 9 người và nhóm thứ 4 có 11 người. xác suất để mỗi người trong mỗi nhóm bắn trúng tương ứng là: 0,6; 0,7; 0,8 và 0,9. Chọn ngẫu nhiên một xạ thủ và biết người này bắn trật. Hãy xác định xem xạ thủ này có khả năng ở nhóm nào là cao nhất?
Giải:
Gọi
Ta có xác suất như sau:
\[P(A_1) = \frac{5}{5+8+9+11} = \frac{5}{33}; P(A_2) = \frac{8}{5+8+9+11} = \frac{8}{33}\]
\[P(A_3) = \frac{9}{5+8+9+11} = \frac{3}{11}; P(A_4) = \frac{11}{5+8+9+11} = \frac{1}{3}\]
\[P(A|A_1) = 0.6; P(A|A_2) = 0.7; P(A|A_3) = 0.8\]
Xác suất bắn trật là:
\(P(\overline{A}) = P(A_1) \times P(\overline{A}|A_1) + P(A_2) \times P(\overline{A}|A_2) + P(A_3) \times P(\overline{A}|A_3) + P(A_4) \times P(\overline{A}|A_4)= \frac{5}{33} \times 0.4 + \frac{8}{33} \times 0.3 + \frac{3}{11} \times 0.2 + \frac{1}{3} \times 0.1= \frac{73}{330} \approx 0.2212\)
Xác suất bắn trật và xạ thủ thuộc nhóm 1:
\(P(A_1|\overline{A}) = \frac{P(A_1) \times P(\overline{A}|A_1)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{5}{33} \times 0.4}{0.2212} \approx 0.27399\)
Xác suất bắn trật và xạ thủ thuộc nhóm 2:
\(P(A_2|\overline{A}) = \frac{P(A_2) \times P(\overline{A}|A_2)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{8}{33} \times 0.3}{0.2212} \approx 0.3288\)
Xác suất bắn trật và xạ thủ thuộc nhóm 3:
\(P(A_3|\overline{A}) = \frac{P(A_3) \times P(\overline{A}|A_3)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{3}{11} \times 0.2}{0.2212} \approx 0.2466\)
Xác suất bắn trật và xạ thủ thuộc nhóm 4:
\(P(A_4|\overline{A}) = \frac{P(A_4) \times P(\overline{A}|A_4)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{1}{3} \times 0.1}{0.2212} \approx 0.1507\)
Ta thấy \(P(A_2|\overline{A})\) là lớn nhất vậy khả năng cao người này thuộc nhóm 2.
Ba nhà máy A, B, C cùng sản xuất một loại sản phẩm X. Tỷ lệ chính phẩm của các nhà máy A, B và C lần lượt là 0,97; 0,98 và 0,95. Giả sử sản phẩm X bày bán ở một siêu thị chỉ do ba nhà máy A, B và C này cung cấp với tỷ lệ lần lượt là 30%; 45% và 25%. Mua một sản phẩm X ở siêu thị.
a. Tính xác suất để sản phẩm đó là chính phẩm.
b. Giả sử mua một sản phẩm X ở siêu thị và thấy sản phẩm đó là chính phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó do nhà máy A sản xuất.
Giải:
Gọi
Ta có các xác suất:
\[P(A) = 0.3; P(B) = 0.45; P(C) = 0.25\]
\[P(D|A) = 0.97; P(D|B) = 0.98; P(D|C) = 0.95\]
a.
Xác suất sản phẩm đó là chính phẩm:
\(P(D) = P(A) \times P(D|A) + P(B) \times P(D|B) + P(C) \times P(D|C)= 0.3 \times 0.97 + 0.45 \times 0.98 + 0.25 \times 0.95 = 0.9695\)
b.
Xác suất mua được sản phẩm X là chính phẩm do nhà máy A sản xuất:
\(P(A|D) = \frac{P(A) \times P(D|A)}{P(D)} = \frac{0.3 \times 0.97}{0.9695} \approx 0.3002\)
Một hộp gồm 10 chi tiết trong đó có 7 chi tiết loại I và 3 chi tiết loại II. Xác suất để một chi tiết loại I sau 1 năm sử dụng không bị hỏng là 0,9; xác suất để một chi tiết loại II sau một năm sử dụng không bị hỏng là 0,8. Người ta lấy ngẫu nhiên một sản phẩm ra để sử dụng.
a. Tính xác suất để sau một năm sử dụng, chi tiết đó không bị hỏng.
b. Biết rằng sau một năm sử dụng chi tiết này bị hỏng. Tính xác suất chi tiết này là loại II.
Giải:
Gọi
Ta có các xác suất:
\[P(A_1) = \frac{7}{10}; P(A_2) = \frac{3}{10}\]
\[P(A|A_1) = 0.9; P(A|A_2) = 0.8\]
a.
Xác suất sau 1 năm sử dụng, chi tiết không bị hỏng:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2)= \frac{7}{10} \times 0.9 + \frac{3}{10} \times 0.8 = 0.87\)
b.
Xác suất sau 1 năm sử dụng, chi tiết bị hỏng và là loại 2:
\(P(A_2|\overline{A}) = \frac{P(A_2) \times P(\overline{A}|A_2)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{3}{10} \times 0.2}{(1-0.87)} \approx 0.4615\)
Cam bán ở thị trường Việt Nam có 3 loại: Cam Việt Nam, cam Thái Lan và cam Trung Quốc. Trong đó: cam Việt Nam chiếm tỉ lệ 65%; cam Thái Lan chiếm tỉ lệ 15% và cam Trung Quốc chiếm tỉ lệ 20%. Một thống kê cho biết tỉ lệ cam ViệtNamhưlà7%;tỉlệcamTháiLanhưlà4% và tỉ lệ cam Trung Quốc hư là 15%. Người mua vào thị trường và chọn ngẫu nhiên 1 trái cam.
a. Tính xác suất để người đó mua phải một trái cam hư.
b. Giả sử một người đã mua phải một trái cam hư. Tính xác suất để nó là cam Trung Quốc.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.65; P(A_2) = 0.15; P(A_3) = 0.2\]
\[P(A|A_1) = 0.07; P(A|A_2) = 0.04; P(A|A_3) = 0.15\]
a.
Xác suất người mua phải cam hư:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2) + P(A_3) \times P(A|A_3)= 0.65 \times 0.07 + 0.15 \times 0.04 + 0.2 \times 0.15 = 0.0815\)
b..
Xác suất cam mua hư là cam Trung Quốc:
\(P(A_3|A) = \frac{P(A_3) \times P(A|A_3)}{P(A)} = \frac{0.2 \times 0.15}{0.0815} \approx 0.368\)
60% số người mới học lái xe có giấy phép lái xe. Biết rằng trong năm đầu tiên lái xe, xác suất người không có bằng lái gây tai nạn là 8% và xác suất người có bằng lái xe gây tai nạn là 5%. Nếu một người mới lái xe không gây tai nạn trong năm đầu tiên, xác suất người này có bằng giấy phép lái xe là bao nhiêu?
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.6; P(A_2) = 0.4\]
\[P(A|A_1) = 0.05; P(A|A_2) = 0.08\]
Xác suất gây ra tai nạn là:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2)= 0.6 \times 0.05 + 0.4 \times 0.08 = 0.062\)
\(\Rightarrow\) Xác suất không gây tai nạn là \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.062 = 0.938\)
Xác suất người mới lái xe không gây tai nạn trong năm đầu tiên và người đó có giấy phép:
\(P(A_1|\overline{A}) = \frac{P(A_1) \times P(\overline{A}|A_1)}{P(\overline{A})} = \frac{0.6 \times 0.95}{0.938} \approx 0.6077\)
Một lô hàng gồm 80 sản phẩm tốt và 20 sản phẩm xấu được vận chuyển về kho và trong quá trình vận chuyển đã có 1 sản phẩm (không rõ chất lượng) bị mất. Khi lô hàng về đến kho, chọn ngẫu nhiên một sản phẩm.
a. Tính xác suất để sản phẩm này là sản phẩm tốt?
b. Biết rằng sản phẩm được chọn là sản phẩm tốt, tính xác suất để sản phẩm bị mất là sản phẩm xấu.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A) = 0.8; P(B) = 0.2\]
a.
Gọi D là biến cố “chọn được sản phẩm tốt”
Trường hợp 1: Sản phẩm bị mất là sản phẩm tốt
Nếu sản phẩm tốt bị mất thì số sản phẩm tốt còn lại chỉ có 79 sản phẩm. Và tổng số sản phẩm là 99.
\[\frac{79}{99}\]
Trường hợp 2: Sản phẩm bị mất là sản phẩm xấu
Nếu sản phẩm bị mất là sản phẩm xấu thì còn lại vẫn có 80 sản phẩm tốt và tất cả có 99 sản phẩm
\[\frac{80}{99}\]
Vậy xác suất để sản phẩm là tốt là:
\(P(D) = P(A|\overline{C}) = \frac{79}{99} \times 0.8 + \frac{80}{99} \times 0.2 = 0.8\)
b.
Xác suất sản phẩm chọn được là tốt và sản phẩm bị mất là xấu:
\(P(C|A) = \frac{\frac{80}{99} \times 0.2}{0.8} = 0.2025\)
Có hai kho hàng, kho thứ nhất có 4 thùng hàng loại A, 6 thùng hàng loại B, kho thứ hai có 3 thùng hàng loại A, 7 thùng hàng loại B. Vào ngẫu nhiên một kho rồi lấy một thùng hàng bất kỳ. Tính xác suất lấy được thùng hàng loại A?
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.5; P(A_2) = 0.5\]
\[P(A|A_1) = 0.4; P(A|A_2) = 0.3\]
Xác suất lấy được thùng hàng loại A:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2)= 0.5 \times 0.4 + 0.5 \times 0.3= 0.35\)
Một lô hạt giống được phân thành 3 loại : loại 1 chiếm 2/3, loại 2 chiếm 1/4, còn lại là loại 3. Tỉ lệ nảy mầm của các loại 1, 2, 3 lần lượt là 80%; 60%; 50%.
a. Tính tỉ lệ nảy mầm của cả lô hạt giống.
b. Nếu chọn 1 hạt để thí nghiệm và thấy rằng hạt đó không nảy mầm, theo bạn khả năng hạt giống đó thuộc loại nào là cao nhất?
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = \frac{2}{3}; P(A_2) = \frac{1}{4}; P(A_3) = \frac{1}{12}\]
\[P(A|A_1) = 0.8; P(A|A_2) = 0.6; P(A|A_3) = 0.5\]
a.
Tỉ lệ nảy mầm của cả lô hạt giống:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2) + P(A_3) \times P(A|A_3)= \frac{2}{3} \times 0.8 + \frac{1}{4} \times 0.6 + \frac{1}{12} \times 0.5= 0.725\)
b.
Xác suất hạt không nảy mầm: \(P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 0.275\)
Xác suất hạt không nảy mầm là loại 1:
\[P(A_1|\overline{A}) = \frac{P(A_1) \times P(\overline{A}|A_1)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{2}{3} \times 0.2}{0.275} \approx 0.4848\]
Xác suất hạt không nảy mầm là loại 2:
\[P(A_2|\overline{A}) = \frac{P(A_2) \times P(\overline{A}|A_2)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{1}{4} \times 0.4}{0.275} \approx 0.3636\]
Xác suất hạt không nảy mầm là loại 3:
\[P(A_3|\overline{A}) = \frac{P(A_3) \times P(\overline{A}|A_3)}{P(\overline{A})} = \frac{\frac{1}{12} \times 0.5}{0.275} \approx 0.1515\]
Ta thấy \(P(A_1|\overline{A})\) lớn cao nhất \(\Rightarrow\) khả năng hạt không nảy mầm cao nhất là hạt thuộc loại 1.
Khi làm xét nghiệm cho bệnh A, xác suất cho kết quả dương tính đối với người mắc bệnh 80% và cho kết quả dương tính đối với người không mắc bệnh là 15%. Giả sử rằng, tỉ lệ người dân mắc bệnh này là 5%. Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một mẫu xét nghiệm thì có kết quả xét nghiệm dương tính.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.05; P(A_2) = 0.95\]
\[P(A|A_1) = 0.8; P(A|A_2) = 0.15\]
Xác suất để khi chọn một mẫu xét nghiệm thì có kết quả dương tính:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2)= 0.05 \times 0.8 + 0.95 \times 0.15= 0.1825\)
Tỷ lệ phế phẩm của dây chuyền sản xuất là 5%. Cuối dây chuyền đặt một thiết bị kiểm tra chất lượng có độ chính xác 90% đối với chính phẩm, 99% đối với phế phẩm để loại bỏ phế phẩm trước khi đóng bao bì.
a. Tìm tỷ lệ phế phẩm sau khi đã qua kiểm tra.
b. Tìm tỷ lệ chính phẩm bị loại nhầm.
c. Tìm tỷ lệ sai sót của thiết bị kiểm tra. Có cần thay thiết bị kiểm tra tốt hơn không nếu muốn giảm tổn thất xuống 0,005%.
Giải:
Gọi
Ta có:
\[P(A_1) = 0.05; P(A_2) = 0.95\]
\[P(A|A_1) = 0.99; P(A|A_2) = 0.1\]
a.
Tỷ lệ phế phẩm sau khi qua kiểm tra:
\(P(A) = P(A_1) \times P(A|A_1) + P(A_2) \times P(A|A_2)= 0.05 \times 0.99 + 0.95 \times 0.1=0.1445\)
b.
Gọi B là biến cố “chính phẩm bị loại nhầm”
Tỷ lệ để chính phẩm bị loại nhầm là xác suất 1 sản phẩm chính phẩm bị loại
\(P(B) = 0.1 \times 0.95 = 0.095\)
c.
Gọi C là biến cố “tỷ lệ sai sót của thiết bị kiểm tra”
Tỷ lệ sai sót là xác suất của việc kiểm tra chính phẩm thành phế phẩm và ngược lại
\(P(C) = 0.01 \times 0.05 + 0.1 \times 0.95 = 0.0955\)
Tổn thất hiện tại: \(0.1445 + 0.0955 = 0.2395\)
\(\Rightarrow\) Cần cải thiện để giảm xuống tổn thất.
Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp trường đại học A được xếp loại Giỏi, Khá, Trung bình khá và Trung bình lần lượt là 5%, 15%, 50% và trung bình là 30% . Xác suất có việc làm sau khi tốt nghiệp đối với sinh viên Giỏi là 95%, đối sinh viên Khá là 80%, đối với sinh viên Trung bình khá là 60% và đối với sinh viên Trung bình là 45%.
a. Tính tỉ lệ sinh viên có việc làm sau khi tốt nghiệp trường đại học A.
b. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp và biết được rằng người này đã có việc làm. Tính xác suất sinh viên đó tốt nghiệp loại giỏi.
Giải:
Gọi:
Ta có:
\[P(A_1) = 0.05; P(A_2) = 0.15; P(A_3) = 0.5; P(A_4) = 0.3\]
\[P(B|A_1) = 0.95; P(B|A_2) = 0.8; P(B|A_3) = 0.6; P(B|A_4) = 0.45\]
a.
Tỷ lệ sinh viên có việc làm sau khi tốt nghiệp:
\(P(B) = P(A_1) \times P(B|A_1) + P(A_2) \times P(B|A_2) + P(A_3) \times P(B|A_3) + P(A_4) \times P(B|A_4)= 0.05 \times 0.95 + 0.15 \times 0.8 + 0.5 \times 0.6 + 0.3 \times 0.45= 0.6025\)
b.
Xác suất sinh viên tốt nghiệp loại giỏi có việc làm:
\(P(A_1|B) = \frac{P(A_1) \times P(B|A_1)}{P(B)} = \frac{0.05 \times 0.95}{0.6025} \approx 0.0788\)