1.1 Definisi:

Pengujian hipotesis adalah prosedur statistik untuk mengevaluasi klaim (hipotesis) tentang parameter populasi menggunakan data sampel. Dua jenis hipotesis utama adalah:

• Hipotesis Nol \((H_0)\): Pernyataan awal yang mengasumsikan tidak ada perubahan, perbedaan, atau pengaruh dalam populasi.
  
• Hipotesis Alternatif \((H_a)\): Pernyataan yang menyatakan adanya perubahan, perbedaan, atau pengaruh dalam populasi.

1.2 Format Hipotesis:

Pengujian hipotesis dapat dilakukan dengan dua pendekatan utama:

1. Satu Arah (One-Tailed):
   Pengujian hipotesis ini fokus pada satu arah tertentu.

   • Contoh 1 (uji kanan):

     \[H_0: \mu \leq k \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu > k\]

Pengujian untuk menentukan apakah rata-rata skor ujian lebih besar dari 70.

\[ H_0: \mu \leq 70 \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu > 70 \]

• Contoh 2 (uji kiri):

  \[H_0: \mu \geq k \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu < k\]

Pengujian untuk mengetahui apakah rata-rata suhu ruangan lebih rendah dari 25°C.

\[ H_0: \mu \geq 25 \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu < 25 \]

2. Dua Arah (Two-Tailed):
   Pengujian hipotesis ini mempertimbangkan perubahan di kedua arah.

   • Contoh:

     \[H_0: \mu = k \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu \neq k\]

Pengujian untuk menentukan apakah rata-rata tinggi badan siswa tidak sama dengan 170 cm.

\[ H_0: \mu = 170 \quad \text{vs.} \quad H_a: \mu \neq 170 \]

1.3 Contoh kasus:

Sebuah perusahaan ingin mengetahui apakah rata-rata waktu kerja karyawan per minggu lebih dari 40 jam.

1. Merumuskan Hipotesis:

   \[H_0: \mu \leq 40 \quad \text{(rata-rata waktu kerja tidak lebih dari 40 jam)}\]

   \[H_a: \mu > 40 \quad \text{(rata-rata waktu kerja lebih dari 40 jam)}\]

2. Menentukan Tingkat Signifikansi \((\alpha)\):
   Pilih \(\alpha = 0.05\) sebagai tingkat signifikansi.

3. Mengumpulkan Data dan Menghitung Statistik Uji:

   • Sampel: 30 karyawan
     

   • Rata-rata sampel \((\bar{x}) = 42\)
     

   • Simpangan baku \((s) = 4\)
     

   • Statistik uji:

     \[t = \frac{\bar{x} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} = \frac{42 - 40}{\frac{4}{\sqrt{30}}} = 2.738\]

4. Membandingkan dengan Nilai Kritis atau Nilai-p:

   • Derajat kebebasan \((df) = n - 1 = 29\)
     
   • Nilai kritis \(t_{critical}\) untuk \(\alpha = 0.05\) (uji satu arah) adalah \(1.699\).
     
   • Karena \(t = 2.738 > t_{critical} = 1.699\), maka \(H_0\) ditolak.

Pada tingkat signifikansi 5%, terdapat bukti yang cukup untuk menyatakan rata-rata waktu kerja karyawan lebih dari 40 jam.

• Pendekatan pengujian satu arah digunakan jika memiliki dugaan spesifik mengenai arah perubahan.
  
• Pendekatan dua arah digunakan jika kita hanya ingin mengetahui adanya perbedaan tanpa memperhatikan arahnya.
  
• Merumuskan hipotesis dengan tepat sangat penting agar hasil analisis valid dan relevan.

2.1 Definisi:

Dalam pengujian hipotesis, dua jenis kesalahan dapat terjadi:
1. Kesalahan Tipe I (\(\alpha\)): Kesalahan ini terjadi ketika kita menolak \(H_0\) padahal \(H_0\) benar.
- Contoh: Menganggap obat baru efektif (menolak \(H_0\)) padahal sebenarnya tidak ada perbedaan efek dengan plasebo (\(H_0\) benar).
- Tingkat kesalahan ini diukur oleh tingkat signifikansi \(\alpha\) (biasanya 5% atau 0.05).

2. Kesalahan Tipe II (\(\beta\)): Kesalahan ini terjadi ketika kita gagal menolak \(H_0\) padahal \(H_a\) benar.
   

• Contoh: Menganggap obat baru tidak efektif (menerima \(H_0\)) padahal sebenarnya obat tersebut efektif (\(H_a\) benar).
  
• Peluang menghindari kesalahan Tipe II adalah kekuatan uji \((1 - \beta)\), yang dipengaruhi oleh ukuran sampel dan efek sebenarnya.

2.2 Tabel Keputusan:

2.3 Contoh Kasus:

Sebuah perusahaan ingin menguji apakah mesin baru lebih efisien dibandingkan mesin lama.

• Hipotesis Nol (\(H_0\)): Mesin baru sama efisien atau kurang efisien dibandingkan mesin lama.

• Hipotesis Alternatif (\(H_a\)): Mesin baru lebih efisien dibandingkan mesin lama.

Kemungkinan kesalahan:

1. Kesalahan Tipe I (\(\alpha\)): Mesin baru dianggap lebih efisien (menolak \(H_0\)) padahal sebenarnya tidak. Dampak: Perusahaan mengganti semua mesin, tetapi tidak ada keuntungan efisiensi.

2. Kesalahan Tipe II (\(\beta\)): Mesin baru dianggap tidak lebih efisien (menerima \(H_0\)) padahal sebenarnya lebih efisien. Dampak: Perusahaan kehilangan peluang untuk meningkatkan efisiensi.

3.1 Nilai-\(p\) (Probabilitas):

Nilai-\(p\) adalah probabilitas mendapatkan hasil uji yang sama ekstremnya atau lebih ekstrem dari data sampel, dengan asumsi \(H_0\) benar.
- Semakin kecil nilai-\(p\), semakin besar bukti terhadap \(H_a\).
- Nilai ini digunakan untuk memutuskan apakah data cukup kuat untuk menolak \(H_0\).

3.2 Tingkat Signifikansi (\(\alpha\)):**

Tingkat signifikansi adalah batas probabilitas yang telah ditentukan untuk memutuskan apakah \(H_0\) ditolak atau tidak.
- Nilai umum: \(\alpha = 0.05\) (5%).
- Jika \(\alpha\) lebih kecil (misalnya 0.01), maka syarat untuk menolak \(H_0\) menjadi lebih ketat, mengurangi peluang kesalahan Tipe I.

3.3 Aturan Keputusan:

• Jika \(p < \alpha\): Tolak \(H_0\) (bukti cukup mendukung \(H_a\)).
  
• Jika \(p \geq \alpha\): Gagal menolak \(H_0\) (tidak cukup bukti untuk mendukung \(H_a\)).

3.4 Contoh Kasus:

Sebuah universitas ingin menguji apakah program pelatihan baru meningkatkan nilai rata-rata mahasiswa.

1. Hipotesis: \[ H_0: \mu \leq 75 \quad \text{(rata-rata nilai tidak meningkat)} \]

   \[ H_a: \mu > 75 \quad \text{(rata-rata nilai meningkat)} \]

2. Tingkat Signifikansi: Pilih \(\alpha = 0.05\).

3. Hasil Uji:

   • Nilai-\(p\) yang diperoleh dari analisis adalah 0.03.

4. Keputusan: Karena \(p = 0.03 < \alpha = 0.05\), maka kita menolak \(H_0\) dan menyimpulkan bahwa program pelatihan baru meningkatkan rata-rata nilai mahasiswa.

5. Kemungkinan Kesalahan:

   • Jika \(H_0\) benar, maka kita telah membuat kesalahan Tipe I (kesimpulan salah bahwa pelatihan efektif).
     
   • Jika \(H_a\) benar, maka keputusan kita benar.

4.1 Uji Z

Uji Z adalah uji statistik yang digunakan untuk menguji perbandingan rata-rata antara sampel dan populasi ketika varians atau deviasi standar populasi diketahui atau ukuran sampel cukup besar (biasanya n > 30). Uji ini sering digunakan untuk uji dua sisi, di mana tujuannya adalah untuk menguji apakah suatu sampel berasal dari populasi dengan rata-rata tertentu.

4.2 Contoh Uji Z pada Rata-Rata Berat Badan

Seorang ahli gizi ingin mengetahui apakah rata-rata berat badan populasi di suatu wilayah berbeda dari 65 kg. Dari sampel berukuran \(( n = 50 )\), diperoleh rata-rata berat badan \(( X )\) sebesar 63.5 kg, dengan deviasi standar populasi \(( \sigma )\) diketahui sebesar 8 kg.

5.1 Definisi

Uji t adalah metode statistik yang digunakan untuk membandingkan rata-rata dua kelompok atau membandingkan rata-rata suatu sampel dengan nilai tertentu. Uji ini menggunakan distribusi t-Student dan cocok untuk data dengan ukuran sampel kecil (biasanya \(n < 30\)) ketika varians populasi tidak diketahui.

5.2 Jenis-Jenis Uji T

1. Uji t Satu Sampel (One-sample t-test): Menguji apakah rata-rata suatu sampel berbeda dari nilai tertentu.

   Rumus:

\[ t = \frac{\bar{X} - \mu}{\frac{s}{\sqrt{n}}} \]

• \((\bar{X})\): Rata-rata sampel
  
• \((\mu)\): Rata-rata populasi yang diuji
  
• \((s)\): Deviasi standar sampel
  
• \((n)\): Ukuran sampel

2. Uji t Dua Sampel Independen (Two-sample t-test): Menguji apakah rata-rata dua grup independen berbeda.

   Rumus:

\[ t = \frac{\bar{X}_1 - \bar{X}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1} + \frac{s_2^2}{n_2}}} \]

• \((\bar{X}_1, \bar{X}_2)\): Rata-rata sampel grup 1 dan 2
  
• \((s_1^2, s_2^2)\): Varians sampel grup 1 dan 2
  
• \((n_1, n_2)\): Ukuran sampel grup 1 dan 2

3. Uji t Sampel Berpasangan (Paired-sample t-test): Menguji perbedaan rata-rata dalam dua kondisi yang berhubungan (misalnya sebelum dan sesudah).

   Rumus:

\[ t = \frac{\bar{d}}{\frac{s_d}{\sqrt{n}}} \]

• \((\bar{d})\): Rata-rata selisih
  
• \((s_d)\): Deviasi standar selisih
  
• \((n)\): Ukuran sampel

5.3 Langkah-Langkah Uji t

1. Formulasi Hipotesis:

   • \((H_0\)\): Tidak ada perbedaan \(( \mu = \mu_0 )\) atau \((\mu_1 = \mu_2)\).

   • \((H_a)\): Ada perbedaan \(( \mu \neq \mu_0 )\) atau \((\mu_1 \neq \mu_2)\).

2. Hitung Statistik t: Gunakan rumus sesuai jenis uji t.

3. Bandingkan dengan t-Tabel atau Nilai-p:

   • Cari nilai kritis dari tabel distribusi t.
   • Jika nilai-p < \((\alpha)\), tolak \((H_0)\).

4. Hasil:

   • Tolak atau gagal menolak \((H_0)\) berdasarkan hasil langkah sebelumnya.

6.1 Perbedaan Pengambilan Kesimpulan: Statistika Deskriptif dan Inferensial

6.2 Perbedaan Alpha (\(\alpha\)) dan Beta (\(\beta\)) dalam Pengujian Hipotesis

6.3 Hubungan Antara Alpha dan Beta

• \(\alpha\) dan \(\beta\) memiliki hubungan trade-off:
  • Menurunkan \(\alpha\) cenderung meningkatkan \(\beta\) (membuat pengujian lebih konservatif).
  • Untuk mengurangi keduanya, perlu meningkatkan ukuran sampel atau menggunakan metode yang lebih sensitif.
• Keduanya memainkan peran penting dalam memastikan keseimbangan antara risiko membuat kesalahan dalam pengujian.

6.4 Contoh dengan Perhitungan Manual

Misalkan kita ingin menguji apakah rata-rata berat badan suatu populasi lebih besar dari 70 kg.
- Hipotesis nol (\(H_0\)): \(\mu = 70\)
- Hipotesis alternatif (\(H_a\)): \(\mu > 70\)
- Tingkat signifikansi (\(\alpha\)): 0.05
- Ukuran sampel (\(n\)): 25
- Rata-rata sampel (\(\bar{x}\)): 72 kg
- Standar deviasi populasi (\(\sigma\)): 5 kg

6.5 Kesimpulan

• Alpha (\(\alpha\)) adalah risiko menolak hipotesis nol secara salah, yang ditentukan sebelum pengujian.
• Beta (\(\beta\)) adalah risiko gagal mendeteksi perbedaan yang sebenarnya ada.
• Dalam contoh di atas:
  • Kita menerima risiko 5% salah menolak \(H_0\).
  • Ada risiko 25.9% gagal mendeteksi bahwa rata-rata sebenarnya lebih besar dari 70 kg.

6.6 Type I Error vs Type II Error**

1. Type I Error (False Positive):
   • Ini terjadi saat kita menolak hipotesis nol (\(H_0\)) padahal hipotesis nol benar.
   • Probabilitas terjadinya Type I Error disebut \(\alpha\) (alpha), sering disebut tingkat signifikansi.
   • Kapan penting diperhatikan?
     Saat salah menolak \(H_0\) berisiko tinggi. Contoh:
     • Dalam uji klinis, menyimpulkan bahwa obat baru efektif padahal tidak.
     • Dalam uji keamanan sistem, salah mengidentifikasi aktivitas aman sebagai ancaman.
2. Type II Error (False Negative):
   • Ini terjadi saat kita gagal menolak hipotesis nol (\(H_0\)) padahal hipotesis alternatif (\(H_a\)) benar.
   • Probabilitas terjadinya Type II Error disebut \(\beta\) (beta).
   • Kapan penting diperhatikan?
     Saat gagal mendeteksi sesuatu yang benar-benar ada bisa berbahaya. Contoh:
     • Dalam screening penyakit, tidak mendeteksi pasien yang benar-benar sakit.
     • Dalam mendeteksi kegagalan pada peralatan kritis.

6.7 Contoh Situasi dan Perhitungan