La prueba aumentada de Dickey-Fuller

La prueba Dickey-Fuller aumentada (dfuller \(var\)) es un test exigente. Tiene la ventaja de que la hipótesis nula no es si la serie es o no ruido blanco, sino si tiene una raíz unitaria.(Montero.R, 2013)

No todas las series de tiempo pueden representarse apropiadamente como un proceso AR(1).

La prueba de Dickey-Fuller puede aplicarse en estos casos también, aunque con modificaciones.

Consideremos por ejemplo un proceso AR(2): \[y_{t}=\phi_{1} y_{t-1}+ \phi_{2} y_{t-2}+\varepsilon_{t}\] Se aplica la siguiente transformación: \[\begin{align*} \phi_{1}y_{t-1}&=(\phi_{1}+\phi_{2}-1)y_{t-1}-(\phi_{2}y_{t-1}+y_{t-1})\\ \phi_{2}y_{t-2}&=\phi_{2}(y_{t-1}-y_{t-2})+\phi_{2}y_{t-2}\\ \Delta y_t &=y_{t} - y_{t-1}\\ \Delta y_{t-1}&=(y_{t-1}-y_{t-2}) \end{align*} \] Entonces se tiene: \[\begin{align*} y_t &= \phi_1 y_{t-1} + \phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t \\ &= [{(\phi_1 + \phi_2-1)}y_{t-1} - {\phi_2y_{t-1}] + [y_{t-1}} +\phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t ]\\ &= {(\phi_1 + \phi_2-1)}y_{t-1} - ({\phi_2y_{t-1} + y_{t-1}}) +\phi_2 y_{t-2} + \epsilon_t\\ y_t - y_{t-1} &= (\phi_1 + \phi_2-1)y_{t-1} - \phi_2\left(y_{t-1} - y_{t-2}\right) + \epsilon_t \\ \Delta y_t &= (\phi_1 + \phi_2-1)y_{t-1} - \phi_2\Delta y_{t-1} + \epsilon_t \\ \Delta y_t &= \gamma y_{t-1} + a_1\Delta y_{t-1} + \epsilon_t \end{align*} \]

Redefinición de parámetros \[\gamma=\phi_{1}+\phi_{2}-1\\ a_{1}=-\phi_{2}\\\]

Para permitir la posibilidad que la serie original sea AR(p+1), la prueba aumentada de Dickey-Fuller introduce rezagos de la variable dependiente en la regresión original

\[\begin{align*} \Delta y_t &= \phantom{a_0 + b_0 t +} {\gamma} y_{t-1} + a_1\Delta y_{t-1} +\dots + a_p\Delta y_{t-p} + \epsilon_t \\ \Delta y_t &= a_0 \phantom{ + b_0 t } + {\gamma} y_{t-1} + a_1\Delta y_{t-1} +\dots + a_p\Delta y_{t-p} + \epsilon_t \\ \Delta y_t &= a_0 + \beta t +{\gamma} y_{t-1} + a_1\Delta y_{t-1} +\dots + a_p\Delta y_{t-p} + \epsilon_t \end{align*}\]

Por lo que el test puede realizarse en tres versiones sin intercepto ni tendencia o con alguna de las dos. PERO ES ACONSEJABLE HACERLO SIEMPRE UTILIZANDO LA TENDENCIA, PARA CORREGIR ESTE EFECTO SI EXISTE.(Montero.R, 2013)

Fuente: Elaboración propia en base a Pruebas de raíz unitaria (introducción) - YouTube (2021)

Donde:

• \(a_0>0\) Rumbo al alza
• \(a_0<0\) Rumbo a la baja
• \(\beta>0\) tendencia lineal (tiempo)a crecer
• \(\beta>0\) tendencia lineal (tiempo) a disminuir

En los tres casos, pasamos el test \(H_0:\gamma=0\) contra \(H_1:\gamma≠0\).

Definición de la hipótesis nula

\[H_{0}: \gamma=0 \Rightarrow (\phi-1)=0 \Rightarrow \phi=1\] Si el parámetro gamma es igual a cero implica que la serie sigue un camino aleatorio, en consecuencia es no estacionaria

Definición de la hipótesis alternativa

\[ H_{1}: \gamma\neq 0 \Rightarrow (\phi-1)\neq0 \Rightarrow \phi\neq1\\ \gamma< 0 \Rightarrow (\phi-1)<0 \Rightarrow \phi<1\]

Si el parámetro gamma es distinto de cero y es negativo, entonces la serie es estacionaria

No obstante, Dickey y Fuller (1979) encontraron que si la hipótesis nula es verdadera, la regresión anterior tiene series no estacionarias en ambos lados de la ecuación, por lo que no se cumple que tenga una distribución \(t\)-Student.

\[\hat{t}_{\hat{\gamma}}=\frac{\hat{\gamma}}{SE \hat {\gamma}}\] Estimar por Minimos Cuadrados.

En el contexto de la prueba Dickey-Fuller hay dos condiciones para que la serie de tiempo sea estacionaria:

• Rechazar la hipótesis nula.
• Que el estimador gamma sea negativo.

Esto se pude probar mediante un estadístico \(t\) de Student

Para determinar la distribución de este estadístico, de manera que pueda realizarse la prueba de hipótesis, Dickey y Fuller realizaron experimentos de Monte Carlo, en los cuales

• Se simula una caminata aleatoria con un tamaño de muestra predeterminado.
• Se estima el modelo AR(1)
• Se calcula el valor de \(\hat{t}_{\hat{\gamma}}\)

Realizando muchas simulaciones como la anterior es posible aproximar la verdadera distribución del estadístico \(\hat{t}_{\hat{\gamma}}\) bajo la hipótesis nula \(\gamma=0\)

Por lo tanto si \(\hat{t}_{\hat{\gamma}}\) es menor que el valor crítico de Dickey Fuller, entonces \(\gamma<0\), es decir, no hay raíz unitaria.

Entonces hay Condiciones de estacionaridad si \(t_{\hat{\gamma}} <0\) y Prob de rechazo <0.05.

Consideraciones en la prueba Dickey-Fuller

1. Distribución del estadístico bajo la hipótesis nula, tiende a valores negativos
2. Los resultados de la estimación del parámetro α son afectados por la presencia de autocorrelación en los errores de la prueba
3. Los componentes de constante y tendencia deben ser incorporados en la especificación de la prueba.

Así por ejemplo con la library(tseries) tenemos:

adf.test(x, alternative = c("stationary", "explosive"),k = trunc((length(x)-1)^(1/3)))

El comando y los argumentos anteriores realizan la prueba de Dickey-Fuller aumentada (ADF) con opciones avanzadas para evaluar la estacionariedad o explosividad de una serie temporal.

• adf.test: Ejecuta la prueba de Dickey-Fuller aumentada (ADF), que evalúa si una serie temporal es estacionaria o contiene una raíz unitaria.
• x: Puede ser un vector numérico o un objeto de serie temporal (\(ts\)).
• alternative = c(“stationary”, “explosive”): Indica la hipótesis alternativa de la prueba.
  • stationary: La hipótesis alternativa es que la serie es estacionaria (sin raíz unitaria) está predeterminada.
  • explosive: La hipótesis alternativa es que la serie muestra un comportamiento explosivo (tendencia acelerada hacia valores muy altos o bajos). Puede especificar solo la letra inicial.
• k: Determina automáticamente el número de rezagos para la prueba basándose en la longitud de la serie, utilizando la regla empírica. Esto controla la autocorrelación en los residuos sin introducir demasiados parámetros.

Así por ejemplo con la library(urca) tenemos:

ur.df(y,type=c("none","drift","trend"),lags=1,selectlags=c("Fixed","AIC","BIC"))

• y: Puede ser un vector numérico o un objeto de serie temporal (\(ts\)).

• type: Define el modelo de la prueba ADF:

  • none: Sin término constante ni tendencia.
  • drift: Incluye un término constante (intercepto).
  • trend: Incluye tanto un término constante como una tendencia lineal. El modelo seleccionado influye en la hipótesis nula de la prueba.

• lags: Especifica el número de rezagos incluidos en la regresión.

• selectlags: Determina cómo seleccionar automáticamente el número de rezagos:

  • Fixed: Usa el valor fijo proporcionado en lags.
  • AIC: Selecciona el número de rezagos óptimo según el criterio de Akaike (AIC).
  • BIC: Selecciona el número de rezagos óptimo según el criterio bayesiano de Schwarz (BIC).

Salida que genera R a través de library(tseries)

options(scipen = 9999)
#Ocuparemos datos de varve {astsa}
class(varve) #Nos sirve para ver el tipo de datos.

## [1] "ts"

ndiffs(varve,test = "adf") #Nos sirve para ver el número de diferencia o lag a optar.

## [1] 0

library(tseries)
# DF test
adf.test(log(varve), k=0) 

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  log(varve)
## Dickey-Fuller = -12.857, Lag order = 0, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

# ADF test
#adf.test(log(varve)) 

Salida que genera R a través de library(urca)

options(scipen = 99999)
library(urca)
ur.df(log(varve),type = "trend",lags = 0,selectlags = "AIC") |> summary()

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1.78768 -0.35792  0.01161  0.36335  1.33120 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value            Pr(>|t|)    
## (Intercept)  1.2333207  0.1042176  11.834 <0.0000000000000002 ***
## z.lag.1     -0.4165491  0.0323981 -12.857 <0.0000000000000002 ***
## tt           0.0002042  0.0001130   1.808              0.0711 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.5138 on 630 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.2079, Adjusted R-squared:  0.2053 
## F-statistic: 82.66 on 2 and 630 DF,  p-value: < 0.00000000000000022
## 
## 
## Value of test-statistic is: -12.8572 55.1047 82.6556 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -3.96 -3.41 -3.12
## phi2  6.09  4.68  4.03
## phi3  8.27  6.25  5.34

• Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

• La hipótesis nula, \(H_0\) : no estacionariedad de la perturbación, no se rechaza hipotesis nula si \(\hat{t}_{\hat{\gamma}}\) toma un valor situado a la derecha del valor crítico correspondiente al nivel de significación establecido (las tablas proporcionan generalmente los valores críticos, que son negativos, para niveles de significación del 1%, 5% y 10%, siendo el 5% el más utilizado en la práctica) y se rechaza si toma un valor menor que el valor crítico.

  • Si no puede rechazarse la nula \((p-valor > 0.05)\) la serie es no estacionaria y tiene raíz 1 \(I(1)\) o \(I(p)\).

• La hipótesis alternativa, \(H_1\) : estacionariedad se reconoce si \(\hat{t}_{\hat{\gamma}}\) es <0 y suficientemente grande en valor absoluto para situarse a la izquierda del valor crítico.

  • Si se rechaza la nula \((p-valor<0.05)\) la serie es estacionaria y tiene una raíz 0 \(I(0)\).

Es importante notar que el estadístico de contraste para la \(\hat{t}_{\hat{\gamma}}\) no son la \(t\) usual sino que Dickey-Fuller (1979) y MacKinnon (1994) mediante simulaciones de Montecarlo, construyeron unas tablas especiales en las que la \(t\) es superior.

En la prueba DF, no rechazar la hipótesis de que una serie tenga raíz unitaria no implica que la serie sí tenga tal raíz unitaria; solamente decimos que no hay evidencia suficiente para descartarla con un nivel “razonable” de significancia.

Prueba Caminata aleatoria con tendencia y constante

library(tseries)
# DF test
adf.test(`Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica`, k=0) 

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica
## Dickey-Fuller = -8.9484, Lag order = 0, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

library(urca) 
options(scipen = 99999)
ur.df(`Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica`, 
            type="trend", 
            lags = 0,
            selectlags=c("AIC")) %>% 
summary()

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression trend 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + tt)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -11.0610  -3.9687  -0.7163   4.0003  10.3008 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value           Pr(>|t|)    
## (Intercept) 92.69156   10.41658   8.898 0.0000000000000404 ***
## z.lag.1     -0.92486    0.10335  -8.948 0.0000000000000316 ***
## tt          -0.05698    0.02029  -2.808            0.00606 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 5.299 on 94 degrees of freedom
## Multiple R-squared:   0.46,  Adjusted R-squared:  0.4485 
## F-statistic: 40.04 on 2 and 94 DF,  p-value: 0.0000000000002641
## 
## 
## Value of test-statistic is: -8.9484 26.6969 40.0399 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau3 -4.04 -3.45 -3.15
## phi2  6.50  4.88  4.16
## phi3  8.73  6.49  5.47

• \(\hat{t}_{\hat{\gamma}}\) : |8.9484 |
• \(V.C.\) : |3.45|

Como el estadístico de prueba (-8.9484) es mucho menor que en los valores críticos de cada nivel, rechazamos la hipótesis nula.

• \(p-value\): 0.0000000000002641

Como el p-value (2.641e-13) es mucho menor que el nivel de significancia del 5%, Rechazamos la hipotesis nula.

Por tanto incluyendo tanto un término constante como una tendencia y con lags=0 en nuestra serie de tiempo del Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica 2000-2024Q2, tenemos que una tendencia Estacional, además el modelo explica el 46% de la variabilidad de los datos.

Prueba Caminata aleatoria con constante

options(scipen = 99999)
ur.df(`Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica`, 
            type="drift", 
            lags = 2,
            selectlags=c("AIC")) %>%  
summary()

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression drift 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 + 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -12.7509  -2.7682   0.1151   2.3855  10.5326 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value            Pr(>|t|)    
## (Intercept) 25.12436    9.12516   2.753             0.00711 ** 
## z.lag.1     -0.25957    0.09388  -2.765             0.00688 ** 
## z.diff.lag  -0.69643    0.07254  -9.600 0.00000000000000158 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.864 on 92 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7074, Adjusted R-squared:  0.701 
## F-statistic: 111.2 on 2 and 92 DF,  p-value: < 0.00000000000000022
## 
## 
## Value of test-statistic is: -2.7648 3.8432 
## 
## Critical values for test statistics: 
##       1pct  5pct 10pct
## tau2 -3.51 -2.89 -2.58
## phi1  6.70  4.71  3.86

• \((Intercept)\): El valor estimado de la constante es 25.12 y tiene un valor p de 0.0071, lo que indica que la serie tiene una tendencia (la constante es significativa).

• \(z.lag.1\): El coeficiente es -0.2596 con un valor p de 0.0069. Este valor es negativo, lo que sugiere que si el valor de la serie en el periodo anterior es alto, el valor actual será relativamente bajo. Este coeficiente también es significativo.

• \(z.diff.lag\): El coeficiente es -0.6964 con un valor \(P_{value}\) muy bajo (< 2.2e-16), lo que indica que esta variable tiene una relación muy fuerte con las diferencias de la serie.

El valor de la estadística de la prueba (-2.7648) es mayor que el valor crítico al 1% (-3.51) pero menor que el valor crítico al 5% (-2.89). Esto sugiere que está cerca del umbral de significancia del 5%, por lo que la serie es marginalmente estacionaria.

Por tanto incluyendo solo el término constante y con un lags=2 en nuestra serie de tiempo del Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica 2000-2024Q2, tenemos que una tendencia Estacional, además la serie tiene una tendencia (deriva), ya que el valor de la constante es significativo sumado a esto el modelo explica el 70.74% de la variabilidad de los datos.

Prueba Caminata aleatoria sin tendencia ni constante

options(scipen = 99999)
ur.df(`Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica`, 
            type="none", 
            lags = 2,
            selectlags=c("AIC")) %>% 
summary()

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -14.037  -2.788   0.100   2.390  11.800 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value            Pr(>|t|)    
## z.lag.1    -0.001327   0.004221  -0.314               0.754    
## z.diff.lag -0.822772   0.058142 -14.151 <0.0000000000000002 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.998 on 93 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6832, Adjusted R-squared:  0.6764 
## F-statistic: 100.3 on 2 and 93 DF,  p-value: < 0.00000000000000022
## 
## 
## Value of test-statistic is: -0.3143 
## 
## Critical values for test statistics: 
##      1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.6 -1.95 -1.61

Aquí se nos presenta que no incluyendo tendencia ni constante y con un lags =2 en nuestra serie de tiempo del Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica 2000-2024Q2, tenemos que una tendencia No Estacional, además el modelo explica el 68.32% de la variabilidad de los datos.

Aplicamos Lags

options(scipen = 99999)
ur.df(diff(`Indice de Productividad y costes laborales unitarios de Bélgica`), 
            type="none", 
            lags = 2,
            selectlags=c("AIC")) %>% 
summary()

## 
## ############################################### 
## # Augmented Dickey-Fuller Test Unit Root Test # 
## ############################################### 
## 
## Test regression none 
## 
## 
## Call:
## lm(formula = z.diff ~ z.lag.1 - 1 + z.diff.lag)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -13.0205  -0.9213   0.1635   1.3989   7.0621 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value             Pr(>|t|)    
## z.lag.1     -2.95314    0.18786 -15.720 < 0.0000000000000002 ***
## z.diff.lag1  1.21794    0.14913   8.167 0.000000000001723900 ***
## z.diff.lag2  0.71714    0.07317   9.802 0.000000000000000663 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.815 on 91 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9577, Adjusted R-squared:  0.9563 
## F-statistic: 686.6 on 3 and 91 DF,  p-value: < 0.00000000000000022
## 
## 
## Value of test-statistic is: -15.7198 
## 
## Critical values for test statistics: 
##      1pct  5pct 10pct
## tau1 -2.6 -1.95 -1.61

• \(\hat{t}_{\hat{\gamma}}\) : |15.72 |
• \(V.C.\) : |1.95|

El valor de la estadística de la prueba (-15.7198) es mucho menor que los valores críticos de cada nivel. Esto sugiere que la serie es estacionaria y podemos rechazar la hipótesis nula.

El coeficiente de z.lag.1 es muy significativo y sugiere que la serie tiene una relación fuerte con su propio valor rezagado, indicando que la serie tiende a revertir hacia su media.

Además ahora el modelo explica el 95.77% de la variabilidad de los datos.

Es importante señalar que a medida que se para determinar el número adecuado de rezagos (\(p\) o también nombrados como \(lags\), \(k\)) en un modelo como el de Dickey-Fuller aumentado es crucial para capturar correctamente la estructura de autocorrelación de la serie sin sobreajustar el modelo, y a medida este aumente nuestros resultados tiende a variar en las conclusiones de la prueba de hipótesis.

Prueba de traza

El estadístico para esta prueba es:

\[\lambda_{trace}(k)=-T\sum _{i=k} ^M ln(1-\hat{\lambda_i})\]

Donde: - \(T\): tamaño de la muestra. - \(M\): número total de variables en el sistema. - \(\hat{\lambda}_i\): valores propios estimados, ordenados en forma descendente. - \(\ln(1 - \hat{\lambda}_i)\): mide la contribución de cada vector de cointegración al sistema.

Prueba de máximo valor propio

El estadístico de esta prueba es:

\[\lambda_{Max}(k,0)=-T ln(1-\hat{\lambda}_{k+1})\]

Donde:

• \(T\): el tamaño de la muestra.
• \(\hat{\lambda}_{k+1}\): el \((k+1)\)-ésimo valor propio estimado del sistema, ordenado en forma descendente.
• $ (1 - _{k+1}) $: mide la fuerza de la relación entre las variables en el \((k+1)\)-ésimo vector.

Prueba de traza

Prueba de máximo valor propio

Prueba de causalidad en el sentido de Granger

library(lmtest)
granger_test <- grangertest(DAX~SMI,order=3,data = Data)
print(granger_test)

## Granger causality test
## 
## Model 1: DAX ~ Lags(DAX, 1:3) + Lags(SMI, 1:3)
## Model 2: DAX ~ Lags(DAX, 1:3)
##   Res.Df Df      F    Pr(>F)    
## 1   1850                        
## 2   1853 -3 8.4968 1.322e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

El estadístico de prueba F se denota con la letra F y es igual a 8.4968 y el valor p que corresponde al estadístico de prueba F es Pr (> F) 1.322e-05. Existe evidencia estadistica de que La serie de tiempo SMI causa la serie de tiempo DAX a la propia causa de Granger. Esto significa que conocer los valores de SMI es valioso para pronosticar los valores futuros de DAX.