ESTATÍSTICA NÃO PARAMÉTRICA

PRÁTICA 10: BOOTSTRAP

\[\\[0.05in]\]

1 PACOTES NECESSÁRIOS

Para esta décima aula prática de Estatística Não Paramétrica, precisaremos do seguinte pacote:

set.seed(123) # Fixar uma semente para que tenhamos resultados iguais
require(boot) # Para fazermos o bootstrap

2 MOTIVAÇÃO PRÁTICA: MODELOS DE CARROS

A base de dados mtcars é um conjunto de dados clássico incluído no R, frequentemente utilizado para exemplos de análise estatística e aprendizado de máquina. Ele contém informações sobre uma amostra de 32 modelos de carros extraídas da edição de 1974 da revista Motor Trend. Os dados foram projetados para explorar as relações entre o desempenho de veículos, consumo de combustível e outras características relacionadas. As variáveis desta base de dados são:

  • mpg: Milhas por galão de combustível.
  • cyl: Número de cilindros.
  • disp: Deslocamento do motor (em polegadas cúbicas).
  • hp: Potência bruta (em cavalos de força).
  • drat: Razão do diferencial traseiro.
  • wt: Peso do veículo (em milhares de libras).
  • qsec: Tempo de 1/4 de milha (em segundos).
  • vs: Tipo de motor (0 = motor em V, 1 = motor em linha).
  • am: Tipo de transmissão (0 = automática, 1 = manual).
  • gear: Número de marchas.
  • carb: Número de carburadores.

O comando a seguir traz a base de dados:

mtcars
##                      mpg cyl  disp  hp drat    wt  qsec vs am gear carb
## Mazda RX4           21.0   6 160.0 110 3.90 2.620 16.46  0  1    4    4
## Mazda RX4 Wag       21.0   6 160.0 110 3.90 2.875 17.02  0  1    4    4
## Datsun 710          22.8   4 108.0  93 3.85 2.320 18.61  1  1    4    1
## Hornet 4 Drive      21.4   6 258.0 110 3.08 3.215 19.44  1  0    3    1
## Hornet Sportabout   18.7   8 360.0 175 3.15 3.440 17.02  0  0    3    2
## Valiant             18.1   6 225.0 105 2.76 3.460 20.22  1  0    3    1
## Duster 360          14.3   8 360.0 245 3.21 3.570 15.84  0  0    3    4
## Merc 240D           24.4   4 146.7  62 3.69 3.190 20.00  1  0    4    2
## Merc 230            22.8   4 140.8  95 3.92 3.150 22.90  1  0    4    2
## Merc 280            19.2   6 167.6 123 3.92 3.440 18.30  1  0    4    4
## Merc 280C           17.8   6 167.6 123 3.92 3.440 18.90  1  0    4    4
## Merc 450SE          16.4   8 275.8 180 3.07 4.070 17.40  0  0    3    3
## Merc 450SL          17.3   8 275.8 180 3.07 3.730 17.60  0  0    3    3
## Merc 450SLC         15.2   8 275.8 180 3.07 3.780 18.00  0  0    3    3
## Cadillac Fleetwood  10.4   8 472.0 205 2.93 5.250 17.98  0  0    3    4
## Lincoln Continental 10.4   8 460.0 215 3.00 5.424 17.82  0  0    3    4
## Chrysler Imperial   14.7   8 440.0 230 3.23 5.345 17.42  0  0    3    4
## Fiat 128            32.4   4  78.7  66 4.08 2.200 19.47  1  1    4    1
## Honda Civic         30.4   4  75.7  52 4.93 1.615 18.52  1  1    4    2
## Toyota Corolla      33.9   4  71.1  65 4.22 1.835 19.90  1  1    4    1
## Toyota Corona       21.5   4 120.1  97 3.70 2.465 20.01  1  0    3    1
## Dodge Challenger    15.5   8 318.0 150 2.76 3.520 16.87  0  0    3    2
## AMC Javelin         15.2   8 304.0 150 3.15 3.435 17.30  0  0    3    2
## Camaro Z28          13.3   8 350.0 245 3.73 3.840 15.41  0  0    3    4
## Pontiac Firebird    19.2   8 400.0 175 3.08 3.845 17.05  0  0    3    2
## Fiat X1-9           27.3   4  79.0  66 4.08 1.935 18.90  1  1    4    1
## Porsche 914-2       26.0   4 120.3  91 4.43 2.140 16.70  0  1    5    2
## Lotus Europa        30.4   4  95.1 113 3.77 1.513 16.90  1  1    5    2
## Ford Pantera L      15.8   8 351.0 264 4.22 3.170 14.50  0  1    5    4
## Ferrari Dino        19.7   6 145.0 175 3.62 2.770 15.50  0  1    5    6
## Maserati Bora       15.0   8 301.0 335 3.54 3.570 14.60  0  1    5    8
## Volvo 142E          21.4   4 121.0 109 4.11 2.780 18.60  1  1    4    2

Para a aula de hoje, precisaremos da variáveis mpg e hp.

3 O PROCESSO BOOTSTRAP

Os tópicos a seguir objetivam apresentar, na sequência, os passos do processo Bootstrap:

1- Amostra original.

2- Reamostragem com reposição.

3- Cálculo da estatística de interesse.

4- Construção da distribuição empírica.

5- Cálculo do erro padrão e Intervalos de Confiança.

3.1 A FUNÇÃO sample

Para começar a trabalhar com o bootstrap e, consequentemente, o processo de reamostragem, vamos utilizar a função sample. Essa função obtem a amostra de um determinado tamanho de um vetor. Essa amostragem poderá ser feita com ou sem reposição. No caso da reamostragem bootstrap, utilizaremos sempre a amostragem com reposição. Os argumentos da função sample são:

  • x = vetor com as observações
  • size = tamanho da amostra
  • replace = reposição (F ou T)

Nos dados da variável mpg, suponha que estamos interessados na média populacional \(\mu\) (parâmetro). Com os dados amostrais, podemos estimar este parâmetro pontualmente com a média amostral \(\bar{x}\):

x <- mtcars$mpg
xbarra <- mean(x)
xbarra
## [1] 20.09062

Vamos salvar também, por conveniência, o erro padrão da média amostral. Este erro padrão tem uma formula específica para a média amostral:

n = length(mtcars$mpg)
sdxbarra = sd(x)/sqrt(n)
sdxbarra
## [1] 1.065424

Assim, \(\bar{x} = 20,09\) é uma estimativa pontual para o parâmetro \(\mu\). Considere que não saibamos a distribuição que gerou os dados desta variável e queremos obter uma estimativa intervalar para o parâmetro \(\mu\). Os comandos abaixo geram uma única amostra bootstrap para estes dados e calculam a média amostral desta amostra:

## 1 amostra bootstrap
amostra_boot1 = sample(x,n,T)
Media1 = mean(amostra_boot1)
Media1
## [1] 21.52812

Agora vamos gerar uma quantidade maior de amostras bootstrap e investigar o seu efeito na análise, gerando a distribuição das médias amostrais em cada caso:

## 5 amostras bootstrap
B = 5
Media5 = NULL
for(i in 1:B){
  amostra_boot5 = sample(x,n,T)
  Media5[i] = mean(amostra_boot5)
}

## 50 amostras bootstrap
B = 50
Media50 = NULL
for(i in 1:B){
  amostra_boot50 = sample(x,n,T)
  Media50[i] = mean(amostra_boot50)
}

## 500 amostras bootstrap
B = 500
Media500 = NULL
for(i in 1:B){
  amostra_boot500 = sample(x,n,T)
  Media500[i] = mean(amostra_boot500)
}

## 1000 amostras bootstrap
B = 1000
Media1000 = NULL
for(i in 1:B){
  amostra_boot1000 = sample(x,n,T)
  Media1000[i] = mean(amostra_boot1000)
}

par(mfrow=c(2,2))
hist(Media5,main = "B=5")
abline(v = xbarra)
hist(Media50,main = "B=50")
abline(v = xbarra)
hist(Media500,main = "B=500")
abline(v = xbarra)
hist(Media1000,main = "B=1000")
abline(v = xbarra)

Note como, particularmente, a média das distribuições bootstrap se aproxima cada vez mais da média da amostra original:

mean(Media5)
## [1] 19.1125
mean(Media50)
## [1] 20.00775
mean(Media500)
## [1] 20.12986
mean(Media1000)
## [1] 20.12915
xbarra
## [1] 20.09062

Consequentemente, o viés bootstrap é menor à medida que a quantidade de amostras bootstrap é maior:

mean(Media5)-xbarra
## [1] -0.978125
mean(Media50)-xbarra
## [1] -0.082875
mean(Media500)-xbarra
## [1] 0.03923125
mean(Media1000)-xbarra
## [1] 0.03852188

Além disso, podemos investigar o erro padrão bootstrap e comparar com o erro padrão da amostra original:

sd(Media5)
## [1] 0.3513159
sd(Media50)
## [1] 0.9693506
sd(Media500)
## [1] 1.063485
sd(Media1000)
## [1] 1.064109
sdxbarra
## [1] 1.065424

3.1.1 EXERCÍCIO: VARIÁVEL hp

1- Para a variável hp, considere o interesse de estimar a mediana populacional. Nesse contexto:

  1. Calcule a mediana da amostra original
  2. Obtenha 5, 50, 500 e 1000 amostras bootstrap e, para cada uma, plote a distribuição amostral da mediana a partir de um histograma.
  3. Obtenha média dos valores de cada distribuição. Compare com a mediana original.
  4. Calcule o viés bootstrap e o erro padrão bootstrap dessa estatística para cada caso.

3.2 O PACOTE boot

O pacote boot pode ser utilizado para fazer a obtenção das amostras bootstrap. Esse pacote possui a função boot que tem os seguintes argumentos:

  • data = valores da amostra
  • statistic = função que retorna a estatística de interesse.
  • R = quantidade de amostras bootstrap.

O argumento statistic precisa ser uma função que recebe os dados e os índices sorteados via bootstrap. A seguir tem um exemplo de função statistic para o cálculo da média:

# A funcao abaixo e necessaria no comando "boot".
# O primeiro argumento sao os dados originais.
# O segundo e um vetor com os indices sorteados que define a amostra bootstrap.

media<-function(dados,ind){ 
  bdata<-dados[ind]
  return(mean(bdata))
}

A função boot possui as seguintes saídas:

  • Original = estatística de interesse efetuada nos dados originais
  • bias = viés bootstrap
  • std. error = erro padrão bootstrap

Agora, vamos repetir o exemplo anterior gerando uma quantidade de amostras bootstrap igual a 1000:

amostraboot = boot(x, media, 1000)
amostraboot
## 
## ORDINARY NONPARAMETRIC BOOTSTRAP
## 
## 
## Call:
## boot(data = x, statistic = media, R = 1000)
## 
## 
## Bootstrap Statistics :
##     original      bias    std. error
## t1* 20.09062 -0.01901875    1.012364

A partir do objeto criado podemos extrair os valores da estatística de interesse da amostra bootstrap e fazer histograma, por exemplo:

## Distribuição empírica da estatística de interesse:
amostraboot$t
##             [,1]
##    [1,] 20.45625
##    [2,] 19.36563
##    [3,] 18.88750
##    [4,] 18.39375
##    [5,] 19.12500
##    [6,] 19.27500
##    [7,] 19.96562
##    [8,] 17.70000
##    [9,] 19.45937
##   [10,] 19.25313
##   [11,] 21.09688
##   [12,] 21.87187
##   [13,] 19.53750
##   [14,] 20.44375
##   [15,] 19.26875
##   [16,] 21.64062
##   [17,] 21.50313
##   [18,] 18.51875
##   [19,] 19.47812
##   [20,] 21.20000
##   [21,] 21.20312
##   [22,] 19.87187
##   [23,] 20.59062
##   [24,] 19.55000
##   [25,] 19.20000
##   [26,] 19.82187
##   [27,] 19.83125
##   [28,] 21.52500
##   [29,] 20.51250
##   [30,] 19.18750
##   [31,] 19.82500
##   [32,] 20.10312
##   [33,] 20.40000
##   [34,] 19.76875
##   [35,] 20.70000
##   [36,] 19.74375
##   [37,] 19.63437
##   [38,] 19.99687
##   [39,] 19.90312
##   [40,] 21.30000
##   [41,] 18.65938
##   [42,] 21.35000
##   [43,] 18.78750
##   [44,] 21.80313
##   [45,] 19.84375
##   [46,] 21.00000
##   [47,] 21.15000
##   [48,] 20.79062
##   [49,] 20.06563
##   [50,] 20.62500
##   [51,] 21.44375
##   [52,] 21.38437
##   [53,] 19.77188
##   [54,] 20.50625
##   [55,] 21.51562
##   [56,] 20.43437
##   [57,] 22.31563
##   [58,] 18.72500
##   [59,] 18.78438
##   [60,] 19.27188
##   [61,] 19.13750
##   [62,] 20.24062
##   [63,] 20.26875
##   [64,] 18.78750
##   [65,] 20.12813
##   [66,] 19.61250
##   [67,] 20.12500
##   [68,] 18.53125
##   [69,] 19.23438
##   [70,] 20.01562
##   [71,] 17.84062
##   [72,] 19.96250
##   [73,] 19.37187
##   [74,] 19.14062
##   [75,] 20.58750
##   [76,] 20.36250
##   [77,] 20.92813
##   [78,] 19.29375
##   [79,] 20.51250
##   [80,] 20.72188
##   [81,] 21.11250
##   [82,] 20.01875
##   [83,] 19.70625
##   [84,] 20.16250
##   [85,] 19.10625
##   [86,] 18.73438
##   [87,] 21.44375
##   [88,] 19.90312
##   [89,] 19.51250
##   [90,] 20.33125
##   [91,] 20.31250
##   [92,] 19.82187
##   [93,] 20.47812
##   [94,] 19.39688
##   [95,] 21.64375
##   [96,] 19.63750
##   [97,] 19.32187
##   [98,] 20.01562
##   [99,] 18.00313
##  [100,] 19.60312
##  [101,] 19.70938
##  [102,] 18.14688
##  [103,] 22.55000
##  [104,] 21.08125
##  [105,] 20.41250
##  [106,] 21.25000
##  [107,] 20.35938
##  [108,] 21.59688
##  [109,] 20.44687
##  [110,] 21.17812
##  [111,] 19.33750
##  [112,] 19.41250
##  [113,] 18.56250
##  [114,] 19.62500
##  [115,] 21.11250
##  [116,] 20.00000
##  [117,] 20.81875
##  [118,] 19.01562
##  [119,] 21.06563
##  [120,] 17.64062
##  [121,] 20.96250
##  [122,] 18.04688
##  [123,] 19.03438
##  [124,] 19.68125
##  [125,] 19.11250
##  [126,] 19.67188
##  [127,] 20.78750
##  [128,] 19.30000
##  [129,] 19.01562
##  [130,] 21.00313
##  [131,] 19.38750
##  [132,] 20.03438
##  [133,] 18.60938
##  [134,] 20.57500
##  [135,] 21.09375
##  [136,] 18.09688
##  [137,] 19.86875
##  [138,] 18.97188
##  [139,] 20.51562
##  [140,] 19.03125
##  [141,] 20.84062
##  [142,] 19.92812
##  [143,] 18.36250
##  [144,] 21.61875
##  [145,] 19.82187
##  [146,] 20.47812
##  [147,] 21.00625
##  [148,] 19.28438
##  [149,] 19.71562
##  [150,] 20.81875
##  [151,] 18.87500
##  [152,] 21.02500
##  [153,] 21.65625
##  [154,] 20.13437
##  [155,] 19.24687
##  [156,] 18.80937
##  [157,] 21.82500
##  [158,] 21.07187
##  [159,] 20.20938
##  [160,] 18.77188
##  [161,] 19.58125
##  [162,] 18.28750
##  [163,] 21.73438
##  [164,] 18.97188
##  [165,] 19.40000
##  [166,] 18.62813
##  [167,] 19.21562
##  [168,] 19.89375
##  [169,] 19.61563
##  [170,] 20.30000
##  [171,] 19.40938
##  [172,] 23.86562
##  [173,] 18.43750
##  [174,] 19.20000
##  [175,] 18.38125
##  [176,] 20.70625
##  [177,] 21.16250
##  [178,] 19.35000
##  [179,] 20.05937
##  [180,] 20.07500
##  [181,] 17.70312
##  [182,] 21.40938
##  [183,] 19.29062
##  [184,] 20.01250
##  [185,] 20.55000
##  [186,] 18.66250
##  [187,] 20.17500
##  [188,] 20.97500
##  [189,] 20.31563
##  [190,] 19.65938
##  [191,] 21.01875
##  [192,] 21.15938
##  [193,] 20.12500
##  [194,] 20.61875
##  [195,] 19.85938
##  [196,] 19.76562
##  [197,] 20.75313
##  [198,] 20.81563
##  [199,] 20.45625
##  [200,] 20.88125
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##  [652,] 18.79688
##  [653,] 19.41875
##  [654,] 21.12500
##  [655,] 19.85312
##  [656,] 18.60000
##  [657,] 21.68437
##  [658,] 21.06250
##  [659,] 21.10312
##  [660,] 19.97812
##  [661,] 18.64062
##  [662,] 17.57812
##  [663,] 21.89062
##  [664,] 18.96562
##  [665,] 19.35625
##  [666,] 21.68750
##  [667,] 20.48438
##  [668,] 20.51250
##  [669,] 20.57187
##  [670,] 20.14688
##  [671,] 21.25625
##  [672,] 19.80313
##  [673,] 18.96562
##  [674,] 21.88750
##  [675,] 19.35000
##  [676,] 18.39375
##  [677,] 20.11562
##  [678,] 21.09375
##  [679,] 20.70937
##  [680,] 18.83438
##  [681,] 19.97188
##  [682,] 20.85000
##  [683,] 20.75313
##  [684,] 20.62500
##  [685,] 19.46250
##  [686,] 21.29375
##  [687,] 18.24687
##  [688,] 19.06250
##  [689,] 22.11563
##  [690,] 19.64062
##  [691,] 20.50000
##  [692,] 19.47188
##  [693,] 21.04688
##  [694,] 21.57187
##  [695,] 20.23750
##  [696,] 20.10625
##  [697,] 20.95000
##  [698,] 19.68750
##  [699,] 19.60312
##  [700,] 20.92500
##  [701,] 19.23438
##  [702,] 19.26250
##  [703,] 21.61875
##  [704,] 20.33437
##  [705,] 19.69687
##  [706,] 19.24063
##  [707,] 20.32500
##  [708,] 19.82187
##  [709,] 19.55937
##  [710,] 21.82812
##  [711,] 19.56875
##  [712,] 19.61250
##  [713,] 19.33438
##  [714,] 19.53438
##  [715,] 20.01562
##  [716,] 20.14375
##  [717,] 21.95312
##  [718,] 21.86875
##  [719,] 20.66562
##  [720,] 20.68750
##  [721,] 19.55625
##  [722,] 20.51875
##  [723,] 19.38125
##  [724,] 18.55625
##  [725,] 19.95000
##  [726,] 20.86875
##  [727,] 19.20625
##  [728,] 19.86563
##  [729,] 18.76562
##  [730,] 20.29062
##  [731,] 18.54062
##  [732,] 20.21562
##  [733,] 20.97812
##  [734,] 20.87187
##  [735,] 20.59062
##  [736,] 19.89062
##  [737,] 20.39062
##  [738,] 20.48438
##  [739,] 20.94063
##  [740,] 19.61875
##  [741,] 21.04688
##  [742,] 18.60312
##  [743,] 21.47812
##  [744,] 19.82812
##  [745,] 18.92500
##  [746,] 18.90938
##  [747,] 18.11563
##  [748,] 19.43437
##  [749,] 20.87500
##  [750,] 19.01875
##  [751,] 19.98125
##  [752,] 18.89062
##  [753,] 19.10625
##  [754,] 19.18437
##  [755,] 20.44063
##  [756,] 19.80937
##  [757,] 20.14062
##  [758,] 19.34062
##  [759,] 22.66250
##  [760,] 18.84062
##  [761,] 19.95000
##  [762,] 20.96562
##  [763,] 19.04375
##  [764,] 20.53438
##  [765,] 18.10938
##  [766,] 19.42813
##  [767,] 20.45000
##  [768,] 18.08125
##  [769,] 20.13437
##  [770,] 20.22812
##  [771,] 19.96250
##  [772,] 21.82500
##  [773,] 20.57500
##  [774,] 20.44063
##  [775,] 19.00625
##  [776,] 19.52500
##  [777,] 20.30937
##  [778,] 20.28125
##  [779,] 20.11875
##  [780,] 20.16250
##  [781,] 19.60625
##  [782,] 18.36250
##  [783,] 20.18437
##  [784,] 20.25937
##  [785,] 19.90312
##  [786,] 20.88750
##  [787,] 19.60938
##  [788,] 19.12500
##  [789,] 20.97188
##  [790,] 21.35312
##  [791,] 20.41875
##  [792,] 21.97500
##  [793,] 19.90312
##  [794,] 19.39688
##  [795,] 18.87187
##  [796,] 20.32500
##  [797,] 21.36875
##  [798,] 19.38125
##  [799,] 21.59688
##  [800,] 18.91250
##  [801,] 19.84688
##  [802,] 20.83750
##  [803,] 20.19063
##  [804,] 18.69687
##  [805,] 20.89688
##  [806,] 18.73750
##  [807,] 20.05312
##  [808,] 19.84375
##  [809,] 19.77812
##  [810,] 20.89375
##  [811,] 19.55000
##  [812,] 20.87813
##  [813,] 21.74375
##  [814,] 20.63437
##  [815,] 21.51562
##  [816,] 19.93750
##  [817,] 18.92500
##  [818,] 20.28438
##  [819,] 19.36875
##  [820,] 19.77812
##  [821,] 21.39687
##  [822,] 19.04062
##  [823,] 21.37187
##  [824,] 19.55000
##  [825,] 20.48125
##  [826,] 21.02187
##  [827,] 19.61875
##  [828,] 21.45312
##  [829,] 18.62813
##  [830,] 20.31563
##  [831,] 20.60000
##  [832,] 18.64688
##  [833,] 20.96250
##  [834,] 18.69687
##  [835,] 20.29375
##  [836,] 19.45000
##  [837,] 22.55625
##  [838,] 21.20000
##  [839,] 18.82812
##  [840,] 19.41875
##  [841,] 20.37500
##  [842,] 21.05625
##  [843,] 19.61875
##  [844,] 19.37500
##  [845,] 19.33438
##  [846,] 20.80000
##  [847,] 20.60938
##  [848,] 18.70938
##  [849,] 19.85000
##  [850,] 21.31563
##  [851,] 22.68437
##  [852,] 18.99687
##  [853,] 22.11875
##  [854,] 20.10000
##  [855,] 20.84062
##  [856,] 20.76562
##  [857,] 19.60000
##  [858,] 17.47188
##  [859,] 17.85625
##  [860,] 20.14688
##  [861,] 19.77188
##  [862,] 19.97500
##  [863,] 19.72188
##  [864,] 19.36250
##  [865,] 19.09688
##  [866,] 18.01562
##  [867,] 19.58750
##  [868,] 21.45938
##  [869,] 20.30625
##  [870,] 18.25313
##  [871,] 20.18125
##  [872,] 20.01250
##  [873,] 20.15625
##  [874,] 21.24687
##  [875,] 19.90625
##  [876,] 18.81563
##  [877,] 20.57812
##  [878,] 19.11250
##  [879,] 19.33750
##  [880,] 21.27812
##  [881,] 20.09062
##  [882,] 20.29062
##  [883,] 20.99063
##  [884,] 20.41250
##  [885,] 18.14375
##  [886,] 19.45000
##  [887,] 19.80000
##  [888,] 21.79375
##  [889,] 18.90000
##  [890,] 20.75625
##  [891,] 19.44063
##  [892,] 19.03750
##  [893,] 20.38437
##  [894,] 19.33125
##  [895,] 20.01250
##  [896,] 19.50000
##  [897,] 19.71562
##  [898,] 20.67188
##  [899,] 19.28438
##  [900,] 21.06563
##  [901,] 20.39062
##  [902,] 20.55937
##  [903,] 20.80937
##  [904,] 20.93750
##  [905,] 19.15938
##  [906,] 19.04062
##  [907,] 20.20938
##  [908,] 22.00313
##  [909,] 19.82500
##  [910,] 20.37813
##  [911,] 19.48438
##  [912,] 21.21250
##  [913,] 19.94063
##  [914,] 17.18750
##  [915,] 19.61250
##  [916,] 20.91875
##  [917,] 18.96875
##  [918,] 20.16562
##  [919,] 19.83750
##  [920,] 18.32812
##  [921,] 19.66875
##  [922,] 20.35938
##  [923,] 20.57812
##  [924,] 19.63437
##  [925,] 19.73438
##  [926,] 20.78125
##  [927,] 20.40625
##  [928,] 20.45000
##  [929,] 18.14375
##  [930,] 19.54375
##  [931,] 20.54062
##  [932,] 20.14375
##  [933,] 20.54688
##  [934,] 19.15938
##  [935,] 20.29062
##  [936,] 21.00000
##  [937,] 21.05937
##  [938,] 19.17500
##  [939,] 21.85625
##  [940,] 19.93750
##  [941,] 18.02812
##  [942,] 21.42500
##  [943,] 20.20938
##  [944,] 20.24063
##  [945,] 19.30313
##  [946,] 21.11250
##  [947,] 19.86250
##  [948,] 20.66250
##  [949,] 21.52187
##  [950,] 19.82812
##  [951,] 20.43750
##  [952,] 20.54688
##  [953,] 20.68750
##  [954,] 20.15000
##  [955,] 20.83438
##  [956,] 20.26562
##  [957,] 18.25625
##  [958,] 20.92500
##  [959,] 20.49062
##  [960,] 19.19687
##  [961,] 20.32187
##  [962,] 20.62813
##  [963,] 19.92188
##  [964,] 20.22188
##  [965,] 20.73438
##  [966,] 17.51875
##  [967,] 20.07500
##  [968,] 20.23438
##  [969,] 20.19063
##  [970,] 22.58437
##  [971,] 19.55313
##  [972,] 19.83125
##  [973,] 20.33125
##  [974,] 19.34688
##  [975,] 21.55625
##  [976,] 18.95312
##  [977,] 19.85625
##  [978,] 19.24062
##  [979,] 19.55625
##  [980,] 20.54688
##  [981,] 19.96875
##  [982,] 19.87187
##  [983,] 17.83125
##  [984,] 18.37813
##  [985,] 20.20312
##  [986,] 21.21875
##  [987,] 20.73438
##  [988,] 19.25313
##  [989,] 17.83438
##  [990,] 19.62813
##  [991,] 20.64375
##  [992,] 18.50000
##  [993,] 18.99687
##  [994,] 20.74375
##  [995,] 21.32500
##  [996,] 19.39062
##  [997,] 21.65312
##  [998,] 22.10938
##  [999,] 20.91562
## [1000,] 19.69063
hist(amostraboot$t)

Para construir o intervalo de confiança para o parâmetro \(\theta\) a partir do pacote boot, utilizaremos a função boot.ci. Essa função deve receber o objeto criado com a função boot, da seguinte forma:

## 
boot.ci(amostraboot, conf=0.95, type="perc")
## BOOTSTRAP CONFIDENCE INTERVAL CALCULATIONS
## Based on 1000 bootstrap replicates
## 
## CALL : 
## boot.ci(boot.out = amostraboot, conf = 0.95, type = "perc")
## 
## Intervals : 
## Level     Percentile     
## 95%   (18.08, 22.00 )  
## Calculations and Intervals on Original Scale

Assim, tem-se o intervalo de incerteza [18,03 - 22,21] com 95% de confiança para a média populacional.

3.2.1 EXERCÍCIO: VARIÁVEL hp

1- Repita o cálculo de 1000 amostras bootstrap para obter o viés e erro padrão bootstrap atrelados à mediana com a função boot. Finalize com um intervalo de confiança 95% para a mediana, obtido a partir do bootstrap.