Introdução

Esse modelo carrega os parâmetros de risco de um empréstimo, calcula o capital necessário para fazer frente aos riscos e cria uma métrica de precificação, por otimização, para encontrar qual taxa de juros mínima deve ser aplicada no fluxo price dadas as condições de risco e a remuneração requerida sobre o capital econômico. Os inputs foram calibrados para uma operação Consignado INSS mas a calculadora serve para qualquer operação de crédito que use o fluxo Price como base para a geração do fluxo de caixa.

Modelagem

A modelagem de otimização é feita com base em alguns parâmetros. Segue a descrição de cada um deles:

Cálculo do capital econômico pela abordagem proposta pelo Banco Central do Brasil (Resolução BCB Nº 303, de 16 de março de 2023, capítulo VI da categoria “VAREJO”).

A perda inesperada para uma operação de crédito pode ser dada pela seguinte equação:

\[ K_{IRB} = EAD \cdot LGD \cdot \left[ \Phi\left( \frac{\Phi^{-1}(PD) + \sqrt{\rho} \cdot \Phi^{-1}(0.999)}{\sqrt{1-\rho}} \right) - PD \right] \tag{1} \]

É esperado que a precificação seja feita com base em ratings de crédito interno que considerem a probabilidade de default do cliente. Considerando-se que existe a possibilidade do capital regulatório ainda ser maior que o econômico, faz-se um ajuste no cálculo do RAROC considerando o máximo entre o capital econômico e o regulatório dado por 4% sobre o saldo, segundo o FPR (Fator de Ponderação de Risco) de 50% para 8% do saldo, resultando em 4% do valor do empréstimo como o capital regulatório exigido para o produto.

Segundo a resolução BCB Nº 303, no capítulo III, tratando do parâmetro de risco LGD (Loss Given Default), na Seção I, no Art. 68, para as exposições não cobertas por colaterais que é o caso do produto, o parâmetro LGD utilizado na abordagem IRB básica deve ser fixado em 75% (setenta e cinco por cento). Essa abordagem simplifica a precificação, no entanto, é necessário explorar melhor qual o verdadeiro LGD dessas operações. Em casos de beneficiários do INSS, um dos principais riscos da operação é o óbito. Entretanto, segundo entendimento da 10ª Turma do Tribunal Regional Federal da 1ª Região (TRF1) a dívida permanece mesmo após o óbito do beneficiário sendo, portanto, inferior a 100%. Assim, optou-se por manter o valor do parâmetro igual a 75%:

\[ LGD_{{IRB}_{Básico}} = 75\% \tag{2} \]

Cálculo da parcela do empréstimo considerando sistema Price (Pagamentos Constantes - PMT)

O pagamento de um empréstimo pelo sistema Price é dado por:

\[ PMT = \frac{P \cdot r}{1 - (1 + r)^{-\text{prazo}}} \tag{3} \] Parâmetros:

Com esses três parâmetros é possível calcular os juros gerados tanto para o pagamento do empréstimo como para o custo do funding.

Cálculo do Spread justo sobre um ativo livre de risco: Perda Esperada e Inesperada

Em 1999, segundo [2], uma força-tarefa criada pelo Comitê de Basileia para analisar os sistemas internos de classificação de risco dos principais bancos do mundo chegou à conclusão de que mais de 80% dos bancos que possuíam um sistema de classificação próprio o utilizavam para definir taxas de juros em conformidade com o risco de seus empréstimos. Em outras palavras, um dos usos mais importantes e amplamente difundidos de um sistema de medição de risco de crédito é a precificação ajustada ao risco. Na realidade, por bastante tempo, muitos bancos vinham estabelecendo taxas de empréstimo de maneira que levava em conta apenas parcialmente o risco real dos empréstimos. Por um lado, isso era possível porque os mercados de empréstimos bancários não eram totalmente competitivos, permitindo a obtenção de lucros extras. Por outro lado, isso se devia ao fato de que, em períodos de expansão econômica, os bancos tendiam a subestimar o risco de crédito e aplicar taxas excessivamente baixas, destruindo assim valor para seus acionistas. De maneira mais geral, as taxas aplicadas a diferentes clientes não eram suficientemente diferenciadas com base no risco: isso gerava um subsídio cruzado entre grupos de clientes, no qual alguns grupos pagavam taxas mais altas do que o necessário, subsidiando implicitamente outros grupos que pagavam taxas de juros abaixo do nível correspondente ao seu risco real. Esses erros generalizados de precificação eram decorrentes do perfil temporal muito particular dos custos de um empréstimo. De fato, apenas uma parte desses custos se torna aparente no momento da concessão, enquanto as perdas decorrentes de inadimplência só podem ser avaliadas posteriormente. Por essa razão, para definir preços de maneira racional, é necessário estimar as perdas esperadas e inesperadas do empréstimo. Um banco que define preços deve estabelecer a taxa de juros de um empréstimo de forma a cobrir, no mínimo, seus custos de produção, sejam eles imediatos ou diferidos. Vale ressaltar que um banco só é livre para definir os preços de seus empréstimos quando opera em um mercado suficientemente inelástico. Caso contrário, se um banco atuar como um “price taker”, sendo forçado a aceitar os preços impostos pelo mercado, os modelos de medição de risco de crédito ainda são úteis, pois permitem que o banco identifique e recuse empréstimos para os quais a taxa de mercado é muito baixa, como é o caso do produto consignado INSS. Além disso, esses modelos possibilitam o cálculo do desempenho ajustado ao risco de um empréstimo, dado seu preço, que pode então ser comparado com as metas de rentabilidade dos acionistas do banco. O primeiro componente de custo é a perda esperada. Para cobrir a perda esperada em um empréstimo, o banco precisa aplicar uma taxa igual à taxa livre de risco \(r\) acrescida de um spread \(S_{EL}\), de forma que o retorno esperado do empréstimo (dado sua probabilidade de inadimplência PD e a perda em caso de inadimplência LGD) seja equivalente ao de um investimento livre de risco no mesmo valor. Essa é a abordagem da precificação neutra a risco para um Banco.

A fórmula de equilíbrio pode ser expressa como:

\[ (1 + r + S_{EL})[(1 - PD) + (1 - LGD) \cdot PD] = (1 + r) \tag{4} \]

Nota-se uma aplicação de Spread sobre a parcela não default e pela parcela recuperada após o default. Esse Spread deve retornar um juro equivalente à uma aplicação livre de risco. A partir dessa equação, tem-se:

\[ (1 + r + S_{EL}) = \frac{1 + r}{1 - PD \cdot LGD} – 1 \tag{5} \]

A relação entre a taxa de juros livre de risco \(r\), o Spread adicional \(S_{EL}\), e a taxa de perda esperada (PD LGD) é dada por:

\[ r + S_{EL} = \frac{r + PD \cdot LGD}{1 - PD \cdot LGD} = \frac{r + ELR}{1 - ELR} \tag{6} \]

Onde:

\(ELR = PD \cdot LGD\): é a taxa de perda esperada, que é o produto da probabilidade de inadimplência \(PD\) e da perda em caso de inadimplência \(LGD\).

Portanto, o Spread necessário para cobrir a perda esperada \(S_{EL}\) no Banco neutro a risco é dado por:

\[ S_{EL} = \frac{ELR \cdot (1 + r)}{1 - ELR} \tag{7} \]

O preço calculado anteriormente seria adequado para um Banco neutro a risco, que seria indiferente a receber um montante \(M\) com certeza ou um montante incerto com valor esperado de \(M\). Isso não corresponde à realidade. Os bancos são avessos ao risco pois, se os empréstimos gerarem retornos abaixo do esperado (ou seja, perdas), eles podem falir. Isso não seria bem recebido pelos acionistas e reguladores. Para limitar o risco de falência, os bancos precisam manter um montante de capital suficiente para cobrir perdas inesperadas. É por isso que o VaR (Valor em Risco) de uma carteira de crédito também é chamado de capital de risco ou capital econômico. Assim, para incorporar a aversão ao risco no modelo de precificação, é necessário garantir que a taxa de juros também cubra o custo do capital econômico mantido contra perdas inesperadas. Para esse fim, suponha que tenha sido calculado o VaR da carteira de empréstimos do banco. Esse capital é associado à várias exposições de crédito individuais, considerando que cada uma tenha seu próprio consumo de capital econômico. O custo desse capital depende da meta de retorno dos acionistas, ou seja, o custo do capital próprio \(r_e\) que o Banco concordou, de forma explícita ou implícita, em fornecer aos seus proprietários. Considerando esse custo, a equação pode ser atualizada da seguinte forma:

\[ (1 + r + S_{EL} + S_{UL}) \left[ (1 - PD) + (1 - LGD) \cdot PD \right] = (1 + r) + \frac{VaR}{EAD} \cdot (r_e - r) \tag{8} \]

Onde:

O VaR indica o montante de capital econômico necessário para cobrir as perdas inesperadas da exposição. O retorno líquido esperado do capital é justificado pois considera-se que o montante será aplicado à taxa livre de risco. Na prática, a equação exige que o preço oferecido ao cliente (que inclui um spread tanto para a perda esperada quanto para a perda inesperada) gere um montante igual ao de um investimento livre de risco, mais um prêmio a ser pago aos acionistas sobre o capital fornecido para cobrir os riscos inesperados do empréstimo. O lado direito da equação pode ser interpretado como o custo dos recursos necessários para financiar o empréstimo. Nesse caso, observa-se que o VaR (isto é, o capital econômico) foi cobrado apenas com o prêmio de risco líquido porque o empréstimo já é totalmente financiado por dívida e absorve capital apenas de forma “virtual”. Em outras palavras, o capital econômico não é fisicamente utilizado para financiar os empréstimos, mas é apenas “virtualmente absorvido” pelos empréstimos com base em seu nível de risco. Para visualizar a segunda parte da equação como o custo de financiar o empréstimo, pode-se reescrever a equação da seguinte forma:

\[ (1 + r) + \frac{VaR}{EAD} \cdot (r_e - r) = (1 + r)(1 - \frac{VaR}{EAD}) + (1 + r_e) \cdot \frac{VaR}{EAD} \tag{9} \] \[ r + S_{EL} + S_{UL} = \frac{r + ELR + \frac{VaR}{EAD} \cdot (r_e - r)}{1 - ELR} \tag{10} \] E, reescrevendo, obtem-se:

\[ S_{EL} + S_{UL} = \frac{(1 + r) \cdot ELR + \frac{VaR}{EAD} \cdot (r_e - r)}{1 - ELR} \tag{11} \] Comparando as equações chega-se a:

\[ S_{UL} = \frac{\frac{VaR}{EAD} \cdot (r_e - r)}{1 - ELR} \tag{12} \] A diferença entre \(r_e\) e \(r\) corresponde à diferença entre o custo de capital do banco e a taxa de funding considerada no vértice da duration esperada da operação.

Cálculo do RAROC (Risk-Adjusted Return on Capital)

O RAROC é definido como a relação entre o retorno ajustado ao risco e o capital econômico necessário para suportar as perdas inesperadas:

\[ RAROC = \frac{(\text{Receita de Juros} - \text{Custo de Captacao}) - \text{Custos e Impostos} - \text{Perda Esperada} + \text{Remuneração do Capital}} {max(\text{Perda Inesperada}, 4 \% \text{saldo})} \tag{13} \] A receita de juros é calculada com base em todos os fluxos de pagamento descontado o principal, usando a taxa de juros mínima da operação. Já a despesa de juros é calculada com base em todos os fluxos de pagamento descontado o principal, usando a taxa de juros de captação da unidade de negócio, considerado como o Funding Transfer Price - FTP.

Otimização da Taxa de Juros

A taxa de juros mínima necessária para alcançar o RAROC target é encontrada através da minimização da diferença absoluta entre o RAROC calculado pela originação da operação no Banco e o alvo anual ajustado ao prazo e spread da operação sobre a taxa FTP:

\[ \text{min.} \quad |RAROC_{\text{banco}} - RAROC_{\text{target}}| \tag{14} \]

Passos da Modelagem

Em resumo, os passos da modelagem são:

  1. Definir o \(LGD\) e o \(EAD\), valor liberado do empréstimo;
  2. Calcular o \(K_{IRB}\) para determinar o capital econômico relativo à perda inesperada;
  3. Definir o spread mínimo, tanto pela perda esperada (neutro a risco) quanto à perda inesperada (aversão ao risco);
  4. Definir o custo de captação para adicionar o prêmio de risco e calcular o \(RAROC_{target}\);
  5. Definir os parâmetros da operação, como prazo, custos, impostos;
  6. Calcular o \(RAROC_{banco}\);
  7. Comparar o \(RAROC_{banco}\) com o \(RAROC_{target}\) e armazenar a taxa mínima que aproxima a diferença de zero.

Resultados

Análise da simulação com data base de out/24 sugere que o banco, a partir das premissas de cálculo para obtenção de performance e enquadramento regulatório, deveria aplicar uma taxa de juros mínima a partir de 2.22 %am, superando em 0,56pp os 1.66 %am (out/24) regulados pelo poder público para a operação de crédito simulada.

Análise de Sensibilidade do Modelo de Precificação em função da PD e LGD

Variando a PD

A variação da PD mostra a sensibilidade da taxa de juros, ficando entre 2,17% am para uma PD próxima de zero, baixo risco, até 4.65% am para uma PD próxima de 10%, alto de risco. Essa sensibilidade foi calculada considerando-se um LGD fixo de 75%.

Fig. 1
Fig. 1

Variando o LGD

A variação do LGD mostra a sensibilidade da taxa de juros, ficando entre 1,78% am para uma LGD próxima de zero, baixo risco de perda e alta recuperação, até 2,59% am para um LGD próximo de 100%, alto de risco de perda após o default. Essa sensibilidade foi calculada considerando-se uma PD de 1,7%, PD média da carteira obtida pela série do BACEN para out/24.

Fig. 2
Fig. 2

Referências

[1] BASSON, L. J.; VAN VUUREN, Gary. Through-the-cycle to Point-in-time Probabilities of Default Conversion: Inconsistencies in the Vasicek Approach. International Journal of Economics and Financial Issues, v. 13, n. 6, p. 42-52, 2023. Disponível em: http://www.econjournals.com. Acesso em: 7 fev. 2025. DOI: https://doi.org/10.32479/ijefi.15079.

[2] SIRONI, Andrea; RESTI, Andrea. Capital Market Models. In: Risk Management and Shareholders’ Value in Banking: From Risk Measurement Models to Capital Allocation Policies. Chichester: John Wiley & Sons, 2007. p. 342-451.

[3] Gestão das Finanças e Riscos em Instituições Financeiras (Wilson Luiz Matar e José do Socorro Assis, 2024, 1 edição, pg 174) para 720 dias, com base na curva futura do DI para 2 anos.

Introdução - Modelo de Vasicek - Base de BASEL II

O artigo de Vasicek (2002), intitulado The Distribution of Loan Portfolio Value, apresenta um modelo para estimar a distribuição das perdas em portfólios de crédito. Essa abordagem fundamenta o cálculo de requisitos de capital em frameworks regulatórios, como Basileia II e III.

Modelo de Perda de Portfólio

A perda de um portfólio de empréstimos pode ser modelada considerando a probabilidade de inadimplência e sua correlação com fatores de risco relacionados ao mercado.

Fórmula de Vasicek

A distribuição das perdas do portfólio converge para uma distribuição limite, dada por:

\[ P[L \leq x] = \Phi \left( \frac{\Phi^{-1}(p) - \sqrt{\rho} \Phi^{-1}(x)}{\sqrt{1 - \rho}} \right) \]

Onde:

Aplicações

O modelo é amplamente utilizado para:

Conclusão

O trabalho de Vasicek fornece uma estrutura adequada para modelar perdas de inesperadas de crédito, sendo fundamental para a gestão de risco bancário. Seu modelo é a base para o IRB Approach - ASRF - dos acordos de Basileia II e III.

VASICEK, Oldrich. The distribution of loan portfolio value. Risk, 2002. Disponível em: https://www.bankofgreece.gr/MediaAttachments/Vasicek.pdf. Acesso em: 14 fev. 2025.