Pertanyaan:

1. Identifikasi matriks bentuk kuadratik:

   • Tentukan matriks simetris \(Q\) dari bentuk kuadratik \(C(x, y)\).

2. Minimasi Biaya Produksi:

   • Carilah titik kritis dari fungsi biaya \(C(x, y)\) dengan menggunakan turunan parsial.
   • Gunakan matriks Hessian untuk memverifikasi apakah titik kritis tersebut merupakan minimum.

3. Interpretasi Ekonomi:

   • Berdasarkan solusi, interpretasikan \(x\) dan \(y\) optimal yang meminimalkan biaya.

4. Analisis Risiko Produksi:

   • Misalkan \(x\) dan \(y\) dipengaruhi oleh fluktuasi pasar yang mengikuti distribusi normal, dengan variansi \(\sigma_x^2 = 0.1\), \(\sigma_y^2 = 0.2\), dan kovarians \(\sigma_{xy} = 0.05\).
   • Gunakan fungsi kuadratik untuk menghitung variansi total biaya produksi \(\text{Var}[C(x, y)]\).

Panduan Penyelesaian:

1. Matriks bentuk kuadratik:
   Susun matriks \(Q\) menggunakan koefisien dari \(x^2\), \(y^2\), dan \(xy\).

2. Minimasi biaya produksi:
   Turunkan \(\frac{\partial C}{\partial x}\) dan \(\frac{\partial C}{\partial y}\), setara dengan nol untuk mendapatkan titik kritis, lalu gunakan determinan matriks Hessian untuk pengujian.

3. Interpretasi ekonomi:
   Kaitkan nilai \(x\) dan \(y\) dengan unit produksi.

4. Analisis risiko produksi:
   Aplikasikan formula untuk menghitung variansi dari bentuk kuadratik dengan elemen matriks \(Q\).

Pertanyaan dan Tugas:

1. Estimasi Parameter Regresi:
   • Gunakan metode Least Squares untuk menghitung nilai \(\beta_0\), \(\beta_1\), \(\beta_2\), dan \(\beta_3\).
2. Validasi Model:
   • Hitung jumlah galat kuadrat (Sum of Squared Errors, SSE) untuk mengevaluasi kesesuaian model terhadap data.
3. Pengujian Signifikansi:
   • Hitung koefisien determinasi (\(R^2\)) untuk menilai seberapa besar variasi dalam \(y\) yang dijelaskan oleh model.
4. Prediksi:

Berdasarkan model regresi yang diperoleh, prediksikan pendapatan perusahaan jika:

 - Biaya promosi = $8$ juta USD,
 - Jumlah karyawan = $120$ orang,  
 - Investasi teknologi = $7$ juta USD.

5. Interpretasi Koefisien:

   • Jelaskan pengaruh masing-masing variabel independen (\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\)) terhadap pendapatan perusahaan berdasarkan hasil regresi.

6. Analisis Multivariat:

   • Jika biaya promosi dan investasi teknologi saling berkorelasi positif, diskusikan bagaimana kolinearitas dapat mempengaruhi hasil regresi.

7. Visualisasi Data dan Model:

   • Visualisasikan data asli (\(x_1\), \(x_2\), \(x_3\), \(y\)) menggunakan scatter plot untuk setiap variabel independen terhadap \(y\).
     
   • Buat plot 3D yang menggambarkan model regresi \(y\) terhadap \(x_1\), \(x_2\), dan \(x_3\) untuk memberikan gambaran keseluruhan model regresi.
     
   • Buat plot residuals (\(y - \hat{y}\)) terhadap \(y\) yang diamati untuk memvalidasi distribusi error.

Panduan Penyelesaian:

1. Estimasi Parameter:
   Gunakan persamaan matriks Least Squares untuk menghitung parameter:
   \[ \mathbf{\beta} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{y} \]
   di mana \(\mathbf{X}\) adalah matriks data variabel independen dengan kolom bias (\(1\)).

2. SSE, \(R^2\), dan Prediksi:
   Lakukan perhitungan berdasarkan formula yang disediakan.

3. Visualisasi:

Gunakan perangkat lunak seperti Python (matplotlib, seaborn, dan plotly) atau R untuk membuat plot. Berikut adalah panduan singkat:

• Scatter Plot: Gunakan plot untuk melihat hubungan individual antara variabel independen dan variabel dependen.
  
• Plot 3D: Gunakan library seperti plotly untuk membuat grafik model regresi yang melibatkan tiga variabel independen.
  
• Residual Plot: Pastikan untuk memeriksa pola error apakah menunjukkan distribusi yang random atau ada pola sistematis.

Permasalahan:

Perusahaan ingin memaksimalkan keuntungannya dengan menentukan jumlah unit produk A, B, C, dan D yang harus diproduksi, tanpa melampaui batasan sumber daya yang tersedia.

Pertanyaan:

1. Model Linear Programming:

Buat model LP dengan:

 - Fungsi tujuan untuk memaksimalkan keuntungan.
 - Batasan terkait kapasitas sumber daya.

2. Solusi Optimal:

Tentukan solusi optimal:

 - Berapa banyak produk **A**, **B**, **C**, dan **D** yang harus diproduksi untuk memaksimalkan keuntungan?  
 - Berapa nilai maksimum keuntungan?

3. Analisis Sumber Daya:

Apakah semua sumber daya digunakan sepenuhnya? Jika tidak, tentukan berapa banyak sumber daya yang tersisa.

4. Analisis Sensitivitas:

Bagaimana solusi akan berubah jika:

 a. Bahan baku tersedia hingga 250 kg.  
 b. Keuntungan produk **D** naik menjadi $50/unit.  

5. Visualisasi (Opsional, untuk implementasi di perangkat lunak):

Gunakan perangkat lunak seperti Python atau R untuk memvisualisasikan solusi optimal:

 - Plot nilai fungsi tujuan terhadap kombinasi variabel.
 - Tampilkan analisis batasan dan solusi optimal menggunakan metode grafis (untuk subset variabel, jika 4 variabel sulit divisualisasikan langsung).

Model Linear Programming:

1. Definisikan Variabel Keputusan:

   • \(x_1\): Jumlah produk A yang diproduksi.
     
   • \(x_2\): Jumlah produk B yang diproduksi.
     
   • \(x_3\): Jumlah produk C yang diproduksi.
     
   • \(x_4\): Jumlah produk D yang diproduksi.

2. Fungsi Tujuan: \[ \text{Maximize } Z = 30x_1 + 50x_2 + 20x_3 + 40x_4 \]

3. Batasan Sumber Daya:

   • Bahan baku:
     \[ 3x_1 + 5x_2 + 4x_3 + 6x_4 \leq 200 \]
   • Jam kerja mesin:
     \[ 1x_1 + 2x_2 + 1x_3 + 3x_4 \leq 100 \]
   • Jam kerja tenaga kerja:
     \[ 2x_1 + 3x_2 + 1x_3 + 2x_4 \leq 150 \]

4. Non-Negatif: \[ x_1, x_2, x_3, x_4 \geq 0 \]

Panduan Penyelesaian:

1. Formulasi Numerik:
   • Masukkan data ke dalam metode Simplex (dapat digunakan dengan perangkat lunak seperti Python (scipy.optimize.linprog) atau R (lpSolve)).
2. Interpretasi Solusi:
   • Solusi optimal menyatakan jumlah produk A, B, C, dan D yang diproduksi serta keuntungan maksimum.
3. Analisis Sensitivitas:
   • Ubah parameter tertentu (seperti ketersediaan sumber daya atau keuntungan per unit) dan hitung ulang untuk menilai dampak pada solusi.
4. Visualisasi:
   • Buat visualisasi berdasarkan subset variabel (misalnya, hanya A dan B) untuk menggambarkan prinsip dasar dan perbandingan berbagai solusi.