Medidas Descriptivas Numericas

Definicion

Se refiere al analisis, resumen y presentacion relaciones con datos cuantitativos de la poblacion estudiada como su edad, peso, tamaño, puntuacion en alguna actividad academica o no academica, entre otros; mediantes operaciones matematicas para poder calcular los valores cuantitativos y sacar un resultado de tal forma que las personas puedan entenderlo de forma clara y eficaz.

Medidas Centralizadas

Se puede decir que son la representacion de ciertos puntos o tendencias del grupos de datos que se estan analizando y nos ayudan a ubicarlos dentro de la escala.

Media aritmetica

Se Trata de la sumatoria de los valores registrados dividiso entre el numero de datos, es decir:

\[ X = \sum_{i=1}^{X} x / n \] [Formula][Media-Aritmetica]

Donde:

  • x = Valores
  • n = Numero de datos

Por ejemplo: calcule la sigente tabla [Ejem][Media-Aritmetica]

Dia/semana Lun mar mier jue vier sab
reclamos/dia 8 10 5 12 10 15

Ahora para hallar el resultado de [Ejem][Media-Aritmetica] debemos tulizar la ecuacion [Definicion][Media-Aritmetica] sumando los reclamos entre si que nos daria 60 y luego dividrilo entre la cantidad de dias que son 6, lo que sacaria una media de 6

\[ X = 8+10+5+12+10+15/6 = 60/6 = 6 \]

Ahora si los datos estan agrupados se encuentra en una tabla de distribuciion de frecuencia se utiliza esta formula:

\[ \bar{x} = \sum_{i=1}^{X} f . x / n \] [Formula_Agrup][Media-Aritmetica]

Donde:

  • X = media muetral
  • f = frecuencia absoluta de la clase
  • x = marca de clase

Ejemplo: [Ejem-Agrup][Med-Arit]

Desempeño (Puntos) Numero de tecnicos
12 - 16 4
17 - 21 8
22 - 26 15
27 - 31 23
32 - 36 10
TOTAL 60

Para hallar el resultado de [Ejem_Agrup][Media-Aritmetica] primero debemos sacar la marca de clase que se obtiene sumando los valores de los intervalos y divirlo en dos, osea, que en e primero se suma 12 + 16 y luego se divide con 2 lo que nos da 4 y asi sucesibamente hasta sacar toda las marcas de clase, que nos daria

Tabla @ref(Tabla_MediaArit_Datos_agrup) con la Frecuencia Absoluta | intervalos - clases | Marca de Clase | Frecuencia Absoluto | |———————|—————-|———————| | 12 - 16 | 14 | 4 | | 17 - 21 | 19 | 8 | | 22 - 26 | 24 | 15 | | 27 - 31 | 29 | 23 | | 32 - 36 | 34 | 10 | | TOTAL | - | 60 |

Ahora se multiplica la marca de clase con la Frecuencia Absoluta ue nos daria como resultado que la media es de 26,25

\[ X = 14(4) + 19(8) + 24(15) + 29(23) + 34(10) / 60 = 1575 / 60 = 26,25 \]

La Mediana

Se le define como la medida en donde representa la posicion de una intermedia de un conjunto de datos ordenados y se puede hacer tanto en pares como impares de numeros

como ejemplo: Determine la mediana del siguiente grupo de datos [Ejem][La-Mediana]

12, 10, 5, 15 , 8, 11, 13, 8, 10, 17, 16

Para Resolver el ejemplo [Ejem][La-Mediana] primero se debe organizar los valores del grupo del mayor a menor para poder hallar la parte intermedia del grupo (osease la mediana) lo cual nos daria algo asi:

5, 8, 8, 10, 10, 11, 12, 13, 15, 16, 17

y como se puede ver el valor de que esta en el medio es el 11, asi que por logica se puede decir que ese es la mediana

Ahora, que pasa si el grupo de nuemros es uno par? pues se suma los dso valores centrales del grupo y luego se divide por 2, osease:

\[ Mediana = {\frac{Valor Central N1 + ValorCentralN2}{2}} \] [Form][La-Mediana]

como ejemplo:

8, 10, 14, 18, 23, 24, 32, 34

ahora agarramos los dos valores centrales que son 18 y 23 para luego dividrilo en dos ue nos dara como resultado 20.5

\[ Mediana = {\frac{18 + 23}{2}} = 20.5 \]

ahora en caso de que se requiera calcular un grupo de datos, pues se utiliza la siguiente formula:

\[ \text{Mediana} = L + \left( \frac{\frac{N}{2} - F}{f} \right) \times c \] [Form-Agrup][La-Mediana]

  • \(L\) = límite inferior de la clase mediana
  • \(N\) = total de observaciones
  • \(F\) = frecuencia acumulada de la clase anterior a la clase mediana
  • \(f\) = frecuencia de la clase mediana
  • \(c\) = amplitud de la clase

Como Ejemplo: [Ejem-Agrup][La-Mediana]

Expereincia Laboral Numero de trabajadores de seguridad
0 - 3 4
4 - 7 12
8 - 11 24
12 - 15 16
16 - 19 10
20 - 23 3
——- 69

Ahora, Para poder calcular la mediana de la tabla [Ejem-Agrup][La-Mediana] , primero usamos la formula [Form-Agrup][La-Mediana] calculando el numero total de observaciones que es 69 dividiendolos en dos para luego restarle por la frecuencia acumulada de la clase anterior a la mediana que serian 4 y 12 que se suman y nos da como resultado 16 y se divide por la frecuencia absoluta de la calse mediana que es 24, luego se multiplica por la amplitud de la clase que es en este caso 4 para luego sumarlo con el limite inferior que es 7.5, lo que nos da un resultado 10.58 y para aegurarse que es cierto se ve que sta dentro del inetrvalo de la mediana y como es de 8 - 11 si esta dentor del mismo.

\[ \text{Mediana} = 7,5 + \left( \frac{\frac{69}{2} - 16}{24} \right) \times 4 = 7,5 +3,08 = 10,58 \]

Moda

Es el la medida que representa el valor que mas se repite dentro de un grupo de datos

Ejemplo:

4 | 5 | 7 | 8 | 8 | 10 | 12 | 15 |

como se puede ver en la tabla el valor que mas repite es el 8 y por lo tanto se puede decir que es la moda

ahora en caso de que la el grupo de datos esten agrupados entre si se utiliza la siguiente formula:

\[ \text{Moda} = L + \left( \frac{f_m - f_{m-1}}{(f_m - f_{m-1}) + (f_m - f_{m+1})} \right) \times c \] Formula-Agrup

Donde:

  • ( L ) = límite inferior de la clase modal (la clase con la mayor frecuencia).
  • ( f_m ) = frecuencia de la clase modal.
  • ( f_{m-1} ) = frecuencia de la clase que precede a la clase modal.
  • ( f_{m+1} ) = frecuencia de la clase que sigue a la clase modal.
  • ( c ) = amplitud de la clase.

Ejemplo: Ejem-Agrup

Errores de Facturaciones Dias
0 - 3 6
4 - 7 12
8 - 11 8
12 - 15 3
16 - 19 1

Para hallar la moda de la tabla Ejem-Agrup primero se debe hallar los limites reales de la clase modal utilizando Form-Agrup, para ello se debe restar la frecuencia absoluta de la moda (que es 12) con el el que le procede que es 6 y asi sacando 6 tambien llamado delta 1 y con el segundo se resta la frecuencia absoluta del moda con la calse ue la sigue (que es 8) sacando un resultado de 4 o delta 2.

Luego se divivde el delta 1 con la seman de delta 1 y de delta 2 para luego multiplicarse con la amplitud de la clase que es 4 y sumarse con el limite inferior de la clase modal que es 3,5 lo que nos da un resultado de 5,9 que esta dentro de intervalo modal

\[ \text{Moda} = 3,5 + \left( \frac{12 - 6}{(12 - 6) + (12 - 8)} \right) \times 4 = 3,5 + \left( \frac{6}{(6) + (4)} \right) \times 4 =3,5 + 2,4 = 5,9 \]

Medidas De Dispersion

Definicion

Segun [Definicion][Medidas-De-Dispersion] son numeros que nos indican si una variable se mueve mucho o poco. se utilizan para conocer de forma resumida la caracteristica de alguna variable.

Desviacion Media

Es el valor representativo de la dispercion con respeto a la media, se calcula representado como la diferencia entre sumatoria de las variables y la media, osea

\[ DM = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|}{n} \] [Formula][Desviacion-Media]

Donde:

  • Xi = Los datos utilizados
  • X = La media
  • n = La Cantidadde datos

Como ejemplo con datos simples: [Ejem][Desviacion-Media]

12 | 6 | 7 | 3 | 15 | 10 | 18 | 5 |
— | — | — | — | — | — | — | — |

Para hallar la desviacion media del ejemplo [Ejem][Desviacion-Media] primero se debe hallar la media de mismo, y si recordamos es la sumatoria de los valores [Formula][Media-Aritmetica] dividido entre la cantidad de valores lo nos daria como resultado lo siguiente:

\[ X = \frac{12 + 6 + 7 + 3 + 15 + 10 + 18 + 5}{8} = 9,5 \]

Ahora ya hallado la media ahora se procede a restar los valores del conjunto con la media y dividirlo con la cantidad de valores del mismo dando como reslutado:

\[ DM = \frac{(12 - 9,5) + (6 - 9,5) + (7 - 9,5) + (3 - 9,5) + (15 - 9,5) + (10 - 9,5) + (18 - 9,5) + (5 - 9,5)}{8} = 4,25 \]

ahora en caso de que los datos esten agrupados se debe hallar la difenrencia entre los valores del conjunto con la media multiplicada por la frecuencia absoluto y dividida entre la cantidad de datos en el mismo, representada con esta formula

\[ DM = \frac{\sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| * f}{n} \] [Formula-Agrup][Desviacion-Media]

Ejemplo con datos agrupados: [Ejem-Agrup][Desviacion-Media]

Intervalos - Clases Marca de Clase (x) Frecuencia Absoluta (f)
12 - 16 14 4
17 - 21 19 8
22 - 26 24 15
27 - 31 29 23
32 - 36 34 10
Total - 60

Como lo hiciomos el anterior ejemplo para hallar la desviacion estandar debemos buscar la media primero con su formula [Formula][Media-Aritmetica], el cual es:

f*x Resultado
4*14 56
8*19 152
15*24 360
29*23 667
34*10 340
— 1575

\[ X = \frac{1575}{60} = 26,25 \]

Ahora calcuramos la desviacion media restando cada valor del conjunto de datos con la media y multiplicandolo con la frecuencia absoluta

(X - x) . f Resultados
(26,25 - 14) * 4 49
(26,25 - 19) * 8 58
(26,25 - 24) * 15 33,75
(26,25 - 29) * 23 63,25
(26,25 - 34) * 10 77,5
— 281,5

ahora lo restamos por la cantidad de valores y obtenemos como resultados:

\[ DM = \frac{281,5}{60} = 4,691 \]

Varianza

Son descriptas como la medida que representa la varibilidad de una serie de datos con respecto a la media, Formalmente se calcula como la suma de los residuos al cuadrado divididos entre el total de observaciones. Su fórmula es la siguiente:

\[ σ² = \frac{\sum_{i=1}^{N} (x_i - μ)²}{N} \] Formula

donde:

  • σ² es la varianza poblacional.
  • x_i son los valores individuales de la población.
  • μ es la media de la población.
  • N es el tamaño de la población.

Ejemplo con datos simple: Ejem

Utilizimos el ejemplo de Desviacion media

12 6 7 3 15 10 18 5

como se puede ver en la formula a la de la desviacion tipica, solo que esta esta elevada al cuadrado lo que daaria como resultado de Ejem:

\[ σ² = \frac{(12 - 9,5)² + (6 - 9,5)² + (7 - 9,5)² + (3 - 9,5)² + (15 - 9,5)² + (10 - 9,5)² + (18 - 9,5)² + (5 - 9,5)²}{8} = 23,75 \]

En caso de que haya dtaos agrupados se utiliza la siguiente formula:

\[ σ² = \frac{\sum_{i=1}^{N} x² * f}{N} - X² \] Formula-Agrup

Ejemplo Con Datos Agrupados: Ejem-Agrup

Ahora utilizando el ejemplo de Desviacion estandar con datos agrupados

Intervalos - Clases Marca de Clase (x) Frecuencia Absoluta (f) f*x (X - x) f
12 - 16 14 4 56 49
17 - 21 19 8 152 58
22 - 26 24 15 360 33,75
27 - 31 29 23 667 63,25
32 - 36 34 10 340 77,5
Total - 60 1575 281,5

ahora segun la formula Formula-Agrup debemos hacer una sumatoria de las marcas de clases al cuadrado por la frecuancia absoluta de cada uno de los datos menos por la media elevado al cuadrado, pero primero debemos reolver la parte de marca de clases por la frecuencia absoluta que nos dar estos resultados:

x² * f Resultados
14² * 4 784
19² * 8 2888
24² * 15 8640
29² * 23 19342
34² * 10 11560
— 43215

Despues de conseguir la sumatoria ahora debemos restarle por el total de la frecuencia absoluta menos la media elevada al cuadrado elevado al cuadrado que nos dara este resultado:

\[ σ² = \frac{43215}{60} - 26,25² = 31.1875 \]

Desviacion Tipica

Es descripta como la raiz cuadrada de la Varianza, el cual se puede aplicar tanto en conjunto de datos simples como agrupados y se representa con esta formula:

\[ S = \sqrt{σ²} \] [Formula][Desviacion-Tipica]

Donde:

  • S = Desviacion Estandar
  • σ² = Varianza

Como ejemplo tanto simple como Agrupado visto en Ejem y Ejem-Agrup

\[ S = \sqrt{23,75} = 4,87, S = \sqrt{31.1875} = 5,58 \]

Medidas de posicion

Definicion

Se les define como aquellas formulas que nos permiten dividir conjuntos de numeros en 100 partes iguales para la clasificacion de numero para clasificar a un individuo dentro de una poblacion.

Perciles

Se le define como la division del conjunto entre 100 partes iguales y se calcula con la siguiente formula:

\[ P_k = L_{ri} + \frac{\frac{k.n}{100} - fac_{ant}}{f} . c \] Formula

Donde:

  • Q_k: Valor del percil k que se desea calcular.
  • L_{ri}: Límite inferior de la clase que contiene el percil k-ésimo.
  • k: Orden del percil (1 para el primer percil, 2 para el segundo, etc.).
  • n: Tamaño total de la muestra.
  • fac_{ant}: Frecuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene el percil.
  • f: Frecuencia de la clase que contiene el percil.
  • c: Amplitud de la clase que contiene el percil.

Ejemplo:

Ejem

Sobre que edad se ubica el 25% de las enfermeras de mayor experiencia

Expereciancia (años) Trabajadores
o - 3 18
4 - 7 42
8 - 11 68
12 - 15 120
16 - 19 40
20 - 23 34
24 - 27 12
Total 334 
## Warning: package 'ggplot2' was built under R version 4.4.2
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##   a single row.
## Warning in geom_text(aes(x = 75, y = 0.3, label = "P75"), vjust = 0): All aesthetics have length 1, but the data has 3 rows.
## ℹ Please consider using `annotate()` or provide this layer with data containing
##   a single row.
## Warning in geom_text(aes(x = 100, y = 0.3, label = "25%"), vjust = 0): All aesthetics have length 1, but the data has 3 rows.
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## ℹ Please consider using `annotate()` or provide this layer with data containing
##   a single row.
## Warning in geom_curve(aes(x = 75, y = 0.2, xend = 100, yend = 0.2), curvature = -0.2, : All aesthetics have length 1, but the data has 3 rows.
## ℹ Please consider using `annotate()` or provide this layer with data containing
##   a single row.

Y luego se multiplica con el tamaño de la muestra y lo dividimos por 100 de esta forma

\[ P75 = \frac{75(334)}{100} = 250.5 \]

pero para poder saber en que clase se halla debemos calcular la frecuencia absoluta que es la sumatoria de todas las frecuencias que nos daria lo siguiente:

Expereciancia (años) Trabajadores Frecuencia absoluta
o - 3 18 18
4 - 7 42 60
8 - 11 68 128
12 - 15 120 248
**16 - 19 40 288**
20 - 23 34 322
24 - 27 12 334
Total 334

como se puede ver el percentil se encuentr en el intervalo 16 - 19, ya que ahi es donde estaria el 250 y ahora aplicamos la formula:

\[ P75 = 15.5 + \frac{250,5 - (248 - 1)}{40} . 4 = 15,65 \]

El cuartil

Es la division del conjunto de numeros por 4 y se le define con la siguente formula:

\[ Q_k = L_{ri} + \frac{\frac{k.n}{4} - fac_{ant}}{f} . c \] [Formula][El-cuartil]

Donde:

  • Q_k: Valor del cuartil k que se desea calcular.
  • L_{ri}: Límite inferior de la clase que contiene el cuartil k-ésimo.
  • k: Orden del cuartil (1 para el primer cuartil, 2 para el segundo, etc.).
  • n: Tamaño total de la muestra.
  • fac_{ant}: Frecuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene el cuartil.
  • f: Frecuencia de la clase que contiene el cuartil. - c: Amplitud de la clase que contiene el cuartil.

Ejemplo:

[Ejem][El-cuartil]

Halla el cuartil 2

Intervalos (clases) Frecuencia de las clases Frecuencia absoluta
55 - 59 3 3
59 - 63 5 8
**63 - 67 40 48 **
67 - 71 24 72
71 - 75 15 87
75 - 79 8 95
79 - 83 1 96
Total 96

Ahora al igual que el ejemplo anterior, debemos usar la formula [Formula][El-cuartil] calcular el cuartil multiplicandolo con el tamaño de la muestra y dividerlo entre 4

\[ Q_2 = \frac{2(96)}{4} = 48 \]

y ahora debemos ubicarlo dentro de los intervalos que es en 63 - 67 debido a que su frecuencia absolut es igula al de cuartil y hacemos el resto de la formula, halla la amplitud de la clase que es 4, luego tomamos la fecuencia de la clase ya antes mecionada y en el caso de la frecuencia acumulada anterior es de 8 y la frecuencia del cuartil es de 40 y su limite inferior es 62,5 lo que nos da como resultado:

\[ Q_2 = 62,5 + \frac{{48 - 8}}{40} . 4 = 66,5 \]

El Decil

Es la Distribuccion de un conjunto de numeros en 10 partes iguales y se expresa e esta formula:

\[ D_k = L_{ri} + \frac{\frac{k.n}{10} - fac_{ant}}{f} . c \] [Formula][El-Decil]

Donde:

  • D_k: Valor del Decil k que se desea calcular.
  • L_{ri}: Límite inferior de la clase que contiene el decil k-ésimo.
  • k: Orden del decil (1 para el primer decil, 2 para el segundo, etc.).
  • n: Tamaño total de la muestra.
  • fac_{ant}: Frecuencia acumulada de la clase anterior a la que contiene el Decil.
  • f: Frecuencia de la clase que contiene el Decil.
  • c: Amplitud de la clase que contiene el Decil.

Ejemplo:

[Ejem][El-Decil]

Hallar el decil de 6

Intervalos (clases) Frecuencia de las clases Frecuencia absoluta
55 - 59 3 3
59 - 63 5 8
63 - 67 40 48
**67 - 71 24 72**
71 - 75 15 87
75 - 79 8 95
79 - 83 1 96
Total 96

Primero debemos hallar en que intervalo se halla el decil multiplicandolo con el tamaño de la muestra y sividirlo por 10 sacando este resultado:

\[ D_2 = \frac{6(96)}{10} = 57,6 \]

Y ubicamos el decil de en el intervalo 67 - 71 al hallaze el resultado dentro de su frecuencia acumulada y sustituimos el resto de la formula con la informacion ya obtenida, es decir, el limite inferior es 66,5, la frecuencia acumulada anteiror es 48, la frecuencia del decil es de 24 y la amplitud es de 4, lo que nos da como resultado lo siguiente:

\[ D_6 = 66,5 + \frac{{57,6 - 48}}{24} . 4 = 68,1 \]

Refecias Bibliograficas