Nguyễn Thúy Vy
2025-01-08
Trên một vòng tròn có 12 điểm.
a. Có bao nhiêu dây cung được vẽ từ các nút này?
b. Có bao nhiêu tam giác nhận các điểm này làm đỉnh?
Giải.
a.
Mỗi dây cung là một đoạn thẳng nối hai điểm trên vòng tròn. Vậy số dây cung được vẽ là số cách chọn ra 2 điểm từ 12 điểm trên vòng tròn.
Số cách chọn 2 điểm từ 12 điểm là: \[ C_{12}^{2} = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2! \times 10!} = \frac{12 \times 11}{2} = 66 \] Vậy có 66 dây cung được vẽ từ các điểm này.
b.
Mỗi tam giác là tập hợp 3 điểm được chọn trên vòng tròn. Vậy số tam giác vẽ được là số cách chọn ra 3 điểm từ 12 điểm trên vòng tròn.
Số cách chọn 3 điểm từ 12 điểm là: \[ C_{12}^{3} = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3! \times 9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220 \] Vậy có 220 tam giác được vẽ từ các điểm này.
Một ổ khóa bằng mã số có 3 vòng số, mỗi vòng có 20 vị trí. Ổ khóa chỉ mở được khi mỗi vòng số nằm ở đúng vị trí của nó.
a. Tính số trường hợp có thể có khi xoay 3 vòng số này.
b. Tính xác suất mở được khóa trong 1 lần mở.
Giải.
a.
Mỗi vòng số trên ổ khóa có 20 vị trí, các vòng này hoạt động độc lập với nhau.
Áp dụng theo quy tắc nhân, ta có được số trường hợp như sau: \[ 20 \times 20 \times 20 = 8000 \] Vậy có 8000 trường hợp có thể có khi xoay 3 vòng số này.
b.
Chỉ khi ổ khóa được mở đúng vị trí cho cả 3 vòng số thì khi đó sẽ mở được trong 1 lần mở. Có nghĩa là chỉ có 1 trường hợp duy nhất có thể xảy ra.
Khi đó xác suất sẽ là: \[ \text{Xác suất} = \frac{\text{Số trường hợp cụ thể có thể mở được khóa}}{\text{Tổng số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{1}{8000} \] Vậy xác suất có thể mở ổ khóa chỉ trong một lần là \(\frac{1}{8000}\).
Có 6 người nam và 7 người nữ tham trong một giải thi đấu bóng bàn. Phải chọn 4 người nam và 4 người nữ để ghép cặp thành 4 cặp nam - nữ. Có bao nhiêu khả năng có thể xảy ra?
Giải.
Số cách chọn 4 nam từ 6 người nam: \(C^4_{6} = 15\).
Số cách chọn 4 nữ từ 7 người nữ: \(C^4_{7} = 35\).
Số cách ghép cặp 4 nam và 4 nữ: \(4! = 24\).
Tổng số khả năng (cách chọn) để ghép các cặp nam - nữ là: \(15 \times 35 \times 24 = 12600\).
Một giải thi đấu bóng đá có 8 đội, ở vòng 1 các đội phải thi đấu vòng tròn một lượt tính điểm. Hỏi vòng 1 có bao nhiêu trận đấu?
Giải.
Giải thi đấu gồm 8 đội, trong mỗi trận gồm 2 đội đấu với nhau. Vậy trong giải đấu vòng tròn, mỗi đội sẽ thi đấu với tất cả các đội còn lại một lần.
Khi đó số trận đấu sẽ là số cách chọn 2 đội từ 8 đội được tính bằng tổ hợp: \[ C_{8}^{2} = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8!}{2! \times 6!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \] Vậy trong vòng 1 sẽ gồm 28 trận đấu.
Có 50 đề thi trong đó có 15 đề khó, 35 đề trung bình. Một học sinh bốc ngẫu nhiên hai đề thi. Tính xác suất để học sinh đó bốc được ít nhất một đề trung bình?
Giải.
Gọi \(A\) là biến cố “học sinh bốc được ít nhất một đề trung bình”.
Số phần tử của không gian mẫu là số cách chọn 2 đề ngẫu nhiên trong 50 đề: \[ |\Omega| = C^2_{50} = 1225. \] Số phần tử của biến cố \(A\) là: \[ |A| = C^1_{35} \times C^1_{15} + C^2_{35} = 1120. \] Vậy xác suất của biến cố \(A\) là: \[ P(A) = \frac {|\Omega|}{|A|} = \frac {1120}{1225} \approx 0,914. \]
Tại một lớp mẫu giáo có 15 em nhỏ. Vào ngày đi học đầu tiên của tháng sẽ có một buổi tiệc dành cho tât cả các bé sinh vào tháng đó. Nếu không có bé nào sinh vào tháng đó thì sẽ không có tiệc. Giả sử ngày sinh của các bé là độc lập và các tháng là như nhau Tính xác suất để:
a. Không tiệc vào tháng 1 và tháng 2.
b. Có đúng tám bé sinh vào bốn tháng cuối năm.
Giải.
Vì ngày sinh là độc lập và các tháng là như nhau. Do đó số không gian mẫu là số cách phân bố ngày sinh của 15 em nhỏ vào 12 tháng:
\[ |\Omega| = 12^{15}. \]
a.
Gọi \(A\) à biến cố “không có tiệc vào tháng 1 và tháng 2”.
Để không có tiệc vào tháng 1 và 2 thì tất cả các bé phải sinh vào 10 tháng còn lại, Vậy số phần tử của biến cố \(A\) là: \[ |A| = 10^{15}. \] Vậy \(P(A) = \frac{10^{15}}{12^{15}} \approx 0.65\).
b.
Gọi \(B\) là biến cố “có 8 bé sinh vào 4 tháng cuối năm”.
Số khả năng cho biến cố \(B\) là:
Cách chọn 8 bé trong 15 bé để sinh nhật vào 4 tháng cuối năm: \(C^8_{15} = 6435\).
Cách phân bố 8 bé vào 4 tháng cuối năm: \(4^8 = 65536\).
Cách phân bố 7 bé còn lại vào 8 tháng đầu năm: \(8^7 = 2097152\).
\(\rightarrow\) Số phần tử của biến cố \(B\) là: \(|B| =\) \(6435 \times 65536 \times 2097152\).
Vậy ta tính được xác suất của biến cố \(B\) là: \[ P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{6435 \times 65536 \times 2097152}{12^{15}} \approx 0.574. \]
Một người gọi điện thoại cho bạn nhưng quên mất ba chữ số cuối và chỉ nhớ rằng chúng khác nhau. Tìm xác suất để người đó quay một lần được đúng số điện thoại của bạn.
Giải.
Gọi \(A\) là biến cố “quay một lần được đúng số điện thoại”.
Từ 0 đến 9 gồm 10 chữ số và các chữ số này không được giống nhau, ta tính được số phần tử của không gian mẫu như sau: \[ |\Omega| = 10 \times 9 \times 8 = 720. \] Để quay một lần được đúng số điện thoại thì chỉ có 1 khả năng, suy ra: \[ |A| = 1. \] Vậy xác suất để người đó quay một lần được đúng số điện thoại là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{1}{720} \approx 0,001389. \]
Một em bé có 6 chữ số đồ chơi được làm bằng gỗ là: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Tính xác suất để em bé này nhặt ngẫu nhiên 3 chữ số mà tổng các chữ số cộng lại là số chẵn.
Giải.
Gọi \(A\) là biến cố ” em bé nhặt được 3 chữ số mà tổng các chữ số này là số chẵn”.
Số phần tử của không gian mẫu này là số cách chọn 3 chữ số từ 6 chữ số: \[ |\Omega| = C^3_{6} = 20. \] Các chữ số lẻ và chẵn:
Các chữ số lẻ: 1, 3, 5.
Các chữ số chẵn: 2, 4, 6.
Để tổng là số chẵn ta có các trường hợp sau đây:
TH1: Ba chữ số đều là chẵn.
Chỉ có một bộ là (2, 4, 6).
TH2: Hai chữ số lẻ và một chữ số chẵn.
\(C^2_{3} \times C^1_{3} = 9\)
Vậy số phần tử của biến cố \(A\) là: \(|A| = 9+1=10\)
Vậy xác suất để em bé này nhặt ngẫu nhiên 3 chữ số mà tổng các chữ số cộng lại là số chẵn là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{10}{20} \approx 0,5. \]
Có 10 khách bước ngẫu nhiên vào một cửa hàng có 3 quầy. Tính xác suất để có 3 người vào quầy số 1.
Giải.
Gọi \(A\) là biến cố “có 3 người bước vào quầy số 1”.
Số phần tử của không gian mẫu là: \(|\Omega| = 3^{10}\).
Số phần tử của biến cố \(A\) là:
Số cách chọn ra 3 người trong 10 người để bước vào quầy 1: \(C^3_{10}\).
Số người còn lại chọn vào quầy 2 hoặc quầy 3, ta được: \(2^7\).
\(\rightarrow |A| = C_{10}^3 \times 2^7\).
Vậy xác suất để có 3 người vào quầy số 1 là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{C_{10}^3 \times 2^7}{C^3_{10}} \approx 0,26. \]
Một đoàn tàu gồm 3 toa đỗ ở sân ga. Có 5 hành khách bước lên tàu. Mỗi hành khách độc lập với nhau chọn ngẫu nhiên 1 toa. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách mới bước lên tàu.
Giải.
Gọi \(A\) là biến cố “mỗi toa có ít nhất một hành khách mới bước lên tàu”.
Số phần tử của không gian mẫu là: \(|\Omega| = 3^{5} = 243\).
Để mỗi toa có ít nhất một hành khách thì có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: 1 toa có 3 người và 2 toa còn lại mỗi toa có 1 người.
Chọn 1 toa trong 3 toa để toa đó có 3 người: \(C^1_{3} =3\).
Chọn 3 trong 5 người để vào toa có 3 người: \(C^3_{5}=10\).
2 người còn lại, mỗi người vào một toa: \(2! =2\).
\(\rightarrow\) Số cách cho trường hợp 1 là: \(3 \times 10 \times 2 =60\).
Trường hợp 2: 1 toa có 1 người và 2 toa còn lại mỗi toa có 2 người.
Chọn 1 toa trong 3 toa để toa đó có 1 người: \(C^1_{3} =3\).
Chọn 1 trong 5 người để người đó vào toa chỉ có 1 người: \(C^1_{5}=5\).
Chọn 2 trong 4 người còn lại để vào 1 toa có 2 người: \(C^2_{4}=6\).
2 người còn lại vào chung 1 toa: 1.
\(\rightarrow\) Số cách cho trường hợp 2 là: \(3 \times 5 \times 6 \times 1 = 90\).
Số phần tử của biến cố \(A\) là: \(|A| = 60 + 90 =150\).
Vậy xác suất để mỗi toa có ít nhất một hành khách mới bước lên tàu là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{150}{243} \approx 0,6173. \]
Một người bỏ ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì đã ghi sẵn địa chỉ. Tính xác suất:
a. Chỉ có một lá thư bỏ đúng địa chỉ.
b. Cả 3 lá thư đều được bỏ không đúng địa chỉ.
Giải.
Số phần tử của không gian mẫu là số cách bỏ 3 lá thư vào 3 phong bì: \(|\Omega| = 3! = 6\).
a.
Gọi \(A\) là biến cố “chỉ có 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ”.
Ta có các trường hợp như sau:
Lá thư thứ nhất bỏ đúng, 2 lá còn lại bỏ sai: 1 cách.
Lá thư thứ hai bỏ đúng, 2 lá còn lại bỏ sai: 1 cách.
Lá thư thứ ba bỏ đúng, 2 lá còn lại bỏ sai: 1 cách.
\(\rightarrow |A| = 1 + 1 + 1 = 3\).
Vậy xác suất chỉ có 1 lá thư bỏ đúng địa chỉ là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{3}{6} \approx 0,5. \]
b.
Gọi \(B\) là biến cố “cả 3 đều không đúng địa chỉ”.
Số phần tử của biến cố \(B\) áp dụng công thức hoán vị sai lệch ta được: \[ |B| = D(3) = 3! \times \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} \right) = 2. \] Vậy xác suất cả 3 đều không đúng địa chỉ là: \[ P(B) = \frac{|B|}{|\Omega|} = \frac{2}{6} \approx 0,33. \]
Một người mua ngẫu nhiên một vé xổ số có 5 chữ số.
a. Tính xác suất để được vé không có chữ số 1 hoặc không có chữ số 5.
b. Tính xác suất để được vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ.
Giải.
Số phần tử của không gian mẫu là: \(|\Omega| = 10^5\).
a.
Gọi \(A\) là biến cố “vé không có chứ số 1 hoặc không có chữ số 5”.
Gọi \(A_1\) là biến cố “vé không có chứa số 1”
Gọi \(A_2\) là biến cố “vé không có chứa số 5”
Gọi \(A_3\) là biến cố “vé không có chứa số 1 và số 5”
Từ các biến cố trên ta tính được các xác suất như sau: \[ P(A_1) = \frac {9^5}{10^5}; P(A_2) = \frac {9^5}{10^5}; P(A_3) = \frac {8^5}{10^5}. \] Vậy xác suất vé không có chứ số 1 hoặc không có chữ số 5 là: \[ P(A) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_3) = \frac {9^5}{10^5} + \frac {9^5}{10^5} - \frac {8^5}{10^5} = 0,8533. \]
b.
Gọi \(B\) là biến có “vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ”.
Từ biến cố \(B\), ta có biến cố đối của biến cố $$B là : “vé không có chữ số 2 và có chữ số chẵn”.
Gọi \(B_1\) là biến cố “vé không có chữ số 2”.
Gọi \(B_2\) là biến cố “vé có chữ số chẵn”.
Gọi \(B_3\) là biến cố “vé không có chữ số 2 và có chữ số chẵn”
Từ các biến cố trên ta tính được các xác suất như sau: \[ P(B_1) = \frac {9^5}{10^5}; P(B_2) = \frac {5^5}{10^5}; P(B_3) = \frac {4^5}{10^5}. \] Vậy xác suất vé không có chữ số 2 và có chữ số chẵn là: \[ P(\overline{B}) = P(B_1) + P(B_2) - P(B_3) = \frac {9^5}{10^5} + \frac {5^5}{10^5} - \frac {4^5}{10^5} = 0,6115. \] Từ đó suy ra xác suất vé có chữ số 2 và có chữ số lẻ là: \[ P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0,6115 = 0.3885. \]
Một công ty cần tuyển 4 nhân viên. Có 10 người, gồm 7 nam và 3 nữ nộp đơn xin dự tuyển, và mỗi người đều có cơ hội được tuyển như nhau. Tính xác suất để trong 4 người được tuyển có ít nhất một nữ?
Giải.
Gọi \(A\) là biến cố “trong 4 người được tuyển thì có ít nhất một nữ”.
Số phần tử của không gian mẫu là: \(|\Omega| = C^4_{10} = 210\).
Các trường hợp cho biến cố \(A\) là:
Trường hợp 1: 1 nữ và 3 nam: \(C^1_{3} \times C^3_{7} = 105\).
Trường hợp 2: 2 nữ và 2 nam: \(C^2_{3} \times C^2_{7} = 63\).
Trường hợp 3: 2 nữ và 2 nam: \(C^3_{3} \times C^1_{7} = 7\).
\(\rightarrow |A| = 105 + 63 + 7 = 175\).
Vậy xác suất để trong 4 người được tuyển có ít nhất một nữ là: \[ P(A) = \frac{|A|}{|\Omega|} = \frac{175}{210} \approx 0,833. \]