suppressPackageStartupMessages({
library(tidyverse)
})Múltiplos Decrementos
Cálculo de probabilidades multidecrementais e seu uso em cálculos atuariais.
Introdução
A previdência, diferentemente do seguro de vida, é um seguro onde o risco em consideração é o risco de sobrevivência, ou seja, o beneficiário precisa estar vivo, válido e ainda vinculado ao plano em uma data futura para que possa fazer jus ao benefício prometido, usualmente uma renda vitalícia no caso dos RPPS.
Os beneficiários de um regime previdenciário estão divididos em duas categorias: os que ainda estão na fase laborativa, e portanto ainda não adquiriram o direito à aposentadoria e os que já se encontram na fase de fruição dos benefícos. Os primeiros são os servidores ativos e os segundos os aposentados e pensionistas.
Estritamente falando, não é a probabilidde de “sobrevivência”, mas a probabilidade de permanecer ativo e válido no plano até a data estimada de aposentadoria.
Do ponto de vista atuarial, essa distinção entre a massa de beneficiários é importante, porque a forma de obtenção das probabilidades de “sobrevivência” dos indivíduos em cada grupo vai diferir por conta do fato de que, enquanto os servidores ativos estão num ambiente multidecremental os aposentados e pensionistas estão num ambiente unidecremental
Para que um servidor ativo adquira o direito a se aposentar deve alcançar a idade prevista de aposentadoria e para que isso aconteça, precisa alcançar essa idade vivo, válido e precisa, claro, ainda estar vinculado ao regime previdenciáiro.
Existe ainda um quarto fator, a aposentadoria, que embora seja considerado na literatura, praticamente não não é utilizado na prática atuarial dos RPPS.
Verifica-se, portanto, que para esse grupo de beneficiários existem três fatores atuando simultaneamente para que ele não complete a idade prevista de aposentadoria. A cada um desses fatores dá-se o nome de fator decremental, ou seja, um fator que atua para a redução da massa de servidores ativos e portanto diz-se que estes estão em um ambiente multidecremental período esse que vai do ingresso do servidor no regime previdênciáiro até a data prevista de sua aposentadoria.
Por outro lado, para a massa dos aposentados e pensionistas o único fator decremental a ser considerado é a morte, razão pela qual diz-se que estão num ambiente unidecremental.
Os cálculos atuariais devem, portanto, considerar esse fato para usar as probabilidades adequadas a cada ambiente e o objetivo desse documento é mostrar como obter as denominadas “tábuas de múltiplos decrementos” ou “tábuas de serviço” usando o R e o pacote {lifecontingencies}.
Cálculo de probabilidades multidecrementais
No livro “Construindo o Futuro da Previdência Complementar Uma Abordagem Atuarial Prática para Fundos de Pensão” de Daniel Silva, a seção 4.2 do Capítulo 4 intitulada “Modelo Multidecremental” é inteiramente dedicada ao tema do cálculo de probabilidades de sobrevivêncie e de morte em ambiente multidecremental.
Ambiente bidecremental
Para começar a tratar do tema o autor inicialmente apresenta a figura abaixo onde cada círculo representa a probabilidade relativa a um fator decremental que neste exemplo inicial são a morte e a invalidez.
A probabilidade de morte será denotada por \(q_x\) e a probabilidade de invalidez por \(i_x\).
A figura mostra a existência de uma “sobreposição” entre os círculos.
A questão que se coloca é: como “aglutinar” essas duas probabilidades em uma única para utilizar nos cálculos atuariais?
Não é possível apenas somar as duas probabilidades em razão da existência de “sobreposição” dessas probabilidades, como mostrado na figura acima. Será necessário realizar “ajustes” nas mesmas com vistas a eliminar tais sobreposições.
Para o caso bidecremental, o autor nos apresenta as seguintes fórmulas para realizar tal ajuste:
Uma forma alternativa de expressar essas quantidades é:
\[q_x^{aa} = q_x * (1 - \frac{1}{2} i_x) \] \[q_x^{ai} = i_x * (1 - \frac{1}{2} q_x)\] Nos desenvolvimentos posteriores relativos a três e quatro decrementos usaremos essa formulação mais compacta.
\[q_x^{aa} = q_x - \big( \frac{q_x \times i_x}{2} \big) \qquad (\text{eq. 1a})\] \[q_x^{ai} = i_x - \big( \frac{q_x \times i_x}{2} \big) \qquad (\text{eq. 1b})\]
As fórmulas nos indicam que, para o caso de dois fatores decrementais, as taxas decrementais de cada um deles (\(q_x\) e \(i_x\)) são reduzidas da metade de seu produto para gerar as “taxas efetivas decrementais”, (taxas ajustadas) conforme denominação de José Angelo Rodrigues.
As taxas efetivas decrementais nos fornecem a probabilidade de ocorrência de cada fator de risco na presença de outros fatores. Naturalmente que se existir apenas um fator decremental atuando suas taxa decremental e taxa efetiva decremental serão iguais.
Uma vez obtidas as taxas efetivas decrementais relativas a cada fator decremental, a probabilidade conjunta, ou seja, da união dos dois eventos,é obtida pela soma das taxas efetivas decrementais:
\[q^T_x = q_x^{aa} + q_x^{ai} \qquad (\text{eq. 2})\] A probabilidade de sobrevivência neste ambiente bidecremental é então dada por:
\[p^T_x = 1 - q^T_x= 1 - [q_x^{aa} + q_x^{ai}] \qquad \qquad \text{(eq. 3)}\] José Angelo Rodrigues apresenta uma figura bem parecida com a mostrada acima mas que permite uma melhor visualização da necessidade dos ajustes nas taxas decrementais.
A figura ao lado foi adaptada com vistas a melhor ilustrar a necessidade de remoção das sobreposições para obtenção de taxas mutuamente exclusivas, isto é, sem interseções.
A figura (a) mostra as interseções entre as taxas decrementais e na figura (b) vê-se que após decrementar cada taxa obtem-se taxas sem interseções.
Aqui cabem algumas considerações sobre a notação atuarial utilizada na literatura atuarial.
Daniel Silva utiliza a notação \(q_x\) e \(i_x\) para representar, respectivamente, as taxas decrementais de morte e invalidez para uma pessoa de idade \(x\).
A notação \(q_x^{aa}\) representa a probabilidade de morte de uma pessoa de idade \(x\) dado que poderia ter se tornado inválido e \(q_x^{ai}\) representa a probabilidde de uma pessoa de idade \(x\) se invalidar dado que poderia ter morrido.
Daniel Silva utiliza a notação \(p_x^{aa}\) para representar a probabilidade de sobrevivência multidecremental.
\(p^T_x\) é então a probabilidade de uma pessoa de idade \(x\) sobreviver um ano.
Ambientes com três e quatro fatores decrementais
As ideias apresentadas para o ambiente bidecremental podem ser facilmente estendidas para ambientes com três e quatro fatores decrementais.
Além dos fatores morte e invalidez, usualmente são consideradas nas avaliações atuariais também os fatores decrementais rotatividade e aposentadoria, esta última não sendo usual em avaliações atuariais de RPPS.
Então, seguindo a notação atuarial utilizada por Daniel Silva, tem-se:
- \(q_x\) - probabilidade de morte
- \(i_x\) - probabilidade de invalidez
- \(q_x^w\) - probabilidade de deixar o plano (rotatividade)
- \(q_x^r\) - probabilidade de se aposentar
Num ambiente com três decrementos as probabilidades ajustadas são obtidas da seguinte forma:
\[ q_x^{aa} = q_x \times [1 - \frac{1}{2}(i_x + q_x^w) + \frac{1}{3}(i_x \times q_x^w)] \qquad \qquad \text{(eq. 4a)} \] \[ q_x^{ai} = i_x \times [1 - \frac{1}{2}(q_x + q_x^w) + \frac{1}{3}(q_x \times q_x^w)] \qquad \qquad \text{(eq. 4b)} \] \[ q_x^{aw} = q_x^w \times [1 - \frac{1}{2}(q_x + i_x) + \frac{1}{3}(q_x \times i_x)] \qquad \qquad \text{(eq. 4c)} \] \[ p_x^T = 1 - q_x^T = 1 - (q_x^{aa} + q_x^{ai} + q_x^{aw}) \qquad \qquad \text{(eq. 5)} \]
Já no ambiente com quatro decrementos tem-se:
\[ q_x^{aa} = q_x \times \big[ 1 - \frac{1}{2}(i_x + q_x^w + q_x^r) + \frac{1}{3}(i_x \times q_x^w + i_x \times q_x^r + q_x^w \times q_x^r ) - \frac{1}{4} (i_x \times q_x^w \times q_x^r) \big] \qquad \qquad \text{(eq. 6a)} \] \[ q_x^{ai} = i_x \times \big[ 1 - \frac{1}{2}(q_x + q_x^w + q_x^r) + \frac{1}{3}(q_x \times q_x^w + q_x \times q_x^r + q_x^w \times q_x^r ) - \frac{1}{4} (q_x \times q_x^w \times q_x^r) \big] \qquad \qquad \text{(eq. 6b)} \] \[ q_x^{aw} = q_x^w \times \big[ 1 - \frac{1}{2}(q_x + q_x^r + i_x) + \frac{1}{3}(q_x \times q_x^r + i_x \times q_x^r + q_x \times i_x ) - \frac{1}{4} (q_x \times q_x^r \times i_x) \big] \qquad \qquad \text{(eq. 6c)} \] \[ q_x^{ar} = q_x^r \times \big[ 1 - \frac{1}{2}(q_x + q_x^w + i_x) + \frac{1}{3}(q_x \times q_x^w + i_x \times q_x^w + q_x \times i_x ) - \frac{1}{4} (q_x \times q_x^w \times i_x) \big] \qquad \qquad \text{(eq. 6d)} \]
Uma vez obtidas as taxas efetivas decrementais relativas a cada decremento, a probabilidade de sobrevivência multidecremental é, como já visto anterioremnte, dada por:
\[ p_x^T = 1 - q_x^T = 1 - (q_x^{aa} + q_x^{ai} + q_x^{ar} + q_x^{aw}) \qquad \qquad \text{(eq. 7)} \]
Na prática dos RPPS o que se observa é que, no mínimo, o ambiente multidecremental será composto pelos fatores decrementais morte e invalidez. O fator rotatividade nem sempre é considerado pelos atuários e o fator aposentadoria nunca é considerado.
É fácil perceber que, uma vez que se disponha dos valores das taxas decrementais para todas as idades \(x = 0, 1, 2, \dots, \omega\), as taxas efetivas decrementais de cada decremento podem ser facilmente obtidas utilizando as fórmulas acima apresentadas, possibilitando assim a obtenção das probabilidades multidecrementais que devem ser utilizadas quando estivermos realizando cálculos atuariais que digam respeito aos servidores ativos.
Vamos ver um pequeno exemplo que José Angelo apresenta em seu livro (Exemplo 5.1, pág. 122-123 ):
Considere uma tabela com taxas relativas a possíveis decrementos, digamos, morte, invalidez, exoneração e aposentadoria a que denominaremos, respectivamente, \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\) e \(k_4\).
qx <- data.frame(
x = 40:44,
qx_k1 = c(0.06, 0.08, 0.10, 0.12, 0.14), # morte
qx_k2 = c(0.03, 0.05, 0.07, 0.09, 0.11), # invalidez
qx_k3 = c(0.02, 0.04, 0.06, 0.08, 0.10), # exoneração
qx_k4 = c(0.01, 0.03, 0.05, 0.07, 0.09) # aposentadoria
)
qx %>% knitr::kable()| x | qx_k1 | qx_k2 | qx_k3 | qx_k4 |
|---|---|---|---|---|
| 40 | 0.06 | 0.03 | 0.02 | 0.01 |
| 41 | 0.08 | 0.05 | 0.04 | 0.03 |
| 42 | 0.10 | 0.07 | 0.06 | 0.05 |
| 43 | 0.12 | 0.09 | 0.08 | 0.07 |
| 44 | 0.14 | 0.11 | 0.10 | 0.09 |
Vamos agora calcular, apenas para o fator morte (\(k_1\)), as taxas efetivas decrementais em ambientes com 1, 2, 3 e 4 fatores decrementais. O objetivo é mostrar como as taxas decrementais vão reduzindo à medida que outros fatores começam a ser considerados.
qx <- qx %>%
mutate(qx_k1_k1 = qx_k1,
qx_k1_k2 = qx_k1 - (1/2 * qx_k1 * qx_k2),
qx_k1_k23 = qx_k1 - (1/2 * qx_k1 * qx_k2 + 1/2 * qx_k1 * qx_k3 - 1/3 * qx_k1 * qx_k2 * qx_k3),
qx_k1_k234 = qx_k1 - (1/2 * (qx_k1 * qx_k2 + qx_k1 * qx_k3 + qx_k2 * qx_k3) +
1/3 * (qx_k1 * qx_k2 * qx_k3 + qx_k1 * qx_k2 * qx_k4 + qx_k1 * qx_k3 * qx_k4) -
1/4 * (qx_k1 * qx_k2 * qx_k3 * qx_k4))
)
qx %>% knitr::kable()| x | qx_k1 | qx_k2 | qx_k3 | qx_k4 | qx_k1_k1 | qx_k1_k2 | qx_k1_k23 | qx_k1_k234 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 40 | 0.06 | 0.03 | 0.02 | 0.01 | 0.06 | 0.0591 | 0.0585120 | 0.0581781 |
| 41 | 0.08 | 0.05 | 0.04 | 0.03 | 0.08 | 0.0780 | 0.0764533 | 0.0752759 |
| 42 | 0.10 | 0.07 | 0.06 | 0.05 | 0.10 | 0.0965 | 0.0936400 | 0.0910486 |
| 43 | 0.12 | 0.09 | 0.08 | 0.07 | 0.12 | 0.1146 | 0.1100880 | 0.1054511 |
| 44 | 0.14 | 0.11 | 0.10 | 0.09 | 0.14 | 0.1323 | 0.1258133 | 0.1184393 |
Como mencionado, a tabela nos mostra, para cada idade (\(x\)), como a taxa de decremento do fator morte (\(q_x^{(k_1)}\)) vai decrescendo à medida que outros fatores também começam a atuar.
A coluna qx_k1_k1 representa a probabilidade efetiva decremental do fator morte (k1) quando apenas a morte atua, logo terá seu valor é igual a qx_k1.
A coluna qx_k1_k2 representa a probabilidade efetiva decremental do fator morte (k1) quando, além da morte, passa a atuar o fator k2 (invalidez). Ambiente bidecremental.
A coluna qx_k1_k23 representa a probabilidade efetiva decremental do fator morte (k1) quando, além da morte, passam a atuar os fatores k2 (invalidez) e k3 (exoneração ou rotatividade). Ambiente com três decrementos.
E, finalmente, a coluna qx_k1_k234representa a probabilidade efetiva decremental do fator morte (k1) quando, além da morte, passam a atuar os fatores k2 (invalidez), k3 (exoneração ou rotatividade) e k4, aposentadoria. Ambiente com quatro decrementos.
Como vimos, o cálculo dos \(q^T_x\) e \(p^T_x\) depende do calculo das taxas efetivas de decremento para todos os decrementos considerados.
Tábuas de múltiplos decrementos
Agora que já entendemos como gerar probabilidades que nos permitem realizar cálculos atuariais em ambientes decrementais, vamos falar um pouco sobre as tábuas de serviço ou tábuas de múltiplos decrementos.
Essas tábuas são utilizadas para expressar os valores das funções biométricas no ambiente multidecremental.
Assim, é possível a construção de tabuas nas quais a probabilidade de sobrevivência anual reflete a exposição do servidor ativo não apenas ao risco de morte, mas também a outros riscos atuam conjutamente para tirá-lo dessa condição. Uma tábua com essas caractéríscas é denominada tábua de múltiplos decrementos.
Nas páginas 150-154 de seu livro, Daniel Silva apresenta um exemplar de uma “tábua de serviço atuarial simplificada” cujas linhas iniciais apresentamos abaixo:
Acreditamos que em função do surgimento de ferramentas computacionais mais sofisticadas,a utilização dessas tábuas para a realização de cálculos atuariais esteja se tornando obsoleta e caindo em desuso.
A nosso ver, essas tábuas, conquanto tenham sido extremamente importante no passado em razão da carência de recursos computacionais parecem não fazer mais muito sentido em face dos sofisticados recursos computacionais atualmente disponíveis como, por exemplo, o R.
Exemplos do livro do Daniel Silva
Feita essa pequena apresentação da teoria relativa à obtenção de probabilidades multidecrementais, vamos agora realizar algumas aplicações práticas mediante a resolução dos dois exemplos apresentados na seção 4.2 do livro do Daniel Silva.
Vamos mostrar como fazer isso a seguir. O primeiro passo foi obter as tábuas AT2000 M e TASA 1927 disponíveis no site do IBA.
Os dados foram copiados e postos nos arquivos AT2000M.txt e TASA1927.txt.
Vamos agora realizar a importação desses dados:
AT2000M <- read_tsv("AT2000M.txt",
locale = locale(decimal_mark = ",")) %>%
select(x, qx)
TASA <- read_tsv("TASA1927.txt",
locale = locale(decimal_mark = ",")) %>%
select(x, qx) %>%
rename(ix = qx)head(AT2000M) %>% knitr::kable()| x | qx |
|---|---|
| 0 | 0.002311 |
| 1 | 0.000906 |
| 2 | 0.000504 |
| 3 | 0.000408 |
| 4 | 0.000357 |
| 5 | 0.000324 |
head(TASA)%>% knitr::kable()| x | ix |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 1 | 0 |
| 2 | 0 |
| 3 | 0 |
| 4 | 0 |
| 5 | 0 |
Vamos reunir esses dois data frames em um único, e obter as quantidades desejadas:
tabua <- AT2000M %>%
inner_join(TASA, by=join_by(x)) %>%
mutate(qxaa = qx - (0.5 * qx * ix),
qxai = ix - (0.5 * qx * ix),
pxT = 1 - (qxaa + qxai))
head(tabua) %>% knitr::kable()| x | qx | ix | qxaa | qxai | pxT |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.002311 | 0 | 0.002311 | 0 | 0.997689 |
| 1 | 0.000906 | 0 | 0.000906 | 0 | 0.999094 |
| 2 | 0.000504 | 0 | 0.000504 | 0 | 0.999496 |
| 3 | 0.000408 | 0 | 0.000408 | 0 | 0.999592 |
| 4 | 0.000357 | 0 | 0.000357 | 0 | 0.999643 |
| 5 | 0.000324 | 0 | 0.000324 | 0 | 0.999676 |
Atenção!!!
Ao montar a tabela acima, reunindo probabilidades colhidas em diferente tábuas biométricas, deve-se prestar atenção para algumas inconsistência que possam ocorrer.
Por exemplo, a tabua AT 2000 M possui \(\omega = 115\) enquanto a tábua TASA 1927 apresenta valores não nulos até a idade de 70 anos. Assim, qual a probabilidade de invalidez para as idades superiores a 70 anos até 115 anos? A nosso ver, parece razoável considerar para as idades superiores a 70 anos a mesma probabilidade de invalidez de 70 anos.
Não vamos realizar esses procedimentos aqui, mas o leitor deve ficar atento a esse fato pois pode obter valores errados de probabilidade de sobrevivência multidecremental.
Exemplo 1 - Ambiente bidecremental
Qual a probabilidade de um participante estar vivo e ativo, na idade de 55 anos, considerando o risco de morte \(q_x\) de 0,005077, dado pela Tábua Biométrica AT-2000 M, e o risco de entrada em invalidez \(i_x\) de 0,002760, dado pela Tábua TASA 1927? (pág. 129)
O exercício pede o valor de \(p_{55}^{T}\).
Trata-se de um ambiente com dois fatores decrementais (morte e invalidez) para os quais já temos as taxas decrementais para todas as idades as quais são provenientes das tábuas AT-2000 M (morte) e TASA 1927 (invalidez).
O valor desejado é aquele dado pela coluna \(p_x^T\) da tábua acima elaborada para a idade 55 anos. Esse valor é 0.992177, conforme mostrado a seguir:
tabua %>%
filter(x == 55) %>%
knitr::kable()| x | qx | ix | qxaa | qxai | pxT |
|---|---|---|---|---|---|
| 55 | 0.005077 | 0.00276 | 0.00507 | 0.002753 | 0.992177 |
O valor confere com a resposta apresentada no livro (página 129).
Exemplo 2 - Ambiente com quatro decrementos
Qual a probabilidade de um participante estar vivo e ativo, na idade de 55 anos, considerando o risco de morte \(q_x\) de 0,005077, dado pela Tábua Biométrica AT-2000 M, e o risco de entrada em invalidez \(i_x\) de 0,002760, dado pela Tábua TASA 1927, o risco de rotatividade \(q_x^\omega\) de 0,01 e o risco de antecipação de aposentadoria de 0,2?
Deseja-se calcular \(p_{55}^{T}\) mas agora num ambiente que possui quatro fatores decrementais atuando: morte, invalidez, rotatividade e aposentadoria.
Como feito anteriormente, vamos calcular as taxas efetivas decrementais para cada fator e, a partir das mesmas, calcular as probabilidades de sobrevivência multidecremental.
tabua2 <- AT2000M %>%
inner_join(TASA, by=join_by(x)) %>%
mutate(qw = 0.01,
qr = 0.2,
qxaa = qx * (1 - 1/2 * (ix + qw + qr) + 1/3 * (ix * qw + ix * qr + qw * qr) + 1/4 * (ix * qw * qr)),
qxai = ix * (1 - 1/2 * (qx + qw + qr) + 1/3 * (qx * qw + qx * qr + qw * qr) + 1/4 * (qx * qw * qr)),
qxaw = qw * (1 - 1/2 * (qx + ix + qr) + 1/3 * (qx * ix + qx * qr + ix * qr) + 1/4 * (qx * ix * qr)),
qxar = qr * (1 - 1/2 * (qx + ix + qw) + 1/3 * (qx * ix + qx * qw + ix * qw) + 1/4 * (qx * ix * qw)),
pxT = 1 - (qxaa + qxai + qxaw + qxar))
head(tabua2) %>% knitr::kable()| x | qx | ix | qw | qr | qxaa | qxai | qxaw | qxar | pxT |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0.002311 | 0 | 0.01 | 0.2 | 0.0020699 | 0 | 0.0089900 | 0.1987704 | 0.7901697 |
| 1 | 0.000906 | 0 | 0.01 | 0.2 | 0.0008115 | 0 | 0.0089961 | 0.1989100 | 0.7912824 |
| 2 | 0.000504 | 0 | 0.01 | 0.2 | 0.0004514 | 0 | 0.0089978 | 0.1989499 | 0.7916008 |
| 3 | 0.000408 | 0 | 0.01 | 0.2 | 0.0003654 | 0 | 0.0089982 | 0.1989595 | 0.7916769 |
| 4 | 0.000357 | 0 | 0.01 | 0.2 | 0.0003198 | 0 | 0.0089985 | 0.1989645 | 0.7917173 |
| 5 | 0.000324 | 0 | 0.01 | 0.2 | 0.0002902 | 0 | 0.0089986 | 0.1989678 | 0.7917434 |
Cálculas as probabilidades de sobrevivência multidecrementais (\(p_x^T\)) podemos obter o valor pedido no exercício (\(p^T_{55}\)) da mesma forma que fizemos no exercício anterior:
tabua2 %>%
filter(x == 55) %>%
knitr::kable()| x | qx | ix | qw | qr | qxaa | qxai | qxaw | qxar | pxT |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 55 | 0.005077 | 0.00276 | 0.01 | 0.2 | 0.0045413 | 0.002466 | 0.0089661 | 0.1982225 | 0.7858041 |
O valor desejado está na coluna pxT: 0.7858041, que confere com o valor apresentado no livro. (pág. 131)
Uso do pacote {lifecontingencies}
Para a resolução dos dois exemplos acima, foi suficiente calcular os valores dos \(p_x^T \quad \text{para} \quad x=0, 1, 2 \dots, \omega\) e selecionar o valor correspondente a \(p_{55}^T\)
Mas, como faríamos caso quiséssemos calcular uma anuidade num ambiente multidecremental? Ou mesmo a probabilidade de sobrevivência por um período superior a um ano?
Para resolver essas questões, podemos fazer uso das funções apropriadas do pacote {lifecontingencies} tais como axn() e pxt() usando as probabilidades multidecrementais calculadas para gerar os objetos das classes lifetable e actuarialtable, conforme mostrado no documento “Tábuas de Mortalidade, Funções Biométricas e Anuidades”.
Uma nota sobre notação atuarial
A discussão feita acima tomou por base a notação utilizada por Daniel Silva combinada com a notação utilizada por José Angelo.
Como visto acima, as taxas decrementais individuais de cada fator decremental foram denominadas \(q_x\), \(i_x\), \(q_x^w\) e \(q_x^r\).
José Angelo, por sua vez, denomina os fatores decrementais de \(k_1\), \(k_2\), \(k_3\) e as correspondentes taxas decrementais de \(q_x^{k_1}\), \(q_x^{k_2}\), \(q_x^{k_3}\) e \(q_x^{k_4}\).
Às taxas decrementais ajustadas, aquelas obtidas pelas equações “1a” e “1b”, “4a” a “4c” e “6a” a “6d”, a partir das taxas decrementais de cada fator, José Angelo denomina “taxa efetiva decremental”.
Para essas taxas ajustadas, as taxas efetivas decrementais, Danile Silva utiliza as notações \(q_x^{aa}\) (morte), \(q_x^{ai}\) (invalidez), \(q_x^{aw}\) (rotatividade) e \(q_x^{ar}\) (aposentadoria).
Por sua vez, José Angelo apresenta formulações para a taxa efetiva de decremento para um único fator (\(k_1\)) e a representa por \(q_x^{(T)}\) que, aparentemente, serviria também para representar as taxas efetivas decrementais dos demais fatores \(k_2\), \(k_3\) e \(k_4\).
As “taxas efetivas decrementais”, como visto, são utilizadas para a obtenção das probabilidades multidecrementais de sobrevivêncie e Daniel Silva as denomina de \(p_x^(aa)\). José Angelo restringe a discussão ao cálculo das taxas efetivas decrementais não avançando para a obtenção das probabilidades multidecrementais, não apresentando portanto uma notação para essa quantidade.
Nesse documento optei por utilizar a notação \(p_x^T\) para denotar a probabilidade multidecremental de permanência no plano pelo período de um ano na condição de ativo, e \(q_x^T\) para denotar a probabilidade multidecremental de saída da condição de ativo.
Referências Bibliográficas
Construindo o Futuro da Previdência Complementar: Uma Abordagem Prática para Fundos de Pensão; Daniel Pereira da Silva, São Paulo, ABRAPP, 2023.
Gestão de Risco Atuarial; José Angelo Rodrigues, São Paulo, Saraiva, 2008.