Mortalidade infantil

Mortalidade infantil

Mortalidade infantil

Expectativa de vida

Expectativa de vida

Expectativa de vida

Medicos por mil habitantes

Medicos por mil habitantes

Medicos por mil habitantes

Correlação

Covariância

ggpairs

Gráfico

Gráfico

Gráfico

… para resolver, vamos fazer uma transformação

Gráfico

Modelo de regressão

\[ \begin{aligned} \text{Mortalidade infantil} = & \beta_0 \\ &\quad + \beta_1 \cdot \text{Expectativa de vida} \\ &\quad + \beta_2 \cdot \log(\text{Médicos por mil pessoas}+0.1) \\ &\quad + \beta_{3,j} I_{\text{Continente}_j} \hspace{4mm}, \text{para} \ j \in\{0,1,2,3,4\} \\ &\quad + \epsilon \end{aligned} \]

Seja:

\[ \begin{aligned} Y &:= \text{Mortalidade infantil} \\ X_1 &:= \text{Expectativa de vida} \\ X_2 &:= \log(\text{Médicos para cada 1000 habitantes}+0.1) \\ X_3 &:= \text{Continente} \end{aligned} \]

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X_1 + \beta_2 \cdot X_2 + \beta_{3,j} I_{continente_j} \]

Modelo

Call:
lm(formula = mort_inf ~ expect_vida + log(medic + 0.1) + cont, 
    data = wor)

Coefficients:
     (Intercept)       expect_vida  log(medic + 0.1)       contamerica  
        165.6259           -1.9765           -3.4498           -1.2235  
        contasia        conteuropa       contoceania  
         -0.7514           -0.9235           -4.9725  

Portanto:

\[ \begin{aligned} \beta_0 &= 165.6259 \\ \beta_1 &= -1.9765\\ \beta_2 &= -3.4497\\ X_{3,0} = \text{África} \Rightarrow \beta_{3,0} &= 0\\ X_{3,1} = \text{Ásia} \Rightarrow \beta_{3,1} &= -0.7514\\ X_{3,2} = \text{América} \Rightarrow \beta_{3,2} &= -1.2235\\ X_{3,3} = \text{Europa} \Rightarrow \beta_{3,3} &= -0.9235\\ X_{3,4} = \text{Oceania} \Rightarrow \beta_{3,4} &= -4.9725 \end{aligned} \]

ficando:

\[ \begin{aligned} \hat{Y} = 165.6259 - 1.9765 \cdot X_1 - 3.4498 \cdot X_2 \\ + \quad \begin{cases} -1.2235 & \text{se } \text{Continente } = \text{América} \\ -0.7514 & \text{se } \text{Continente } = \text{Ásia} \\ -0.9235 & \text{se } \text{Continente } = \text{Europa} \\ -4.9725 & \text{se } \text{Continente } = \text{Oceania} \\ 0 & \text{se } \text{Continente } = \text{África} \end{cases} \end{aligned} \]

ou então, separando:

Visualizando a reta

separada por continente e separada pelas variáveis quantitativas

Resumos do modelo

Call:
lm(formula = mort_inf ~ expect_vida + log(medic + 0.1) + cont, 
    data = wor)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-14.8057  -5.3314  -0.3174   4.7588  25.2128 

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      165.6259     9.3559  17.703  < 2e-16 ***
expect_vida       -1.9765     0.1340 -14.749  < 2e-16 ***
log(medic + 0.1)  -3.4498     0.9061  -3.807 0.000196 ***
contamerica       -1.2235     1.9222  -0.636 0.525303    
contasia          -0.7514     1.7589  -0.427 0.669763    
conteuropa        -0.9235     2.2451  -0.411 0.681328    
contoceania       -4.9725     2.4990  -1.990 0.048204 *  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 6.919 on 171 degrees of freedom
  (1 observation deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.8807,    Adjusted R-squared:  0.8765 
F-statistic: 210.4 on 6 and 171 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interpretação dos Coeficientes

Intercepto ( \(\beta_0\) )

• Valor esperado de mortalidade infantil quando todas as variáveis explicativas são zero.
  
• Não possui interpretação prática direta, pois a expectativa de vida e a quantidade de médicos nunca será \(0\).

Expectativa de Vida ( \(\beta_1 = -1.9765\) )

• A cada aumento de 1 ano na expectativa de vida, a taxa de mortalidade infantil reduz em 1.9765 unidades. Quando as demais variáveis explicativas são mantidas constantes
• Estatisticamente significativo ( \(p < 0.001\) ).

Logaritmo dos Gastos Médicos ( \(\beta_2 = -3.4498\) )

• A cada aumento unitário no logaritmo dos gastos médicos, a taxa de mortalidade infantil reduz em 3.4498 unidades. Quando as demais variáveis explicativas são mantidas constantes
  
• Estatisticamente significativo ( \(p < 0.001\) ).

Efeitos por Continente ( \(\beta_j\) )

• América, Ásia e Europa não possuem coeficientes significativos.
  
• Oceania apresenta uma redução média de 4.9725 unidades na mortalidade infantil em relação ao continente de referencia (África), com \(p = 0.048\).

Qualidade do Ajuste

• \(R^2\) ajustado = 0.8765: O modelo explica 87.65% da variação na taxa de mortalidade infantil, indicando um excelente ajuste.
  
• Teste \(F\) (\(p < 2.2e^{-16}\)): O modelo é significativo como um todo.

Gráfico

Gráfico com os planos de regressão

Teste de normalidade dos resíduos

    Shapiro-Wilk normality test

data:  mod$residuals
W = 0.9839, p-value = 0.03813

\[ H_0 : resíduos \sim normal \\ H_1 : resíduos \nsim normal \]

Em um nível de 1% de significância, não há evidencias para rejeitar a hipótese nula, isto é, podemos dizer que os resíduos seguem uma distribuição normal

Pelo gráfico abaixo, podemos ver que o resíduo se aproxima de uma normal

Teste de Durbin-Watson

\[ H_0 : \rho = 0 \\ H_1 : \rho \neq 0 \]

    Durbin-Watson test

data:  mod
DW = 1.912, p-value = 0.5494
alternative hypothesis: true autocorrelation is not 0

A autocorrelação dos resíduos não é estatisticamente significativa, isto é, a autocorrelação é proxima de 0, portanto, podemos assumir independencia dos resíduos

Teste de outliers nos resíduos

     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
-2.163453 -0.794164 -0.047800  0.001015  0.699533  3.705340 

Austrália, Nova Zelandia, Kuwait, Chade e o Paquistão são outliers

Teste de homocedasticidade dos resíduos

\[ H_0 : resíduos \rightarrow homocedástico \\ H_1 : resíduos \nrightarrow homocedástico \]

    studentized Breusch-Pagan test

data:  mod
BP = 30.708, df = 6, p-value = 2.881e-05

Podemos perceber que o pressuposto da homocedasticidade não foi atendido, pois o p-valor é muito baixo O pressuposto foi quebrado, o modelo pode não ser bom/suficiente

Vamos verificar se a heterocedasticidade é dada pelos outliers

Vamos remover a Austrália, Nova Zelandia, Kuwait, Chade e o Paquistão, rodar o modelo novamente e fazer o teste de Breusch-Pagan

    studentized Breusch-Pagan test

data:  mod_so
BP = 32.537, df = 6, p-value = 1.287e-05

O p-valor continua muito próximo de 0, portanto, não são os outliers que estão atrapalhando a homocedasticidade dos resíduos, mas o modelo é insuficiente para explicar a mortalidade infantil

Teste de multicolinearidade

                     GVIF Df GVIF^(1/(2*Df))
expect_vida      3.685555  1        1.919780
log(medic + 0.1) 4.030801  1        2.007685
cont             2.563368  4        1.124868

Como os valores de \(VIF_j\) estão bem abaixo de 10, podemos assumir que não há multicolinearidade

Conclusão

A análise indicou a presença de não \(homocedasticidade\), evidenciada pela variação não constante dos resíduos ao longo dos valores preditos, o que compromete a precisão das estimativas. O \(R^2\) ajustado foi moderado, sugerindo que o modelo explica uma fração significativa da variação na taxa de mortalidade infantil, mas ainda há variação não explicada. Isso reforça a necessidade de considerar outras variáveis ou utilizar um modelo mais sofisticado para melhorar o ajuste e a precisão das previsões.