Mortalidade infantil

Mortalidade infantil

Mortalidade infantil

Expectativa de vida

Expectativa de vida

Expectativa de vida

Medicos por mil habitantes

Medicos por mil habitantes

Medicos por mil habitantes

Correlação

Covariância

Gráfico

Gráfico

Gráfico

Gráfico

Modelo de regressão

\[ \begin{aligned} \text{Mortalidade infantil} = \beta_0 &\\ &\quad + \beta_1 \cdot \text{Expectativa de vida} \\ &\quad + \beta_2 \cdot \log(\text{Médicos por mil pessoas}+0.1) \\ &\quad + \beta_{3,j} I_{\text{Continente}_j}\\ &\quad + \epsilon \end{aligned} \]

Seja:

\[ \begin{aligned} Y &:= \text{Mortalidade infantil} \\ X_1 &:= \text{Expectativa de vida} \\ X_2 &:= \log(\text{Médicos para cada 1000 habitantes}+0.1) \\ X_3 &:= \text{Continente} \end{aligned} \]

\[ Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X_1 + \beta_2 \cdot X_2 + \beta_{3,j} I_{continente_j} \]

Modelo

Call:
lm(formula = mort_inf ~ expect_vida + log(medic + 0.1) + cont, 
    data = wor)

Coefficients:
     (Intercept)       expect_vida  log(medic + 0.1)       contamerica  
        165.6259           -1.9765           -3.4498           -1.2235  
        contasia        conteuropa       contoceania  
         -0.7514           -0.9235           -4.9725  

Portanto:

\[ \begin{aligned} \beta_0 &= 165.6259 \\ \beta_1 &= -1.9765\\ \beta_2 &= -3.4497\\ X_{3,0} = \text{África} \Rightarrow \beta_{3,0} &= 0\\ X_{3,1} = \text{Ásia} \Rightarrow \beta_{3,1} &= -0.7514\\ X_{3,2} = \text{América} \Rightarrow \beta_{3,2} &= -1.2235\\ X_{3,3} = \text{Europa} \Rightarrow \beta_{3,3} &= -0.9235\\ X_{3,4} = \text{Oceania} \Rightarrow \beta_{3,4} &= -4.9725 \end{aligned} \]

ficando:

\[ \begin{aligned} \hat{Y} = 165.6259 - 1.9765 \cdot X_1 - 3.4498 \cdot X_2 \\ + \quad \begin{cases} -1.2235 & \text{se } \text{Continente } = \text{América} \\ -0.7514 & \text{se } \text{Continente } = \text{Ásia} \\ -0.9235 & \text{se } \text{Continente } = \text{Europa} \\ -4.9725 & \text{se } \text{Continente } = \text{Oceania} \\ 0 & \text{se } \text{Continente } = \text{África} \end{cases} \end{aligned} \]

ou então, separando:

$$

Visualizando a reta

separada por continente e separada pelas variáveis quantitativas

Resumos do modelo

Call:
lm(formula = mort_inf ~ expect_vida + log(medic + 0.1) + cont, 
    data = wor)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-14.8057  -5.3314  -0.3174   4.7588  25.2128 

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      165.6259     9.3559  17.703  < 2e-16 ***
expect_vida       -1.9765     0.1340 -14.749  < 2e-16 ***
log(medic + 0.1)  -3.4498     0.9061  -3.807 0.000196 ***
contamerica       -1.2235     1.9222  -0.636 0.525303    
contasia          -0.7514     1.7589  -0.427 0.669763    
conteuropa        -0.9235     2.2451  -0.411 0.681328    
contoceania       -4.9725     2.4990  -1.990 0.048204 *  
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 6.919 on 171 degrees of freedom
  (1 observation deleted due to missingness)
Multiple R-squared:  0.8807,    Adjusted R-squared:  0.8765 
F-statistic: 210.4 on 6 and 171 DF,  p-value: < 2.2e-16

Interpretação dos Coeficientes

Intercepto ( \(\beta_0\) )

• Valor esperado de mortalidade infantil quando todas as variáveis explicativas são zero.
  
• Não possui interpretação prática direta, dado o ajuste com logaritmo.

Expectativa de Vida ( \(\beta_1 = -1.9765\) )

• A cada aumento de 1 ano na expectativa de vida, a taxa de mortalidade infantil reduz em 1.9765 unidades. Quando as demais variáveis explicativas são mantidas constantes
• Estatisticamente significativo ( \(p < 0.001\) ).

Logaritmo dos Gastos Médicos ( \(\beta_2 = -3.4498\) )

• A cada aumento unitário no logaritmo dos gastos médicos, a taxa de mortalidade infantil reduz em 3.4498 unidades. Quando as demais variáveis explicativas são mantidas constantes
  
• Estatisticamente significativo ( \(p < 0.001\) ).

Efeitos por Continente ( \(\beta_j\) )

• América, Ásia e Europa não possuem coeficientes significativos.
  
• Oceania apresenta uma redução média de 4.9725 unidades na mortalidade infantil em relação ao continente de referencia (África), com \(p = 0.048\).

Qualidade do Ajuste

• \(R^2 = 0.8807\): O modelo explica 88.07% da variação na taxa de mortalidade infantil, indicando um excelente ajuste.
  
• \(R^2\) ajustado = 0.8765: Considera o número de preditores e confirma a robustez do modelo.
  
• Teste \(F\) (\(p < 2.2e^{-16}\)): O modelo é significativo como um todo.

Gráfico

Teste de normalidade dos resíduos

    Shapiro-Wilk normality test

data:  mod$residuals
W = 0.9839, p-value = 0.03813

\[ H_0 : resíduos \sim normal \\ H_1 : resíduos \nsim normal \]

Em um nível de 10% de significância, não há evidencias para rejeitar a hipótese nula, isto é, podemos dizer que os resíduos seguem uma distribuição normal

Pelo gráfico abaixo, podemos ver que o resíduo se aproxima de uma normal

Teste de homocedasticidade dos resíduos

    studentized Breusch-Pagan test

data:  mod
BP = 30.708, df = 6, p-value = 2.881e-05

Podemos perceber que o pressuposto da homocedasticidade não foi atendido, pois o p-valor é muito baixo

Teste de outliers nos resíduos

     Min.   1st Qu.    Median      Mean   3rd Qu.      Max. 
-2.163453 -0.794164 -0.047800  0.001015  0.699533  3.705340 

_{***(Austrália, Nova Zelândia e Paquistão)}

Vamos verificar se a heterocedasticidade é dada pelos outliers

    studentized Breusch-Pagan test

data:  mod
BP = 30.708, df = 6, p-value = 2.881e-05

O p-valor continua muito próximo de 0, portanto, não são os outliers que estão atrapalhando a homocedasticidade dos resíduos

Teste de multicolinearidade

                     GVIF Df GVIF^(1/(2*Df))
expect_vida      3.685555  1        1.919780
log(medic + 0.1) 4.030801  1        2.007685
cont             2.563368  4        1.124868

Existe multicolinearidade se o valor for maior que 10, neste caso, não há multicolinearidade