Argumentos principales:

• formula: Describe la relación entre la variable dependiente y la independiente.

Especifica la relación entre las variables dependiente (𝑌𝑡) e independiente (𝑋𝑡).

El formato y ~ x indica que queremos evaluar si 𝑋𝑡 causa en el sentido de Granger 𝑌𝑡.

• order: Número de rezagos a incluir en el modelo.

Especifica el número de rezagos (𝑝) a considerar en la prueba.

Es importante seleccionar 𝑝con base en criterios como el AIC, BIC o conocimiento previo de las series temporales.

• data: contiene las series temporales organizadas en un marco de datos.

El argumento order es crucial, ya que especifica el número de rezagos a considerar para evaluar la relación causal.

3.4. Estadístico de prueba

La prueba genera un estadístico 𝐹, que compara dos modelos:

Modelo restringido: Solo incluye los rezagos de 𝑡Y .

Modelo completo: Incluye los rezagos de 𝑌𝑡 y 𝑋𝑡.

El estadístico 𝐹se calcula como:

\[F = \frac{(SSR_r - SSR_{ul}) / p}{SSR_{ul} / (n - k)}\]

Donde:

𝑆𝑆𝑅𝑟: Suma de cuadrados residuales del modelo restringido.

𝑆𝑆𝑅𝑢: Suma de cuadrados residuales del modelo completo.

𝑝: Número de restricciones (coeficientes asociados a los rezagos de 𝑋𝑡).

𝑛−𝑘: Grados de libertad residuales del modelo completo.

En R, la salida de la función grangertest incluye el estadístico 𝐹 y el p-valor.

3.5. Criterio de decisión

Regla: Si el p-valor es menor al nivel de significancia (𝛼=0.05), se rechaza 𝐻0 . Si el p-valor es mayor o igual a 𝛼, no se rechaza 𝐻0.

Interpretación del resultado:

• Si 𝐻0 se rechaza, 𝑋𝑡contiene información predictiva sobre 𝑌𝑡.

• Si 𝐻0 no se rechaza, no hay evidencia suficiente para afirmar que 𝑋𝑡 afecta a 𝑌𝑡.

3.6. Interpretación del rechazo o no rechazo de 𝐻0

• Rechazo de 𝐻0: Los rezagos de 𝑋𝑡aportan información predictiva única sobre 𝑌𝑡 .

Implicación: 𝑋𝑡 puede ser útil como predictor en modelos económicos o financieros.

• No rechazo de 𝐻0:No hay evidencia estadística suficiente para concluir que 𝑋𝑡causa en el sentido de Granger a 𝑌𝑡.

Implicación: Es posible que 𝑋𝑡 no tenga relevancia predictiva para 𝑌𝑡, o que el número de rezagos no sea adecuado

3.7. Implementación de un ejemplo

Se implementa un ejemplo práctico usando datos simulados:

# Crear series temporales simuladas
set.seed(42)
x <- arima.sim(list(order = c(1, 0, 0), ar = 0.6), n = 100)
y <- arima.sim(list(order = c(1, 0, 0), ar = 0.8), n = 100)

# Organizar datos en un marco
data <- data.frame(y, x)

# Implementar prueba de Granger
resultado <- grangertest(y ~ x, order = 2, data = data)

# Mostrar resultados
print(resultado)

## Granger causality test
## 
## Model 1: y ~ Lags(y, 1:2) + Lags(x, 1:2)
## Model 2: y ~ Lags(y, 1:2)
##   Res.Df Df      F Pr(>F)
## 1     93                 
## 2     95 -2 0.2556  0.775

Interpretación:

La prueba de causalidad de Granger evalúa si la variable \(x\) proporciona información predictiva sobre \(y\), más allá de la proporcionada por los valores pasados de \(y\). Los resultados de la prueba son los siguientes:

1. La hipótesis nula (\(H_0\)) establece que las variables rezagadas de \(x\) no tienen un efecto causal sobre \(y\).
2. El valor \(p = 0.775\) es significativamente mayor que un nivel de significancia común (\(\alpha = 0.05\)), lo que indica que no se puede rechazar la hipótesis nula.

Con base en los resultados, no hay evidencia suficiente para concluir que \(x\) causa \(y\) en el sentido de Granger. Esto sugiere que los valores rezagados de \(x\) no proporcionan información adicional para predecir \(y\) más allá de lo que ya aportan los valores rezagados de \(y\).

Bibliografía:

Dickey, D. A., & Fuller, W. A. (1981). Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series with a Unit Root. Econometrica, 49, 1057-1022.

Granger, C. W. J., & Engle, R. F. (1987). Cointegration and error correction: Representation, estimation, and testing. Econometrica, 55(2), 251–276. https://doi.org/10.2307/1913236

Durlauf, S. N., & Blume, L. E. (Eds.). (2010). Macroeconometrics and Time Series Analysis. Palgrave Macmillan.