Distribuciones continuas
Marly Valencia, myvalenciaro@unal.edu.co
¡NOTA!: tenga en cuenta que a medida que avanzo a veces empleo el mismo nombre para algunas variables, tenga cuidado con eso, corra siempre la parte del código necesaria y luego realice los cálculos
1 Distribución uniforme continua
#Función de distribucion
curve(punif(x, min = 1, max = 6), from = 0, to = 7, type = "l",
main = "Función de distribución acumulativa - Distr. Uniforme continua", ylab = "F(x)", lwd = 2, col = "purple")
#Parámetros
a <- 1
b <- 6
# Función de densidad
curve(dunif(x, min = a, max = b), from = a, to = b,
col = "blue", lwd = 2,
main = "Función de densidad - Distribución Uniforme continua",
xlab = "x", ylab = "f(x)", ylim = c(0, 0.3))
segments(a, 0, a, dunif(a, min = a, max = b), col = "blue", lty = 2)
segments(b, 0, b, dunif(b, min = a, max = b), col = "blue", lty = 2)
2 Distribución normal
#Los parámetros son mean(media) y sd (desviación estándar)
#Función de distribución acumulada
curve(pnorm(x, mean = 0, sd = 1), from = -4, to = 4, col = "purple", lwd = 2,
main = "Función de Distribución Acumulada - Distribución Normal",
xlab = "x", ylab = "F(x)")
# Función de densidad
curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 1), from = -4, to = 4, col = "blue", lwd = 2,
main = "Función de Densidad - Distribución Normal",
xlab = "x", ylab = "f(x)")
#Función de densidad con la misma media pero diferente varianza:
curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 1), from = -4, to = 4, col = "blue",
main = "Función de Densidad - Distribución normal",
xlab = "x", ylab = "f(x)", ylim=c(0,0.9))
curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 0.5), col = "red", add = TRUE)
curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 1.5), col = "orange", add = TRUE)
curve(dnorm(x, mean = 0, sd = 2.2), col = "purple",add = TRUE)
legend("topright", legend = c("sd = 1", "sd = 0.5", "sd = 1.5", "sd = 2.2"),
col = c("blue", "red", "orange", "purple"), lwd = 2)
3 Distribución exponencial
# Función de distribución acumulada
curve(pexp(x, rate = 1), from = 0, to = 5, type = "l",
main = "Función de Distribución Acumulativa - Distr. Exponencial",
ylab = "F(x)", xlab = "x", lwd = 2, col = "purple")
# Función de densidad
curve(dexp(x, rate = 1), from = 0, to = 5, type = "l",
main = "Función de Densidad - Distribución Exponencial",
ylab = "f(x)", xlab = "x", lwd = 2, col = "blue")
4 Ejemplos
- El tiempo de espera en la parada de autobús frente a la Universidad Nacional está entre 1 a 6 minutos. Calcule la probabilidad de que un estudiante tenga que esperar 5 minutos o menos hasta que pase el bus. Cuál es la probabilidad de esperar entre 2 y 4 minutos.
# Parámetros:
a <- 1
b <- 6
# a. Esperar 5 minutos o menos
p_5 <- punif(5, min = a, max = b)
cat("Probabilidad de esperar 5 minutos o menos:", p_5, "\n") #podemos poner texto con cat()## Probabilidad de esperar 5 minutos o menos: 0.8# b. Esperar entre 2 y 4 minutos
p_2_4 <- punif(4, min = a, max = b) - punif(2, min = a, max = b)
cat("Probabilidad de esperar entre 2 y 4 minutos:", p_2_4, "\n")## Probabilidad de esperar entre 2 y 4 minutos: 0.4- Se tiene conocimiento de que la estatura de los estudiantes de pregrado de la Universidad Nacional sigue una distribución normal, para las mujeres con media 1.58 y varianza 5 y para los hombres media 1.75 y varianza 7. Calcule la probabilidad de que al seleccionar un estudiante al azar este mida menos de 1.5 metros, dependiendo de si es hombre o mujer.
Veamos las dos formas de solucionarlo:
# Parámetros mujeres
mu_m <- 1.58
sigma_m <- sqrt(5)
estatura <- 1.5
# Estandarización para mujeres:
z_m <- (estatura - mu_m) / sigma_m
# Probabilidad para las muejres
p_m <- pnorm(z_m)
#note que no necesita indicar la media y varianza porque por
#defecto es la normal estándar.
cat("Probabilidad de que una mujer mida menos de 1.5 metros:", p_m, "\n")## Probabilidad de que una mujer mida menos de 1.5 metros: 0.4857301# Parámetros hombres:
mu_h <- 1.75
sigma_h <- sqrt(7)
# Estandarización para hombres:
z_h <- (estatura - mu_h) / sigma_h
# Probabilidad para los hombres
p_h <- pnorm(z_h)
cat("Probabilidad de que un hombre mida menos de 1.5 metros:", p_h, "\n")## Probabilidad de que un hombre mida menos de 1.5 metros: 0.4623595##Otra forma
# Probabilidad para mujeres
p_m <- pnorm(estatura, mean = mu_m, sd = sigma_m)
cat("Probabilidad de que una mujer mida menos de 1.5 metros:", p_m, "\n")## Probabilidad de que una mujer mida menos de 1.5 metros: 0.4857301# Datos para hombres
mu_h <- 1.75
sigma_h <- sqrt(7)
# Probabilidad para hombres
p_h <- pnorm(estatura, mean = mu_h, sd = sigma_h)
cat("Probabilidad de que un hombre mida menos de 1.5 metros:", p_h, "\n")## Probabilidad de que un hombre mida menos de 1.5 metros: 0.4623595- En el área de urgencias de un hospital los pacientes primero deben pasar por el triage para poder evaluar el tipo de urgencia y de esta forma el tiempo máximo en ser atendidos. Se tiene que en el hospital PYF los tiempos de espera medios en minutos que esperan los pacientes dependiendo del nivel de urgencia son los siguientes:
| Nivel | Tiempo medio |
|---|---|
| 1 | 2 |
| 2 | 3 |
| 3 | 15 |
| 4 | 60 |
| 5 | 100 |
Calcule la probabilidad de que:
- Un paciente de nivel 4 tenga que esperar menos de 20 minutos en ser atendido por un especialista.
b)Un paciente de nivel 1 deba esperar más de 4 minutos.
c)Dos pacientes del hospital de nivel 5 tengan que esperar más de 100 minutos independiente de los pacientes y la capacidad.
d)Si a las 4 p.m el hospital cuenta con 20 pacientes nivel 4 en urgencias esperando ser atendidos calcule la probabilidad de que 10 de ellos deban esperar más de 120 minutos.
#a)
lambda <- 1/60
p_4_20 <- pexp(20,rate=lambda)
cat("Probabilidad de que un paciente nivel 4 espere menos de 20 minutos:", p_4_20, "\n")## Probabilidad de que un paciente nivel 4 espere menos de 20 minutos: 0.2834687#b)
lambdaa <- 1/2
p_1_4 <- 1 - pexp(4,rate=lambdaa)
cat("Probabilidad de que un paciente nivel 1 espere más de 4 minutos:", p_1_4, "\n")## Probabilidad de que un paciente nivel 1 espere más de 4 minutos: 0.1353353Los otros dos ítems quedan como ejercicio.
Nota: En distribuciones continuas a diferencia de las distribuciones discretas, no se evalua la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor en específico, por ejemplo, P(X=b) en cuyo caso siempre se tendrá P(X=b)=0 para cualquier b .