Kvantitativne metode i linearno programiranje u menadžmentu u sestrinstvu

Drugi dio gradiva u sklopu kolegija Kvantiativne metode u sestrinstvu odnosi se na metode iz područja operacijskih istraživanja. Operacijska istraživanja prestavljaju interdisciplinarno područje koje se bavi primjenom matematičkih modela, statistike i analitičkih tehnika kako bi se rješavali složeni problemi i donosile odluke u organizacijama i drugim kontekstima gdje postoje ograničeni resursi i ciljevi koji se trebaju postići. Metode kojima ćemo se ovdje baviti, često se nazivaju i kvantitativnee metode za potporu odlučivanju.

U ovom kontekstu, operacije su aktivnosti i procesi koji se analiziraju i optimiziraju kako bi se poboljšala učinkovitost, smanjili troškovi i donosile informirane odluke u organizaciji ili sustavu.

Primjeri operacija:

Proizvodnja i proizvodni procesi
Usluge i uslužni procesi
Izbor najboljih ruta prijevoza i optimizacija zaliha
Rasporedi i planiranje
Upravljanje lancem opskrbe
Upravljanje rizicima

Strategije, taktike i operacije međusobno su povezane i čine hijerarhiju aktivnosti koje organizacije ili sustavi koriste za ostvarivanje ciljeva. Strategije su usmjerene na dugoročno planiranje i definiranje smjera organizacije, odgovarajući na pitanje što želimo postići? Taktike, s druge strane, detaljno opisuju kako ćemo to postići? kroz specifične kratkoročne poteze ili inicijative. Operacije predstavljaju praktično provođenje tih taktika u svakodnevnim aktivnostima, osiguravajući učinkovito upravljanje resursima i procesima. U kontekstu operacijskih istraživanja, operacije se odnose na aktivnosti i procese koji se analiziraju i optimiziraju radi postizanja učinkovitosti, smanjenja troškova i donošenja konkretnih odluka. Za razliku od strategija, koje postavljaju dugoročne ciljeve organizacije, i taktika, koje definiraju specifične korake za postizanje tih ciljeva, operacije su usmjerene na konkretno izvršavanje aktivnosti.

Razlike leže u razini apstrakcije - strategije su najšire i najopćenitije, taktike su srednja razina detalja usmjerena na specifične korake, dok su operacije operativna razina, fokusirana na izvršenje svakodnevnih zadataka. Sličnost među njima je u tome što sve služe zajedničkom cilju – uspjehu organizacije – kroz koordinaciju i usklađivanje različitih razina djelovanja.

Operacijska istraživanja pružaju alate i metode za modeliranje, analizu i optimizaciju tih operacija, osiguravajući da one doprinose uspjehu strategije i taktika organizacije. Tako se operacije u ovom kontekstu ne promatraju samo kao izvršenje, već kao područje za analitičko unaprjeđenje sustava i procesa putem kvantitativnih metoda. Na primjer, optimizacija rasporeda proizvodnje, upravljanje zalihama ili modeliranje tokova u transportnim mrežama dio su operacija koje se analiziraju u okviru operacijskih istraživanja.

Zašto učiti ove metode na menadžmentu u sestrinstvu?

Kvantitativne metode za potporu odlučivanju mogu biti izuzetno korisne za menadžere u sestrinstvu, voditelj/ice odjela u bolnicama i administratore/ice u ambulantama jer omogućuje optimizaciju resursa, rasporeda i procesa za učinkovito upravljanje svakodnevnim izazovima. Evo nekoliko konkretnih situacija u kojima je korisno:

Planiranje smjena osoblja - optimizacija smjena osoblja tako da se zadovolje potrebe pacijenata (primjerice, pokrivenost svih smjena), a istovremeno minimizira prekovremeni rad ili nejednaku raspodjelu opterećenja.
Upravljanje zalihama lijekova i medicinskih potrepština - osiguravanje optimalne količine zaliha tako da ne dođe do nestašice ili viškova koji mogu povećati troškove skladištenja ili generirati otpad.
Optimizacija vremena pružanja usluga pacijentima - organizacija rada tako da se smanji vrijeme čekanja pacijenata, a poveća kvaliteta pruženih usluga.
Financijsko upravljanje - učinkovito planiranje budžeta za različite aktivnosti, od zapošljavanja osoblja do nabave opreme, tako da se ostvari maksimalan učinak uz raspoložive financijske resurse.
Organizacija edukacije i treninga osoblja - s obzirom na to da sestre i menadžeri trebaju kontinuiranu edukaciju, LP se može koristiti za planiranje optimalnog rasporeda edukacija uz minimalni utjecaj na redovni rad.
Osiguravanje zadovoljstva osoblja i pacijenata - uravnoteženje potreba osoblja (poput željenih slobodnih dana ili zahtjeva za specifičnim smjenama) s potrebama pacijenata; generiranje rasporeda koji uzima u obzir preferencije zaposlenika i potrebe odjela, čime se povećava zadovoljstvo osoblja i produktivnost.
Planiranje transporta i logistike - često je potrebno planirati prijevoz pacijenata, medicinske opreme ili materijala. Kvantiativne metode se koriste za optimizaciju ruta i smanjenje troškova.
Optimizacija prostornih resursa - optimalno korištenje prostora u bolnicama ili ambulantama, na primjer, raspoređivanje soba za pacijente prema postojećim potrebama.

Donošenje odluka i rješavanje problema

Dakle, kvantitativne metode koje ćemo učiti u ovom dijelu koriste se kao potpora pri odlučivanju, s ciljem analize i poboljšanja procesa, aktivnosti i odluka u kontekstu poslovanja organizacije. Zbog toga ćemo se kratko posvetiti donošenju odluka i rješavanju problema, kako bismo ujednačili razumijevanje i upotrebu tih pojmova u ovom kontekstu.

U svakodnevici stalno donosimo odluke. Neke od njih je lako donijeti (npr. hoćemo li popiti kavu, što ćemo kupiti od namirnica i sl.), a neke od njih su zahtjevnije (npr. odlučiti o nastavku školovanja, odlučiti o kupovini auta, odlučiti o mjestu stanovanja, karijeri i sl.).

Iako odluka o odlasku na kavu može ovisiti o raznim čimbenicima, kao na primjer: o društvu, pijemo li i inače kavu, imamo li vremena itd.; spada u odluke koje se, u pravilu, donose brzo i jednostavno. Već pri odlasku u kupovinu ponekad koristimo jednostavnije alate za pomoć, kao što su popisi namirnica. Popisi se često koriste, ne samo kako bi se izbjeglo zaboravljanje, nego i zbog ograničenja kojeg predstavlja dostupan budžet. Zbog toga će se kraj popisa namirnica često naći i količine te cijene, što omogućava provjeru mogu li se kupiti sve željene namirnice unutar dostupnog budžeta.

Odabir studija je već nešto zahtijevnija odluka. Pri odbiru studija utjecajni čimbenici i ograničenja mogu biti: ostvaren uspjeh na državnoj maturi, osobne preferencije, motivacija i interesi, lokacija studija, potpora obitelji, odabiri prijatelja, trošak studiranja, mogućnost dobivanja stipendije, mogućnosti zaposlenja i karijere u toj branši, ekonomska situacija, itd. Dakle, odluke će biti vezane uz ciljeve koji se žele ostvariti, ali će ih usmjeravati objektivne koristi, osobne preferencije, ali i ograničenja.

Jednog će se dana sadašnji studenti naći u situaciji u kojoj će u sklopu radnog mjesta donositi poslovne odluke – odluke koje utječu na poslovanje i uspješnost poduzeća, pa tako i radna mjesta zaposlenika, poslovne partnere, te užu i širu lokalnu zajednicu. Pri donošenju poslovnih odluka nužno je uzeti u obzir brojne čimbenike i ograničenja, kako bi predložena ili donesena odluka bila optimalna. Kako bi se to postiglo, često se koriste kvantitativne metode pri poslovnom odlučivanju. Kako situacije i uvjeti u kojima je potrebno donijeti odluku postaju kompleksniji, potrebno je koristiti i sofisticiranije alate i metode za pomoć pri odlučivanju.

Kvantitativna analiza vezana uz poslovno odlučivanje može se primjenjivati na svim razinama poslovnog odlučivanja. Štoviše, bavit ćemo se kvantitativnim metodama upravo na način da one predstavljaju rješavanje problema. Takav pristup iziskuje korištenje istraživačkog ciklusa koji se sastoji od formulacije pitanja, prikupljanja podataka, analiziranja podataka i prikupljanja rezultata (Franklin i sur., 2007). Obratite pozornost da se ovdje ne govori o „rješavanju zadataka”. Takav je pristup arhaičan i ne priprema vas adekvatno za tržište rada. Bavit ćemo se realnim i realističnim podacima i poslovnim slučajevima te koristiti različite kvantitativne metode (upoznajući se pritom s njihovim mogućnostima, prednostima i nedostacima) pri rješavanju problema i predlaganju poslovnih odluka.

Odlučivanje

U najširem smislu, odlučivanjem se bave teorije odlučivanja. Teorije odlučivanja vezuju se uz širok spektar znanstvenih disciplina, ovisno o kontekstu primjene. Ključna područja uključuju operacijska istraživanja, matematiku, ekonomiju, psihologiju, informatiku i menadžment, što ih čini multidisciplinarnim poljem s primjenom u raznim sferama ljudske aktivnosti.

Prema Sikavici i dr. (2013), teorije odlučivanja označuju skup općih prijedloga o načinu i procesu donošenja poslovnih odluka. U središtu teorija odlučivanja nalaze se vrijednosti, neizvjesnost, rizici, informacije i ostala pitanja relevantna za donošenje određene odluke. U sklopu teorije organizacije, razvijaju se pristupi koji su primarno usmjereni na analizu i rješavanje organizacijskih i menadžerskih problema, kao i na efikasnost i efektivnost. Svakoj se odluci može pristupiti iz različitih perspektiva, pa tako i u teorijama odlučivanja postoje ekonomski, sociološki, etički, psihološki, statistički te matematički pristupi. Navedeno ukazuje na nužnost interdisciplinarnog pristupa pri donošenju odluka.

Prema Sikavici i dr. (2013), teorije donošenja odluka mogu se podijeliti na:

Klasične teorije donošenja odluka – „Teorije koje ne odvajaju objektivne i subjektivne elemente odlučivanja kao što ne odvajaju ni činjenične i vrijednosne aspekte, ali stavljaju naglasak i temelje se na objektivnim odnosno činjeničnim elementima.”
Neoklasične teorije donošenja odluka – „Teorije koje se temelje na procesu spajanja subjektivnih i objektivnih parametara s naglaskom na subjektivne elemente odluke.”
Situacijske teorije odlučivanja – „Teorije koje donositelja odluke upućuju na to da s obzirom na situaciju, kontekst i/ili okruženje naglašava objektivne ili subjektivne aspekte odluke.”

Postoje normativni, deskriptivni i preskriptivni pristupi odlučivanju. Pojednostavljeno, normativni pristup bavi se pitanjem kako bi se odluke trebale donositi, deskriptivni se bavi utvrđivanjem kako se odluke donose, dok preskriptivni pristup objedinjava prethodna dva pristupa i bavi se pitanjem što bi trebali odlučiti.

Prema Bubleu (2000), planiranje je formalni proces kojim se identificiraju ciljevi i izabire strategija ostvarenja ciljeva odnosno daju odgovori na sljedeća pitanja:

Gdje se organizacija nalazi trenutno?
Gdje se organizacija želi naći u budućnosti?
Kako će tamo stići?

Nadalje, planiranje podrazumijeva:

Koordinaciju napora kojom se definira set pravila ponašanja u izvršavanju planova.
Pripremu za promjenu, jer je planiranje osnovni način smanjenja ili neutralizacije rizika koji dolazi iz okoline poduzeća.
Postavljanje standarda postignuća i rezultata koji se očekuju čime se ostvaruju pretpostavke za praćenje izvršenje plana i omogućuje kontrola.
Razvijanje menadžera kroz sistematičan, strukturiran proces izgradnje kompetencija.

U procesu planiranja, nužno je voditi računa o postojećim i mogućim utjecajima:

Ograničenost resursa,
Neizvjesnost okoline.

Proces planiranja obuhvaća sljedeće etape:

Analiza situacije: identifikacija prilika, prijetnji, snaga i slabosti
Postavljanje ciljeva: Što, gdje i kada želimo?
Razvoj pretpostavki plana: U kojoj će situaciji djelovati plan?
Identifikacija alternativa: Koje alternative najviše obećavaju u ostvarenju ciljeva?
Vrednovanje alternativa: Koje alternative daju najbolje šanse za ostvarenje ciljeva na efektivan i efikasan način?
Izbor alternative: Selekcija tijeka akcija koje će se slijediti.
Formulacija izvedbenih planova: (kako će se provesti) razvoj novog proizvoda, obuka kadrova, uporaba novih materijala, …
Izrada proračuna: proračun dobiti, bilanca, tijek gotovine

Pri postavljanju ciljeva, potrebno je voditi računa da oni posjeduju sljedeće karakteristike:

Specific (određen)
Measurable (mjerljiv)
Achievable (moguć/ dosežan)
Relevant (važan; postoji i varijanta realistic/ realan)
Timely (pravovremen/ vremenski određen)

Prva slova u nazivima na engleskom kreiraju akronim SMART. Često se koristi pojam “SMART ciljevi” i pritom se misli na ciljeve definirane prema navedenim kriterijima.

Praćenje provedbe planova usko je vezano uz kontrolu. Kontrola provedbe planova kao menadžerska funkcija obuhvaća mjerenje i korekciju aktivnosti, te analizira ispunjavaju li aktivnosti očekivane ciljeve. Kontrola se, u pravilu, odnosi na mjerenje performansi u području resursa, aktivnosti i rezultata:

Kvaliteta
Pravovremenost
Produktivnost
Iskorištenost resursa

Rješavanje problema i odlučivanje

Rješavanje problema nije isto što i donošenje odluka. U poslovnom odlučivanju češće je u pitanju rješavanje problema, pri čemu se nastoji ukloniti nesklad između postojećeg i željenog stanja. Donošenje odluke je tek dio procesa rješavanja problema.

Navedeno se može primijeniti na primjeru odluke o odabiru studija. Recimo da osoba želi studirati nakon završene srednje škole i pritom mora odabrati studijski smjer. Odabir studijskog smjera predstavlja utvrđivanje problema. Na raspolaganju ima brojne studijske smjerove iz raznih područja u zemlji i inozemstvu. Svi ti studijski smjerovi predstavljaju alternativna rješenja. Alternativne mogućnosti potrebno je procijeniti pomoću određenih kriterija. Ti kriteriji (u sklopu operacijskih istraživanja na kriterije se referira kao na ograničenja i uvjete) mogu biti: uspjeh na državnoj maturi, iznos školarine, popratni troškovi studiranja, mogućnost dobivanja stipendije, lokacija studija, jezik na kojem se studij izvodi, osobne preferencije, vještine, motivacija i ambicija, utjecaj prijatelja ili roditelja, mogućnosti buduće karijere, itd. Temeljem danih (ili još nekih drugih) kriterija, osoba procjenjuje ili evaluira alternative i odabire onu za koju smatra da je najbolja (donosi odluku). Implementacija u ovom slučaju podrazumijeva upis odabranog studijskog smjera. Evaluacija rezultata izvršava se nakon implementacije, kako bi se utvrdilo je li odabrano zadovoljavajuće rješenje.

Zašto su subjektivni i intuitivni pristup potencijalno opasni pri donošenju poslovnih odluka?

Na Wikipediji se navodi 165 sistematičnih grešaka (nazivaju se još i heuristike i kognitivne iluzije) koje pojedinci čine pri odlučivanju, iako se navedene sistematične greške mogu jednostavnije promatrati kroz ekološku racionalnost i koncepte koji su u određenim kontekstima imali (i imaju) svoju funkciju (Collin, 2016). Iako heuristike i kognitivne iluzije postoje s razlogom i imaju svoju funkciju u olakšavanju odluka u svakodnevici, pregledom nekolicine njih lako je uočiti kako njihova upotreba pri donošenju poslovnih odluka može biti opasna:

Biranje samo onih informacija koje idu u prilog željenom odabiru
Priklanjanje mišljenju grupe
Ignoriranje negativnih informacija
Selektivna percepcija
Težnja sigurnosti (strah od rizika)
Odupiranje promjenama
Nemogućnost uočavanja vlastitih grešaka pri odlučivanju (slijepa točka)
Uočavanje obrazaca u nepovezanim događajima
Donošenje odluka temeljem intuicije

Tetlock (2005) je prikupljao različita predviđanja ljudi temeljem opažanja tijekom 20 godina i temeljem analize utvrdio skupine mislioca. Skupine mislioca prikazane su grafom i mogu se uočiti sljedeće skupine: Neprolazni, Ježevi, Lisice, Ježevi-Lisice, Lisice-Ježevi, Bezumni natjecatelji i Formalni modeli. Na osima grafa nalaze se kalibracija modela i poboljšanje diskriminacije, pa se kretanjem po osima uočava povećanje preciznosti i točnosti rješenja.

Na primjer, Ježevi označavaju skupinu ljudi koja nije naročito dobra pri predviđanju, a ima tendenciju koristiti samo jedan model. Pri predviđanju, Lisice koriste više različitih modela, a prema poziciji na grafu može se zaključiti da su njihova su predviđanja puno točnija od predviđanja Ježeva. Ipak, uzimajući u obzir oba kriterija, može se uočiti da su sve grupe mislioca bitno lošije od formalnih modela. Smatra se da formalni modeli omogućuju bitno točnija i preciznija predviđanja no što je moguće postići temeljem sposobnosti predviđanja pojedinaca utemeljena samo na iskustvu.

Preciznost i točnost pri odlučivanju. Izvor:Tetlock(2005)

Sličnom temom bavilo se i jedno istraživanje u Hrvatskoj, razmatrajući pristupe strateškom odlučivanju. Pritom je fokus bio na osobnim stilovima odlučivanju, specifično na racionalno-analitički i iskustveno-intuitivni pristup. Racionalno-analitički pristup temelji se na sustavnoj analizi podataka, logičkom zaključivanju i strukturiranom donošenju odluka, dok se iskustveno-intuitivni pristup oslanja na subjektivne procjene, intuiciju i prethodno iskustvo kao glavne smjernice u procesu odlučivanja.

Dakle, u istraživanju pristupa strateškom odlučivanju u Hrvatskoj, Bulog (2014) zaključuje da su racionalna analiza i intuicija gotovo jednako prisutni u donošenju odluka. Poduzeća čiji su menadžeri uglavnom koristili racionalno-analitički pristup pokazala su poboljšanje svih analiziranih poslovnih pokazatelja tijekom petogodišnjeg razdoblja. S druge strane, u poduzećima gdje su vrhovni menadžeri preferirali iskustveno-intuitivni pristup, takav napredak nije uočen. Međutim, autori ističu kako treba biti oprezan s donošenjem konačnih zaključaka, budući da na promatrane pokazatelje utječe i niz drugih čimbenika.

O modeliranju - širi kontekst

Modeli mogu opisivati, objašnjavati i/ili predviđati ishode ili slijed ishoda, a kreiraju se povezivanjem poznatih ili uočenih pravilnosti i zakonitosti te vezanih čimbenika. Modeli se razlikuju prema svojim svojstvima i biraju se s obzirom na obilježja odluke koju je potrebno donijeti ili problema kojeg je potrebno riješiti. Na primjer, modeli koji dobro objašnjavaju pojavu neće nužno biti korisni pri predviđanju budućih stanja pojave. Dakle, modeli i metode promatraju se u kontekstu njihove svrhe – odluke koju je potrebno donijeti ili problema koji treba riješiti. Nadalje, odabir modela (i kvaliteta rješenja) često će ovisiti i o dostupnim podacima, ali i o kvaliteti tih podataka. Zato je pri kreiranju modela ili primjene metode nužno obratiti pozornost na relevantne čimbenike koji će se uzeti u obzir pri modeliranju, kao i načine njihovog mjerenja.

Treba imati na umu da modele obilježavaju idealizacija, karikatura i apstrakcija (Morgan i Knuuttila, 2012). Idealizacija se odnosi na pristup modeliranju u kojem se promatra idealna situacija ili dio pojave, uz pretpostavku nepromjenjivosti ostalih uvjeta (lat. ceteris paribus). Svojstvo karikature odnosi se na izdvajanje nekolicine glavnih karakteristika, zanemarujući pritom ostale. Apstrahiranje se odnosi na generalizaciju zaključaka temeljem rezultata dobivenih modelom, što dovodi do potencijalnih rizika pri zaključivanju jer se rezultati zapravo dobivaju temeljem analize dijela raščlanjene stvarnosti. S druge strane, upravo te karakteristike omogućuju izdvajanje i analizu elemenata u složenim odnosima. Dakle, može se reći da modeli imaju svoje prednosti i nedostatke. Na koji će način prednosti biti iskorištene, uz vođenje računa o nedostacima, ovisi upravo o osobi koja se upušta u modeliranje. Očito je da ni upotrebom formalnih modela nije u potpunosti isključen ljudski faktor. Nedostacima je moguće doskočiti pravilnim odabirom modela i metoda, pravilnim odabirom čimbenika uključenih u modeliranje te pažljivom interpretacijom i zaključivanjem temeljem rezultata. Zbog toga je nužno osnovno teorijsko znanje o promatranoj pojavi i vezanim zakonitostima te razumijevanje svojstva modela i metoda. Jedan od mogućih pristupa koji se u današnjici koristi jest primjena metodološkog individualizma (Elster, 2000), pri čemu se promatrani problem ili situacija raščlanjuje na dijelove i na svaki se dio promatranog problema primjenjuje adekvatna metodologija.

Također, postoje različite vrste modela s fokusima na različitim aspektima situacije i različitom svrhom. Tako Page (2018) akronim REDCAPE razlikuje sedam različitih upotreba modela:

Razlog (engl. reason): Identificirati uvjete i izvesti logičke implikacije.
Objasniti (engl. explain): Pružiti provjerljiva objašnjenja za fenomene.
Dizajn (engl. design): Odabrati značajke institucija, politike ili pravila.
Komunicirati (engl. communicate): Prenijeti znanje i razumijevanje drugima.
Djelovati (engl. act): usmjeravati politike i strateške akcije.
Predviđati (engl. predict): Predviđanje budućih ili nepoznatih (kategoričkih ili numeričkih) pojava.
Istražiti (engl. explore): Istražiti hipotetske slučajeve i mogućnosti.

Sažimanje mogućih ciljeva modeliranja zahtijeva da navedemo različite aspekte „korisnosti” (Introduction to Data Science):

opseg: adresirati ili kategorizirati pojave
točnost: opisivanje podataka
uvid u mehanizme: objašnjavanje podataka
sposobnost predviđanja
štedljivost: apstrakcija i jednostavnost
estetika: elegancija i ljepota

Neki od posljednjih ciljeva (npr. jednostavnost ili elegancija) postaju važni samo ako su točnost te sposobnosti objašnjavanja i predviđanja modela usporedivi. Također, ovi ciljevi mogu se pretvoriti u kriterije za vrednovanje modela, ali ovise o kontekstu i svrsi za koju se koriste (Introduction to Data Science). Dok se ovi aspekti više koriste iz perspektive samog modeliranja, postoje i drugi pristupi koji su više usmjereni na upotrebe modela.

Prema istraživanju autora Jukka Luoma (2016), kvantitativne metode mogu se podijeliti i s obzirom na vrste donošenja odluka:

rutinsko donošenje odluka
rješavanje problema.

Rutinsko donošenje odluka i rješavanje problema imaju različite implikacije za primjenu kvantitativnih metoda. Na koristi i troškove korištenja kvantitativnih metoda utječu individualni, organizacijski i okolišni čimbenici. Bihevioralna sukladnost utječe na prihvaćanje korištenja kvantitativnih metoda u organizaciji.

Prema istom autoru:

modeliranje može povećati efikasnost i efektivnost donošenja rutinskih odluka
modeliranje može pružiti potporu za proces rješavanja problema.

Kategorija	Rutinsko donošenje odluka	Rješavanje problema
Povezana terminologija	Pravila odlučivanja, standardne operativne procedure (Cyert i March, 1992), organizacijski kapaciteti (Winter, 2003), rutinsko donošenje odluka (Pidd, 2004)	Pretraživanje (Cyert i March, 1992), ad hoc rješavanje problema (Winter, 2003), upravljanje iznimkama (Jacobides, 2007)
Primjeri	Zapošljavanje, pridruživanje zadataka, određivanje cijena, alokacija resursa, određivanje lokacije, postupno inoviranje proizvoda, odluke o količini proizvodnje	Zapošljavanje menadžera i uprave, odluke o ulasku na tržište, restrukturiranje organizacije, lansiranje proizvoda, odabir IT sustava
Svrha modeliranja	Pružiti takve upute i preporuke za proces, koje daju bolje ishode nego odluke koje nisu potpomognute modelom	Podrška procesu rješavanja problema, analiza višestrukih specifičnih mogućnosti (npr. učenje, dijeljenje znanja, rješavanje konflikta)
Pozitivni efekti	Uklanjanje sklonosti (heuristika i predrasuda), ušteda kognitivnih napora, rješavanje kognitivno teško rješivih problema, povratna informacija	Omogućava uvide, usmjerava i fokusira pozornost i/ili efekte rješavanja problema, omogućuje integraciju spoznaja te upravljanje konfliktnim situacijama
Negativni efekti	Potrošnja organizacijskih resursa i vremena, sužavanje okvira problema, nefleksibilnost, uklanjanje kognitivne raznolikosti, organizacijski konflikti	Potrošnja organizacijskih resursa i vremena, rizik od pretjeranog sužavanja okvira problema
Kriterij tehničke izvedbe	Vanjska valjanost, robusnost preporučenih odluka	Vanjsku valjanost je teško ili nemoguće potvrditi
Kriterij bihevioralne izvedbe	Izbjegavanje proceduralnih pogrešaka	Sposobnost modela da producira željene bihevioralne učinke (npr. učenje, integracija znanja i slično)
Metodološka orijentacija	Kvalitativni pristup u početnoj fazi formulacije problema, potom kvantitativni pristup	Kvalitativni i/ili kvantitativni, uz korištenje kombinacija nekolicine modela
Uloga moderatora	Stručnjak ili voditelj u fazi formulacije problema	Stručnjak ili voditelj
Primjeri korištenih metoda	Optimizacija, deskriptivna ili prediktivna analiza podataka, neke aplikacije simulacija	Soft systems metodologija, mapiranje uzoraka, višekriterijska analiza odluka, dinamika sustava

Izvor: sistematizirano prema Luoma (2016).

Pidd (2004) predlaže podjelu metoda i modela razlikujući:

alate za rutinsko donošenje odluka
alate za rezoniranje

Osim toga, kvantitativne metode dijele se i prema pristupu te vrstama metoda:

normativni i preskriptivni pristup (rjeđe se pojavljuje deskriptivni)
determinističke i stohastičke.

Deterministički modeli:

Smatra se da matematički modeli ne trebaju biti egzaktni u odnosu na stvarnost, nego dovoljno dobri (bliski realnom problemu) te pružiti optimalnije rješenje u odnosu na rješavanje problema bez modela.

Pritom su elementi modela:

Varijable odluke
Jednadžbe ili nejednadžbe
Funkcija cilja
Parametri.

Mogući ishodi modela:

Postoji jedinstveno optimalno rješenje
Postoji više optimalnih rješenja (moguće i beskonačno mnogo)
Ne postoji optimalno rješenje
Model može biti nerješiv.

Stohastički modeli:

Posjeduju element vjerojatnosti
Koriste se pri donošenju odluka uz neizvjesnost
Omogućuju donošenje zaključaka temeljem prikupljenih empirijskih podataka
Omogućuju generalizaciju zaključaka na populaciju temeljem podataka prikupljenih reprezentativnim slučajnim uzrokom.

Ovo je pojednostavljena podjela na skupine modela. Unutar svake skupine modela postoje brojne različite metode i specifični modeli, od kojih svaki ima svoje prednosti i nedostatke te specifičnu ulogu u traženju odgovora na postavljeno pitanje. Važno je obratiti pozornost na pretpostavke i specifičnosti primjene odabrane metode, jer će ograničenja zaključaka često proizlaziti iz karakteristika primijenjene metode uz ograničenja koja proizlaze iz odabranih čimbenika.

Modeli stvarnih (realnih) sustava obuhvaćaju funkcije, jednadžbe, nejednadžbe, logičke operatore i drugo. Matematičko modeliranje podrazumijeva deduktivni pristup, pri čemu se opće utvrđene zakonitosti primjenjuju na specifične situacije. Matematički modeli sastojat će se od matematičkog zapisa odnosa jedinica u sustavu, skupa ograničenja i funkcije cilja (ili više njih). Radi se o apstrahiranom prikazu situacije (u obzir se uzimaju relevantni čimbenici, jer uzimanje svih čimbenika često vodi do nerješivih problema), pri čemu je rješenje aproksimacija jednog aspekta realnog sustava. S obzirom da se koriste postojeći podaci, matematički modeli ne služe za kreiranje novih podataka, ali omogućuju uvid u mehanizme sustava. Rješenja treba promatrati kao podlogu ili preporuku za odlučivanje, pri čemu autonomija i odgovornost i dalje ostaju na donositelju odluke.

Matematički modeli često se rješavaju metodama optimizacije, kojima će se u nastavku posvetiti pozornost kroz praktične primjere. Optimizacija se odnosi na utvrđivanje minimuma ili maksimuma funkcije cilja uz dana ograničenja. Model se razvija u skladu s postavljenim ciljevima (organizacijskim, istraživačkim, ekonomskim i drugo), a ukoliko se radi o kompleksnijem modelu (kako je u praksi često slučaj), razvoj započinje od jednostavnijih modela, uz postupno obogaćivanje dodatnim parametrima. Osim toga, ako će se model koristiti kontinuirano (na primjer, model mjesečnog plana proizvodnje), potrebno ga je ažurirati s novo prikupljenim podacima.

Statističko modeliranje podrazumijeva induktivni pristup, pri čemu se do zaključaka i modela dolazi temeljem analize prikupljenih podataka. Weiland (2017) uspoređuje načine mišljenja koja se upotrebljavaju pri matematičkom i statističkom razmišljanju u kontekstu pismenosti i utvrđuje kako je za statističku pismenost potrebno prvenstveno induktivno rasuđivanje (te povremeni deduktivni pristup) uz usmjerenost na brojeve, a za matematičku pismenost (uključujući i teoriju vjerojatnosti te neke teorijske pretpostavke statistike) potreban je isključivo deduktivni pristup. Moore (1990) u distinkciji ide toliko daleko da proglašava statistiku slobodnom umjetnošću (engl. liberal art), ukazujući da je statistika nezavisna disciplina s vlastitim fundamentalnim idejama, a ne grana matematike.

Matematičko i statističko modeliranje iziskuju različite načine razmišljanja, a ponekad ih je potrebno kombinirati kako bi se riješio problem i kako bi se kreirala podloga za donošenje poslovne odluke. Statističko modeliranje ovisi o kontekstu i vođeno je podacima. Za razliku od matematičkih modela kojima ćemo se ovdje baviti, odabir statističkih metoda ovisit će o kontekstu i cilju istraživanja, ali i o karakteristikama podataka. Statističko modeliranje omogućuje uočavanje veličina promatranih pojava, odnose među pojavama, obrasce (engl. patterns), procjene i predikcije. Statistički (stohastički) modeli vezani su uz matematički zapis (i matematičke osnove većine metoda), ali su vezani i uz distribucije vjerojatnosti te opisuju uzorke koje podaci prikazuju (Scheaffer i sur., 1998). Osim toga, često će rezultati statističkih analiza biti input za matematičke modele optimizacije.

Nadalje, važno je razlikovati modele i metode od alata. Pod alatima misli se na korišteni računalni program putem kojeg se primjenjuju odabrane metode kako bi se kreirao model. U današnje doba gotovo je nezamislivo poslovati bez potpore računala i računalnih programa. Isto vrijedi i za kreiranje modela i rješenja za potporu poslovnom odlučivanju. Upotreba računalnih programa prvenstveno štedi vrijeme potrebno za formiranje modela i izračune, a omogućuje i veću preciznost i točnost rješenja. Korisnost računalnih programa u poslovanju je neupitna, ali treba voditi računa o njihovoj ulozi. Naime, računalni programi izračunat će rezultate temeljem inputa i naredbi koje im zada korisnik. Ako su inputi ili naredbe pogrešno odabrane, rezultat neće biti koristan za donošenje poslovne odluke, štoviše može biti i štetan ako se propust ne uoči na vrijeme. Dakle, računalni programi izvršit će samo one operacije koje im zada korisnik. Stoga, upotreba računala može olakšati provedbu kvantitativnih metoda, ali samo ako korisnik barata konceptualnim znanjem o kvantitativnim metodama. Sve navedeno vrijedi i za AI alate.

Prisjetimo se još jedne važne distinkcije: $Podatak \neq Informacija$. Podatak je kvantitativni ili kvalitativni pokazatelj stanja predmeta istraživanja. Informacija je cjelovita interpretacija predmeta istraživanja stavljajući podatak ili niz podataka u kontekst okruženja ili problema koji se rješava. Dakle, podaci su predmet analize, ali i rezultat analize je podatak. Recimo da je rezultat jedne analize broj 15. Bez interpretacije i konteksta, taj je broj i dalje samo podatak.

Misao vodilja: Rezultat analize postaje informacija tek nakon što se interpretira na pravilan način. Prije no što se otisnete u izračune i modeliranje, zapamtite: izračunata vrijednost i dalje je samo podatak. Da bi postala informacija, potrebno ju je interpretirati s obzirom na kontekst. Brojevi bez tumačenja ne mogu puno pomoći pri donošenju poslovnih odluka. Upravo je vaš posao od podataka ispričati priču i kreirati podlogu za donošenje poslovnih odluka. Dakle, ne zaboravite izračunatim vrijednostima dati smisao i prodiskutirati implikacije izračunatih vrijednosti.

Razumijevanje kvantitativnih metoda i analiza izuzetno je važno za svakodnevni rad menadžera u sestrinstvu. U manjim organizacijama, poput manjih ambulanti ili ordinacija, često ćete se sami baviti upravljanjem i analizom podataka te temeljem tih analiza donositi odluke. U većim zdravstvenim sustavima, poput bolnica, možda ćete surađivati s timovima specijaliziranim za analizu, ali i tada je važno razumjeti kako te analize funkcioniraju i kako ih možete koristiti za donošenje boljih odluka.

Sve veća potražnja za radnim mjestima poput analitičara operacija, stručnjaka za optimizaciju, informatičkih menadžera i savjetnika za poslovnu inteligenciju naglašava važnost razumijevanja podataka i kvantitativnih metoda. Ove vještine omogućuju bolje planiranje resursa, optimizaciju procesa njege, upravljanje zalihama lijekova i potrepština te efikasno planiranje smjena i radnog vremena osoblja. U sestrinstvu, ove metode možete primijeniti na područjima poput smanjenja vremena čekanja pacijenata, poboljšanja raspodjele osoblja, analize zadovoljstva pacijenata ili predviđanja potreba za medicinskim resursima.

Osim što ćete donositi odluke na temelju analize, često ćete trebati prenijeti rezultate svojih analiza drugim osobama koje donose odluke. Primjerice, možda ćete pripremati izvješće za upravu bolnice o učinkovitosti odjela. U tom slučaju, važno je izvještaj napisati jasno i precizno, tako da čitatelj može razumjeti prirodu problema, metodu kojom je analiza provedena, prednosti i nedostatke odabrane metode, ograničenja vaših zaključaka i, najvažnije, vašu preporuku s jasnim argumentima.

Linearno programiranje

Linearno programiranje (LP) je matematička metoda optimizacije koja se koristi u sestrinstvu za optimiziranje rasporeda, smanjenje troškova i poboljšanje raspodjele resursa. Posebno je učinkovit u rješavanju problema rasporeda medicinskih sestara, koji uključuje dodjeljivanje smjena medicinskim sestrama uzimajući u obzir različita ograničenja kao što su zahtjevi za osobljem, preferencije medicinskih sestara i troškovna učinkovitost. Primjena LP-a u sestrinstvu povećava operativnu učinkovitost, a posljedično doprinosi i zadovoljstvu poslom i učinkovitijoj njezi pacijenata.

Optimizacija rasporeda medicinskih sestara

LP se koristi za izradu učinkovitih rasporeda medicinskih sestara koji osiguravaju kontinuiranu skrb na odjelu s pravom kombinacijom vještina, uzimajući u obzir preferencije medicinskih sestara za smjene i dane odmora (Satheeshkumar et al., 2014.).
Pomaže u maksimiziranju pravednosti rasporeda, čime se poboljšava kvaliteta radnog života medicinskih sestara (Kumar et al., 2014.).

Minimizacija troškova

LP pomaže u smanjenju troškova medicinskog osoblja, koji čine značajan dio bolničkih proračuna. Određivanjem optimalne kombinacije različitih uloga medicinskih sestara, bolnice mogu značajno smanjiti troškove osoblja (Matthews, 2005.).
Studija slučaja na Baptističkom medicinskom centru Sveučilišta Wake Forest pokazala je smanjenje godišnjih troškova osoblja od 16% kroz primjenu LP-a, uz zadržavanje visoke razine produktivnosti medicinskih sestara i zadovoljstva pacijenata (Matthews, 2005.).

Strateško planiranje ljudskih resursa u zdravstvu

LP se koristi u strateškom planiranju resursa u zdravstvu kako bi se uravnotežile ponuda i potražnja pružatelja zdravstvenih usluga uz minimalne troškove. To uključuje planiranje strategija obrazovanja, zapošljavanja i napredovanja (Lavieri et al., 2015.).
Fleksibilnost modela omogućuje i “What-if?” analize, što ga čini vrijednim alatom za donošenje odluka u velikim zdravstvenim sustavima (Lavieri i sur., 2015.).

Iako linearno programiranje nudi značajne prednosti u optimizaciji sestrinskih operacija, ono zahtijeva točne podatke i dobro definirana ograničenja da bi bilo učinkovito. Uspjeh LP modela ovisi o kvaliteti ulaznih podataka i sposobnosti prilagodbe promjenjivim zdravstvenim okruženjima. Dodatno, dok LP može optimizirati rasporede i troškove, možda neće u potpunosti obuhvatiti ljudske elemente sestrinstva, kao što su emocionalni rad i interakcija s pacijentom, koji su ključni za holističko pružanje zdravstvene skrbi.

Osnove linearnog programiranja

Začeci linearnog programiranja sežu u 19. stoljeće i vezni su uz rani Fourierov rad na sustavima linearnih nejednadžbi. Ipak, linearno programiranje doživljava intenzivniji razvoj od 1940-ih godina, a upotreba linearnog programiranja intenzivira se s razvojem računalne potpore te Dantzigovog razvoja simpleks metode (1951). Štoviše, linerano programiranje osnova je razvoja brojnih drugih metoda, poput numeričke analize, simboličke komputacije, kombinatorijske optimizacije i drugih metoda optimizacije (Chandru i Rao, 1997).

Što je optimizacija? Općenito, optimizacija je sustavni proces pronalaženja najboljeg mogućeg rješenja ili načina djelovanja unutar zadanih ograničenja. Cilj optimizacije najčešće je maksimizirati ili minimizirati određenu funkciju (npr. profit, trošak, vrijeme, rizik) tako da se zadovolje određeni uvjeti ili ograničenja. Optimizacija se koristi u različitim područjima, uključujući poslovanje, industriju, inženjering, medicinu i svakodnevni život, pružajući metodološki okvir za donošenje odluka temeljem rezultata modela.

Što je linearno programiranje? Linearno programiranje je matematička metoda optimizacije koja omogućuje pronalaženje najboljeg mogućeg rješenja za određeni problem unutar zadanih ograničenja, gdje su svi odnosi i uvjeti opisani linearnim jednadžbama i nejednadžbama. Ova metoda pruža strukturu za analizu relativno složenih problema i pronalaženje optimalnih rješenja uz ograničene resurse. Pruža mogućnost kreiranja jasne strukture i rješavanje problema pomoću numeričkih algoritama, što ga čini primjenjivim na raznovrsne situacije, a samim time i korisnim alatom u procesima donošenja odluka.

Što su optimalna rješenja? S obzirom da je riječ o optimizaciji, tražimo optimum. U kontekstu linearnog programiranja, optimum predstavlja najbolje moguće rješenje problema, odnosno maksimalnu ili minimalnu vrijednost, ostvarenu u datim uvijetima i ograničenjima.

Kako bi se problem riješio u okviru linearnog programiranja, potrebno je strukturirati problem. Strukturiranje problema vezano je uz prve tri faze rješavanja problema i donošenja odluka. Vrši se putem definiranja cilja i ograničenja. S obzirom da je u pitanju korištenje kvantitativnih metoda, utvrđuju se:

varijable odluke (nepoznanice),
funkcija cilja koja može biti minimizacija ili maksimizacija te
ograničenja koja se izražavaju jednadžbama ili nejednadžbama. Ograničenja predstavljaju skup jednadžbi ili nejednadžbi u kojima se javljaju nepoznanice.

Funkcija cilja je matematički izraz koji predstavlja glavni cilj optimizacijskog problema, poput maksimizacije profita, minimizacije troškova ili postizanja optimalne učinkovitosti. To je osnovna komponenta modela koja definira što se nastoji postići unutar zadanih ograničenja. Funkcija cilja uključuje varijable odluke i njihovu povezanost s ciljem, a njezina optimizacija vodi do najboljeg mogućeg rješenja problema. Na primjer, u problemima poslovnog odlučivanja funkcija cilja može predstavljati ukupni prihod, dok u inženjerskim aplikacijama može opisivati minimizaciju potrebne energije ili maksimizaciju performansi sustava.

Maksimizacija je proces pronalaženja najveće moguće vrijednosti funkcije cilja unutar zadanih ograničenja. U kontekstu optimizacije, maksimizacija se najčešće odnosi na povećanje željenih rezultata, poput profita, proizvodnje, učinkovitosti ili bilo kojeg drugog pozitivnog ishoda. Cilj je odabrati vrijednosti varijabli odluke na način da funkcija cilja dostigne svoju najveću moguću vrijednost, dok se istovremeno poštuju svi uvjeti i resursna ograničenja definirana modelom.
Minimizacija je proces pronalaženja najmanje moguće vrijednosti funkcije cilja unutar zadanih ograničenja. U kontekstu optimizacije, minimizacija se često odnosi na smanjenje troškova, vremena, otpada, rizika ili drugih negativnih aspekata procesa ili sustava. Cilj je odabrati vrijednosti varijabli odluke tako da funkcija cilja postigne svoju najmanju moguću vrijednost, uz istovremeno poštivanje svih uvjeta i ograničenja modela.

Varijable odluke predstavljaju osnovne elemente modela koji definiraju ono što želimo odrediti ili kontrolirati kako bismo pronašli optimalno rješenje problema. One kvantificiraju odluke koje treba donijeti, poput količine proizvoda koje treba proizvesti, resursa koje treba raspodijeliti ili vremena koje treba uložiti u određenu aktivnost. Varijable odluke su obično numeričke i jasno povezane s problemom koji se rješava, omogućujući formalno matematičko izražavanje odnosa između različitih komponenti sustava i ciljeva koji se nastoje postići.

Ograničenja su uvjeti ili pravila koja definiraju granice unutar kojih se varijable odluke mogu kretati u optimizacijskom modelu. Ta pravila odražavaju stvarna ograničenja resursa, tehnička, operativna ili organizacijska pravila koja se moraju poštivati u rješavanju problema. Ograničenja mogu biti izražena u obliku jednakosti ili nejednakosti, ovisno o tome zahtijevaju li strogu raspodjelu resursa ili dopuštaju određeni stupanj fleksibilnosti. Ipak, potrebno ih je pažljivo definirati.

Geometrijski, ograničenja kreiraju skup hiperploha ili hiperravnina n-dimenzionalnog prostora (primjeri grafičkih prikaza dostupni su u tekstu Graficko rjesavanje LP-a). Pomoću tih ploha ili prostora određuje se područje definicije, iz koje se biraju takve vrijednosti varijabli odluka uz koje se postižu ekstremne vrijednosti funkcije cilja. Proturječna ograničenja (ograničenja koja ne mogu istovremeno biti ispoštovana, na primjer, x≥100 i x<50) onemogućuju utvrđivanje rješenja. U situaciji u kojoj ograničenja nisu proturječna, ali nisu niti ograničena (na primjer sva ograničenja sadrže <, uz minimizaciju funkcije cilja), moguće je utvrditi rješenje samo ako je funkcija cilja omeđena u području definicije i ako funkcija poprima ekstremnu vrijednost u tom području.

Općeniti zapis modela u linearnom programiranju je:

Funkcija cilja

\[ \text{Min ili Max } z = c_0 + c_1 x_1 + \dots + c_n x_n \]

Ograničenja

\[ a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n \, \begin{array}{c} \\ \geq \\ = \\ \leq \end{array} \, b_1, \]

\[ ... \] \[ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n \, \begin{array}{c} \\ \geq \\ = \\ \leq \end{array} \, b_m, \]

\[ x_j \, \geq, 0, \]

za:

\[ i = 1, \dots, m, \\j = 1, \dots, n. \]

Jednostavni model s dvije nepoznanice može biti zadan, na primjer, na sljedeće načine, ovisno radi li se o maksimizaciji ili minimizaciji:

Maksimizacija:

\[ \text{max } z = c_1 x_1 + c_2 x_2, \] \[ a_1 x_1 + a_2 x_2 \leq b_1, \]

\[ a_3 x_1 + a_4 x_2 \leq b_2, \]

\[ x_1 \geq 0, \, x_2 \geq 0. \]

Minimizacija:

\[ \text{min } z = c_1 x_1 + c_2 x_2, \]

\[ a_1 x_1 + a_2 x_2 \geq b_1, \]

\[ a_3 x_1 + a_4 x_2 \geq b_2, \]

\[ x_1 \geq 0, \, x_2 \geq 0. \]

Gdje su:

\[ a_1, a_2, a_3, a_4, b_1, b_2, c_1, c_2 \in \mathbb{R}. \]

odnosno, to bi u kontekstu moglo biti:

$c_1$ i $c_2$: koeficijenti funkcije cilja. Oni predstavljaju vrijednosti koje doprinose konačnoj vrijednosti funkcije cilja po jedinici varijabli odluke $x_1$ i $x_2$. Na primjer, ako je cilj maksimizirati profit, $c_1$ i $c_2$ mogu predstavljati profit po jedinici $x_1$ i $x_2$. Ili, ako je cilj minimizirati troškove, $c_1$ i $c_2$ mogu predstavljati troškove po jedinici $x_1$ i $x_2$.
$a_1$,$a_2$,$a_3$,$a_4$: koeficijenti ograničenja. Oni definiraju koliko svaka jedinica $x_1$ i $x_2$ koristi resurse ili doprinosi ograničenjima. Na primjer, $a_1$ može predstavljati količinu resursa potrebnu za proizvodnju jedne jedinice $x_1$, dok $a_2$ predstavlja resurse potrebne za proizvodnju $x_2$.
$b_1$ i $b_2$: desna strana ograničenja. Predstavljaju ukupnu dostupnost resursa ili gornju/donju granicu ograničenja. Na primjer, $b_1$ može označavati maksimalnu količinu dostupnog resursa koji se koristi u prvom ograničenju, dok $b_2$ označava ograničenje za drugi resurs.
$x_1$ i $x_2$: varijable odluke. Predstavljaju vrijednosti koje treba odrediti kako bi se optimizirala funkcija cilja. Na primjer, $x_1$ i $x_2$ mogu predstavljati broj proizvedenih jedinica dva različita proizvoda.

Iako je ovdje dan općeniti zapis, radi ilustracije, kroz dane primjere možemo zamisliti što bi takvi modeli mogli predstavljati. Dakle, ovi jednostavni primjeri mogli bi opisivati problem maksimizacije profita, odnosno minimizacije troška. Napomena: to ne znači da će ovi koeficijenti uvijek imati takvo značenje. Značenje i interpretacija prilagođavaju se kontekstu problema koji se rješava.

Još jedan jednostavan primjer, pretpostavimo da $x_1$ predstavlja broj proizvedenih stolova, a $x_2$ broj proizvedenih stolica. $c_1=100$, $c_2=50$ predstavljaju profit u eurima po proizvodu. Ograničenja su $a_1=2$, $a_2=1$, $b_1=300$, što znači da proizvodnja zahtijeva dva sata rada za izradu jednog stola i jedan sat rada za izradu stolice, uz ukupno 300 sati dostupnih sati rada koji se mogu rasporediti na izradu stolova i stolica. Funkcija cilja postaje:

$Max\ 100x_1+50x_2$

uz ograničenja:

$2x_1+x_2≤300$

$x_1≥0$

$x_2≥0$

Općenitije, u linearnom programiranju model se može zapisati u matričnom obliku:

\[ \text{Max } z = c^T x, \]

\[ Ax = b, \]

\[ x \geq 0. \]

Gdje su:

\[ c = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix}, \, b = \begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_m \end{bmatrix}, \, x = \begin{bmatrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{bmatrix}, A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nm} \end{bmatrix}\]

Ovdje je:

$z$: funkcija cilja,
$c^T$: transponirani vektor koeficijenata funkcije cilja,
$A$: matrica dimenzija $n \times m$,
$b$: vektor desne strane ograničenja,
$x$: vektor varijabli odluka.

Naravno, funkcija cilja može se postaviti i kao minimizacija.

Pogledajmo kako to izgleda kroz primjer. Neka je zadan sljedeći model:

\[ \text{Min } z = c^T x, \]

\[ Ax \geq b, \]

\[ x \geq 0, \]

Gdje su:

\[ c = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \, A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}, \, b = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}, \, x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}. \]

Navedeno se može zapisati kao:

\[ \text{Min } z = 2x_1 + 3x_2, \] \[ x_1 + x_2 \geq 2, \]

\[ 3x_1 + 2x_2 \geq 4, \]

\[ x_1 + 2x_2 \geq 3, \]

\[ x_1, x_2 \geq 0. \]

U nastavku ćemo se posvetiti struktriranju problema temeljem opisa problema. To se svodi na pravilno iščitavanje i zapis u obliku matematičkog modela. Svaki od sljedećih primjera bit će malo drugačije objašnjen s ciljem temeljitog razumijevanja kako iščitati ili utvrditi elemente problema, koncipirati problem i strukturirati ga (zbog toga što možda opis iz jedne perspektive raščlanjivanja problema neće svakom odgovarati, pa će opis iz druge perspektive pomoći; uostalom, ovo pomaže pri razvoju fleksibilnosti i omogućuje fokusiranje na osnovne elemente, neovisno iz koje im perspektive pristupamo). Svakim primjerom dodatno ćete razvijati sposobnost analitičkog razmišljanja i strukturiranog pristupa rješavanju problema, što će vam pomoći u prepoznavanju ključnih elemenata problema u stvarnom svijetu.

Osim toga, ovdje će se prikazati nekoliko jednostavnih primjera. Za dodatne (kompleksnije) primjere, pogledajte primjere u tekstu:

Uvod u linearno programiranje - strukturiranje problema.

Osim toga, možete naći i dodatne primjere u obliku Demo primjera rješavanja u aplikacijama:

Interaktivna web aplikacija za linearno programiranje s dvije varijable

Interaktivna web aplikacija za linearno programiranje

Interaktivna web aplikacija za cjelobrojno linearno programiranje

Interaktivna web aplikacija za mješovito cjelobrojno linearno programiranje

Ključni pojmovi:

Optimizacija
Linearno programiranje
Optimum
Varijabla odluke
Funkcija cilja
Ograničenja
Strukturiranje problema

1. primjer

Na odjelu postoje dva uređaja za rendgensko snimanje, koji zajedno osiguravaju kontinuiranu dostupnost dijagnostičkih usluga pacijentima na jednom odjelu. Prvi uređaj, stacionarni digitalni rendgen, koristi se za sve ostale pacijente i pruža veću preciznost te veći kapacitet pregleda (uređaj A). Drugi uređaj, mobilni rendgen, koristi se za hitne slučajeve i pacijente koji nisu u mogućnosti napustiti krevet (uređaj B). Uređaji moraju osigurati zajedno 24 sata kontinuirane upotrebe kako bi zadovoljili potrebe bolničkog odjela, ali imaju različita ograničenja i troškove rada.

Simbolična ilustracija
Izvor: DALL-E

Mobilni rendgen, zbog svoje pokretljivosti i specifičnih zahtjeva održavanja, može raditi maksimalno 8 sati dnevno. Stacionarni rendgen, iako manje fleksibilan, može raditi neograničeno unutar dnevnog rasporeda, no oba uređaja dijele istu energetsku infrastrukturu i prostor za rad, što ograničava njihovu kombiniranu uporabu na ukupno 24 sata dnevno.

Svaki sat rada mobilnog rendgena generira ekvivalentnu korist od 50 eura zbog njegove dostupnosti za hitne slučajeve i mogućnosti pružanja usluge kod pacijenata u kritičnom stanju. S druge strane, stacionarni rendgen generira 40 eura po satu rada, jer se koristi za standardne pretrage. Ograničenja napajanja dopuštaju kombinirani rad oba uređaja od maksimalno 28 sati dnevno. Ovo znači da je potrebno pažljivo utvrditi koliko će sati dnevno svaki uređaj raditi, uzimajući u obzir njihovu maksimalnu iskoristivost i ograničene resurse.

Voditelj odjela mora odlučiti koliko će sati dnevno svaki uređaj raditi kako bi se maksimizirala ukupna korist za pacijente i bolnicu, uz poštovanje ograničenja održavanja i energetskih resursa.

1.1. Strukturiranje problema

Na početku strukturiranja problema, često će nam biti korisno kreirati tablicu kroz koju možemo lakše popratiti odnose navedene u tekstu. Na primjer, uređaji mogu biti zadani u recima, što znači da će ostali podaci biti navedeni u stupcima, a u ovom slučaju to su, prihodi po satu i dostupni sati rada dnevno.

uređaj	Prihod po satu (EUR)	Maksimalno sati rada dnevno
uređaj A	40	24 `*`
uređaj B	50	8
Ukupno	max	28 (kombinirano)

* iako nije navedeno u tekstu zadatka, možemo deducirati da je moguće dnevno raditi najviše 24 sata.

Varijable odluke

Varijable odluke u ovom slučaju definiraju ključne odluke koje voditelj mora donijeti kako bi se postiglo optimalno rješenje problema, uzimajući u obzir postavljena ograničenja i ciljeve. One predstavljaju osnovne nepoznanice koje želimo odrediti, a u ovom slučaju odnose se na broj sati rada svakog uređaja dnevno. One zapravo odgovaraju na pitanje “kako rasporediti dostupne sate između ova dva uređaja na način koji će donijeti najveći mogući prihod?”

Kako iščitavamo varijable odluke u ovom slučaju?

Identifikacija ključnih resursa:

Ključni resurs u ovom problemu je vrijeme rada uređaja, izraženo u satima. Odjel želi maksimizirati prihod, što znači da broj sati rada svakog uređaja predstavlja odluku koju treba optimizirati. Uređaji su fizički ograničeni u pogledu dostupnog vremena rada, što direktno povezuje varijable odluke s tehničkim i operativnim ograničenjima.
Uređaj A može generirati 40 eura prihoda po satu rada, dok uređaj B generira 50 eura po satu rada. Prihod koji svaki uređaj ostvaruje direktno je proporcionalan broju sati koje provede u radu. Stoga je broj sati rada na svakom uređaju ključna odluka koja utječe na ukupni prihod tvrtke.
Voditelj mora odlučiti koliko će sati dnevno svaki uređaj raditi, uzimajući u obzir tehnička ograničenja:
- uređaj B može raditi najviše 8 sati dnevno zbog održavanja.
- uređaj A nema pojedinačno ograničenje, ali kombinirano vrijeme rada oba uređaja ne smije premašiti 28 sati dnevno zbog ograničenja napajanja.

Formulacija varijabli odluke

Varijable odluke definiramo kako bismo izrazili ove odluke matematički:
- $x_1$: Broj sati dnevno koje uređaj A provede u radu.
- $x_2$: Broj sati dnevno koje uređaj B provede u radu.

Vrijednosti varijabli odluka predstavljaju koliko će sati rada tvoditelj dodijeliti svakom uređaju u jednom danu. Varijable odluke osnova odakle uvijek krećemo, jer predstavljaju srž problema – upravo na temelju njih možemo optimizirati korištenje svojih resursa kako bi se ostvarili najveći mogući prihodi (a to ujedno znači i najveći mogući broj pregleda, što je prednost za pacijente), uz poštivanje svih tehničkih i operativnih ograničenja.

Bez pravilne definicije i razumijevanja varijabli odluke, matematički model problema ne bi imao jasno značenje niti praktičnu vrijednost.

Dakle, ove varijable pokrivaju dvije ključne odluke koje voditelj mora donijeti – koliko sati dnevno dodijeliti uređaju A i koliko sati dnevno dodijeliti uređaju B. Matematički, $x_1$ i $x_2$ su veličine koje želimo odrediti kako bismo maksimizirali prihod (ovo će biti funkcija cilja), a istovremeno su vezane uz ograničenja. Zato $x_1$ i $x_2$ predstavljaju varijable odluke.

Napomena: Varijable u modelima linearnih programa ne moraju biti nužno nazvane kao $x_1,x_2,…,$ iako je to najčešći i standardizirani način u matematičkom kontekstu. Nazivi varijabli mogu biti fleksibilni i prilagođeni specifičnom problemu, sve dok su:

Jedinstveni – Svaka varijabla mora imati jedinstven naziv.
Jasni – Imena trebaju jasno odražavati ulogu varijable u modelu kako bi povećala čitljivost i razumljivost.

U nekim situacijama ćete radije koristiti i druga slova, primjerice $a, b, c,...$. Varijable mogu nositi imena koja opisuju njihovu funkciju ili značenje, na primjer, u proizvodnom modelu: $broj_{Stolova},broj_{Stolica},broj_{Ormara}$. Ako imate više sličnih varijabli, možete koristiti kombinacije slova i brojeva za grupiranje, npr: $p_1,p_2,p_3$ za različite proizvode i $k_1,k_2$ za kapacitete različitih skladišta. Varijable možete imenovati koristeći skraćenice povezane s problemom: $trosak_{HR}$ za troškove u Hrvatskoj ili $trosak_{INO}$ za troškove u inozemstvu.

Jednostavna pravila za nazive varijabli:

Kratki nazivi su poželjni za lakše izražavanje matematičkih modela, posebno kada je model velik.
Uvijek konzistentno koristite način imenovanja kroz cijeli model (isti naziv za istu varijablu kroz model)
Jasan naziv - varijable s jasnim nazivima smanjuju potrebu za dodatnim objašnjenjem
Nazivi varijabli ne smiju se duplirati unutar jednog modela (svaka varijabla ima jedinstven naziv unutar modela)

Funkcija cilja

Funkcija cilja u problemima linearnog programiranja izražava osnovni cilj koji želimo postići. U ovom slučaju, funkcija cilja definirana je time što voditelj želi postići – maksimizirati ukupan prihod ostvaren radom dvaju uređaja. Detaljno objašnjenje kako iščitavamo funkciju cilja iz problema povezano je s kontekstom poslovanja, prirodom resursa i odnosima između varijabli.

Identifikacija osnovnog cilja

Iz teksta zadatka jasno je da je osnovni cilj odjela ostvariti maksimalan (najveći mogući) prihod od rada dvaju uređaja, uređaja A i uređaja B.
Prihod se generira po satu rada uređaja tijekom kojeg se vrše pretrage.
Dakle, funkcija cilja mora maksimizirati ukupan prihod, a prihod ovisi o broju sati rada ($x_1$ za uređaj A, $x_2$ za uređaj B) i prihodima po satu za svaki uređaj (40 eura za uređaj A i 50 eura za uređaj B).

Identifikacija elemenata funkcije cilja (iliti idemo sad to raščlaniti na elemente)

Prihod po satu rada:

uređaj A: Svaki sat rada uređaja A donosi tvrtki 40 eura prihoda.
uređaj B: Svaki sat rada uređaja B donosi tvrtki 50 eura prihoda.

Varijable odluke:

$x_1$: Broj sati dnevno koje uređaj A radi.
$x_2$: Broj sati dnevno koje uređaj B radi.

Ukupan prihod za svaki uređaj izračunava se kao proizvod broja sati rada i prihoda po satu:

uređaj A: Prihod od uređaja A iznosi $40x_1$.
uređaj B: Prihod od uređaja B iznosi $50x_2$.

Definiranje ukupnog prihoda za oba uređaja

Ukupan prihod je zbroj prihoda ostvarenih radom oba uređaja
Ukupan prihod = Prihod od uređaja A + Prihod od uređaja B, odnosno $40x_1+50x_2$
Stoga, funkcija cilja, koja mora maksimizirati ovaj prihod, postaje: $max\ 40x_1 + 50x_2$
gdje: $40x_1$ i $50x_2$ predstavljaju doprinose svakog uređaja ukupnom prihodu.

Kontekst poslovanja:

Voditelj mora osigurati da se resursi optimalno koriste.
Optimalno, odnosno maksimalno korištenje uređaja osigurava i najveći broj pregledanih pacijenata.
Maksimizacija prihoda je poslovno mjerilo uspjeha.

Prihod po satu:

Razlika u prihodima po satu (40 eura za uređaj A i 50 eura za uređaj B) odražava različite kapacitete ili performanse rada svakog uređaja.
Uređaj B, koji generira veći prihod po satu, predstavlja vrijedniji resurs, što model implicitno favorizira kroz koeficijent 50 u funkciji cilja.

Varijable odluke:

Vrijednosti varijabli $x_1$ i $x_2$ (sati rada svakog uređaja) izravno utječu na ukupni prihod.
Povećanje sati rada bilo kojeg uređaja povećava vrijednost funkcije cilja, no sati rada moraju biti usklađeni s ograničenjima, poput dopuštenog broja sati rada ili zajedničkog kapaciteta.

Zašto je funkcija cilja važna?

Funkcija cilja omogućuje matematički zapis cilja optimizacije.
Jasno definira kako različite varijable odluke (vrijednosti $x_1$ i $x_2$) utječu na ukupni prihod i omogućuje analitički pristup za pronalaženje optimalnog rješenja.
Bez funkcije cilja, matematički model ne bi imao smislen krajnji cilj – optimizacija bi bila nemoguća jer ne bismo znali što želimo postići.

Ograničenja

Ograničenja u problemu linearne optimizacije definiraju granice i pravila unutar kojih se rješenje mora nalaziti. U situaciji gdje ne bi postojala ograničenja resursa, maksimizacija funkcije cilja mogla bi poprimiti beskonačno velike vrijednosti, no to ne bi bilo realistično - što god da radimo, to činimo pomoću određenih resursa i ti resursi su ograničeni.

U ovom slučaju, ograničenja se odnose na radne sate uređaja i njihov kombinirani rad zbog tehničkih, operativnih i resursnih uvjeta. Evo kako ta ograničenja iščitavamo iz zadatka i povezujemo ih s kontekstom:

Maksimalno vrijeme rada uređaja B

Iz teksta zadatka: uređaj B može raditi najviše 8 sati dnevno zbog ograničenja održavanja.
Ovo ograničenje odražava tehničke zahtjeve za održavanje uređaja, koji mogu uključivati hlađenje (rendgenske cijevi generiraju značajnu količinu topline tijekom rada, što zahtijeva pauze za hlađenje kako bi se spriječilo pregrijavanje i oštećenje), servisiranje (npr. kalibracija i testiranja koja su potrebna kako bi se osigurala preciznost i sigurnost snimanja ograničavaju vrijeme rada uređaja) ili ažuriranja softvera.
Matematički zapis: $x_2 \leq 8$, gdje je $x_2$ broj sati rada uređaja B dnevno.
Kontekst: Čak i ako postoji dodatna potreba za hostingom aplikacija, uređaj B ne može raditi više od 8 sati dnevno zbog tehničkih ograničenja. Ovo ograničenje osigurava da se plan rada pridržava fizičkih kapaciteta uređaja.

Maksimalno vrijeme rada uređaja A

Iako nije navedeno u tekstu zadatka, možemo logički zaključiti da je moguće maksimalno dnevno raditi 24 sata.
Uređaj A nema izražena tehnička ograničenja kao uređaj B, pa može raditi svih 24 sata dnevno ako kombinirana ograničenja to dopuštaju.
Matematički zapis: $x_1 \leq 24$, gdje je $x_1$ broj sati rada uređaja A dnevno.
Kontekst: Ovo je implicitno ograničenje koje osigurava da matematički model ne dodijeli više sati rada nego što fizički postoji u jednom danu. Ipak, ovo ograničenje je potrebno definirati, jer sam model je matematički i “ne zna” kontekst i postojanje 24 sata u danu, pa “mu mi to moramo prepričati” pomoću jednadžbi ili nejednadžbi. Na primjer, ako ovo ograničenje izostavimo, model bi možda mogao dodijeliti 28 sati rada dnevno ovom uređaju, što nije izvedivo, ali model to ne može “znati” bez našeg inputa. Isto će vrijediti i pri korištenju softvera. Ovo ilustrira kako matematički model “razmišlja” (odnosno, pruža rješenja) samo u okvirima postavljenih ograničenja, što nas podsjeća da je precizna formulacija nužna za točnost rješenja. Dakle, čak i kad mislimo da se neki uvjet podrazumijeva, pri modeliranju to nije tako i moramo ga zapisati.

Kombinirani rad uređaja A i B

Iz teksta zadatka: “Kombinirani rad uređaja A i B ne smije premašiti 28 sati dnevno zbog ograničenja napajanja”.
Ovo ograničenje odražava operativna ograničenja, kao što su kapacitet napajanja ili drugi resursi koji oba uređaja koriste istovremeno.
Matematički zapis: $x_1 + x_2 \leq 28$, gdje $x_1$ i $x_2$ predstavljaju sate rada uređaja A i B dnevno.
Kontekst: Iako svaki uređaj ima svoj maksimalni kapacitet rada, ukupni broj sati rada oba uređaja zajedno ne može premašiti 10 sati dnevno. Ovo ograničenje zahtijeva pažljivo raspoređivanje resursa između uređaja kako bi se maksimalno iskoristila njihova produktivnost unutar dostupnih kapaciteta.

Uvjet nenegativnosti

Iz općih postavki linearnog programiranja
Matematički zapis: $x_1 \geq 0$, $x_2 \geq 0$.
Kontekst: Nenegativnost osigurava da broj sati rada ne može biti negativan, što bi bilo matematički pogrešno i fizički nemoguće. Ovo je standardno ograničenje u linearnom programiranju koje osigurava realističnost rješenja.

Kako ograničenja pomažu u strukturiranju problema?

Tehnička ograničenja: Ograničenja za uređaj A ($x_2 \leq 8$) i uređaj B ($x_1 \leq 24$) definiraju fizičke kapacitete uređaja, osiguravajući da plan rada bude izvediv unutar tehničkih mogućnosti svakog uređaja.
Operativna ograničenja: Kombinirano ograničenje ($x_1 + x_2 \leq 28$) dodaje sloj složenosti, prisiljavajući optimizaciju da balansira korištenje oba uređaja kako bi se maksimalno iskoristili unutar ograničenih resursa.
Podrška funkciji cilja: Ograničenja određuju prostor mogućih rješenja u kojem funkcija cilja ($max\ 40x_1 + 50x_2$) može tražiti optimalnu kombinaciju sati rada kako bi ostvarila najveći mogući prihod.
Povezivanje ograničenja s kontekstom osigurava da model ne samo da rješava matematički problem, već i pruža smisleno i primjenjivo rješenje u stvarnom poslovnom okruženju.

1.2. Model

Funkcija cilja

\[max\ 40x_1 + 50x_2\]

Ograničenja

\[x_2 \leq 8\]

\[x_1 \leq 24\]

\[x_1 + x_2 \leq 28\]

\[x_1 \geq 0\]

\[x_2 \geq 0\]

Ovaj primjer predstavlja jednostavan, ali intuitivan model linearnog programiranja koji se koristi za optimizaciju resursa u kontekstu poslovanja. Kroz definiranje varijabli odluka, funkcije cilja i ograničenja, jasno se ilustrira kako strukturirati problem kako bi se maksimizirao prihod od uređaja, unatoč tehničkim i operativnim ograničenjima. Rješenje modela osigurava racionalnu i optimalnu alokaciju resursa, olakšavajući donošenje poslovnih odluka.

Ovaj primjer pokazuje da čak i jednostavan model može imati značajan utjecaj na poslovne operacije, pružajući smjernice za maksimizaciju učinka dostupnih resursa unutar zadanih ograničenja. Korištenjem analitičkog pristupa, voditelj može izvući maksimalnu korist iz svojih kapaciteta, što je ključno za povećanje profitabilnosti i operativne učinkovitosti.

Prikazivanje problema kroz tablicu i detaljno raščlanjivanje svakog aspekta (varijable odluke, funkcije cilja i ograničenja) pomaže razumijevanju kako apstraktni matematički koncepti imaju praktičnu primjenu u stvarnom poslovanju. Jasno objašnjenje funkcije cilja i ograničenja također pokazuje da je optimizacija resursa ključna za povećanje efikasnosti i maksimizaciju koristi. Osim toga, ovaj primjer pokazuje kako linearno programiranje može biti koristan alat za rješavanje problema optimizacije, čak i u jednostavnim situacijama. Iako je ovaj model bitno pojednostavljen, s dvije varijable i nekoliko ograničenja, i dalje prenosi osnovnu ideju – matematičko strukturiranje problema može omogućiti bolje donošenje odluka.

Sposobnost formuliranja i rješavanja ovakvih problema može biti izuzetno korisna vještina u različitim područjima. Primjer također ilustrira interdisciplinarnu prirodu optimizacije – razumijevanje tehničkih, operativnih i poslovnih aspekata omogućava stvaranje modela koji su praktični i primjenjivi. Ovaj primjer nam služi kao polazišna točka za razvijanje vještina optimizacije i analitičkog razmišljanja koje su primjenjive u stvarnom svijetu.

Pitanja za razmišljanje

Kako biste preciznije objasnili zašto se baš ovi parametri (npr. sati rada, trošak, energija) nalaze u modelu?
- razmislite o tome koje su sve veličine relevantne za poslovnu odluku i što bi se moglo dogoditi ako bismo izostavili neke ključne parametre.
Zašto u funkciji cilja koeficijenti uz varijable predstavljaju upravo 40 i 50 eura? Što taj broj fizički ili ekonomski znači?
- razmislite kako koeficijenti u funkciji cilja nisu tek proizvoljne brojke, već pokazuju stvarnu vrijednost (prihod, dobit, uštedu) za svaku jedinicu varijable.
Što bi se dogodilo s rješenjem da smo pogrešno ili nepotpuno formulirali ograničenja (npr. nismo postavili da $x_1 \leq 24$)?
- koja je važnost realističnog postavljanja ograničenja? Razmislite i o tome kako bi se model mogao ‘ponašati’ kad u njemu nedostaje neko stvarno ograničenje.
Zbog čega nam treba ograničenje ukupnog rada $(x_1 + x_2 \leq 28)$ ako već postoji ograničenje da $x_1 \leq 24$ i $x_2 \leq 8$?
- Kako različita ograničenja adresiraju različite aspekte problema (tehničko ograničenje uređaja A ili B, naspram kombiniranog ograničenja napajanja), te da sva zajedno daju potpuni opis situacije?
U kojoj bi situaciji bilo “povoljnije” rasporediti više sati rada na uređaj A, unatoč tome što uređaj B generira veći prihod?
- Razmislite o mogućnosti postojanja skrivenih faktora (npr. dodatni troškovi održavanja, prioritiziranje pacijenata koji se ne mogu transportirati, specifične potrebe dijagnostike) koji bi mogli promijeniti matematički ‘najbolje’ rješenje.
Kako biste promijenili model da uzmete u obzir još jedan resurs, primjerice ograničeni broj medicinskog osoblja ili vrijeme liječničke obrade?
- Razmislite o tome kako se u stvarnim uvjetima gotovo uvijek susrećemo sa složenijim resursnim ograničenjima i kako to utječe na formulaciju LP modela.
Kada biste riješili ovaj model i dobili optimalne vrijednosti $x_1$ i $x_2$, zašto je važno provjeriti da ti rezultati imaju smisla (valjanost) u realnom kontekstu?
- Razmislite o tome kako optimizacijsko rješenje mora biti operativno izvodivo. Postoje li dodatni faktori (npr. smještaj uređaja, raspored osoblja, pacijentova mogućnost dolaska) zbog kojih bi rješenje možda ipak trebalo korigirati?

2. primjer

Ovo je bitno pojednostavljena situacija inspirirana godišnjim planiranjem u okviru proračuna.

Bolnica pruža zdravstvene usluge trima glavnim kategorijama pacijenata: hospitaliziranim pacijentima, pacijentima dnevnih bolnica i polikliničkim pacijentima. Svaka od ovih kategorija zahtijeva različitu razinu resursa, uključujući osoblje, financije i kapacitet kreveta.

Trošak obrade pacijenta razlikuje se među kategorijama. Hospitalizirani pacijenti bolnici donose trošak od 500 eura po danu, dok pacijenti u dnevnim bolnicama zahtijevaju 200 eura po danu, a poliklinički pacijenti 50 eura po danu. Ovi iznosi pokazuju različite zahtjeve po kategorijama pacijenata, čime dodatno naglašavaju potrebu za pažljivim planiranjem resursa.

Bolnica ima ukupni godišnji proračun od 82235595 eura, što je definirano financijskim planom. Na raspolaganju je 1026 medicinskih djelatnika koji rade u smjenama – dvije dnevne, dvije popodnevne i dvije noćne, nakon čega slijede dva dana slobodna. To znači da rade u ciklusima od 8 dana, gdje je ukupno 6 dana radnih, a 2 dana slobodna. Osim toga, prema zakonu svaki djelatnik ima pravo na godišnji odmor u prosječnom trajanju od 28 dana. Uz to, bolnica raspolaže s ukupno 432 kreveta za hospitalizirane pacijente.

Za svaku kategoriju pacijenata definirani su i operativni zahtjevi. Hospitalizirani pacijenti, uz korištenje kreveta, zahtijevaju prosječno 3 sata rada medicinskog osoblja dnevno kako bi im se pružila potrebna skrb. Pacijenti dnevnih bolnica trebaju 1 sat rada osoblja po pacijentu dnevno, dok poliklinički pacijenti zahtijevaju samo 0.5 sati rada po pacijentu. Ovi zahtjevi jasno definiraju kako se raspoloživi resursi bolnice koriste za svakodnevno pružanje zdravstvenih usluga.

Simbolična ilustracija
Izvor: DALL-E

Po uzoru na prethodnu godinu, utvrđuju se minimalni planirani kapaciteti prema kategoriji pacijenata. Prethodne godine bilo je 16964 hospitaliziranih pacijenata. Pretpostavljamo da je svaki pacijent prosječno hospitaliziran 5 dana (uobičajena vrijednost za opće bolnice), pa je to 84820 dana ukupnog korištenja ležajeva. Prethodne godine bilo je 77652 pacijenata u dnevnim bolnicama, a pretpostavljamo da svaki pacijent u dnevnoj bolnici zahtijeva 1 dan liječenja. Također, prethodne godine bilo je 856192 polikliničkih pacijenata. Minimalni planirani kapaciteti prema kategoriji pacijenata iznose 50% prošlogodišnjeg učinka.

Cilj bolnice je maksimizirati broj sati skrbi za pacijente godišnje, pri čemu se ukupni sati pružene skrbi mjere kroz sate hospitalizacije, sate skrbi u dnevnim bolnicama i sate pružanja polikliničkih usluga. Svi ovi sati moraju biti u skladu s ograničenjima proračuna, radnih sati osoblja i kapaciteta kreveta. Model optimizacije omogućuje bolnici donošenje informiranih odluka o optimalnoj raspodjeli resursa, uzimajući u obzir sve ove čimbenike. Na taj način bolnica može ostvariti maksimalan učinak unutar svojih operativnih i financijskih mogućnosti, dok istovremeno osigurava kvalitetnu skrb za sve pacijente.

Opća bolnica želi optimizirati raspodjelu svojih resursa (financijskih i osoblja) kako bi maksimizirala broj obrađenih pacijenata, pri čemu se fokus stavlja na tri glavne kategorije:

Hospitalizirani pacijenti
Pacijenti dnevnih bolnica
Poliklinički pacijenti

Podaci:

Trošak obrade po pacijentu:
- Hospitalizirani pacijenti: 500 EUR/pacijentu/danu
- Pacijenti dnevnih bolnica: 200 EUR/pacijentu/danu
- Poliklinički pacijenti: 50 EUR/pacijentu/danu

Trošak obrade po satu za svaku kategoriju pacijenata:

Hospitalizirani pacijenti: 500 EUR po danu / 24 sata = 20.83 EUR/sat.
Pacijenti dnevnih bolnica: 200 EUR po danu / 8 sati = 25 EUR/sat.
Poliklinički pacijenti: 50 EUR po danu / 4 sata = 12.5 EUR/sat.
Resursi bolnice:
- Ukupni godišnji proračun: 82235595 EUR (prema financijskom planu za 2024.).
- Broj medicinskog osoblja: 1026
- Broj bolničkih kreveta: 432

Većina medicinskog osoblja radi u smjenama (dnevne, popodnevne, noćne) te ima slobodne dane i godišnji odmor, pa ukupno raspoloživo radno vrijeme osoblja treba prilagoditi tom rasporedu:

Rad u ciklusima od 8 dana (2 dnevne, 2 popodnevne, 2 noćne smjene i 2 slobodna dana): 365/8 = 45.625 ciklusa/godina.
Broj radnih dana godišnje po osobi: 45.625 ciklusa × 6 radnih dana/ciklus ≈ 273.75 radnih dana/godina.
Prema zakonu, svaka osoba ima 28 dana godišnjeg odmora. To smanjuje broj radnih dana na: 273.75 radnih dana − 28 dana odmora = 245.75 radnih dana.
Ukupan broj sati rada po osobi: 245.75 radnih dana × 8 sati/radni dan = 1966 sati/godina.
Prema zakonu, 1800 sati rada godišnje obuhvaća redovne radne sate za prosječnog zaposlenika. Ovaj broj uključuje normalno opterećenje bez prekovremenog rada i uzimajući u obzir godišnji odmor. Svi sati rada iznad ovog broja smatraju se prekovremenim radom i plaćaju se dodatno, obično s povećanom satnicom (npr. 50% više). To znači da dodatni sati trebaju biti uključeni u trošak po satu rada ako se smatraju prekovremenima. Pretpostavimo da trošak po satu za svakog pacijenta već uključuje i redovne i prekovremene sate (kroz agregatnu procjenu troškova rada bolnice), pa tada dodatno razmatranje prekovremenih sati nije potrebno za funkciju cilja.
Ukupno medicinsko osoblje: 1026 osoba.
Ukupni raspoloživi sati osoblja godišnje: 1966 × 1026 = 2017116 sati.
Ograničenja resursa:
- Svaki hospitalizirani pacijent zahtijeva 1 krevet i 3 sata rada medicinskog osoblja dnevno.
- Svaki pacijent dnevnih bolnica zahtijeva 1 sat rada osoblja po pacijentu.
- Svaki poliklinički pacijent zahtijeva 0.5 sati rada osoblja po pacijentu.
Minimalni kapaciteti
Hospitalizirani pacijenti:
- Prethodne godine bilo je 16964 hospitaliziranih pacijenata.
- Pretpostavljamo da je svaki pacijent prosječno hospitaliziran 5 dana (uobičajena vrijednost za opće bolnice).
- Svaki dan hospitalizacije zahtijeva 3 sata rada medicinskog osoblja.
- Ukupni minimalni sati rada: 16,964 pacijenata × 5 dana/pacijent × 3 sata/dan × 0.5 = 254460 sati × 0.5 = 127230 sati
Pacijenti dnevnih bolnica:
- Prethodne godine bilo je 77652 pacijenata u dnevnim bolnicama.
- Pretpostavljamo da svaki pacijent u dnevnoj bolnici zahtijeva 1 dan liječenja, što uključuje 1 sat rada osoblja.
- Ukupni minimalni sati rada: 77652 pacijenata × 1 sata/pacijent × 0.5 = 77652 sati × 0.5 = 38826 sati
Poliklinički pacijenti:
- Prethodne godine bilo je 856192 poliklinička pacijenta.
- Pretpostavljamo da svaki pacijent zahtijeva 0.5 sati rada osoblja.
- Ukupni minimalni sati rada:856192 pacijenata × 0.5 sata/pacijentu × 0.5 = 428096 sati × 0.5 = 214048
Cilj:
- Maksimizirati broj obrađenih pacijenata godišnje uz poštovanje raspoloživih resursa.

Varijable odluke:

$x_1$: Ukupni sati skrbi za hospitalizirane pacijente godišnje.

$x_2$: Ukupni sati skrbi za pacijente dnevnih bolnica godišnje.

$x_3$: Ukupni sati skrbi za polikliničke pacijente godišnje.

Funkcija cilja:

Maksimizirati ukupan broj pacijenata: $max\ z=x1+x2+x3$

Ograničenja:

Proračunsko ograničenje: $20.83x_1+25x_2+12.5x_3≤82235595$
Ograničenje osoblja: $3x_1+x_2+0.5x_3≤2017116$
Ograničenje broja kreveta: $x_1≤432⋅365$
Minimalni sati predviđeni za hospitalizirane pacijente: $x_1≥127230$
Minimalni sati predviđeni za pacijente u dnevnoj bolnici: $x_2 \geq 38826$
Minimalni sati predviđeni za pacijente u poliklinikama: $x_3 \geq 214048$
Nenegativnost: $x_1,x_2,x_3≥0$

Model optimizira broj pacijenata unutar zadanog proračuna, kapaciteta kreveta i raspoloživih sati osoblja. Rezultati ovog modela omogućuju bolnici određivanje optimalnog broja pacijenata u svakoj kategoriji kako bi se resursi koristili na najbolji mogući način.

Linearno programiranje nije usmjereno na predviđanje broja pacijenata, nego na optimizaciju raspodjele resursa. Temeljimo se na poznatim povijesnim podacima (kao što su broj pacijenata u prethodnoj godini) i koristimo ih kao smjernice za donošenje racionalnih odluka o tome kako najbolje rasporediti raspoložive resurse.

Povijesni podaci pružaju dobar okvir za planiranje. Iako ne možemo predvidjeti budućnost s apsolutnom sigurnošću, korištenje prethodnih trendova omogućuje donošenje informiranih odluka i prilagodbu resursa za očekivani opseg rada.

Optimizacijski model može se ažurirati i prilagoditi kako se dobivaju novi podaci. Ako se tijekom godine dogode značajne promjene (npr. epidemije ili prirodne katastrofe), model se može brzo prilagoditi kako bi odražavao nove stvarnosti.

Iako broj pacijenata može varirati, raspodjela resursa na temelju optimalnih smjernica smanjuje rizik od prekomjernog opterećenja osoblja ili neadekvatne usluge pacijentima. Bez planiranja, resursi bi mogli biti korišteni neučinkovito.

Bolnice diljem svijeta koriste optimizacijske alate za planiranje resursa, od radnog vremena osoblja do kapaciteta kreveta. Ovi alati ne predviđaju budućnost, već osiguravaju da su resursi pravilno raspoređeni kako bi zadovoljili poznate ili očekivane potrebe, uz fleksibilnost za prilagodbu neočekivanim okolnostima.

Pitanja za razmišljanje

Zašto smo izabrali upravo sate skrbi $(x_1, x_2, x_3)$ kao varijable odluke, a ne broj pacijenata ili broj dana hospitalizacije?
- Razmislite o tome zašto je važno da varijable odluke izravno opisuju ono što želite optimizirati (u ovom slučaju sate skrbi). Što to znači za jasnoću i učinkovitost modela?
Koja je razlika između troška obrade po satu (20.83 EUR, 25 EUR, 12.5 EUR) i troška obrade po danu (500 EUR, 200 EUR, 50 EUR)? Zašto imamo dvije perspektive troškova?
- Razmislite kako prelazak s jednog vremenskog okvira (dan) na drugi (sat) mijenja koeficijente u modelu te kakve prednosti ili nedostatke donosi takva promjena pogleda na troškove.
Na koji način bismo mogli drugačije prikazati ograničenje osoblja, umjesto $(3x_1 + x_2 + 0.5x_3 \leq 2017116)$?
- Razmislite o tome kako biste mogli definirati drugačije (možda detaljnije) varijable ili relacije (npr. kroz broj dana hospitalizacije ili broj pacijenata). Kako bi to utjecalo na složenost i razumljivost modela?
Zašto smo postavili ograničenje broja kreveta $(x_1 \leq 432 \cdot 365)$ upravo tako, a ne na npr. $(x_1 \leq 432 \cdot 365 \cdot 24)$?
- Razmislite o jedinicama mjere: $x_1$ označava sate skrbi dnevno, ne ukupan broj sati korištenja kreveta. Kako to mijenja način na koji izražavamo ograničenje i zašto je to važno?
Kako bismo opravdali uključivanje minimalnih sati skrbi $(x_1 \geq 127230, x_2 \geq 38826, x_3 \geq 214048)$ u model, a ne samo prepustili odluku modelu da slobodno odabire vrijednosti?
- Razmislite o ulozi minimalnih planiranih kapaciteta koji se temelje na prošlogodišnjim podacima (garancija određene razine usluge za stanovništvo). Što bi se dogodilo kad bismo te uvjete uklonili?
Kakav bi mogao biti smisao dviju vrsta troškova rada osoblja – redovni i prekovremeni – te zašto smo ih ovdje agregirali u jednu stavku u funkciji cilja?
- Razmislite o tome zašto modeli često koriste prosječni trošak rada. Kako bi uvođenje dviju različitih razina troškova (redovni vs. prekovremeni sati) promijenilo formulaciju i potencijalno i rješenje modela?
Što se događa s našim modelom ako se, primjerice, predviđeni godišnji proračun promijeni za 10% na više ili na niže?
- Razmislite o tome kako se linearni modeli ponašaju kad se mijenjaju ključni parametri (npr. proračun). Koje posljedice to može imati na optimalnu raspodjelu resursa?
Razlikujemo li dovoljno jasno između maksimalnog broja pacijenata koje možemo primiti (iz perspektive financija) i onih koje možemo obraditi (iz perspektive osoblja i broja kreveta)?
- Razmislite o tome kako različita ograničenja (proračun, osoblje, kapacitet kreveta) mogu biti “uska grla” (bottlenecks) i zašto je ključno otkriti koje ograničenje najviše utječe na raspodjelu resursa.

Primjeri iz znanstvenih i stručnih članaka

U nastavku će biti prikazano nekoliko primjera upotrebe linearnog programiranja u područjima relevantnim za sestrinstvo. Odabrani primjeri su dovoljno jednostavni da se mogu s lakoćom popratiti. Osim toga, reference na sve radove nalaze se na kraju ovog teksta, pa oni koji se žele detaljnije pozabaviti tim slučajevima, mogu pronaći te radove.

Fagoyinbo & Ajibode (2010)

Fagoyinbo & Ajibode (2010) su u radu prikazali optimizaciju raspodjele resursa za obuku osoblja u akademskim i neakademskim sektorima veleučilišta Federal Polytechnic, Ilaro koji se nalazi u Ogun State-u, Nigeriji. Konkretno, cilj je bio smanjiti troškove obuke uz osiguranje adekvatne zastupljenosti osoba s nižim i višim senioritetom iz različitih odjela.

Simbolična ilustracija
Izvor: DALL-E

Ovdje se radi o upotrebi linearnog programiranja u kontekstu upravljanja ljudskim resursima. Varijable odluke su mlađe (junior) i starije (senior) osoblje s veleučilišta. Predstavljeni su oznakama $x_1$ odnosno $x_2$. Ove varijable koriste se u modelima formuliranim za akademsko i neakademsko osoblje veleučilišta.

U bilo kojoj ustanovi, organizaciji ili poslovnom subjektu, glavni cilj je minimiziranje troškova, a u ovom slučaju to je problem troškova obuke osoblja koji se moraju svesti na minimum. $C_1$ i $C_2$ su prosječni troškovi povezani s osposobljavanjem junior i senior osoblja za akademsko i neakademsko osoblje na veleučilištu, a za ovu studiju jedinični troškovi iznose jedan u oba slučaja.

Ograničenje modela je vrijeme dostupno za obuku budući da se radi o obuci uz rad. Jedinični trošak obuke je jedan zato što se podaci o točnim troškovima za svaku obučenu osobu ne mogu dobiti temeljem prikupljanja podataka. Iskorišteno raspoloživo vrijeme izraženo je u danima (4 dana) u modelima akademskog osoblja i satima (96) u modelu neakademskog osoblja. To proizlazi iz prirode podataka, 4 dana se pretvaraju u sate radi ujednačenosti; dok za sve ostale modele ostaju nepretvoreni. Varijable odluke linearno su povezane s podacima junior i senior osoblja u svakom odjelu veleučilišta, a također i za neakademsko osoblje.

Neakademsko osoblje

Cilj:

\[ \text{min } Z = x_1 + x_2 \]

Ograničenja:

Ravnateljstvo: Broj sati dostupnih za obuku osoblja u ovom odjelu mora zadovoljiti minimalni prag:

\[ 37x_1 + 19x_2 \geq 96 \]
Računovodstvo: Broj sati dostupnih za obuku u ovom odjelu također ima minimalni prag:

\[ 8x_1 + 31x_2 \geq 96 \]
Knjižnica: Dostupni sati za obuku knjižničara:

\[ 24x_1 + 16x_2 \geq 96 \]
Uredništvo: Dostupni sati za obuku u uredničkom odjelu:

\[ 17x_1 + 106x_2 \geq 96 \]
Usluge: Minimalni potrebni sati za obuku u sektoru usluga:

\[ 49x_1 + 60x_2 \geq 96 \]

Ograničenja nenegativnosti:

\[ x_1, x_2 \geq 0 \]

Rješenje:

Optimum: $Z = 4.83, x_1 = 2.34, x_2 = 2.49$

Cjelobrojni optimum: $Z = 5, x_1 = 2, x_2 = 3$

Dakle, prema dobivenom rješenju, preporuča se na 96-satnu edukaciju poslati dva junior i tri senior zaposlenika iz redova neakademskog osoblja.

Akademsko osoblje (School of Applied Sciences)

Cilj:

\[ \text{min } Z = x_1 + x_2 \]

Ograničenja:

Food Technology Department: Minimalni potrebni sati za obuku juniora i seniora u ovom odjelu:

\[ 3x_1 +13x_2 \geq 4 \]
Science Lab. Technology Department: Kombinirani doprinos juniora i seniora mora zadovoljiti prag:

\[ 5x_1 + 23x_2 \geq 4 \]
Hotel and Catering Department: Potrebni sati obuke za ovaj odjel:

\[ 2x_1 + 9x_2 \geq 4 \]
Secretariat Studies Department: Kombinirani sati za ovaj odjel:

\[ 3x_1 + 9x_2 \geq 4 \]
Computer Science Department: Minimalni potrebni sati za obuku seniora u ovom odjelu:

\[ 5x_2 \geq 4 \]
School Office: Minimalni potrebni sati za obuku juniora u ovom odjelu:

\[ 2x_1 \geq 4 \]
Mathematics and Statistics Department: Kombinirani sati za ovaj odjel:

\[ x_1 + 7x_2 \geq 4 \]

Ograničenja nenegativnosti:

\[ x_1, x_2 \geq 0 \]

Rješenje:

Optimum: $Z = 2.8, x_1 =2, x_2 =0.8$

Cjelobrojni optimum: $Z =3, x_1 =2, x_2 =1$

Prema rješenju, potrebno je poslati dva juniora i jednog seniora na četverodnevnu edukaciju.

Treba napomenuti da u radu možete naći i ostale sastavnice analiziranog veleučilišta, a ovdje se navodi samo School of Applied Sciences.

Satheeshkumar i sur. (2014)

Simbolična ilustracija
Izvor: DALL-E

Od 1960-ih, istraživanja vezana za raspoređivanje medicinskih sestara bila su uglavnom temeljena na cikličkim modelima. Ovi modeli se ponavljaju nakon svakog ciklusa i karakteriziraju ih redoviti uzorci koji se rotiraju kroz više vremenskih razdoblja. Iako su smatrani pravednima u pogledu ravnomjerne raspodjele rada, ovi modeli zanemaruju preferencije sestara. Howell (1966.) je prvi uveo ciklički model koji uzima u obzir ponašanje i osobne preferencije medicinskih sestara.

Razmatra se bolnica koja radi svih sedam dana u tjednu. Na temelju prošlih podataka, potreban broj medicinskih sestara po danu prikazan je u sljedećoj tablici:

Dan	Ponedjeljak	Utorak	Srijeda	Četvrtak	Petak	Subota	Nedjelja
Broj sestara	200	150	250	90	160	300	100

Svaka medicinska sestra radi pet uzastopnih dana, nakon čega ima dva slobodna dana, a ovaj se obrazac ponavlja beskonačno. Cilj je minimizirati ukupan broj medicinskih sestara potrebnih za zadovoljavanje zahtjeva po danima.

Model/ struktura problema

Definirajmo $x_i$ kao broj medicinskih sestara koje počinju raditi na dan $i$: - $x_1$: Medicinske sestre koje počinju raditi u nedjelju (nedjelja – četvrtak) - $x_2$: Medicinske sestre koje počinju raditi u ponedjeljak (ponedjeljak – petak) - $x_3$: Medicinske sestre koje počinju raditi u utorak (utorak – subota) - $x_4$: Medicinske sestre koje počinju raditi u srijedu (srijeda – nedjelja) - $x_5$: Medicinske sestre koje počinju raditi u četvrtak (četvrtak – ponedjeljak) - $x_6$: Medicinske sestre koje počinju raditi u petak (petak – utorak) - $x_7$: Medicinske sestre koje počinju raditi u subotu (subota – srijeda)

Ciljna funkcija: \[ \text{Minimiziraj } z = x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 \]

Ograničenja: Na temelju zahtjeva za pojedine dane, definiraju se sljedeća ograničenja:

Nedjelja: \[ x_1 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 \geq 100 \]
Ponedjeljak: \[ x_1 + x_2 + x_5 + x_6 + x_7 \geq 200 \]
Utorak: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_6 + x_7 \geq 150 \]
Srijeda: \[ x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 \geq 250 \]
Četvrtak: \[ x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 \geq 90 \]
Petak: \[ x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 \geq 160 \]
Subota: \[ x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 \geq 300 \]

Ograničenja nenegativnosti: \[ x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7 \geq 0 \]

Razmotrite ograničenje za tjednu razinu osoblja od 100. Oni koji smjenu započinju u nedjelju ($x_1$), radit će uzastopno 5 dana, odnosno od nedjelje do četvrtka. Oni koji započnu smjenu u ponedjeljak ($x_2$), radit će uzastopno 5 dana, odnosno od ponedjeljka do petka. Slično, oni koji započinju svoju smjenu u utorak ($x_3$), oni će raditi od utorka do subote i tako dalje. Možemo formulirati sljedeću tablicu.

Dan	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$	$x_5$	$x_6$	$x_7$
Nedjelja	*	*	*	*	*	-	-
Ponedjeljak	-	*	*	*	*	*	-
Utorak	-	-	*	*	*	*	*
Srijeda	*	-	-	*	*	*	*
Četvrtak	*	*	-	-	*	*	*
Petak	*	*	*	-	-	*	*
Subota	*	*	*	*	-	-	*

Ako riješimo ovaj problem, dobit ćemo izvedivo rješenje (Min Z = 303,3333), odnosno prva sljedeća cjelobrojna vrijednost, s obzirom da broj sestara ne može biti decimalan broj (osim ako postoje one koje su zaposlene na npr. pola ili trećinu radnog vremena).

Model optimizira raspored rada medicinskih sestara tako da minimizira ukupan broj potrebnih zaposlenih, dok istovremeno zadovoljava sve dnevne zahtjeve. Ovo rješenje osigurava ravnomjernu raspodjelu radnog opterećenja i pošten raspored smjena.

Moreira (2003)

Moreira u ovom radu koristi linearno programiranje kao matematički alat za optimizaciju u području zdravstva. Glavni cilj rada je pokazati kako se linearno programiranje može primijeniti na specifične probleme vezane uz ekonomiku zdravstva.

Autor nudi dva razrađena primjera:

Formulacija dijete uz minimalne troškove pomoću LP modela za određivanje optimalne kombinacije hrane koja zadovoljava nutritivne potrebe (vitamin A i kalcij) uz najniži mogući trošak.
Alokacije resursa za medicinske intervencije, što je predstavljeno modelom za raspodjelu ograničenih resursa među pet vrsta medicinskih intervencija. Cilj je maksimizirati godine života prilagođene za kvalitetu (engl. quality-adjusted life year, QALY) uz pridržavanje budžetskih ograničenja i broja medicinskih posjeta.

U širem smislu, rad ističe važnost i primjenu linearnih modela za rješavanje problema u zdravstvu, posebno u kontekstu:

Efikasnog upravljanja ograničenim resursima.
Poboljšanja kvalitete zdravstvenih usluga.
Donošenja odluka temeljenih na kvantitativnim analizama.

Moreira također naglašava potencijal linearnih programskih metoda kao dopune tradicionalnim tehnikama ekonomske evaluacije, poput analiza troškovne učinkovitosti. Njegov rad služi kao primjer korištenja optimizacijskih alata za unapređenje zdravstvenog sustava, posebice u kontekstu alokacije resursa, dizajniranja dijeta i smanjenja troškova.

Problem 1: Formulacija dijete s minimalnim troškovima

Opis problema

Simbolična ilustracija
Izvor: DALL-E

Potrebno je osmisliti dijetu sastavljenu od obranog mlijeka i salate (pretpostavlja se da postoje valjani razlozi za ograničenje na upravo te namirnice), koja zadovoljava minimalne nutritivne zahtjeve (vitamin A i kalcij) uz minimalan trošak. Podaci o nutritivnom sadržaju i cijeni prikazani su u tablici:

Nutrijent	Mlijeko (čaša)	Salata (500 g)	Minimalni zahtjev
Vitamin A (mg)	2	50	11
Kalcij (mg)	50	10	70
Cijena (R$)	1.50	3	-

Funkcija cilja

Funkcija koju treba minimizirati – ukupni trošak prehrane – je funkcija cilja ovog problema. Definiran je kombinacijom namirnica $x_1$ (mlijeko) i $x_2$ (salata) i njihovim jediničnim troškovima, 1,50 R (jedan real i pedeset centi) odnosno 3,00 R (tri reala). Troškovna funkcija je linearna funkcija $x_1$ i $x_2$, to jest:

\[ min\ Z = 1.5x_1 + 3x_2 \]

Ograničenja

Unos vitamina A mora biti najmanje 11 mg:

\[ 2x_1 + 50x_2 \geq 11 \]
Unos kalcija mora biti najmanje 70 mg:

\[ 50x_1 + 10x_2 \geq 70 \]
Količine hrane moraju biti nenegativne:

\[ x_1 \geq 0; \, x_2 \geq 0 \]

Rješenje su $x_1 = 1,4$ i $x_2 = 0,2$, što odgovara ukupnom minimalnom trošku od $Z = 2,55 R$. Drugim riječima, optimalno rješenje odgovara dijeti od 1,4 čaše obranog mlijeka dnevno i 100 grama salate dnevno (0,2 porcije od 500 g), po minimalnom ukupnom trošku od 2,55 reala.

Problem 2: Alokacija resursa za medicinske intervencije

Opis problema

Simbolična ilustracija
Izvor: DALL-E

Moreira (2003) u radu prikazuje i raspodjelu sredstva između pet programa medicinske intervencije za određenu populaciju s ciljem maksimiziranja godine života prilagođene za kvalitetu (QALY). QALY je mjera koja razmatra kvantitetu i kvalitetu života povezanu s primijenjenom medicinskom intervencijom. Procjenjuje se da će se potrošiti najviše 300000 novčanih jedinica, a očekuje se da će broj liječničkih posjeta ostati najviše 40000.

Također se pretpostavlja da svaki pacijent dobije samo jednu intervenciju. Štoviše, dopuštene su frakcijske vrijednosti QALY, troškovi intervencije i broj liječničkih posjeta. Cilj je maksimizirati ukupni QALY prikupljen intervencijama kako bi se uskladili s proračunskim ograničenjima i brojem liječničkih posjeta opisanih u tablici:

Intervencija	Trošak (x 10³)	QALY	Broj posjeta (x 10³)
1	100	10	40
2	50	15	50
3	50	15	50
4	40	13	15
5	120	9	30

Varijable odluke:

$x_i$ = udio svake intervencije i koju treba odrediti modelom.

Kako bi se maksimizirala funkcija Z definirana kao ukupne godine života prilagođene za kvalitetu zbog intervencija:

\[max\ Z = 10x_1 + 15x_2 + 15x_3 + 13x_4 + 9x_5\]

Parametri ove jednadžbe predstavljaju broj QALY dobivenih kao rezultat intervencije.

Proračunska ograničenja: trošak, uključujući sve zahvate, ne bi trebao premašiti 300000 novčanih jedinica.

\[100x_1 + 50x_2 + 50x_3 + 40x_4 + 120x_5 \leq 300000\]

Broj posjeta:

\[40x_1 + 50x_2 + 50x_3 + 15x_4 + 30x_5 \leq 40000\]

Varijable odluka mogu poprimiti bilo koju vrijednost između 0 i 1.

\[0 \leq x_i \leq 1, \, \text{za sve } i\]

Optimalno rješenje za model raspodjele programa medicinske intervencije odgovara potpunom korištenju (100%) intervencijskog programa broj 4 i udjela od 50% za intervencijski program broj 2, bez korištenja intervencija broj 1, 3 i 5 ($x_1 = 1; x_2 = 0,5; x_3 = 0; x_4 = 1; x_5 = 0$). Ovo numeričko rješenje daje maksimalnu vrijednost od 20,5 QALY za funkciju cilja ovog modela.

Na kraju rada, Moreira (2003) zaključuje da se linearno programiranje može se smatrati korisnim alatom za podršku procesima donošenja odluka u zdravstvu. U svijetu sa sve oskudnijim resursima i svakim danom sve veću kompetitivnost, potraga za optimiziranim rješenjima koja bi zamijenila tradicionalne metode temeljene na iskustvu te pokušajima i pogreškama može postati pitanje opstanka za mnoge organizacije.

Yinusa & Faezipour (2023)

Simbolična ilustracija
Izvor: DALL-E

Yinusa & Faezipour (2023) bave se problemom optimizacije pružanja zdravstvene skrbi unutar konteksta ograničenih resursa i rastućih operativnih izazova u zdravstvu. Glavne okolnosti uključuju pritisak na zdravstvene ustanove zbog:

Ograničenih resursa osoblja i opreme, što je osobito postalo vidljivo tijekom pandemije COVID-19. Na primjer, promjenjive potrebe za pružanjem skrbi uzrokovane hitnim slučajevima ili sezonskim bolestima postavljaju zahtjeve za fleksibilnim planiranjem resursa.
Rasta troškova zdravstvene skrbi i potrebe za učinkovitim upravljanjem proračunom. Ovo uključuje kontrolu troškova vezanih uz plaće osoblja, održavanje opreme i upravljanje resursima.
Zadovoljstva pacijenata, što zahtijeva smanjenje vremena čekanja i osiguranje pravovremenog pristupa uslugama uz istovremeno pružanje visokokvalitetne skrbi.

Model koristi matematičke tehnike kako bi omogućio optimizaciju planiranja rada osoblja, raspoređivanja pacijenata i korištenja resursa, s ciljem maksimiziranja učinkovitosti sustava i minimiziranja ukupnih troškova.

Alokacija osoblja

Model omogućava precizno raspoređivanje osoblja u skladu s radnim satima i specifičnim potrebama pacijenata u različitim vremenskim terminima. Varijable uključuju:

Radne sate po vremenskom terminu: Osoblje se dodjeljuje terminima uzimajući u obzir maksimalan broj radnih sati (ograničenje) i potrebne kvalifikacije za određene zadatke.
Prekovremeni rad: Model uključuje kazne za prekomjerni rad osoblja kako bi se izbjegao burnout i osiguralo ravnomjerno opterećenje osoblja.
Interakcija među osobljem: U modelu se uzima u obzir efikasnost timskog rada, primjerice, u operacijskim dvoranama gdje je interakcija ključna.

Raspoređivanje pacijenata

Pacijenti se raspoređuju prema terminima na temelju prioriteta, hitnosti i dostupnih resursa. Ograničenja uključuju:

Broj pacijenata po terminu: Svaki pacijent mora biti dodijeljen točno jednom terminu.
Penalizacija za neuspjeh u raspoređivanju: U slučaju da pacijent nije raspoređen, model uključuje kaznene bodove koji odražavaju nezadovoljstvo pacijenta ili loš ishod liječenja.

Alokacija resursa

Resursi, poput opreme, bolničkih kreveta ili prostora u dvoranama, dodjeljuju se prema potrebama svakog pacijenta i terminu. Važna ograničenja uključuju:

Kapacitet resursa: Svaki resurs može biti korišten samo do predviđenog kapaciteta u bilo kojem vremenskom terminu.
Troškovi korištenja resursa: Alokacija resursa uključuje izračun troškova, pri čemu model minimizira nepotrebne ili redundantne troškove.

Specifično, u ovom radu autori uzimaju u obzir pri modeliranju:

Mješovito cjelobrojno linearno programiranje:
- Mješovito cjelobrojno linearno programiranje (MILP) je proširenje linearnog programiranja (LP) koje omogućuje da neke ili sve varijable budu cjelobrojne, dok druge mogu ostati kontinuirane. Za razliku od LP, koje rješava probleme s kontinuiranim varijablama (poput broja radnih sati), MILPom se modeliraju situacije gdje su potrebne odluke o odabiru “sve ili ništa” (binarne varijable) ili brojevi koji moraju biti cijeli (npr. broj osoblja), čime pruža veću fleksibilnost za realističnije prikazivanje stvarnih problema.
- Model koristi binarne varijable za definiranje dodjela (npr. da li je osoblje ili pacijent dodijeljen određenom terminu).
- Kontinuirane varijable koriste se za praćenje troškova i opterećenja resursa.
Funkcija cilja je minimizacija ukupnih troškova i uključuje:
- Troškove osoblja ($Wit$).
- Troškove prekovremenog rada ($Oi$).
- Kazne za propuštene pacijente ($Ppt$).
- Troškove alokacije resursa ($Drt$).
- Maksimizaciju efikasnosti kroz minimizaciju penalizacija.
Ograničenja:
- Dostupnost osoblja: Broj osoblja mora zadovoljiti minimalni zahtjev po vremenskom terminu ($Dt$).
- Maksimalni sati rada: Osoblje ne smije raditi više od predefiniranog broja sati ($Hi$).
- Kapacitet resursa: Dodijeljeni resursi ne smiju premašiti ukupnu dostupnost u terminu ($zrt$).
Korišteni su simulirani (sintetički) podaci, zbog ograničene dostupnosti stvarnih podataka iz bolnica, omogućujući testiranje različitih scenarija poput varijacija u opterećenju osoblja i potražnje pacijenata.

Definicije varijabli i parametara

$x_{it}$: Binarna odluka koja označava je li član osoblja $i$ dodijeljen vremenskom terminu $t$.
$y_{pt}$: Binarna odluka koja označava je li pacijent $p$ dodijeljen vremenskom terminu $t$.
$z_{rt}$: Binarna odluka koja označava je li resurs $r$ dodijeljen vremenskom terminu $t$.
$o_i$: Binarna odluka koja označava je li član osoblja $i$ radio prekovremeno.
$v_{ip}$: Binarna odluka koja označava je li član osoblja $i$ služio pacijenta $p$.
$W_{it}$: Trošak ili važnost dodjeljivanja člana osoblja $i$ vremenskom terminu $t$.
$I_{ijt}$: Težina interakcije između članova osoblja $i$ i $j$ u terminu $t$.
$C_{pt}$: Trošak pružanja usluge pacijentu $p$ u terminu $t$.
$D_{rt}$: Trošak dodjele resursa $r$ u terminu $t$.
$P_{pt}$: Kazna za nepodmirivanje usluge pacijentu $p$ u terminu $t$.
$O_i$: Dodatni trošak prekovremenog rada člana osoblja $i$.
$U_p$: Težina nepodmirivanja usluge pacijentu $p$ kada ga služi član osoblja $i$.
$S_i$: Razina vještine člana osoblja $i$ potrebna za brigu o pacijenatu u terminu $t$.
$D_t$: Potražnja za osobljem u vremenskom terminu $t$.
$H_i$: Maksimalni radni sati člana osoblja $i$.
$M_{ipkt}$: Minimalna razina vještine člana osoblja $i$ potrebna za služenje pacijenta $p$ u zadatku $k$ tijekom termina $t$.
$B$: Proračunsko ograničenje.
$F_{ij}$: Maksimalna dopuštena razlika u radnim satima između članova osoblja $i$ i $j$.

Funkcija cilja

Minimizirati ukupni trošak dodjele osoblja, pacijenata i resursa te maksimizirati učinkovitost pružanja zdravstvene skrbi:

\[ \text{min: } \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} W_{it} x_{it} + \sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} I_{ijt} x_{it} x_{jt} + \sum_{p=1}^{P} \sum_{t=1}^{T} C_{pt} y_{pt} +\\ \sum_{r=1}^{R} \sum_{t=1}^{T} D_{rt} z_{rt} + \sum_{p=1}^{P} \sum_{t=1}^{T} P_{pt} y_{pt} + \sum_{i=1}^{N} O_i o_i +\\ \sum_{p=1}^{P} \sum_{i=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \sum_{t=1}^{T} U_p v_{ip} + \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} S_i x_{it} \]

Pojedini dijelovi funkcije:

$\sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} W_{it} x_{it}$: Trošak dodjele osoblja $i$ vremenskom terminu $t$.
$\sum_{i=1}^{N} \sum_{j=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} I_{ijt} x_{it} x_{jt}$: Težina interakcije između osoblja $i$ i $j$ u terminu $t$.
$\sum_{p=1}^{P} \sum_{t=1}^{T} C_{pt} y_{pt}$: Trošak dodjele pacijenta $p$ vremenskom terminu $t$.
$\sum_{r=1}^{R} \sum_{t=1}^{T} D_{rt} z_{rt}$: Trošak dodjele resursa $r$ vremenskom terminu $t$.
$\sum_{p=1}^{P} \sum_{t=1}^{T} P_{pt} y_{pt}$: Kazna za nepodmirivanje usluge pacijentu $p$ u terminu $t$.
$\sum_{i=1}^{N} O_i o_i$: Dodatni trošak prekovremenog rada osoblja $i$.
$\sum_{p=1}^{P} \sum_{i=1}^{N} \sum_{k=1}^{K} \sum_{t=1}^{T} U_p v_{ip}$: Kazna za nepodmirivanje usluge pacijentu $p$.
$\sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} S_i x_{it}$: Razina vještine osoblja $i$ u terminu $t$.

Ograničenja

Dostupnost osoblja: Ukupan broj dodijeljenih članova osoblja mora zadovoljiti potražnju u svakom terminu:

\[ \sum_{i=1}^{N} x_{it} = D_t \quad \forall t = 1, \dots, T \]

Maksimalni radni sati: Broj dodijeljenih termina za svakog člana osoblja ne smije premašiti maksimalni broj radnih sati:

\[ \sum_{t=1}^{T} x_{it} \leq H_i \quad \forall i = 1, \dots, N \]

Raspored pacijenata: Svaki pacijent mora biti dodijeljen točno jednom vremenskom terminu:

\[ \sum_{t=1}^{T} y_{pt} = 1 \quad \forall p = 1, \dots, P \]

Dodjela resursa: Svaki resurs može biti dodijeljen samo jednom vremenskom terminu:

\[ \sum_{t=1}^{T} z_{rt} = 1 \quad \forall r = 1, \dots, R \]

Razina vještine: Osoblje dodijeljeno pacijentu mora zadovoljiti minimalne zahtjeve za vještinama:

\[ \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} x_{it} S_i \geq M_{ipkt} \quad \forall i = 1, \dots, N; \, p = 1, \dots, P; \, k = 1, \dots, K; \, t = 1, \dots, T \]

Prekovremeni rad: Ako član osoblja radi prekovremeno, broj dodijeljenih termina mora premašiti dopuštene radne sate:

\[ o_i \geq \sum_{t=1}^{T} x_{it} - H_i \quad \forall i = 1, \dots, N \]

Proračunsko ograničenje: Ukupni trošak osoblja i resursa ne smije premašiti proračun:

\[ \sum_{i=1}^{N} \sum_{t=1}^{T} (W_{it} x_{it} + O_i o_i) + \sum_{r=1}^{R} \sum_{t=1}^{T} D_{rt} z_{rt} \leq B \]

Balans radnog opterećenja: Razlika u radnim satima između bilo koja dva člana osoblja mora biti unutar dopuštenih granica:

\[ \left| \sum_{t=1}^{T} x_{it} - \sum_{t=1}^{T} x_{jt} \right| \leq F_{ij} \quad \forall i, j = 1, \dots, N, \, i \neq j \]

S ovim modelom dobili smo uvid u složenije primjene linearnog programiranja koje se koriste u zdravstvu. Do sada ste vidjeli primjere koji su se bavili jednostavnijim problemima poput alokacije resursa ili optimizacije troškova. Ovaj model, međutim, donosi nove izazove jer pokušava što realističnije prikazati stvarne situacije u zdravstvenim ustanovama. Evo ključnih točaka koje pokazuju te izazove:

Ovdje se ne bavimo samo jednom vrstom odluka. Model uključuje:
- Dodjeljivanje osoblja ($x_{it}$), pacijenata ($y_{pt}$) i resursa ($z_{rt}$) vremenskim terminima.
- Praćenje prekovremenog rada ($o_i$) i interakcija među osobljem ($I_{ijt}$).
- Uvažavanje specifičnih vještina osoblja ($S_i$) potrebnih za različite zadatke.
- Ovo pokazuje kako u stvarnim situacijama odluke u jednom dijelu sustava utječu na druge dijelove. Primjerice, ako nema dovoljno osoblja s odgovarajućim vještinama u određenom terminu, pacijenti ne mogu dobiti uslugu.
- Što to znači za nas? Uočavamo važnost razmišljanja o povezanosti elemenata sustava. Rješenje jednog dijela problema ponekad otvara nova ograničenja u drugom dijelu.

Višestruka ograničenja. Model ima ograničenja koja na prvi pogled izgledaju jednostavno: proračun, kapacitet resursa, maksimalni radni sati. No, kada ih stavimo zajedno, često dolazi do sukoba:
- Ako želite smanjiti troškove, možda ćete morati prihvatiti da neki pacijenti neće dobiti uslugu na vrijeme, što povećava kazne ($P_{pt}$).
- Ako pokušate zadovoljiti sve pacijente, možda će trošak prekovremenog rada ($O_i$) premašiti proračun ($B$).
- Što to znači za nas? U stvarnim problemima gotovo nikad ne postoji rješenje koje je idealno sa svih aspekata. Uvijek će postojati kompromisi.

Težinski koeficijenti reflektiraju stvarne prioritete
- $W_{it}$: Trošak dodjele osoblja.
- $P_{pt}$: Kazna za nepodmirivanje usluge.
- $I_{ijt}$: Interakcija među osobljem.
- Ti koeficijenti omogućuju modelu da prilagodi svoje prioritete prema specifičnim potrebama zdravstvene ustanove. Međutim, određivanje ovih težina u stvarnosti nije jednostavno. Na primjer: kolika je stvarna vrijednost interakcije među zaposlenicima; koliko je važno smanjiti kazne u usporedbi s troškovima?
- Što to znači za nas? Uočavamo kako je važno naučiti kako prilagoditi model stvarnim potrebama, jer model s loše postavljenim težinama neće odražavati stvarnu situaciju.

Balansiranje jednostavnosti i realnosti. Da bi model bio rješiv, mnogi detalji stvarne situacije su pojednostavljeni:
- Pretpostavlja se da su svi podaci, poput potražnje za osobljem ($D_t$) ili maksimalnog broja radnih sati ($H_i$), unaprijed poznati. To je donekle moguće postići ako se oslanjamo na povijesne podatke i pretpostavimo da postoji stabilan trend. Osim toga, modeliranje bolje funkcionira za duže vremenske periode (npr. godina dana), u odnosu na kraće vremenske periode (npr. jedan dan), zato jer se u dužem vremenskom razdoblju promatrane vrijednosti uprosječe
- Interakcije među osobljem modeliraju se kao linearne funkcije, iako u stvarnosti ovise o mnogo više faktora.
- Što to znači za nas? Modeli su alati za donošenje odluka, ali ne zamjenjuju ljudsko iskustvo. Moramo znati prepoznati kad je model dovoljno detaljan i kada je previše pojednostavljen.

Dinamičnost i neizvjesnost u stvarnim sustavima. Zdravstvene ustanove djeluju u uvjetima velikih promjena i neizvjesnosti, primjerice:
- Neočekivana povećanja potražnje za uslugama (pandemije, sezonske bolesti).
- Iznenadne odsutnosti osoblja (bolovanja).

Ovaj model ne uključuje neizvjesnosti – on radi s determinističkim podacima, što znači da svi ulazni podaci moraju biti poznati unaprijed. U stvarnosti, to nije uvijek slučaj. U budućnosti ćete možda raditi sa stohastičkim ili dinamičkim modelima koji mogu bolje uvažiti neizvjesnosti, ali za to je ipak potrebno razumjeti osnove linearnih modela.

Dakle, ovaj model pokazuje koliko složeno može biti optimiziranje zdravstvenih usluga. Iako smo do sada radili s jednostavnijim primjerima, ovdje vidite kako ponekad:

Više odluka treba donijeti istodobno.
Različiti ciljevi i ograničenja često dolaze u sukob.
Model treba biti jednostavan za rješavanje, ali dovoljno detaljan da bude koristan.

Vaš zadatak nije samo utvrditi optimalno rješenje, već i razumjeti ograničenja i kompromise koje ono donosi. Upravo je to vjerojatno najvažnija vještina u primjeni matematičkog modeliranja u stvarnim situacijama.

Rješavanje i analiza osjetljivosti

Budući da smo se već temeljito pozabavili strukturiranjem problema, sada prelazimo na sljedeći korak – kako koristiti aplikaciju za rješavanje modela linearnog programiranja. Već znate da linearni model započinje s jasno definiranom funkcijom cilja, koja izražava što želite maksimizirati ili minimizirati te ograničenjima koja postavljaju granice izvedivih rješenja. Svi ti elementi su dio modela, a aplikacija koju ćemo koristiti je alat koji će automatski provesti matematičke korake kako biste dobili optimalno rješenje.

Vaša uloga u ovom procesu je prvenstveno kreirati strukturu problema, a potom unijeti podatke koji definiraju problem – funkciju cilja, varijable i ograničenja – točno onako kako su formulirani. Aplikacija koristi algoritme kako bi pretražila cijeli prostor mogućih rješenja unutar zadanih ograničenja i pronašla ono koje najbolje odgovara cilju. Iako ne morate brinuti o tehničkim detaljima ovih algoritama, važno je da razumijete kako strukturirati problem i interpretirati rezultate.

Rješenje koje dobijete kao output uključuje optimalne vrijednosti varijabli, vrijednost funkcije cilja i analizu iskorištenosti resursa. Važno je da se fokusirate na to što te vrijednosti znače. Na primjer, koje varijable su aktivne, jesu li ograničenja u potpunosti iskorištena i postoje li neki neiskorišteni resursi. Na taj način možete razumjeti što rješenje predstavlja i kako ga primijeniti u praksi.

Aplikacija pruža i grafičke prikaze koji vizualiziraju prostor izvedivih rješenja. Grafovi potpomažu intuitivno razumijevanje kako ograničenja međusobno djeluju i kako oblikuju prostor u kojima su rješenja moguća. Tako možete vidjeti ne samo gdje se nalazi rješenje, već i zašto je baš ono optimalno. Time prelazimo u praktičnu primjenu. Prije prikaza upotrebe same aplikacije, kratko ćemo se još pozabaviti analizom osjetljivosti.

Analiza osjetljivosti ispituje efikasnost modela. Prema načelu Paretovog optimuma (stanje u kojem nije moguće poboljšati položaj jednog sudionika (ili, u ovom slučaju, varijable odluke) bez da se pogorša položaj drugog), proizvodnja je relativno neefikasna, ako postoji drugačija proizvodnja čiji ishodi imaju karakteristike (Anderson et al, 2012.):

Djelovanja u istom ili nepovoljnijem okruženju
Proizvodnja se odvija na barem istoj razini za sve outpute
Koristi se jednaka količina resursa ili manja količina resursa za barem jedan od resursa

Ova je ideja u podlozi analize osjetljivosti. U sestrinstvu, primjena analize osjetljivosti mogu pomoći u procjeni efikasnosti raspodjele resursa, poput vremena i rada medicinskih sestara, te utvrđivanju mogućnosti za poboljšanje pružanja zdravstvene skrbi. Ovo se može ilustrirati kroz nekoliko aspekata.

Prvo, možemo analizirati efikasnost raspodjele radnih sati medicinskih sestara na različite zadatke. Na primjer, ako trenutno raspoloživi radni sati omogućuju određenu razinu skrbi za pacijente, Paretov optimum bi implicirao da nije moguće preraspodijeliti sate tako da se skrbi za više pacijenata ili pruža bolja kvaliteta skrbi, a da se istovremeno ne smanji skrb za neke druge pacijente. U analizi osjetljivosti mogli bismo testirati scenarije gdje se radni sati raspodjeljuju drugačije kako bismo provjerili postoji li alternativa koja povećava kvalitetu skrbi ili broj pacijenata bez povećanja opterećenja osoblja.

Drugi primjer može biti alokacija osoblja između odjela. Na primjer, ako se razmatraju odjeli s različitim prioritetima i potrebama, optimalna raspodjela bi trebala osigurati da nijedan odjel ne može poboljšati kvalitetu skrbi ili smanjiti opterećenje osoblja bez da se pogoršaju uvjeti na drugom odjelu. Analiza osjetljivosti ovdje bi mogla pokazati kako promjene u broju sestara na jednom odjelu utječu na ukupan ishod i jesu li trenutni resursi raspodijeljeni na najefikasniji način.

Osim toga, efikasnost može biti povezana i s vrstom skrbi. Na primjer, ako se ista razina skrbi za pacijente može postići s manje administrativnih zadataka ili kraćim trajanjem pojedinih aktivnosti, to bi predstavljalo poboljšanje unutar Paretovog okvira. Analiza osjetljivosti u ovom slučaju mogla bi pokazati koji zadaci ili postupci najviše opterećuju osoblje i kako ih optimizirati bez negativnog utjecaja na kvalitetu skrbi.

Utvrđivanje robusnosti rješenja u širem poslovnom kontekstu obuhvaća (Anderson et al, 2012.):

Preispitivanje relativne tehničke efikasnosti tijekom vremena;
Preispitivanje resursa ili povećanja outputa tijekom vremena kako bi se mogla ocijeniti efikasnost u odnosu na neefikasnost;
Procijenjivanje grupe drugih proizvođača koji mogu služiti za usporedbu tijekom vremena.

Analiza osjetljivosti je vrlo koristan dio rješavanja problema linearnog programiranja, jer nam omogućuje uvide u to kako promjene u ulaznim podacima utječu na optimalno rješenje. U stvarnom svijetu podaci poput troškova, dostupnosti resursa ili potražnje često nisu statični – mogu se mijenjati zbog vanjskih okolnosti ili novih informacija. Analiza osjetljivosti nam pomaže procijeniti koliko je rješenje robusno (trajno, stabilno) i što se događa ako se neki od parametara promijeni.

Na primjer, analiza osjetljivosti može odgovoriti na pitanja nalik sljedećima:

koliko možemo povećati ili smanjiti dostupnost resursa prije nego što se promijeni optimalno rješenje?
ili kako promjena u zahtjevu za pojedinom varijablom (koeficijent uz varijablu) utječe na ukupni rezultat?

Ovo nam daje uvid u granice unutar kojih dobiveno rješenje ostaje optimalno, što je posebno važno u dinamičnim uvjetima gdje su podaci podložni fluktuacijama.

Korisnost analize osjetljivosti leži i u donošenju boljih odluka. Ako, na primjer, otkrijemo da je ograničenje nekog resursa presudni faktor koji određuje rješenje, možemo se fokusirati na povećanje tog resursa kako bismo poboljšali rezultate. S druge strane, ako neka varijabla ima mali ili nikakav utjecaj na rješenje, to nam omogućuje racionalizaciju resursa i jednostavnije planiranje. Na taj način analiza osjetljivosti pomaže ne samo razumjeti postojeće rješenje nego i identificirati prilike za poboljšanje sustava ili prilagodbu strategije.

Ključni pojmovi:

Primalni program
Dualni program
Dopunska (slack/surplus) varijabla
Sjena cijena (dualna varijabla)
Aktivno (vezano) ograničenje
Neaktivno (nevezano) ograničenje
Intervali dopuštenih promjena
Robusnost rješenja
Model vs. stvarnost

Pozabavimo se sljedećim primjerom kako bi ušli dublje u ovu temu.

1. primjer

TekstilIC d.o.o. je proizvođač odjeće čiji menadžment procjenjuje ulazak na tržište srednje i visoke kvalitete majica. Temeljem unutarnje kontrole, utvrđeno je da se proizvodnja sastoji od sljedećih proizvodnih operacija: rezanja i bojanja materijala, šivanja, završnih izrada (šivanje ruba i sl.), provjere i pakiranja.

Daljnjom analizom utvrđeno je da je za svaki komad izrađene majice srednje kvalitete potrebno 0.75 sati u odjelu za rezanje i bojanje, 0.45 sata u odjelu za šivanje, 0.9 sati u odjelu za završne izrade i 0,25 sati u odjelu za provjeru i pakiranje.

Za svaki komad izrađene majice visoke kvalitete potrebno 1 sat u odjelu za rezanje i bojanje, 0.85 sata u odjelu za šivanje, 0.65 sati u odjelu za završne izrade i 0,2 sati u odjelu za provjeru i pakiranje.

TekstilIC d.o.o. ima ograničen broj radnih sati na raspolaganju, i to 630 sati u odjelu rezanja i bojanja, 600 sati u odjelu za šivanje, 708 sati u odjelu za završne izrade i 135 sati za provjeru i pakiranje.

U računovodstvu su procijenili cijene obje vrste majica, koje bi trebale doprinijeti profitu – 10 € po komadu majice srednje kvalitete i 9 € po komadu majice visoke kvalitete. Temeljem dobivenih podataka, odjeli moraju procijeniti kako iskoristiti dostupne resurse i maksimizirati profit pri kreiranju mjesečnog proizvodnog plana.

Primalni program:

Funkcija cilja \[ \text{max } 10x + 9y \]

Ograničenja

\[0.75x + y \leq 630 \]

\[0.45x + 0.85y \leq 600 \]

\[0.9x + 0.75y \leq 708 \]

\[0.25x + 0.2y \leq 135 \]

\[ x \geq 0, \, y \geq 0 \]

Dani linearni program zove se primalni program. Postoji njemu pridruženi – dualni program. Ključno: ako su rješivi, oba programa imaju isto rješenje, tj. istu optimalnu vrijednost funkcije cilja. Ako jedan nije rješiv drugi može biti nerješiv ili pak neograničen.

U nastavku je prikazan dualni program pridružen primalnom programu. Ovaj dio nećemo morati raditi ručno ako koristimo aplikaciju, ali može pomoći dubljem razumijevanju rješenja analize osjetljivosti.

Dualni program:

Funkcija cilja

\[ min\ 630u_1 + 600u_2 + 708u_3 + 135u_4 \]

Ograničenja

\[ 0.75u_1 + 0.45u_2 + 0.9u_3 + 0.25u_4 \geq 10 \]

\[ u_1 + 0.85u_2 + 0.75u_3 + 0.2u_4 \geq 9 \]

\[ u_1 \geq 0, \, u_2 \geq 0, \, u_3 \geq 0, \, u_4 \geq 0 \]

Svaka varijabla duala vezana je za jedno ograničenje, koeficijenti funkcije cilja duala označavaju raspoložive resurse, a dualne varijable imaju značenje vrijednosti po jedinici raspoloživog resursa. Kako bi se minimizirali ukupno potrošeni resursi, uz danu proizvodnju i maksimizaciju dobiti, funkcija cilja duala minimizira utrošak resursa.

U primalnom linearnom programu dana je vrijednost po jedinici proizvoda. Treba odrediti koliko se kojeg proizvoda mora proizvesti da se maksimizira ukupna proizvodnja. Ograničenja definiraju raspoložive resurse. U dualnom programu dana je raspoloživost svakog resursa. Treba odrediti vrijednost po jedinici resursa tako da je ukupna vrijednost korištenih resursa minimizirana. Ograničenja traže da vrijednost resursa po jedinici bude veća ili jednaka vrijednosti outputa.

Dualne varijable nisu samo matematičke vrijednosti, nego imaju i jasno poslovno značenje. Svaka dualna varijabla predstavlja “sjenu” ili graničnu (marginalnu) vrijednost raspoloživog resursa, što znači koliko bi ukupna funkcija cilja primalnog programa (npr. profit) promijenila kad bi se taj resurs povećao za jednu jedinicu. Ovo je ključno za donošenje odluka jer omogućuje menadžerima prepoznavanje koji resursi imaju najveći utjecaj na rezultat i gdje bi trebalo ulagati dodatna sredstva.

Povezanost između primalnog i dualnog programa također omogućuje bolje razumijevanje kompromisa u alokaciji resursa. Ako je neko ograničenje “aktivno” u primalnom programu (što znači da se resurs u potpunosti koristi), njegova dualna varijabla imat će pozitivnu vrijednost, što naglašava njegovu važnost. S druge strane, ako ograničenje nije u potpunosti iskorišteno, dualna varijabla će biti nula, što ukazuje na to da povećanje tog resursa ne bi utjecalo na rješenje.

Ako strukturu problema primalnog programa unesemo u Interaktivnu web aplikaciju za linearno programiranje s dvije varijable dobivamo sljedeći output:

Optimalno rješenje pokazuje kako raspodijeliti resurse u proizvodnji majica srednje i visoke kvalitete kako bi se ostvarila maksimalna vrijednost funkcije cilja. Prema rješenju, potrebno je proizvesti 90 majica srednje kvalitete i 562.5 majica visoke kvalitete, pri čemu ukupna vrijednost proizvodnje iznosi 5962.5 eura. S obzirom da se radi o planu proizvodnje, decimalna vrijednost kod majica visoke kvaliteta nije problematična, jer će se polovično napravljena majica nastaviti sastavljati sljedeći mjesec.

Kapaciteti odjela iskorišteni su na način da su odjeli za rezanje i bojanje te provjeru i pakiranje dosegnuti u potpunosti. S druge strane, odjeli za šivanje i završne dorade nisu u potpunosti iskorišteni, što sugerira postojanje dodatnih raspoloživih kapaciteta. Ovo ukazuje na potencijalnu fleksibilnost za buduću proizvodnju ili preraspodjelu resursa u ovim odjelima.

Ovo rješenje omogućuje optimalno iskorištavanje resursa unutar zadanih ograničenja, ali također ostavlja prostor za dodatnu analizu kako bi se dodatno razmotrila ograničenja.

Grafički prikaz ovog problema izrađen je kako bi se vizualno prikazalo optimalno rješenje problema linearnog programiranja. Prvi korak u kreiranju grafikona uključuje crtanje ograničenja na koordinatni sustav. Ograničenja su izražena u obliku linearnih jednadžbi koje se prikazuju kao pravci na grafu, a svako ograničenje dijeli prostor na dopuštene i nedopuštene vrijednosti. Na primjer, područje ispod ili iznad pravca ovisi o smjeru nejednadžbi.

Zatim se definira područje dozvoljenih rješenja, koje je zajedničko presjeku svih ograničenja i prikazano je kao obojeno područje na grafu. Ovo područje predstavlja sve moguće kombinacije broja majica srednje i visoke kvalitete koje zadovoljavaju ograničenja, poput kapaciteta odjela za rezanje, šivanje, doradu i pakiranje. Funkcija cilja, koja maksimizira ukupnu vrijednost proizvodnje, zatim se grafički prikazuje kao pravac koji se pomiče unutar dozvoljenog područja sve dok ne dosegne najvišu vrijednost.

Optimalno rješenje nalazi se na jednom od vrhova područja izvedivih rješenja, što je karakteristično za linearno programiranje. Na grafu je to jasno označeno crvenom točkom. Točka optimalnog rješenja identificira vrijednosti varijabli (broj majica srednje i visoke kvalitete) koje maksimiziraju funkciju cilja, dok istovremeno poštuju sva ograničenja. Ovaj grafikon vizualno demonstrira kako različita ograničenja utječu na područje izvedivih rješenja te gdje se nalazi optimalno rješenje unutar tog područja. Ako vam grafički prikaz pomaže pri dubljem razumijevanju osnova ili vas zanima detaljnije uroniti u grafičke prikaze, možete pročitati i pogledati više o tome u tekstu Grafičko rješavanje linearnog programa.

Sljedeći je korak upotreba dualnog programa i izračun analize osjetljivosti. Doduše, kreiranje dualnog programa će za nas odraditi aplikacija. No, mi svejedno moramo iščitati i protumačiti rezultate. U kartici (ili tabu) “Analiza osjetljivosti”, dobivamo sljedeći prikaz:

$Simbolična ilustracija$

Analiza osjetljivosti pruža detaljan uvid u to kako promjene u koeficijentima funkcije cilja i vrijednostima desne strane ograničenja utječu na optimalno rješenje linearnog programa. Intervali dopuštenih promjena za koeficijente funkcije cilja pokazuju raspon vrijednosti unutar kojih optimalno rješenje ostaje nepromijenjeno. Za majice srednje kvalitete, koeficijent uz varijablu $x_1$ u funkciji cilja može se smanjiti do 6.75 eura ili povećati do 11.25 eura bez promjene optimalnog rješenja, dok za majice visoke kvalitete, odnosno koeficijent uz $x_2$, taj raspon iznosi od 8 eura do 13.333 eura. Ovi intervali omogućuju razumijevanje koliko je rješenje osjetljivo na varijacije u ekonomskoj isplativosti proizvoda.

Ovi intervali mogu biti iznimno korisni u različitim situacijama koje uključuju promjene u cijenama ili strategijama optimizacije. Ako razmišljamo o davanju popusta na majice, ovi intervali nam pomažu procijeniti koliko možemo smanjiti cijene prije nego što to utječe na optimalnu proizvodnu strukturu. Na primjer, ako smanjimo cijenu majica srednje kvalitete tako da koeficijent u funkciji cilja padne ispod 6.75 eura, vjerojatno će postati isplativije proizvoditi više majica visoke kvalitete, što bi promijenilo proizvodni plan. Ali, ako ostanemo unutar intervala, promjene proizvodnog plana nisu potrebne.

Osim popusta, analiza ovih intervala može biti korisna pri pregovorima s dobavljačima. Ako znamo da koeficijent može rasti do 11.25 eura bez promjene optimalnog rješenja, to nam daje uvid u koliko možemo povećati cijenu majica srednje kvalitete, a da se pritom ne ugrozi proizvodni plan. Također, intervali mogu biti korisni pri analizi konkurencije. Ako konkurencija počne nuditi slične proizvode po nižim cijenama, ovi intervali nam govore koliko možemo smanjiti koeficijent (ili cijenu) prije nego što to značajno utječe na našu strategiju proizvodnje. Na taj način, analiza osjetljivosti ne pomaže samo u razumijevanju trenutnog rješenja, već i u simuliranju različitih scenarija i donošenju strateških odluka u promjenjivim tržišnim uvjetima.

Intervali dopuštenih promjena za desne strane ograničenja pokazuju koliko se kapaciteti resursa mogu povećati ili smanjiti prije nego što se optimalno rješenje promijeni. Na primjer, kapacitet odjela za rezanje i bojanje može se smanjiti na 405 (630 - 225) ili povećati na 675 (630 + 45) sati bez utjecaja na rješenje, dok odjel za završne dorade ima znatno širi interval, omogućujući povećanje kapaciteta na beskonačno. Ovi podaci pomažu identificirati ključne resurse – oni s užim intervalima su kritični jer čak i male promjene u njihovoj dostupnosti mogu utjecati na rezultate.

Dopunske varijable (nazivaju se i slack varijable) pružaju informacije o neiskorištenim kapacitetima. Na primjer, odjel za šivanje ima višak kapaciteta od 81.375 sati, dok u odjelu za završne dorade postoji višak od 205.125 sati, što ukazuje na mogućnost boljeg iskorištavanja vremena, dok su sati u odjelima za rezanje i bojanje te provjeru i pakiranje u potpunosti iskorišteni, što ih čini neizostavnim za proizvodni proces. Za ograničenja kojima dopunske varijable iznose 0, često se kaže da se radi o aktivnim ograničenjima. Aktivna ograničenja su ona koja su u potpunosti iskorištena. Nasuprot njima, ograničenja odjela za šivanje i odjela za završne dorade, smatraju se neaktivnim ograničenjima.

Sjene cijena pokazuju koliko bi se ukupna vrijednost funkcije cilja povećala ako se kapacitet određenog resursa poveća za jednu jedinicu. Povećanje kapaciteta odjela za rezanje i bojanje za jedan dodatni sat povećalo bi funkciju cilja za 2.5 eura, dok bi povećanje kapaciteta odjela za provjeru i pakiranje za jedan sat povećalo funkciju cilja za 32.5 eura. Ovdje se govori o satima rada u tim odjelima i imalo bi smisla angažirati zaposlenike za dodatni sat rada (npr. prekovremeni) dok god taj sat rada ne košta više nego što iznosi sjena cijena. Osim toga, u odjelima za šivanje i završne dorade postoji višak sati. Na primjer, u odjelu za završne dorade postoji višak od 205.125 sati, što je više od mjesečnog fonda sati jednog zaposlenika (ako računamo 40-satni radni tjedan). Dakle, ovdje, na primjer, postoji mogućnost preusmjeravanja jednog od zaposlenika, odnosno preciznije, dio sati rada jednog zaposlenika (s odgovarajućim vještinama) u odjele za provjeru i pakiranje i rezanje i bojenje. Pritom treba imati na umu da izračunate sjene cijena vrijede u danim intervalima dopuštenih promjena desne strane ograničenja (za odjel provjere i pakiranja to je dopušteno povćanje od 45 sati, a odjel za provjeru i pakiranje 60.78 sati). Ako izvršimo promjene kojima izlazimo iz tih granica, trebamo ponovo kreirati model i iznova sve izračunati s novim paramterima.

Također, primijetite kako će sjena cijena biti različita od nule samo ako je resurs u potpunosti iskorišten. Za resurse koji nisu u potpunosti iskorišteni, sjena cijena iznosi nula - s obzirom da postoji ostatak, dodavanje tog resursa ne bi poboljšalo situaciju.

Također, pri tumačenju svih ovih elemenata treba voditi računa da vrijedi lat. ceteris paribus, koji se prevodi kao “uz ostalo nepromijenjeno” ili “sve drugo ostaje isto”. U kontekstu tumačenja ovih rezultata modela, to znači da se prilikom analize ili interpretacije učinka promjene jedne varijable pretpostavlja da sve ostale varijable i uvjeti ostaju konstantni. Drugim riječima, razmatranje pod pretpostavkom ceteris paribus dopušta samo jednu promjenu u analizi, dok se sve ostalo smatra konstantnim. Ovo je korisno za izolaciju i razumijevanje učinka određene promjene na sustav, ali ima svoje ograničenje jer ne uzima u obzir interakcije između varijabli u stvarnom životu. Na primjer, povećanje kapaciteta za jedan sat u odjelu za rezanje i bojanje ili provjeru i pakiranje utječe na funkciju cilja za određeni iznos. Međutim, to povećanje vrijedi samo ako se ništa drugo ne promijeni (tj. ako ostali kapaciteti, troškovi, potražnja, ili struktura proizvodnje ostanu isti). To također znači da, ako biste napravili više promjena istovremeno (npr. povećali kapacitet u oba odjela), ne bi više važile izračunate sjene cijena. U tom slučaju trebali bismo ponovno postaviti i riješiti model uzimajući u obzir sve nove promjene.

Temeljem ovih tumačenja, možemo uočiti kako analiza osjetljivosti omogućuje dublje razumijevanje robusnosti rješenja i prepoznavanje ključnih resursa koji najviše utječu na rezultate. Osim što analiza osjetljivosti omogućuje razumijevanje trenutačnog rješenja, može nam služiti i za buduće planiranje i prilagodbu resursa. Kroz interpretaciju ovih podataka možemo jasno identificirati prioritete za dodatna ulaganja ili preraspodjele, čime se dodatno poboljšava učinkovitost sustava.

Grafički prikaz analize osjetljivosti ilustrira dopuštene promjene desnih strana ograničenja (kapaciteta resursa) i njihov utjecaj na optimalno rješenje problema. Prikaz sadrži osjenčana područja koja predstavljaju intervale unutar kojih se kapaciteti pojedinih odjela mogu mijenjati bez promjene optimalnog rješenja (ceteris paribus). Svaka boja odgovara određenom odjelu: zeleni segment za odjel provjere i pakiranja, crveni za rezanje i bojanje, plavi za šivanje, a žuti za završne dorade.

Crvena točka na grafikonu označava optimalno rješenje problema (proizvodnja 90 majica srednje kvalitete i 562.5 majica visoke kvalitete mjesečno). Unutar osjenčanih područja, vrijednosti ograničenja mogu se povećavati ili smanjivati, a optimalno rješenje ostaje nepromijenjeno. Ova fleksibilnost omogućuje bolje razumijevanje robusnosti rješenja u odnosu na kapacitete odjela.

Primjerice, za odjel rezanja i bojanja, ograničenje ima uži interval dopuštenih promjena, što ukazuje da su resursi tog odjela kritični i da male promjene u kapacitetu mogu utjecati na rješenje. S druge strane, odjel za završne dorade ima šire osjenčano područje, što sugerira da povećanje ili smanjenje kapaciteta ovog resursa ima manji utjecaj na rješenje unutar danih granica.

Grafikon također naglašava međusobni utjecaj resursa. Kako se kapacitet jednog odjela mijenja, položaj optimalnog rješenja ostaje unutar osjenčanog područja dok su sve promjene unutar dopuštenih granica. Međutim, izlazak iz tih granica zahtijevao bi ponovnu formulaciju modela i izračun novog optimalnog rješenja.

Ovaj grafički prikaz jasno pokazuje gdje postoji fleksibilnost u kapacitetima i koji odjeli su ključni za održavanje optimalnog proizvodnog plana. Time omogućuje donošenje boljih odluka o preraspodjeli resursa, dodatnim ulaganjima ili planiranju proizvodnih promjena u različitim scenarijima.

Pitanja za razmišljanje

Kako rezultati analize osjetljivosti pomažu menadžmentu da odredi u koju fazu proizvodnog procesa vrijedi investirati dodatne resurse?
- Razmislite o tome kako sjena cijena (dualna varijabla) otkriva koliki je doprinos dodatne jedinice resursa, te kako to možemo iskoristiti pri planiranju proračuna ili nabavci opreme.
Što znači kada je “ograničenje aktivno”, a što kada je “neaktivno”, te kako se to očituje na vrijednosti dualne varijable?
- Razmislite zašto aktivno ograničenje u primalnom programu ima pozitivnu dualnu varijablu, dok neaktivno ograničenje ima vrijednost 0, i kako to tumačimo u praksi.
Kako biste protumačili činjenicu da je odjel šivanja djelomično neiskorišten, dok je odjel za rezanje i bojanje maksimalno iskorišten?
- Razmislite što to govori o potencijalnoj preraspodjeli radnika, opreme ili radnog vremena, te kako biste to konkretno primijenili da povećate ukupni profit.
Na koji način bismo trebali ažurirati model ako želimo istovremeno uvećati kapacitet rezanja i bojanja, a smanjiti kapacitet provjere i pakiranja?
- Razmislite zašto, ako promijenimo više resursa istovremeno, više ne vrijede pojedinačno izračunate sjene cijena i intervali dopuštenih promjena, pa je potrebno provesti novi izračun.
Koliko je pouzdano rješenje ako znamo da se cijene majica mogu nepredvidljivo mijenjati (npr. pad tržišne cijene za majice visoke kvalitete)?
- Razmislite o tome kako intervali dopuštenih promjena koeficijenata u funkciji cilja određuju u kojoj mjeri se cijene mogu mijenjati bez potrebe za novom optimizacijom.
Zašto se polovično proizvedena majica (562.5) u praksi ne smatra problemom u proizvodnji, i u kojim biste slučajevima svejedno željeli zaokružiti rezultat na cjelinu?
- Razmislite o kontekstu planiranja (mjesečni plan, godišnji plan) i ulogama zaokruživanja na cjelobrojnu vrijednost ili ostavljanja decimalne vrijednosti kao vodiča za djelomični radni nalog.
Što znači princip “ceteris paribus” pri analizi osjetljivosti i zašto moramo biti oprezni pri tumačenju rezultata kada uvodimo promjene u više ograničenja?
- Razmislite o tome kako se analize osjetljivosti oslanjaju na pretpostavku “sve ostalo jednako”, što ograničava zaključke kada bismo htjeli simultano mijenjati više parametara.
Kako tumačite to da povećanje kapaciteta odjela za provjeru i pakiranje za jedan sat podiže vrijednost funkcije cilja za 32.5 eura, dok je taj iznos znatno manji za druge odjele?
- Razmislite zašto su neki resursi “skuplji” ili “vrjedniji” od drugih te kakve praktične radne ili tehničke razloge to može imati (npr. ograničene vještine radnika, visoka potražnja za kapacitetom u određenoj fazi, karakteristike posla zbog kojih je teško naći radnike i sl.).
Ako znamo da su odjeli rezanja i bojanja te provjere i pakiranja u potpunosti iskorišteni, što biste savjetovali upravi u vezi s preusmjeravanjem ili obukom kadrova?
- Razmislite kako se analiza višak/manjak kapaciteta (tzv. dopunske varijable) može iskoristiti za odluku o mobilnosti zaposlenika, dodatnom angažiranju ili edukaciji radne snage.
U kojim biste situacijama trebali rješenje “podijeliti” na više vremenskih razdoblja, primjerice kada se mijenja dnevni raspored rada ili su cijene majica različite u sezonskim razdobljima?

Razmislite o važnosti dinamičnosti modela, gdje se proizvodnja planira za više vremenskih intervala, a parametri (cijene, kapaciteti) mogu varirati između tih intervala.

2. primjer

Bolnica ima više dijagnostičkih jedinica koje uključuju laboratorij, rendgen, CT (kompjuteriziranu tomografiju), MR (magnetsku rezonancu) i ultrazvuk. Ove jedinice pružaju usluge dvjema glavnim skupinama:

Preventivni pregledi: Pacijenti koji dolaze na preglede u sklopu preventivnih programa s ciljem rane detekcije potencijalnih bolesti.
Pacijenti s već postavljenom dijagnozom: Pacijenti koji zahtijevaju daljnje pretrage za detaljniju evaluaciju ili praćenje napretka liječenja.

Svaka dijagnostička jedinica ima ograničeni kapacitet osoblja, opreme i vremena dostupnog za obavljanje pregleda, a svaka pretraga doprinosi različitom iznosu QALY u ovisnosti o tipu pacijenta i vrsti pretrage. Svaka dijagnostička jedinica ima ograničen broj radnih sati osoblja i kapacitet opreme za pretrage.

Preventivne pretrage pridonose povećanju QALY kroz ranu detekciju bolesti, dok pretrage za pacijente s dijagnozom pridonose QALY kroz praćenje napretka i optimizaciju terapije. Na primjer, preventivna pretraga može povećati QALY za 0.2, dok evaluacija već dijagnosticiranog pacijenta može pridonijeti QALY za 0.15.

Bolnica ima obvezu pružiti određeni minimalni broj pregleda za preventivne pacijente u sklopu javnozdravstvenih programa te osigurati dovoljno pregleda za pacijente s dijagnozom kako bi se podržalo njihovo liječenje.

Ukupan broj sati rada osoblja i kapacitet opreme u svakoj dijagnostičkoj jedinici ograničavaju broj mogućih pregleda. Pretrage koje zahtijevaju složeniju opremu i više osoblja (poput MR-a) troše više resursa u odnosu na jednostavnije pretrage (poput ultrazvuka).

Cilj je maksimizirati ukupni prinos u QALY-u kroz optimalnu raspodjelu radnih sati osoblja i resursa dijagnostičkih jedinica između dvije kategorije pacijenata, uz poštivanje svih ograničenja. Time bolnica može osigurati što bolje zdravstvene ishode za pacijente, a istovremeno učinkovito iskoristiti raspoložive kapacitete.

Dostupni podaci su sistematizirani u tablici.

Dijagnostička jedinica	Tip pregleda	Vrijeme po pregledu (sati)	Dostupni sati rada osoblja	Makismalni kapacitet uređaja (pregledi/dan)	QALY po pregledu	Minimalni broj pregleda
Laboratorij	Preventivni pregledi	0.5		100	0.2	40
Laboratorij	Pacijenti s dijagnozom	0.6	112	100	0.15	60
Rendgen	Preventivni pregledi	0.75		50	0.25	15
Rendgen	Pacijenti s dijagnozom	1	88	50	0.2	25
CT	Preventivni pregledi	1.5		20	0.3	5
CT	Pacijenti s dijagnozom	2	88	20	0.25	15
MR	Preventivni pregledi	2.5		15	0.4	5
MR	Pacijenti s dijagnozom	3	72	15	0.35	10
Ultrazvuk	Preventivni pregledi	0.8		60	0.2	50
Ultrazvuk	Pacijenti s dijagnozom	1	104	60	0.18	30

Preventivni pregledi u laboratoriju prosječno traju 0.5 sati, kapacitet je 100 pregleda dnevno, a doprinos QALY-u po pregledu je 0.2. Za pacijente s dijagnozom vrijeme pregleda u laboratoriju je 0.6 sati, kapacitet je 100 pregleda na dan, a QALY po pregledu je 0.15. Za pacijente s dijagnozom, pregled CT-om traje 2 sata, kapacitet je 20 pregleda dnevno, a doprinos QALY-u po pregledu je 0.25. Na sličan način, iščitavamo i ostale vrijednosti iz tablice.

U tablici je prikazano prosječno povećanje trajanja života korigirano za kvalitetu, koje se postiže obavljanjem određenog pregleda, izraženo kao QALY po pregledu. Ovo povećanje ovisi o tipu pregleda (preventivni ili za pacijente s dijagnozom) i dijagnostičkoj jedinici u kojoj se pregled obavlja. Na primjer, preventivni pregledi u laboratoriju doprinose povećanju QALY-a za 0.2 po pregledu, što ilustrira da preventivne pretrage mogu utjecati na ranu detekciju bolesti, poboljšavajući kvalitetu i trajanje života pacijenata, u prosjeku za 0.2 godine po pacijentu. S druge strane, pregledi za pacijente s dijagnozom na MR uređaju imaju doprinos od 0.35 po pregledu, jer pomažu u preciznijem praćenju terapije i optimizaciji liječenja, čime se duljina kvalitetno provedenog života produljuje za 0.35 godina.

Ovaj pristup omogućuje donošenje odluka o raspodjeli resursa na temelju njihovog izravnog učinka na zdravstvene ishode, mjerenog povećanjem QALY-a.

Struktura problema

Varijable odluka:

U modelu imamo dvije glavne skupine pacijenata:

Preventivni pregledi – usmjereni na rano otkrivanje bolesti.
Pregledi pacijenata s već postavljenim dijagnozama – usmjereni na praćenje napretka i prilagodbu liječenja.

Međutim, svaka od tih skupina pacijenata koristi usluge u različitim dijagnostičkim jedinicama: laboratorij, rendgen, CT, MR i ultrazvuk. To znači da za svaku kombinaciju tipa pregleda i dijagnostičke jedinice trebamo definirati zasebnu varijablu koja predstavlja broj pregleda te vrste.

$x_{1,1}$: Preventivni pregledi (1) u laboratoriju (1).
$x_{1,2}$: Preventivni pregledi (1) na rendgenu (2).
$x_{1,3}$: Preventivni pregledi (1) na CT-u (3).
$x_{1,4}$: Preventivni pregledi (1) na MR-u (4).
$x_{1,5}$: Preventivni pregledi (1) na ultrazvuku (5).
$x_{2,1}$: Pregledi pacijenata s dijagnozom (2) u laboratoriju (1).
$x_{2,2}$: Pregledi pacijenata s dijagnozom (2) na rendgenu (2).
$x_{2,3}$: Pregledi pacijenata s dijagnozom (2) na CT-u (3).
$x_{2,4}$: Pregledi pacijenata s dijagnozom (2) na MR-u (4).
$x_{2,5}$: Pregledi pacijenata s dijagnozom (2) na ultrazvuku (5).

Svaka varijabla predstavlja broj pregleda za određenu vrstu pacijenata u određenoj jedinici. Ove varijable omogućuju modelu da optimizira raspodjelu resursa (radnih sati osoblja i uređaja) kako bi se maksimizirao ukupni QALY. Zajedno s ograničenjima, varijable osiguravaju da model poštuje realne granice kapaciteta i potrebe pacijenata. Ovo razdvajanje na 10 varijabli omogućuje fleksibilnost u optimizaciji i jasnoću u interpretaciji rezultata.

Funkcija cilja:

\[ \text{max}\ Z = 0.2 \cdot x_{1,1} + 0.15 \cdot x_{2,1} + 0.25 \cdot x_{1,2} + 0.2 \cdot x_{2,2} + \\ 0.3 \cdot x_{1,3} + 0.25 \cdot x_{2,3} + 0.4 \cdot x_{1,4} + 0.35 \cdot x_{2,4} + \\ 0.2 \cdot x_{1,5} + 0.18 \cdot x_{2,5} \]

gdje je:

$x_{i,j}$: broj pregleda pacijenata kategorije $i$ u dijagnostičkoj jedinici $j$.

Ograničenja:

Kapacitet radnih sati za svaku dijagnostičku jedinicu:

Laboratorij: \[ 0.5 \cdot x_{1,1} + 0.6 \cdot x_{2,1} \leq 112 \]
Rendgen: \[ 0.75 \cdot x_{1,2} + 1 \cdot x_{2,2} \leq 88 \]
CT: \[ 1.5 \cdot x_{1,3} + 2 \cdot x_{2,3} \leq 88 \]
MR: \[ 2.5 \cdot x_{1,4} + 3 \cdot x_{2,4} \leq 72 \]
Ultrazvuk: \[ 0.8 \cdot x_{1,5} + 1 \cdot x_{2,5} \leq 104 \]

Minimalni broj pregleda za svaku kategoriju pacijenata:

Preventivni pregledi - laboratorij: \[ x_{1,1} \geq 40 \]
Preventivni pregledi - rendgen: \[ x_{1,2} \geq 15 \]
Preventivni pregledi - CT: \[ x_{1,3} \geq 5 \]
Preventivni pregledi - MR: \[ x_{1,4} \geq 5 \]
Preventivni pregledi - ultrazvuk: \[ x_{1,5} \geq 50 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - laboratorij: \[ x_{2,1} \geq 60 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - rendgen: \[ x_{2,2} \geq 25 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - CT: \[ x_{2,3} \geq 15 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - MR: \[ x_{2,4} \geq 10 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - ultrazvuk: \[ x_{2,5} \geq 30 \]

Maksimalni broj pregleda za svaku kategoriju pacijenata:

Preventivni pregledi - laboratorij: \[ x_{1,1} \leq 100 \]
Preventivni pregledi - rendgen: \[ x_{1,2} \leq 50 \]
Preventivni pregledi - CT: \[ x_{1,3} \leq 20 \]
Preventivni pregledi - MR: \[ x_{1,4} \leq 15 \]
Preventivni pregledi - ultrazvuk: \[ x_{1,5} \leq 60 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - laboratorij: \[ x_{2,1} \leq 100 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - rendgen: \[ x_{2,2} \leq 50 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - CT: \[ x_{2,3} \leq 20 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - MR: \[ x_{2,4} \leq 15 \]
Pregledi za pacijente s dijagnozom - ultrazvuk: \[ x_{2,5} \leq 60 \]

Nenegativnost varijabli:

\[ x_{i,j} \geq 0 \quad \forall i, j \]

S obzirom da ovdje imamo više od dvije varijable, koristit ćemo Interaktivnu web aplikaciju za linearno programiranje koja omogućuje izračune za veći broj varijabli. Ipak, s obzirom da sad prelazimo u više dimenzija, grafički prikaz više neće biti moguć.

Osim toga, kad unosimo vrijednosti u aplikaciju, moramo predvidjeti koeficijente za sve varijable odluke. U linearnom modelu sve varijable moraju biti zastupljene u svakom ograničenju, čak i ako nemaju nikakav utjecaj. Ako neka varijabla nije prisutna u određenom ograničenju (npr. u ograničenju za laboratorij nema $x_{1,2}$), njen koeficijent mora biti 0, što osigurava da unos u aplikaciju bude konzistentan s modelom.

Kod unosa koeficijenata, treba popuniti polje za unos uz svaku varijablu u ograničenju. Za varijable koje nisu dio ograničenja, jednostavno se unose 0, dok za varijable koje utječu na ograničenje unose odgovarajuće vrijednosti koeficijenata.

Primjeri potpunog ograničenja, s obzirom na to kako se unose u aplikaciju:

Kapacitet radnih sati za laboratorij (samo $x_{1,1}$ i $x_{2,1}$ imaju koeficijente):

$0.5 \cdot x_{1,1} + 0.6 \cdot x_{2,1} + 0 \cdot x_{1,2} + 0 \cdot x_{2,2} + 0 \cdot x_{1,3} + 0 \cdot x_{2,3} + 0 \cdot x_{1,4} + 0 \cdot x_{2,4} + 0 \cdot x_{1,5} + 0 \cdot x_{2,5} \leq 112$

Kapacitet radnih sati za rendgen (samo $x_{1,2}$ i $x_{2,2}$ imaju koeficijente):

$0 \cdot x_{1,1} + 0 \cdot x_{2,1} + 0.75 \cdot x_{1,2} + 1 \cdot x_{2,2} + 0 \cdot x_{1,3} + 0 \cdot x_{2,3} + 0 \cdot x_{1,4} + 0 \cdot x_{2,4} + 0 \cdot x_{1,5} + 0 \cdot x_{2,5} \leq 88$

Minimalni broj preventivnih pregleda u laboratoriju (samo $x_{1,1}$ ima koeficijent):

$1 \cdot x_{1,1} + 0 \cdot x_{2,1} + 0 \cdot x_{1,2} + 0 \cdot x_{2,2} + 0 \cdot x_{1,3} + 0 \cdot x_{2,3} + 0 \cdot x_{1,4} + 0 \cdot x_{2,4} + 0 \cdot x_{1,5} + 0 \cdot x_{2,5} \geq 40$

Maksimalni broj pregleda za pacijente s dijagnozom na CT-u (samo $x_{2,3}$ ima koeficijent):

$0 \cdot x_{1,1} + 0 \cdot x_{2,1} + 0 \cdot x_{1,2} + 0 \cdot x_{2,2} + 0 \cdot x_{1,3} + 1 \cdot x_{2,3} + 0 \cdot x_{1,4} + 0 \cdot x_{2,4} + 0 \cdot x_{1,5} + 0 \cdot x_{2,5} \leq 20$

Isti pristup primjenjuje se i pri unosu ostalih ograničenja.

Kao i u aplikaciji koju smo koristili za rješavanje problema s dvije varijable, ovdje će nam se također prvo prikazati model. U ovom modelu imamo 10 varijabli odluka i 25 ograničenja.

Nakon toga prikazuju nam se rješenja izračunata na dva načina. Aplikacija koristi dva različita paketa i uspoređuje rezultate. Radi se o tome da postoje suptilne razlike u načinu rješavanja. Što to znači za nas? Ako se rezultati podudaraju (piše na dnu), onda ćemo iščitavati i tumačiti rezultate dobivene paketom linprog, zato jer su detaljniji.

Napomena: ako vas zanima, više o paketima možete pročitati u tabu: Informacije o paketima (u aplikaciji).

Tumačenje rješenja uvijek mora biti tako sastavljeno da je jasno koji se problem rješavao i koja se akcija preporuča, bez dodatnih uvida u model ili ispis rješenja.

Optimalno rješenje je pronađeno, a vrijednosti varijabli i ograničenja dosljedno zadovoljavaju postavljene uvjete.

Vrijednosti varijabli odluka pokazuju kako su dijagnostičke jedinice koristile svoje resurse. Optimalno, laboratorij pruža 100 preventivnih pretraga i 100 pretraga za pacijente s postojećom dijagnozom dnevno, dok je optimalno ostvariti 50 preventivnih pregleda putem rendgena i 50 pregleda pacijenata s dijagnozom. Optimalno je preventivno pregledati 20 pacijenata CT-om te 20 pacijenata kojima je već postavljena dijagnoza. Optimalno je ostvariti 15 preventivnih pregleda putem MR te 11.5 pregleda za pacijente s dijegnozom dnevno. Ultrazvukom je optimalno preventivno pregledati 60 pacijenata te 56 pacijenata s postavljenom dijagnozom.

Vrijednost funkcije cilja od 100.605 QALY-a pokazuje koliko se zdravstvenih ishoda poboljšava ukupnim rasporedom pregleda. Ova vrijednost predstavlja optimalni rezultat koji bolnica može postići s dostupnim resursima i zadanom distribucijom. Dakle, ovako raspoređenim pregledima u danu, pregledanim pacijentima (svim zajedno) su ukupno povećane godine života korigirane za kvalitetu za 100.605 godina.

Iskorištenost resursa otkriva ključne aspekte alokacije radnih sati. Laboratorij koristi 110 od 112 dostupnih sati, rendgen 87.5 od 88 sati, dok CT koristi 70 od mogućih 88 sati, što ukazuje na značajne neiskorištene kapacitete na CT-u. MR koristi sve dostupne resurse (72 sata), dok ultrazvuk također koristi svih 104 dostupna sata, što ukazuje na punu iskorištenost tih jedinica.

Minimalni i maksimalni brojevi pregleda pokazuju da su zadovoljena sva ograničenja. Primjerice, laboratorij je ispunio minimalne i maksimalne zahtjeve sa 100 preventivnih pregleda i 100 pregleda pacijenata s dijagnozom, dok rendgen ispunjava minimum i maksimum s 50 preventivnih pregleda i 50 pregleda pacijenata s dijagnozom. Preventivni pregledi na CT-u su također u granicama, preciznije, na gornjoj granici. Gornja granica za preglede oba tipa pacijenata na MR-i je 15 i dosegnuta je za preventivne preglede, ali ne i za pacijente s dijagnozom (11.5) - iako je i ta vrijednost između najmanje i najveće dopuštene vrijednosti. Ako to usporedimo sa svim iskorištenim satima, lako je moguće da ovdje nisu iskorišteni svi pregledi koje bi uređaj mogao pokriti zbog nedovoljne pokrivenosti stručnim osobljem. Slična se situacija događa s ultrazvukom, gdje se od maksimalno mogućih 60 pregleda za pacijente s dijagnozom realizira 56 pregleda (uz maksimalnu iskorištenost sati na tom odjelu).

Uvidi u iskorištenost ograničenja otkrivaju da su neka ograničenja potpuno iskorištena, poput radnih sati na MR-u i ultrazvuku, dok druga, kao na primjer radni sati na CT-u, ostaju neiskorišteni. Ovo ukazuje na potencijal za optimizaciju alokacije resursa kako bi se bolje iskoristili neiskorišteni kapaciteti. Kako bismo mogli dobiti detaljnije i preciznije uvide u mogućnosti dodatne optimizacije, koristimo analizu osjetljivosti.

Analiza osjetljivosti za koeficijente funkcije cilja pruža važne uvide u to kako promjene u vrijednostima koje predstavljaju doprinos QALY-a pojedinih pregleda utječu na optimalno rješenje. Većina koeficijenata ima interval dopustivih promjena s donjom granicom nula i gornjom granicom beskonačnost (Inf). To znači da je trenutna raspodjela resursa u modelu dovoljno fleksibilna da ostane optimalna bez obzira na promjene tih vrijednosti, dok bi smanjenje ispod nule, što praktički znači negativan doprinos QALY-a, bilo neprihvatljivo.

Posebnu pozornost privlače koeficijenti pregleda na MR-u. Preventivni pregledi na MR-u imaju donju granicu od 0.2916667, što znači da se njihova vrijednost može smanjiti za najviše 0.1083333 (od trenutne vrijednosti 0.4) prije nego što se optimalno rješenje promijeni. Ovo ukazuje da su ovi pregledi značajni u trenutnom modelu i da čak i relativno mala promjena njihovog doprinosa može utjecati na rješenje. Slično tome, pregledi pacijenata s dijagnozom na MR-u imaju gornju granicu od 0.48, što znači da se njihova vrijednost može povećati za samo 0.13 (od trenutne vrijednosti 0.35) prije nego što model zahtijeva prilagodbu. Ovo pokazuje da je MR resurs osjetljiv na promjene u doprinosa pregleda QALY-u, a svaki značajan porast ili smanjenje može zahtijevati drugačiju distribuciju resursa.

Ultrazvuk je također zanimljiv zbog donje granice od 0.144 za preventivne preglede. Preventivni pregledi na ultrazvuku mogu se smanjiti za najviše 0.056 (od trenutne vrijednosti 0.2) prije nego što optimalno rješenje postane neodrživo, dok pregledi pacijenata s dijagnozom na ultrazvuku imaju gornju granicu od 0.25. Ovi intervali pokazuju fleksibilnost trenutnog modela u prilagodbi promjenama u QALY vrijednostima većine pregleda, dok istovremeno naglašavaju osjetljivost na promjene kod MR-e i ultrazvuka.

Vrijednosti sjena cijena pružaju ključne uvide u važnost pojedinih resursa i ograničenja u optimizacijskom modelu. Sjena cijena za kapacitet radnih sati na laboratoriju, rendgenu i CT-u iznosi nula. To znači da dodatno povećanje dostupnih sati u ovim jedinicama ne bi rezultiralo povećanjem vrijednosti funkcije cilja, odnosno, ne bi doprinijelo dodatnom QALY-u. Ovo sugerira da ti resursi nisu ograničavajući u trenutnom optimalnom rješenju i da postoji dostatan kapacitet za trenutni opseg pregleda (i još malo viška). Suprotno tome, sjena cijena se pojavljuje za potpuno iskorišten resurse - za radne sate na MR-u iznosi 0.1167, dok je za ultrazvuk 0.18, što ukazuje da bi povećanje kapaciteta tih resursa za jedan sat rezultiralo povećanjem ukupnog QALY-a za navedene vrijednosti. Ovi rezultati jasno pokazuju da su MR i ultrazvuk ključne jedinice u kojima postoji potreba za dodatnim resursima kako bi se postigli bolji zdravstveni ishodi.

Minimalni broj pregleda za sve dijagnostičke jedinice ima sjene cijene jednake nuli, što znači da su trenutni minimalni zahtjevi za preglede u potpunosti zadovoljeni i da povećanje tih zahtjeva ne bi promijenilo vrijednost funkcije cilja. Ovo je indikacija da model funkcionira unutar zadanih ograničenja i da su minimalni brojevi pregleda pravilno raspoređeni bez negativnog utjecaja na QALY. Štoviše, to implicira prilično efikasnu upotrebu resursa, jer su rezultati bitno iznad postavljenih minimuma.

Ipak, kad je riječ o maksimalnom broju pregleda, primjećujemo razlike u vrijednostima sjena cijena. Maksimalni broj pregleda za preventivne preglede na laboratoriju ima sjenu cijena od 0.2, što znači da povećanje maksimalnog broja tih pregleda za jedan dodatni pregled (ceteris paribus) rezultira povećanjem QALY-a za 0.2. Slična situacija primjećuje se za rendgen (0.25), CT (0.3), MR (0.1083), i ultrazvuk (0.056) za preventivne preglede. Ovo ukazuje na to da povećanje gornjih granica za preglede u ovim dijagnostičkim jedinicama može dodatno doprinijeti boljem ishodu. To ima smisla kad se sjetimo da su pregledi varijable odluka u funkciji cilja i ako bi više pacijenata moglo biti pregledano u preventivne svrhe, to bi značajno poboljšalo QALY (odnosno, ukupne zdravstvene ishode kroz rano otkrivanje potencijalnih problema i produljenje života).

Kod pregleda pacijenata s dijagnozom, sjene cijena za maksimalni broj pregleda također pružaju slične uvide. Na primjer, laboratorij ima sjenu cijena od 0.15, rendgen od 0.2, CT od 0.25, dok MR i ultrazvuk imaju nulu. To znači da povećanje maksimalnog broja pregleda na laboratoriju, rendgenu i CT-u može pozitivno utjecati na zdravstvene ishode, dok za MR i ultrazvuk dodatni pregledi ne bi rezultirali promjenom QALY-a. Naime, za MR i ultrazvuk još postoje neiskorišteni pregledi, pa povećanje ne bi imalo smisla. Ovo potvrđuje da je za MR i ultrazvuk ključno adresirati problem s nedovoljnim brojem sati rada osoblja, a tek nakon toga, može se ponoviti kreiranje modela i izračunati sjene cijena za maksimalni broj pretraga.

Dakle, sjene cijena pokazuju da su radni sati MR-a i ultrazvuka te maksimalni brojevi pregleda u određenim dijagnostičkim jedinicama presudni resursi koji direktno utječu na povećanje zdravstvenih ishoda. Model naglašava potrebu za dodatnim resursima u jedinicama s višim sjenama cijena i mogućnost optimizacije kapaciteta u jedinicama s manjim ili nultim sjenama cijena. Ove informacije predstavljaju osnovu za donošenje informiranih odluka o preraspodjeli resursa i planiranju kapaciteta.

No, izračunate sjene cijena vrijede samo u intervalima dopustivih promjena desne strane ograničenja. Dakle, u sljedećem koraku, usmjeravamo se upravo na te intervale.

Interval dopustivih promjena za desne strane ograničenja analizira koliko se kapacitet radnih sati za svaku dijagnostičku jedinicu može povećati ili smanjiti prije nego što optimalno rješenje postane neodrživo. Za laboratorij, trenutna iskorištenost iznosi 110 sati od ukupno dostupnih 112 sati. To znači da je laboratorij blizu maksimalnog kapaciteta, ali ipak postoji mogućnost smanjenja kapaciteta za 2 sata prije nego što to utječe na rješenje. S druge strane, povećanje kapaciteta je neograničeno (Inf), što sugerira da dodatni sati rada u laboratoriju ne bi utjecali na trenutni raspored, ali bi potencijalno omogućili prilagodbu u slučaju promjena prioriteta.

Na rendgenu je iskorišteno 87.5 od 88 dostupnih sati, što ukazuje na vrlo visoku razinu iskorištenosti. Kapacitet se može smanjiti za samo 0.5 sati prije nego što rješenje postane neodrživo. Kao i kod laboratorija, povećanje kapaciteta rendgena ne bi imalo utjecaj na trenutni model (Inf), ali omogućuje potencijalne prilagodbe ako se ukaže potreba za preraspodjelom resursa.

CT uređaj pokazuje značajne neiskorištene kapacitete, s trenutnom iskorištenošću od samo 70 sati od dostupnih 88 sati. To znači da se kapacitet može smanjiti za 18 sati prije nego što se promijeni optimalno rješenje. Ovo ukazuje na mogućnost boljeg iskorištavanja CT-a ili preraspodjele radnih sati osoblja kako bi se kapaciteti bolje iskoristili.

MR ima potpuno iskorištenih 72 sata, što ukazuje na kritični resurs. Kapacitet se može smanjiti za samo 4.5 sati prije nego što postane neodrživ, dok se može povećati za maksimalno 10.49963 sati (za veće vrijednosti, treba ponoviti izračune).

Ultrazvuk je također potpuno iskorišten, s trenutnih 104 sata rada. Kapacitet se može smanjiti za 26 sati prije nego što to utječe na rješenje, dok je povećanje ograničeno na 3.999817 sati.

MR i ultrazvuk su identificirani kao ključne točke ograničenja zbog potpune iskorištenosti i ograničenih mogućnosti povećanja kapaciteta. Ovi uvidi mogu pomoći u donošenju strateških odluka za optimizaciju raspodjele resursa i povećanje ukupne učinkovitosti zdravstvenog sustava.

Ovdje se analiziraju donje granice ograničenja, to jest minimalni broj pregleda za preventivne preglede po usluzi. U laboratoriju je trenutni broj preventivnih pregleda 100, dok je minimalni broj pregleda postavljen na 40. Ovo znači da je moguće smanjiti broj pregleda za čak 60 prije nego što to utječe na održivost modela. Povećanje broja pregleda nije ograničeno.

Na rendgenu je trenutni broj preventivnih pregleda 50, dok je minimalni broj postavljen na 15. Ovo pruža fleksibilnost od 35 pregleda koji bi mogli biti smanjeni prije utjecaja na optimalno rješenje. CT uređaj trenutno obavlja 20 preventivnih pregleda, a minimalni broj je postavljen na 5. To znači da postoji značajan prostor za smanjenje broja pregleda, čak za 15, bez utjecaja na rješenje.

MR trenutno obavlja 15 preventivnih pregleda, što odgovara minimalnom broju pregleda postavljenom u ograničenju. To znači da ne postoji prostor za smanjenje, ali povećanje nije ograničeno. Ultrazvuk obavlja 60 preventivnih pregleda, dok je minimalni broj postavljen na 50. Ovo znači da je moguće smanjenje broja pregleda za 10 bez utjecaja na održivost rješenja.

S obzirom da su ova ograničenja postavljena kao $\geq$ i definiraju minimalne vrijednosti koje moraju biti ostvarene, pa granice dopuštenog povećanja (u kombinacijom s maksimizacijom u funkciji cilja) poprimaju Inf.

Ovdje se analiziraju donje granice ograničenja, to jest minimalni broj pregleda za preglede pacijenata s postavljenom dijagnozom po usluzi. U laboratoriju je trenutni broj preventivnih pregleda 100, dok je minimalni broj pregleda postavljen na 40. Ovo znači da je moguće smanjiti broj pregleda za čak 60 prije nego što to utječe na održivost modela. Na rendgenu je trenutni broj preventivnih pregleda 50, dok je minimalni broj postavljen na 15. Ovo pruža fleksibilnost od 35 pregleda koji bi mogli biti smanjeni prije utjecaja na optimalno rješenje. CT uređaj trenutno obavlja 20 preventivnih pregleda, a minimalni broj je postavljen na 5. To znači da postoji značajan prostor za smanjenje broja pregleda, čak za 15, bez utjecaja na rješenje. MR trenutno obavlja 15 preventivnih pregleda, što odgovara minimalnom broju pregleda postavljenom u ograničenju. To znači da ne postoji prostor za smanjenje, ali povećanje nije ograničeno. Ultrazvuk obavlja 60 preventivnih pregleda, dok je minimalni broj postavljen na 50. Ovo znači da je moguće smanjenje broja pregleda za 10 bez utjecaja na održivost rješenja. Ova su ograničenja također postavljena kao $\geq$ i definiraju minimalne vrijednosti koje moraju biti ostvarene, pa granice dopuštenog povećanja u kombinacijom s maksimizacijom u funkciji cilja, poprimaju Inf.

Ova skupina ograničenja sadrže smjer $\leq$ i definiraju najveće moguće vrijednosti (tj. broj pregleda) koje moraju biti ostvarene, pa će to također biti vezano uz vrijednosti dopustivih promjena. Naime, upravo zbog ovih ograničenja ($\leq$) funkcija cilja ne može poprimiti beskonačno velike vrijednosti (slično kao kod ograničenja radnih sati). Ovdje je definiran najveći broj pregleda dnevno koje dostupni dijagnostički uređaji mogu odraditi.

Prvo promatramo broj pregleda za preventivne preglede po usluzi. Laboratorij, s trenutno iskorištenih 100 pregleda, doseže svoj maksimum, a dopušteno je smanjenje za čak 60 pregleda bez ugrožavanja optimalnosti rješenja. Ovo ukazuje na to da laboratorij radi na svojoj maksimalnoj granici, ali također ima mogućnost smanjenja broja preventivnih pregleda ukoliko se resursi trebaju redistribuirati prema drugim jedinicama ili vrstama pregleda. Dopustivo povećanje je samo 3.999 pregleda, nakon čega treba formirati novi model. Dakle, interval od 40 do ~104 pregleda daje interval u kojem važi trenutno izračunata sjena cijena za ove preglede.

Na rendgenu, gdje je trenutna razina iskorištenosti također 50 pregleda dnevno, maksimalna dopuštena vrijednost može se povećati samo za dodatnih 0.66 pregleda. To ukazuje na vrlo ograničenu fleksibilnost u povećanju broja preventivnih pregleda na rendgenu, ali dopušteno smanjenje za 35 pregleda ukazuje na potencijalnu rezervu u slučaju potrebe za preraspodjelom kapaciteta.

CT je na gornjoj granici s 20 preventivnih pregleda, dok bi dodatnih ~12 pregleda moglo biti realizirano prije dostizanja granice maksimalnog dopuštenog povećanja. Dopušteno je i smanjenje za 15.

MR uređaj trenutno obavlja 15 preventivnih pregleda, dosegnuvši svoj maksimalni kapacitet za ovu kategoriju. Međutim, maksimalna dopuštena vrijednost pregleda mogla bi se povećati za dodatnih ~1.8 pregleda i smanjiti za 4.2 pregleda, što ukazuje na vrlo malu fleksibilnost u promjeni kapaciteta u slučaju potrebe.

Ultrazvuk je također na svojoj maksimalnoj razini od 60 pregleda dnevno za preventivne preglede. Maksimalno dopušteno povećanje koje kreira gornju granicu intervala u kojem vrijedi povezana sjena cijena je dodatnih 32.5 pregleda, dok je dopušteno smanjenje od samo 5 pregleda.

Slijedi razmatranje dopuštenih povećanja i smanjenja za broj pregleda za pacijente s postavljenom dijagnozom, po usluzi. Laboratorij, koji trenutno pruža maksimalno dopuštenih 100 pregleda za pacijente s dijagnozom, može smanjiti taj broj za 40 pregleda bez utjecaja na optimalnost rješenja. Dopušteno povećanje za samo 3.33 pregleda daje gornju granicu do koje vrijedi izračunata sjena cijena za ovo ograničenje. Dakle, interval u kojem vrijedi povezana sjena cijena odnosi se na 60 - 103.33 pregleda.

Rendgen također radi na svom maksimalnom kapacitetu od 50 pregleda dnevno za pacijente s dijagnozom. Međutim, ovdje je dopušteno povećanje za samo 0.5 pregleda, a dopušteno je smanjenje za 25 pregleda. Dakle, interval u kojem vrijedi povezana sjena cijena odnosi se na 25 - 50.5 pregleda.

CT pruža maksimalnih 20 pregleda za pacijente s dijagnozom, što je također njegova gornja granica. Dopušteno je povećanje za gotovo 9 pregleda, a dopušteno smanjenje za 5 pregleda. Dakle, interval u kojem vrijedi povezana sjena cijena odnosi se na od 15 do ~29 pregleda.

MR trenutno pruža 11.5 pregleda za pacijente s dijagnozom, što je ispod maksimalno dopuštenih 15 pregleda. Ovo ukazuje na neiskorišteni kapacitet za ovu dijagnostičku jedinicu i s obzirom na to, dopušteno povećanje broja pregleda je neograničeno (Inf), što znači da model ne predviđa nikakve dodatne restrikcije na povećanje. Dopušteno smanjenje od 3.5 ukazuje na donju granicu intervala u kojem vrijedi izračunata sjena cijena, dok gornja granica trenutno nije definirana.

Ultrazvuk trenutno pruža 56 pregleda za pacijente s dijagnozom, što je ispod trenutnih dnevnih mogućnosti od 60 pregleda. Dopušteno je povećanje za neograničen broj pregleda, a smanjenje za 4 pregleda. Dakle, interval u kojem vrijedi povezana sjena cijena odnosi se na 56 - Inf pregleda.

Dopunske varijable (slack/surplus) daju uvid u iskorištenost resursa i kapaciteta pojedinih dijagnostičkih jedinica. Za kapacitet radnih sati, laboratorij ima neiskorištena 2 sata. Slično, rendgen ima 0.5 neiskorištenih sati, što ukazuje na gotovo punu iskorištenost, dok CT ima značajna 18 neiskorištena sata. MR i ultrazvuk nemaju neiskorištenih sati, što ukazuje na njihovu potpunu iskorištenost i ograničenu fleksibilnost za povećanje broja pregleda bez dodatnih resursa.

Što se tiče minimalnog broja pregleda, dopunske varijable ukazuju na razliku između postavljenog minimalnog zahtjeva i stvarnog broja pregleda. Na primjer, laboratorij ima višak od 60 pregleda za preventivne pacijente, što znači da je znatno premašio minimalni zahtjev. Rendgen ima 35 dodatnih pregleda za preventivne pacijente, dok CT, MR i ultrazvuk imaju 15, 10 i 10 dodatnih pregleda, redom. Ove vrijednosti pokazuju da su minimalni zahtjevi za preventivne preglede u potpunosti zadovoljeni, odnosno, premašeni s dostupnim kapacitetima.

Za preglede pacijenata s dijagnozom, laboratorij ima višak od 40 pregleda, dok rendgen ima 25, CT 5, MR 1.5, i ultrazvuk 26. Ovi viškovi ukazuju na to da su minimalni zahtjevi zadovoljeni i premašeni.

Kod maksimalnog broja pregleda, dopunske varijable ukazuju na razliku između stvarnog broja pregleda i maksimalno dopuštenog broja. Za preventivne preglede, laboratorij, rendgen, CT, MR i ultrazvuk ne postoje razlike, što znači da su maksimalni kapaciteti dostignuti za ove preglede. Slično, za preglede pacijenata s dijagnozom, laboratorij i rendgen također nema ostataka, ali MR ima 3.5 neiskorištena pregleda, a ultrazvuk 4. To ukazuje na neiskorištene kapacitete u tim jedinicama koji se mogu koristiti za povećanje broja pregleda (bez npr. nabavke dodatnih uređaja).

U nastavku se daju djene cijena zasebno izračunate temeljem linprog paketa, ali s obzirom da smo već ranije protumačili, ovdje to neće biti potrebno učiniti. Ovaj je prikaz ovdje dan zbog praćenja izlaza aplikacije.

Na kraju provedene analize i tumačenja izračunatih pokazatelja, uvijek dajemo sažetak konkretnih preporuka (poslovnih) odluka temeljem modela, ali i preporuke za unaprijeđenje procesa.

Optimalno rješenje raspodjele resursa pokazuje da laboratorij treba dnevno obavljati 100 preventivnih pregleda i 100 pregleda pacijenata s dijagnozom, dok rendgen treba obavljati 50 preventivnih pregleda i 50 pregleda pacijenata s dijagnozom. CT treba obavljati 20 preventivnih pregleda i 20 pregleda pacijenata s dijagnozom, dok MR treba pružati 15 preventivnih pregleda i 11.5 pregleda pacijenata s dijagnozom. Ultrazvuk treba obavljati 60 preventivnih pregleda i 56 pregleda pacijenata s dijagnozom. Ova raspodjela rezultira maksimalnim povećanjem zdravstvenih ishoda, izraženih kao 100.605 QALY-a dnevno.

Dijagnostičke jedinice poput MR-a i ultrazvuka koriste sve svoje dostupne radne sate, dok CT ima značajne rezerve s 18 neiskorištenih sati. Na temelju trenutnog stanja, laboratorij i rendgen također su blizu svojih maksimalnih kapaciteta, s vrlo malo neiskorištenih sati. Nasuprot tome, ograničenja maksimalnog broja pregleda koje dostupni povezani uređaji mogu iznijeti dnevno posve su dosegnuti u laboratoriju, rengenu i CT-u.

Sjene cijena jasno ukazuju na ključne resurse koji bi trebali biti prioritet u budućem planiranju. Konkretno, radni sati na MR-u i ultrazvuku imaju pozitivne sjene cijena (0.1167 i 0.18), što znači da bi povećanje dostupnih sati rada na ovim jedinicama rezultiralo značajnim povećanjem QALY-a. Za MR, povećanje kapaciteta za jedan sat može povećati ukupni QALY za 0.1167, dok bi na ultrazvuku taj porast iznosio 0.18. Ove informacije sugeriraju da bi dodatno zapošljavanje osoblja ili organizacija prekovremenih sati na ovim jedinicama bila isplativa strategija za povećanje zdravstvenih ishoda.

S druge strane, resursi poput radnih sati na CT-u nemaju sjenu cijena jer postoje značajni neiskorišteni kapaciteti. Ovdje je moguće višak sati rada osoblja preraspodijeliti na jedinice poput MR-a ili ultrazvuka kako bi se bolje iskoristili dostupni resursi (uz pretpostavku odgovarajućih vještina). Ovo bi moglo osloboditi pritisak s resursa s višim sjenama cijena i omogućiti bolje iskorištenje ukupnih kapaciteta bolnice.

Intervali dopuštenih promjena za desne strane ograničenja također pružaju važne uvide. Na primjer, kapacitet radnih sati na MR-u može se povećati za najviše 10.5 sati prije nego što bi bilo potrebno reoptimizirati model. Ovo ukazuje na realnu granicu za povećanje kapaciteta bez značajnih promjena u postojećem rasporedu. Ultrazvuk ima znatno manji prostor za povećanje (4 sata), što sugerira da je ovaj resurs već gotovo iscrpljen i da bi daljnje povećanje zahtijevalo značajniju reorganizaciju.

U pogledu maksimalnog broja pregleda, povećanje gornje granice za preventivne preglede na laboratoriju, rendgenu i CT-u može dodatno povećati QALY, s obzirom na pozitivne sjene cijena za ove kategorije. Maksimalni broj preventivnih pregleda u laboratoriju iznosi 100, što je u potpunosti iskorišteno. Sjena cijena od 0.2 ukazuje na to da povećanje gornje granice za jedan dodatni pregled (u intervalu dopuštenih promjena) rezultira povećanjem funkcije cilja za 0.2 QALY-a. Interval dopuštenih promjena za ovu granicu iznosi: [40,104]. Unutar tog intervala, sjena cijena od 0.2 ostaje važeća. Maksimalni broj pregleda pacijenata s dijagnozom u laboratoriju je 100, što je u potpunosti iskorišteno. Sjena cijena iznosi 0.15, što znači da svaki dodatni pregled (u intervalu promjena) povećava funkciju cilja za 0.15 QALY-a. Interval dopuštenih promjena je: [60,103.33].

Rendgen pruža maksimalno dopuštenih 50 preventivnih pregleda, što također znači da je granica dosegnuta. Sjena cijena iznosi 0.25, što znači da bi povećanje za jedan dodatni pregled (unutar intervala dopuštenih promjena) rezultiralo povećanjem QALY-a za 0.25. Interval dopuštenih promjena je: [15,50.67]. Rendgen pruža maksimalno 50 pregleda pacijenata s dijagnozom, a granica je potpuno iskorištena. Sjena cijena iznosi 0.2, što ukazuje na to da bi dodatni pregled povećao QALY za 0.2 unutar dopuštenog intervala promjena: [25,50.5].

CT je maksimalno iskorišten sa 20 preventivnih pregleda. Sjena cijena iznosi 0.3, što ukazuje na značajan doprinos svakog dodatnog pregleda unutar dopuštenog intervala. Interval promjena je: [5,31.99]. Dopušteno povećanje omogućuje dodavanje do 11.99 dodatnih pregleda prije nego što sjena cijena prestane biti važeća. CT također pruža maksimalno dopuštenih 20 pregleda pacijenata s dijagnozom. Sjena cijena iznosi 0.25, što ukazuje na značajan doprinos svakog dodatnog pregleda. Interval promjena je: [15,29].

MR pruža maksimalno dopuštenih 15 preventivnih pregleda. Sjena cijena je 0.1083333, što znači da povećanje za jedan pregled povećava funkciju cilja za 0.1083333 QALY-a unutar dopuštenog intervala promjena. Interval promjena je: [10.8,16.8]. Dopušteno je povećanje za 1.8 pregleda i smanjenje za 4.2 pregleda prije nego što je potrebno ponovno optimizirati model.

Maksimalni broj preventivnih pregleda na ultrazvuku iznosi 60 i u potpunosti je iskorišten. Sjena cijena iznosi 0.056, što znači da bi povećanje za jedan dodatni pregled (unutar dopuštenog intervala) povećalo funkciju cilja za 0.056 QALY-a. Interval promjena je: [55,92.5].

U ovoj aplikaciji prikazuju se rezultati izračunati temeljem dvaju paketa, što omogućuje i usporedbu u slučaju da dva razlčita pristupa daju različite rezultate ili u slučaju da u ograničenjima imamo jednakost (pa paket linprog neće izračunati analizu osjetljivosti). Mi ćemo pristupati na sljedeći način: ako imamo rezultate paketa linprog, onda ćemo tumačiti ta rješenja. Ako linprog ne daje rezultat, onda koristimo lpsolve. U svakom slučaju, za pojedini model tumačimo (1) vrijednosti varijable odluka kao preporuku akcije ili odluke; (2) vrijednost cilja koju očekujemo kao rezultat takve odluke; (3) dopuštene promjene koeficijenata funkcije cilja (temeljem outputa analize osjetljivosti); (4) iskorištenost resursa (može u kombinaciji s dopunskim varijablama koje računaju koliko je kojih resursa ostalo); (5) sjenu cijena za svako ograničenje; (6) interval dopuštenih promjena desne strane ograničenja; i sve to činimo u kontekstu problema koji se rješavao.

Pitanja za razmišljanje

Kako tumačite činjenicu da su MR i ultrazvuk potpuno iskorišteni (0 neiskorištenih sati), dok CT ima čak 18 neiskorištenih sati?
- Razmislite što to govori o spremnosti ili dostupnosti ovih dijagnostičkih jedinica te kako biste mogli preusmjeriti dio resursa (osoblje, pacijente) da se bolje iskoriste kapaciteti.
Zašto u ovom modelu postoje istovremeno minimalni i maksimalni zahtjevi za brojem pregleda u svakoj dijagnostičkoj jedinici?
- Razmislite o ulozi ovih dvaju tipova ograničenja: minimalni zahtjevi služe za ispunjenje obveza prema javnozdravstvenim programima i potrebama pacijenata, dok maksimalni kapaciteti ukazuju na fizička i organizacijska ograničenja (broj uređaja, osoblja, sati rada).
Kako biste protumačili sjenu cijena (dualnu varijablu) za radne sate MR-a i ultrazvuka, koja nije nula, naspram sjena cijena koje su nula za CT ili laboratorij?
- Razmislite na koji način vrijednost sjene cijena pokazuje „skupoću” ili kritičnost pojedinog resursa i kako to utječe na odluke o potencijalnom povećanju kapaciteta.
Što znači da je većina koeficijenata u funkciji cilja (QALY po pregledu) imala širok raspon dopuštenih promjena (od 0 do ∞), dok su pregledi na MR-u i ultrazvuku pokazali uži interval?
- Razmislite na koji način to ukazuje na osjetljivost modela prema varijacijama u učinku (QALY) upravo tih dviju dijagnostičkih jedinica te zašto je važno pratiti takve osjetljive varijable.
Ako biste željeli povećati ukupni QALY, biste li prije odlučili uložiti sredstva u dodatnu opremu za CT ili u povećanje radnih sati na MR-u i ultrazvuku?
- Razmislite o tome kako sjene cijena i neiskorišteni kapaciteti CT-a (18 sati) upućuju na to da možda nije potrebno nabavljati dodatnu opremu, nego bolje organizirati postojeće resurse.
Zašto smatramo da povećanje gornje granice pregleda (npr. rendgen s maksimalnih 50 na 55) može direktno povećati funkciju cilja, ali samo do određenog broja pregleda (unutar intervala dopuštenih promjena)?
- Razmislite o ulozi sjene cijena i zašto se ona odnosi samo na promjene unutar određenog intervala, nakon čega je potrebno ponovno izračunati rješenje.
Kako biste objasnili menadžmentu bolnice da “smisleno” protumači decimalne vrijednosti (poput 11.5 pregleda dnevno za pacijente s dijagnozom na MR-u)?
- Razmislite o tome kako linearni model dopušta frakcijske vrijednosti te zašto je u praksi u redu u planiranju predvidjeti takve decimale (npr. prelazak u sljedeći dan ili sljedeću smjenu).
Kada bismo željeli u model uključiti dodatni trošak prekovremenog rada osoblja na ultrazvuku i MR-u, kako bi to promijenilo formulaciju?
- Razmislite o tome kako biste dodali novu varijablu (ili ograničenje) za prekovremeni rad i trošak u funkciji cilja, te u kojoj bi se to mjeri odrazilo na sadašnji raspored pregleda.
Što znači da su minimalne vrijednosti pregleda za pacijente s dijagnozom lako premašene (npr. za MR je minimalni broj 10, a radimo 11.5)?
- Razmislite o tome zašto model odabire upravo 11.5, je li to zbog iskorištenosti radnih sati, zbog doprinosa QALY-a ili nekog drugog čimbenika, te kako to tumačimo kao “robustnost” rješenja.
U kojoj biste situaciji ponovno pokrenuli optimizacijski model?

Razmislite o tome kako promjene u broju raspoloživog osoblja, popravak ili kvar neke dijagnostičke jedinice, izmjene u minimalnim obvezama pregleda ili varijacije u vrijednosti QALY-a mogu zahtijevati novi izračun optimalnog rješenja.

Pitanja za samoprovjeru

I. Identificiranje elemenata modela

1. Bolnica “BRZO” razmatra planiranje smjena za svoj rendgenski odjel. Imaju tri medicinska tehničara i četiri radiologa. Žele osigurati da svaki tehničar i svaki radiolog ima barem 2 smjene tjedno, ali ne više od 5, a broj ukupnih smjena svih zaposlenika ne smije premašiti 24 tjedno. Cilj im je minimizirati trošak plaća, dok je plaća po smjeni za tehničara 80 eura, a za radiologa 120 eura.
Koje su varijable odluke?

Broj ukupnih sati koje svaki zaposlenik radi tjedno.
Vrijeme trajanja jedne smjene (u satima) za sve zaposlenike.
Broj smjena dodijeljenih svakom tehničaru i svakom radiologu tjedno.
Broj pacijenata koji se trebaju zaprimiti u odjel tijekom tjedna.

2. Poduzeće “Poslastica” proizvodi dvije vrste kolača: tortu T i tortu K. Za tortu T potreban je 1 sat miješanja i 2 sata pečenja, a za tortu K 1.5 sati miješanja i 1 sat pečenja. Dostupno je najviše 14 sati miješanja i 16 sati pečenja. Tortu T prodaju po 50 eura komadu, a tortu K po 70 eura komadu.
Koja je funkcija cilja?

$\text{Min } 1x + 1.5y$
$\text{Max } 14x + 16y$
$\text{Max } 50x + 70y$
$\text{Min } 50x + 70y$

(Hint: $x$ = broj torti T, $y$ = broj torti K)

3. U tekstilnom pogonu “Obzor” proizvode šalove (S) i marame (M). U šivanju troše 3 sata po šalu i 2 sata po marami, raspoloživo je 300 sati. U pakiranju troše 1 sat po šalu i 1 sat po marami, raspoloživo je 150 sati.
Koja su ograničenja?

$3S + 2M \geq 300$ i $S + M \leq 150$
$3S + 2M \leq 300$ i $S + M \leq 150$
$3S + 2M \leq 150$ i $S + M \leq 300$
$3S + 2M = 300$ i $S + M = 150$

4. Mala ljekarna ima dva glavna tipa zaposlenika: farmaceute (F) i pomoćno osoblje (P). Broj ukupnih sati rada farmaceuta mora biti minimalno 60 tjedno, a pomoćnog osoblja minimalno 30 tjedno. Ukupni proračun plaća ne smije prijeći 5000 eura tjedno, gdje je bruto satnica farmaceuta 50 €/h, a pomoćnog osoblja 30 €/h.
Koje su glavne varijable odluke?

Broj radnih sati farmaceuta i broj radnih sati pomoćnog osoblja tjedno.
Koliko farmaceuta i pomoćnog osoblja zaposliti trajno.
Broj pacijenata koji traže lijekove s receptom u ljekarni.
Postotak rada farmaceuta noću i postotak rada pomoćnog osoblja tijekom vikenda.

5. U organizaciji za dostavu paketa postoje 2 rute (R1 i R2). Kamion R1 treba najviše 8 sati dnevno, a R2 najviše 10 sati dnevno. Kombinirano, ukupno dnevno ne smiju premašiti 14 sati. Svaki sat rada kamiona na prvoj ruti generira prihod 60 eura, dok svaki sat rada kamiona na drugoj ruti generira 70 eura.
Stoga su funkcija cilja i ograničenja:

Funkcija cilja: $\text{Max } 60x + 70y$
Ograničenja:
- $x \leq 8$
- $y \leq 10$
- $x + y \leq 14$
- $x, y \geq 0$

Točno
Ne, pogrešni koeficijenti uz funkciju cilja
Ograničenje treba biti $x - y \leq 14$
Funkcija cilja treba biti $\text{Min } 60x + 70y$

6. Proizvođač čokolade mora proizvesti “mliječnu” (M) i “tamnu” (T). Za mliječnu treba 2 kg kakaa i 1 kg mlijeka; za tamnu 3 kg kakaa i 0.5 kg mlijeka. Na raspolaganju je 600 kg kakaa, 200 kg mlijeka.
Koja su ograničenja?

$2M + 3T \geq 600$ i $1M + 0.5T \leq 200$
$2M + 3T = 600$ i $M + T = 200$
$2M + 3T \leq 600$ i $M + 0.5T \leq 200$
$2M + 3T \leq 200$ i $M + 0.5T \leq 600$

7. U problemu “studentski meniji” postoje 3 glavne vrste jela (X, Y, Z) s ciljem minimizacije troškova nabave namirnica. Namirnice imaju ograničeni budžet za proteine, ugljikohidrate i vitamine. Kako će izgledati funkcija cilja i varijable? (općenito)

Funkcija cilja: $\text{Min } c_X X + c_Y Y + c_Z Z$, varijable $X, Y, Z$ = broj obroka.
Funkcija cilja: $\text{Max } c_X X + c_Y Y + c_Z Z$, varijable su vrijednosti proteina i ugljikohidrata
Funkcija cilja: $\text{Min } X + Y + Z$, varijable su financijski troškovi po namirnici
Funkcija cilja: $\text{Min } X$, varijable su troškovi vitamina

8. U poljoprivrednom modelu trebaju odlučiti koliko hektara (H1) posaditi pšenicom, koliko hektara (H2) kukuruzom i koliko hektara (H3) suncokretom. Cilj je maksimizirati zaradu. Svaka kultura ima svoj prinos i cijenu, a ograničenja su u vodi (navodnjavanju) i dostupnoj mehanizaciji.
Koje su varijable?

$H_1, H_2, H_3$ = hektari pod pšenicom, kukuruzom, suncokretom.
Godišnji trošak mehanizacije i vode.
Potrošnja vode po hektaru.
Ukupni prihod od pšenice i kukuruza.

9. Menadžer hotela želi odrediti koliko jednokrevetnih (E) i dvokrevetnih (D) soba ponuditi po promotivnoj cijeni, kako bi zauzeo što više soba, ali ne premašivši ukupni kapacitet od 200 soba. Jednokrevetne i dvokrevetne sobe troše različite resurse (npr. vrijeme sobarice 0.8 h za jednokrevetnu, 1.2 h za dvokrevetnu). Funkcija cilja je $\text{Max }(E + D)$.
Koja su osnovna ograničenja?

$E + D \leq 200, \\ 0.8E + 1.2D \leq \text{(max vrijeme rada sobarica)},\\ E, D \geq 0$
Samo $(E + D \leq 200)$
$E + D = 200$
$E + D \geq 200$

10. Organizacija “OptiZalihe” nabavlja 2 tipa materijala (M1, M2). Svaki materijal ima godišnji trošak skladištenja i kupnje. Cilj je minimizirati ukupni trošak, a ograničenja su minimalne količine za godišnju proizvodnju.
Koja je ispravna formulacija funkcije cilja ako je $c_1$ trošak jedinice M1, $c_2$ trošak jedinice M2?

$\text{Max } c_1 M1 + c_2 M2$
$\text{Min } c_1 M1 + c_2 M2$
$\text{Min } M1 + M2$
$\text{Max } M1 + M2$

II. Rezultati i tumačenja

1. U LP modelu za raspoređivanje osoblja dobili smo rješenje: $x = 8$ i $y = 0$. “$x=8$” znači da je svih 8 sati dnevno iskorišteno na jednu vrstu radnika (npr. medicinske sestre), a “y=0” znači da se druga vrsta radnika (npr. farmaceuti) uopće ne angažira.
Koje je najtočnije tumačenje?

Nerješiv problem: nema potrebe za angažmanom ikoga.
To je optimalno rješenje, sugerira da nije isplativo angažirati “y” radnike.
Model je pogrešno postavljen, treba “prisiliti” y na vrijednost veću od nule.
Rezultat znači da kapacitet od 8 sati nije iskorišten.

2. Ako iz analize osjetljivosti vidimo da je sjena cijena (dualna varijabla) za ograničenje broja sati šivanja jednaka nuli, to implicira da:

Taj resurs nije u potpunosti iskorišten; povećanje ovog resursa ne poboljšava rješenje.
Povećanje broja sati šivanja za 1 jedinicu povećalo bi funkciju cilja za 1.
Ukupni trošak se smanjuje ako povećamo sate šivanja.
Nije moguće smanjiti taj resurs bez gubitka optimalnosti.

3. U modelu rada klinike, analiza dopunskih varijabli pokazuje da je ograničenje kapaciteta CT uređaja “aktivno” i da je dopunska varijabla 0.
To znači:

CT radi punim kapacitetom (ograničenje je iskorišteno), pa povećanje kapaciteta može poboljšati ishod.
CT nije ni iskorišten, pa je nepotrebno povećanje resursa.
Model ima viškove pregleda CT-a.
CT ne utječe na rješenje.

4. U modelu proizvodnje dobijemo rješenje da se proizvodi 50 komada proizvoda A i 50 komada proizvoda B, ali analiza osjetljivosti kaže da je interval dopuštenih promjena koeficijenta uz proizvod B: (70, 110). Što to znači ako je trenutačni koeficijent 90?

Ako se poveća iznad 110, ostaje isti plan (50 i 50).
Ako se cijena B spusti ispod 70 ili naraste iznad 110, promijenit će se optimalan plan.
Smanjenje cijene B na 60 ne bi promijenilo rješenje.
Promjene u cijeni B nemaju nikakav učinak.

5. Ako sjena cijena za radne sate ultrazvuka iznosi 0.2 QALY-a i to je “aktivno” ograničenje, to znači da:

Povećanjem radnih sati ultrazvuka za jednu dodatnu jedinicu (ceteris paribus), QALY raste za 0.2.
Povećanje radnih sati nema nikakav utjecaj na QALY, jer je sjena cijena niska.
Ultrazvuk nije ograničavajući resurs.
Smanjenjem radnih sati ultrazvuka, QALY se ne bi mijenjao.

6. U jednoj tablici analize osjetljivosti stoji: “Dopušteno smanjenje = 15” za ograničenje minimalnog broja hospitaliziranih pacijenata. Trenutačno je 60 pacijenata. Što to znači?

Uopće se ne može promijeniti broj pacijenata.
Broj se može smanjiti na 45 bez utjecaja na optimalno rješenje (ceteris paribus).
Može se povećati na 75 pacijenata bez utjecaja.
Smanjivanje broja ispod 15 mijenja cijelu funkciju cilja.

7. U problemu proizvodnje stolova i stolica, analiza pokazuje “višak” (slack) od 10 sati u ograničenju lakirnice.
Ispravno tumačenje?

Lakirnica je maksimalno zagušena.
Ostaje 10 neiskorištenih sati u lakirnici koji nisu potrebni da bi se postiglo optimalno rješenje.
Rješenje nije validno.
Treba povećati proizvodnju stolova ili stolica za 10 komada.

8. Kod rasporeda sestara, izlaz je: $x_2=0$ i $u_2=3.2$ za to ograničenje. Ako $u_2$ označava dualnu varijablu drugog ograničenja, to znači da:

Drugo ograničenje nije aktivno, pa se njegova dualna varijabla mora 0.
Drugo ograničenje je aktivno, a povećanje tog resursa (ceteris paribus) donijelo bi 3.2 jedinice koristi (npr. veću učinkovitost).
Drugo ograničenje nema nikakve veze s rješenjem.
Treba smanjiti resurs da bi se maksimizirao cilj.

9. Ako $(x_1, x_2)$ = (100, 50) i iz analize vidimo da je ograničenje “broj pregleda ultrazvukom $x_2 \leq 100$” povezano s dopunskom varijablom koja poprima vrijednost 0, što to znači?

Rješenje je takvo da je ispunjena gornja granica, dakle ultrazvuk je u potpunosti iskorišten.
Postoji višak od 50 pregleda.
Ultrazvuk nije važan, pa 0 dopunska varijabla znači da je neaktivan.
Rješenje nije unutar poligona izvedivosti.

10. Kod planiranja dva proizvoda (A, B) dobili smo optimalni profit 5000 eura. Interval promjene koeficijenta uz B kaže donja granica 30, gornja granica 45. Ako je trenutačni koeficijent 40, a tržišna cijena poraste na 47, što će se najvjerojatnije dogoditi (ceteris paribus)?

Plan ostaje isti.
Moramo ponovno izračunati jer to izlazi iz intervala i može promijeniti rješenje.
Profit se više ne može izračunati.
Smanjuje se broj proizvoda B u rješenju.

III. Provjera usvojenosti pojmova

1. Varijable odluke u linearnom programiranju su:

Sve nepoznanice koje se jedino mogu uzeti vrijednosti 0 ili 1.
Nepoznanice čije vrijednosti trebamo odrediti da bismo optimizirali funkciju cilja, uz poštivanje ograničenja.
Svi parametri koji su fiksni i ulaze u model.
Koeficijenti koji stoje uz troškove ili prihode.

2. “Funkcija cilja” u LP modelu je:

Jedna ili više linearnijih nejednadžbi.
Linearna funkcija koju nastojimo maksimizirati ili minimizirati.
Suvišan element; model se može riješiti bez nje.
Matrica dimenzija $m \times n$.

3. Ograničenje “$x_1 + x_2 \leq 15$” geometrijski opisuje:

Pravac $(x_1 + x_2 = 15)$, a dopušteno područje iznad tog pravca.
Pravac $(x_1 + x_2 = 15)$, a dopušteno područje ispod tog pravca.
Trokut omeđen točkom (0,0).
Dopušteno područje čine sve točke $(x_1, x_2)$ iznad pravca.

4. Ako je zadatak “$\text{max } 20x + 30y$” i imamo ograničenja “$x + y \leq 50$” i “$x, y \geq 0$”, što se događa ako izostavimo ograničenje “$x + y \leq 50$”?

Rješenje postaje neograničeno; možemo povećavati $x, y$ unedogled.
Rješenje ostaje isto.
Dobivamo jedinstveno rješenje.
Postaje nerješiv problem.

5. Sjena cijena (dualna varijabla) uz neko ograničenje u kontekstu “max” problema:

Mjeri koliko se ukupna funkcija cilja smanjuje kad taj resurs poraste za 1 (ceteris paribus).
Mjeri koliko se ukupna funkcija cilja poveća kad taj resurs poraste za 1 (ceteris paribus).
Uvijek je nula.
Ne odnosi se na kapacitete.

6. Dopunska varijabla (slack) u ograničenju tipa “$\leq$” predstavlja:

Kaznenu varijablu koja se dodaje ako ograničenje nije ispunjeno.
Količinu neiskorištenog dijela resursa.
Količinu kojom se resurs prekoračuje.
Apsolutnu vrijednost razlike između resursa i potražnje.

7. “Aktivno” ograničenje je:

Ograničenje koje se može ukloniti bez utjecaja na rješenje.
Ograničenje koje ima dopunsku varijablu veću od 0.
Ograničenje koje je iskorišteno točno u optimalnom rješenju.
Ograničenje koje ne ulazi u konačan prikaz problema.

8. Nenegativnost varijabli znači:

Varijable mogu uzeti vrijednosti samo 0 ili 1.
Varijable ne smiju biti ispod 0, tj. $\geq 0$.
Varijable mogu biti pozitivne ili negativne.
Postoji granica iznad koje ne mogu ići.

9. “Optimalno rješenje” u linearnom programiranju najčešće se nalazi:

Na vrhovima poligona izvedivosti u 2D, ili općenito na rubovima (vjerojatno u višedimenzijskom prostoru).
Bilo gdje unutar poligona izvedivosti, nigdje posebno.
U središtu izvedivog područja.
Gdje je dopunska varijabla najveća.

10. Koja od navedenih izjava najtočnije opisuje analizu osjetljivosti u LP modelu?

Tehnički prikaz odstupanja varijabli.
Ispitivanje kako male promjene koeficijenata funkcije cilja ili ograničenja utječu na promjenu optimalnog rješenja.
Metoda za rješavanje nelinearnih modela.
Algoritam koji prikazuje sve rubne točke u području izvedivosti.

Odgovori

I. Identificiranje elemenata modela

C; 2. C; 3. B; 4. A; 5. A; 6. C; 7. A; 8. A; 9. A; 10. B

II. Rezultati i tumačenja

B; 2. A; 3. A; 4. B; 5. A; 6. B; 7. B; 8. B; 9. A; 10. B

III. Provjera usvojenosti pojmova

B; 2. B; 3. B; 4. A; 5. B; 6. B; 7. C; 8. B; 9. A; 10. B

Literatura

Anderson, R. D., Dennis, J. S., Thomas, A. W., Jeffrey, D. C., & Kipp, M. (2012). An Introduction to Management Science-Quantitative Approaches to Decision Making-Revised 13th Edition.

Buble, M. (2000) Menadžment. Ekonomski fakultet Split.

Bulog, I. (2014) Odnos između pristupa odlučivanju na strateškoj razini menadžmenta i organizacijskih performansi na primjeru hrvatskih poduzeća, Ekonomska misao i praksa, (1), 3-28.

Chandru, V., & Rao, M. R. (1997). Combinatorial Optimization.

Collin, J. (2016). Please, Not Another Bias! The Problem with Behavioral Economics. Evonomics. https://evonomics.com/please-not-another-bias-the-problem-with-behavioral-economics/

Dantzig, G. B. (1951). Maximization of a linear function of variables subject to linear inequalities. Activity analysis of production and allocation, 13, 339-347.

Dantzig, G. B. (1951). Application of the simplex method to a transportation problem. Ed. Koopmans, T.C. Activity analysis and production and allocation. John Wiley and Sons, New York.

Elster, J. (2000). Uvod u društvene znanosti: Matice i vijci za objašnjenje složenih društvenih pojava. Naklada Jesenski i Turk, Hrvatsko sociološko društvo, Zagreb.

Fagoyinbo, I. S., & Ajibode, I. A. (2010). Application of linear programming techniques in the effective use of resources for staff training. Journal of emerging trends in engineering and applied sciences, 1(2), 127-132.

Franklin, C., Kader, G., Mewborn, D., Moreno, J., Peck, R., Perry, M., & Scheaffer, R. (2007). Guidelines for assessment and instruction in statistics education (GAISE) report.

Introduction to Data Science

Lavieri, M. S., Regan, S., Puterman, M. L., & Ratner, P. A. (2011). Introduction to the use of linear programming in strategic health human resource planning. Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science, 1-10.

Luoma, J. (2016). Model-based organizational decision making: A behavioral lens. European Journal of Operational Research, 249(3), 816-826.

Matthews, C. H. (2005). Using linear programming to minimize the cost of nurse personnel. Journal of health care finance, 32(1), 37-49.

Moore, D. S., & Cobb, G. W. (2000). Statistics and mathematics: Tension and cooperation. The American Mathematical Monthly, 107(7), 615-630.

Moreira, F. R. (2003). Linear programming applied to healthcare problems. Hospital Albert Einstein, 1, 107-111.

Morgan, M. S., & Knuuttila, T. (2012). Models and modelling in economics. Philosophy of economics, 13, 49-87.

Page, S. E. (2018). The model thinker: What you need to know to make data work for you. Basic Books.

Pidd, M. (2004). Complementarity in systems modelling. Systems modelling: Theory and practice, 1, 20.

Satheeshkumar, B., Nareshkumar, S., & Kumaraghuru, S. (2014). Linear programming applied to nurses shifting problems. International Journal of science and research, 3(3), 171-173.

Scheaffer, R. L., Watkins, A. E., & Landwehr, J. M. (1998). What every high-school graduate should know about statistics. Reflections on statistics: Learning, teaching, and assessment in grades K-12, 3-31.

Sikavica, P., Hunjak, T., Begičević Ređep, N., Hernaus, T. (2014) Poslovno odlučivanje. Školska knjiga, Zagreb.

Tetlock, Philip. Expert political judgment: How good is it? How can we know?. Princeton University Press, 2005.

Weiland, T. (2017). Problematizing statistical literacy: An intersection of critical and statistical literacies. Educational Studies in Mathematics, 96(1), 33-47.

Yinusa, A., & Faezipour, M. (2023). Optimizing healthcare delivery: a model for staffing, patient assignment, and resource allocation. Applied System Innovation, 6(5), 78.

Kvantitativne metode i linearno programiranje u menadžmentu u sestrinstvu

Katarina Kostelić

Kvantitativne metode i linearno programiranje u menadžmentu u sestrinstvu

Donošenje odluka i rješavanje problema

Odlučivanje

Rješavanje problema i odlučivanje

Zašto su subjektivni i intuitivni pristup potencijalno opasni pri donošenju poslovnih odluka?

O modeliranju - širi kontekst

Linearno programiranje

Osnove linearnog programiranja

1. primjer

1.1. Strukturiranje problema

1.2. Model

2. primjer

Primjeri iz znanstvenih i stručnih članaka

Fagoyinbo & Ajibode (2010)

Satheeshkumar i sur. (2014)

Moreira (2003)

Problem 1: Formulacija dijete s minimalnim troškovima

Problem 2: Alokacija resursa za medicinske intervencije

Yinusa & Faezipour (2023)

Rješavanje i analiza osjetljivosti

1. primjer

2. primjer

Pitanja za samoprovjeru

I. Identificiranje elemenata modela

II. Rezultati i tumačenja

III. Provjera usvojenosti pojmova

Odgovori

I. Identificiranje elemenata modela

II. Rezultati i tumačenja

III. Provjera usvojenosti pojmova

Literatura