Ciudades como sistemas complejos

Una definición simple de un sistema complejo es: un sistema complejo es un sistema que está formado por sistemas complejos. Recursión que tiene sentido cuando se consideran sistemas como la economía o las ciudades, pues sus elementos, personas, claramente tienen el mismo orden de complejidad.

Las ciudades son el ejemplo clásico de un sistema complejo: organización global da partir de acciones locales, morfología emergente a partir de decisiones espaciales simples, orden temporal a un nivel global a partir de cambios volatiles en las decisiones individuales, evolución y progreso a traves de coevolución y competencia, ….

Dada la vital importancia de las interacciones en un sistema complejo es natural estudiarlo como una red, una red compleja. En la red compleja de la ciudad los nodos son los elementos que la componen y las interacciones entre ellos estén codificados en los enlaces entre los nodos. Una vez como red, podemos usar la ciencia de redes para estudiar lo que ocurre dentro de la ciudad.

Entre los componentes que forman las ciudades está su red de calles; en éste reporte se muestrán resultados preliminares del análisis de la red de calles de la Ciudad de México.

Zona metropolitana de la ciudad de México

La zona metropolitana de la Ciudad de México, Ciudad de México, es la tercera más grande en población, la más grande en el mundo occidental y por ello la más grande de México, se estima que en el 2014 vivian en ella 22.5 millones de personas. La Ciudad de México comprende las 16 delegaciones del DF, 59 municipios del Estado de México y uno de Hidalgo.

Obtencion de la red

Los datos provienen del INEGI. El INEGI divide las calles en estados; el primer paso fue pegar las calles que cruzan estados, pero por la división están en archivos diferentes. El segundo fue seleccionar solo las calles que están en la zona metropolitana, en éste caso se seleccionaron las 16 delegaciones del DF,los 59 municipios del Estado de México y el de Hidalgo que forman la zona metropolitana. El siguiente paso es calcular la red.

Cada calle es proporcionada como una sucesión de puntos, hay que unirlos para obtener las calles. Despues de asignarle un número diferente a cada calle, para identificarlas, se calcula la intersección de ésta con el resto.

Ya obtenidas las intersecciones de las calles, se construye el grafo. Cada nodo representa una calle, y hay un enlace entre dos nodos si las calles que representan se intersectan. El número asignado a las calles ayuda a seguirles el rastro durante el proceso.

El mapa de la red de calles de la ciudad de México, con 303576 calles que se cruzan 608714 veces entre ellas, es el siguiente:

Caracterización de la red

Distribución de grado

El grado de un nodo, o calle, es simplemente con cuantas se cruza; las cerradas tienen grado 1, pues solo se cruzan con otra calle, por otro lado eje central se cruza con otras 214 calles por lo que su grado es 214. La distribución de grado de la red de calles es la siguiente:

Las calles de la Ciudad de México en promedio se cruzan con otras 4. Se intento ajustar la cola de la distribución con una ley de potencias.

Usando el test de kolmogorov-Smirnov se encontro que el mejor ajuste empieza a partir del grado 13, con un exponente igual a 3.16. Sin embargo, la el ajuste abarca aproximadamente el 2% de los datos, hay algo más adentro por descubrir.

Comunidades en la red

Una comunidad en una red es un conjunto de nodos que están bien conectados entre ellos y que al mismo tiempo están relativamente bien separados del resto; al partir una red en comunidades se obtienen conjuntos de nodos que interactúan más entre ellos que con el resto.

Hay varios algoritmos, y las ideas detras de ellos, para detectar las comunidades en las redes; debido a que las calles se usan para el transporte de cosas, se uso el algoritmo infomap para detectar las comunidades. El algoritmo infomap se basa en la idea de un flujo y en la compresión de la información.

Las comunidades con seleccionadas para el congreso de Mérida son, en su mayoria, una combinación de jerarquia III y IV; la red de calles quedo dividida en 155 comunidades, con 1959 calles en promedio. Las comunidades detectadas son las siguientes:

Entropía espacial

El INEGI da las calles como sucesiones de puntos, hay que unirlos para tener la calle en cuestión. De cada par de puntos contiguos de cada calle se puede obtener su ángulo absoluto. Se obtuvieron los ángulos de los segmentos que forman a cada calle, posteriormente se agruparon las calles en las comunidades a las que pertenecen, y se obtuvo la distribución de los ángulos de los segmentos para cada comunidad. Para cada distribución se obtuvó su entropía de Shanon, los valores van de 3.9 hasta 7.5. La entropía espacial de las comunidades se muestra en el siguiente mapa:

La tonalidad de la comunidad indica su entropía, mientras más intenso la entropía es mayor. Las comunidades con menos entropía, como las de Nezahualcóyotl o la parte sur de Ecatepec lucen más ordenadas; a pesar de ser de las que tienen más calles. Por otro lado, comunidades donde sus calles crecieron más organicamente, sin regulaciones, como en el sur de Iztapalapa tienen más entropía a pesar de tener menos calles.

Centralidades de las calles

Una de las preguntas más importantes sobre un nodo es ¿qué tán importante es en el grafo? Las centralidades están diseñadas para intentar medir la importancia de los nodos. Las tres más usadas son la centralidad de grado, la de cercania y la de intermedialidad.

Centralidad de grado

Es básicamente el número de enlaces que tiene un nodo; en la red de calles corresponde a la cantidad de veces que una calle se cruza con las demas. De este modo, una cerrada tendrá centralidad de grado igual a 1, y una calle que se cruza con otras dos calles tendra centralidad de grado igual a 2. La centralidad de grado se muestra en el siguiente mapa:

El color indica la centralidad de grado; verde claro a azul intenso, de menor a mayor centralidad de grado, respectivamente.

Centralidad de cercania

La centralidad de cercania intenta capturar la idea de que un nodo es central si está cerca de muchos nodos; la centralidad de cercania mide cuantos pasos se necesitan para acceder al resto de los nodos a partir de uno dado. La cercania varia inversamente con la distancia total de un nodo hacia los demas.

En el caso de la red vial, las calles con cercania más alta están mas cerca de cualquier otra (en promedio) que una con baja cercania.

Al mapear la cercania en las calles nos da el siguiente mapa:

La cercania va del amarillo claro los valores bajos, pasando por el verde y terminando en un azul oscuro la los valores más altos.

Centralidad de intermedialidad

La centralidad de intermedialidad trata de medir la cantidad de veces que un nodo se localiza en el camino entre dos pares de nodos. Para ésta centralidad la importancia está relacionada con donde está un nodo localizado con respecto a los caminos en la red. La intermedialidad indica que tanto se pasa por una calle, para obtenerla hay que analizar por donde pasan todos los caminos posibles.

El mapa de la intermedialidad es el siguiente, de amarillo claro para las calles menos usadas a las verde oscuras para las más transitadas.

Robustez de la red

El componente gigante es el tamaño relativo de la isla de calles más grande. Calculé su tamaño al ir desapareciendo calles. Primero al azar, en rojo, quitando porcentajes de nodos cada vez mayores. Después fue un ataque, en azul, fui eliminando los hubs, el nodo existente con el grado más alto.

El umbral es la cantidad de nodos que hay que quitar antes de que el componente gigante sea el 1%; en el caso de fallas aleatorias es 63%, para el ataque es 18%.

De la teoría se tiene que las redes reales son robustas ante fallas aleatorias, pero frágiles ante ataque; esto es lo que ocurre en la red vial.