Chapter 6 Lab Part II

6.11 \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\) 중 두 벡터로 나머지 한 벡터를 생성할 수 있는지, 아니면 세 벡터가 선형독립인지 묻는 것임.

(a) \(\vec{v_1}=(1,0,-2),\vec{v_2}=(3,1,2),\vec{v_3}=(1,-1,0)\)

(v1 <- c(1, 0, -2))

## [1]  1  0 -2

(v2 <- c(3, 1, 2))

## [1] 3 1 2

(v3 <- c(1, -1, 0))

## [1]  1 -1  0

(X1 <- cbind(v1, v2, v3))

##      v1 v2 v3
## [1,]  1  3  1
## [2,]  0  1 -1
## [3,] -2  2  0

det(X1)

## [1] 10

(b) \(\vec{v_1}=(2,-1,4),\vec{v_2}=(4,2,3),\vec{v_3}=(2,7,-6)\)

(w1 <- c(2, -1, 4))

## [1]  2 -1  4

(w2 <- c(4, 2, 3))

## [1] 4 2 3

(w3 <- c(2, 7, -6))

## [1]  2  7 -6

(X2 <- cbind(w1, w2, w3))

##      w1 w2 w3
## [1,]  2  4  2
## [2,] -1  2  7
## [3,]  4  3 -6

det(X2)

## [1] 0

     \(a_1\vec{w_1}+a_2\vec{w_2}=\vec{w_3}\)를 풀어주면 \(a_1=-3, a_2=2\) 임을 쉽게 파악.

6.12 \(\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}\) 가 어느 한 벡터의 실수배로 표시될 수 있는지 묻는 것임.

(a) \(\vec{v_1}=(3,-6,9),\vec{v_2}=(2,-4,6),\vec{v_3}=(1,1,1)\)

(u1 <- c(3, -6, 9))

## [1]  3 -6  9

(u2 <- c(2, -4, 6))

## [1]  2 -4  6

(u3 <- c(1, 1, 1))

## [1] 1 1 1

u1*(2/3)

## [1]  2 -4  6

     \(\vec{v_3}\) 는 \(\vec{v_1}\) 이나 \(\vec{v_2}\) 의 실수배로 표현할 수 없음.

(b) \(\vec{v_1}=(4,6,8),\vec{v_2}=(2,3,4),\vec{v_3}=(-2,-3,-4)\)

(t1 <- c(4, 6, 8))

## [1] 4 6 8

(t2 <- c(2, 3, 4))

## [1] 2 3 4

(t3 <- c(-2, -3, -4))

## [1] -2 -3 -4

t2*2

## [1] 4 6 8

t2*(-1)

## [1] -2 -3 -4

     \(\vec{v_1},\vec{v_3}\) 는 \(\vec{v_2}\) 의 실수배로 표현됨. 모두 한 직선 상에 있음.

6.17 \(R^3\) 의 기저가 되는 벡터 집합은?

(a) \((1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\) : 기저가 됨.

(b) \((1,1,1),(1,0,1),(2,1,2)\)

det(cbind(c(1, 1, 1), c(1, 0, 1), c(2, 1, 2)))

## [1] 0

c(1, 1, 1) + c(1, 0, 1)

## [1] 2 1 2

(c) \((1,1,0),(-1,1,3),(2,-3,1)\) : 기저가 됨.

det(cbind(c(1, 1, 0), c(-1, 1, 3), c(2, -3, 1)))

## [1] 17

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