Probabilidade e Amostragem

1 Distribuição de Probabilidades

Distribuição Binomial

Exercícios 1-10

1. Uma moeda é lançada 8 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 3 caras?

# Parâmetros
n <- 8
p <- 0.5

# Cálculo da probabilidade
prob_3_caras <- dbinom(3, size = n, prob = p)
prob_3_caras

## [1] 0.21875

1. Um dado é lançado 10 vezes. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 vezes o número 5?

# Parâmetros
n <- 10
p <- 1/6

# Cálculo da probabilidade
prob_2_vezes_5 <- dbinom(2, size = n, prob = p)
prob_2_vezes_5

## [1] 0.29071

1. Em uma linha de produção, 90% dos produtos são de boa qualidade. Se selecionarmos aleatoriamente 15 produtos, qual é a probabilidade de exatamente 12 serem de boa qualidade?

# Parâmetros
n <- 15
p <- 0.9

# Cálculo da probabilidade
prob_12_boa_qualidade <- dbinom(12, size = n, prob = p)
prob_12_boa_qualidade

## [1] 0.1285054

1. Um jogo de trivia tem 20 perguntas. Se uma pessoa responde aleatoriamente a cada pergunta, qual é a probabilidade de acertar pelo menos 15 perguntas?

# Parâmetros
n <- 20
p <- 0.25  # Supondo 4 opções, a chance de acertar é 1/4

# Cálculo da probabilidade
prob_15_acertos_ou_mais <- sum(dbinom(15:20, size = n, prob = p))
prob_15_acertos_ou_mais

## [1] 3.813027e-06

1. Uma urna contém 8 bolas vermelhas e 5 bolas azuis. Se retirarmos 3 bolas aleatoriamente, qual é a probabilidade de exatamente 2 serem vermelhas?

# Parâmetros
m <- 8  # bolas vermelhas
n <- 5  # bolas azuis
k <- 3  # bolas retiradas

# Cálculo da probabilidade
prob_2_vermelhas <- dhyper(2, m, n, k)
prob_2_vermelhas

## [1] 0.4895105

1. Um estudante está se preparando para um teste de múltipla escolha com 5 questões. Cada questão tem 4 opções. Qual é a probabilidade de o estudante acertar exatamente 3 questões?

# Parâmetros
n <- 5
p <- 1/4  # Supondo 4 opções, a chance de acertar é 1/4

# Cálculo da probabilidade
prob_3_acertos <- dbinom(3, size = n, prob = p)
prob_3_acertos

## [1] 0.08789063

1. Um dado viciado é lançado 6 vezes. A probabilidade de obter um número ímpar em um único lançamento é 0,4. Qual é a probabilidade de obter exatamente 2 números ímpares em 6 lançamentos?

# Parâmetros
n <- 6
p <- 0.4

# Cálculo da probabilidade
prob_2_impares <- dbinom(2, size = n, prob = p)
prob_2_impares

## [1] 0.31104

1. Um experimento é repetido 20 vezes. Se a probabilidade de sucesso em um único experimento é 0,3, qual é a probabilidade de exatamente 6 sucessos?

# Parâmetros
n <- 20
p <- 0.3

# Cálculo da probabilidade
prob_6_sucessos <- dbinom(6, size = n, prob = p)
prob_6_sucessos

## [1] 0.191639

1. Uma urna contém 12 bolas, das quais 4 são defeituosas. Se retirarmos 3 bolas aleatoriamente, qual é a probabilidade de pelo menos 2 serem defeituosas?

# Parâmetros
m <- 4  # bolas defeituosas
n <- 8  # bolas boas
k <- 3  # bolas retiradas

# Cálculo da probabilidade
prob_pelo_menos_2_defeituosas <- sum(dhyper(2:3, m, n, k))
prob_pelo_menos_2_defeituosas

## [1] 0.2363636

1. Uma lâmpada tem uma probabilidade de 0,9 de funcionar corretamente. Se comprarmos 5 lâmpadas, qual é a probabilidade de pelo menos 4 delas funcionarem corretamente?

# Parâmetros
n <- 5
p <- 0.9

# Cálculo da probabilidade
prob_pelo_menos_4_funcionando <- sum(dbinom(4:5, size = n, prob = p))
prob_pelo_menos_4_funcionando

## [1] 0.91854

Distribuição de Poisson

Exercícios 11-20

1. Em uma fábrica de chocolates, a média de defeitos por lote é 2. Qual é a probabilidade de haver exatamente 3 defeitos em um lote?

dpois(x = 3, lambda = 2)

## [1] 0.180447

1. Um call center recebe em média 4 reclamações por hora. Qual é a probabilidade de receber pelo menos 6 reclamações em uma hora?

# Parâmetros
lambda <- 4  # Média de reclamações por hora

# Cálculo da probabilidade de pelo menos 6 reclamações
prob_6_ou_mais_reclamacoes <- 1 - ppois(5, lambda = lambda)
prob_6_ou_mais_reclamacoes

## [1] 0.2148696

1. Em uma livraria, a média de clientes que entram a cada 15 minutos é 8. Qual é a probabilidade de pelo menos 10 clientes entrarem em um intervalo de 15 minutos?

# Parâmetros
lambda <- 8  # Média de clientes por 15 minutos

# Cálculo da probabilidade de pelo menos 10 clientes
prob_10_ou_mais_clientes <- 1 - ppois(9, lambda = lambda)
prob_10_ou_mais_clientes

## [1] 0.2833757

1. Um sistema de alarme de incêndio tem uma média de 0,5 disparos por dia. Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 1 disparo em um dia específico?

# 14. Um sistema de alarme de incêndio tem uma média de 0,5 disparos por dia. Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 1 disparo em um dia específico?

# Parâmetros
lambda <- 0.5

# Cálculo da probabilidade de exatamente 1 disparo
prob_1_disparo <- dpois(1, lambda = lambda)
prob_1_disparo

## [1] 0.3032653

1. Em uma estação de metrô, a média de atrasos por semana é 3. Qual é a probabilidade de ocorrerem pelo menos 5 atrasos em uma semana?

# Parâmetros
lambda <- 3  # Média de atrasos por semana

# Cálculo da probabilidade de pelo menos 5 atrasos
prob_5_ou_mais_atrasos <- 1 - ppois(4, lambda = lambda)
prob_5_ou_mais_atrasos

## [1] 0.1847368

1. Um site de comércio eletrônico recebe em média 12 pedidos por dia. Qual é a probabilidade de receber exatamente 10 pedidos em um dia específico?

dpois(x = 10, lambda = 12)

## [1] 0.1048373

1. Um serviço de entrega de alimentos tem uma média de 1,5 entregas por hora. Qual é a probabilidade de realizar exatamente 2 entregas em uma hora?

dpois(x = 2, lambda = 1.5)

## [1] 0.2510214

1. Em uma fábrica de automóveis, a média de carros com defeito por semana é 5. Qual é a probabilidade de ter pelo menos 8 carros com defeito em uma semana?

# Parâmetros
lambda <- 5  # Média de carros com defeito por semana

# Cálculo da probabilidade de pelo menos 8 carros com defeito
prob_8_ou_mais_defeitos <- 1 - ppois(7, lambda = lambda)
prob_8_ou_mais_defeitos

## [1] 0.1333717

1. Um sistema de vigilância de uma loja tem uma média de 0,2 eventos de intrusão por dia. Qual é a probabilidade de não ocorrer nenhum evento de intrusão em um dia específico?

dpois(x = 0, lambda = 0.2)

## [1] 0.8187308

1. Em uma fazenda, a média de nascimentos de bezerros por mês é 7. Qual é a probabilidade de ocorrerem exatamente 6 nascimentos em um mês?

dpois(x = 6, lambda = 7)

## [1] 0.1490028

Distribuição Normal

Exercícios 21-30

1. As alturas de uma população seguem uma distribuição normal com média 170 cm e desvio padrão 10 cm. Qual é a probabilidade de uma pessoa aleatória ter altura superior a 185 cm? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

Alturas de uma população

Distribuição: Normal
Média: 170 cm
Desvio Padrão: 10 cm
Solução:

pnorm(185, mean = 170, sd = 10, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.0668072

1. O tempo de vida de uma bateria de celular segue uma distribuição normal com média 800 dias e desvio padrão 50 dias. Qual é a probabilidade de uma bateria durar pelo menos 750 dias?

Tempo de vida de uma bateria de celular

Distribuição: Normal
Média: 800 dias
Desvio Padrão: 50 dias
Solução:

pnorm(750, mean = 800, sd = 50, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.8413447

1. As pontuações em um teste padronizado têm média 100 e desvio padrão 15. Qual é a probabilidade de um aluno ter uma pontuação superior a 120? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

Pontuações em um Teste Padronizado

Distribuição: Normal
Média: 100
Desvio Padrão: 15
Solução:

pnorm(120, mean = 100, sd = 15, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.09121122

1. Os pesos dos sacos de café em uma fábrica seguem uma distribuição normal com média 5 kg e desvio padrão 0,5 kg. Qual é a probabilidade de um saco ter peso inferior a 4,2 kg?

Pesos dos Sacos de Café em uma Fábrica

Distribuição: Normal
Média: 5 kg
Desvio Padrão: 0,5 kg
Solução:

pnorm(4.2, mean = 5, sd = 0.5)

## [1] 0.05479929

1. As temperaturas médias diárias em uma cidade seguem uma distribuição normal com média 25°C e desvio padrão 3°C. Qual é a probabilidade de um dia ter temperatura superior a 30°C? (Lembre-se de configurar o lower.tail = F)

Temperaturas Médias Diárias em uma Cidade

Distribuição: Normal
Média: 25°C
Desvio Padrão: 3°C
Solução:

pnorm(30, mean = 25, sd = 3, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.04779035

1. As velocidades de conexão à internet em uma área urbana seguem uma distribuição normal com média 50 Mbps e desvio padrão 8 Mbps. Qual é a probabilidade de uma conexão ter velocidade inferior a 40 Mbps?

Velocidades de Conexão à Internet em uma Área Urbana

Distribuição: Normal
Média: 50 Mbps
Desvio Padrão: 8 Mbps
Solução:

pnorm(40, mean = 50, sd = 8)

## [1] 0.1056498

1. As notas de um exame têm média 70 e desvio padrão 10. Qual é a probabilidade de um aluno ter uma nota entre 60 e 80?

Notas de um Exame

Distribuição: Normal
Média: 70
Desvio Padrão: 10
Solução:

pnorm(80, mean = 70, sd = 10) - pnorm(60, mean = 70, sd = 10)

## [1] 0.6826895

1. O consumo diário de calorias de um grupo de pessoas segue uma distribuição normal com média 2000 calorias e desvio padrão 300 calorias. Qual é a probabilidade de uma pessoa consumir mais de 2500 calorias por dia?

Consumo Diário de Calorias

Distribuição: Normal
Média: 2000 calorias
Desvio Padrão: 300 calorias
Solução:

pnorm(2500, mean = 2000, sd = 300, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.04779035

1. As pressões sanguíneas de uma população têm média 120 mmHg e desvio padrão 10 mmHg. Qual é a probabilidade de uma pessoa ter pressão superior a 130 mmHg?

Pressões Sanguíneas

Distribuição: Normal
Média: 120 mmHg
Desvio Padrão: 10 mmHg
Solução:

pnorm(130, mean = 120, sd = 10, lower.tail = FALSE)

## [1] 0.1586553

1. As medidas de um componente eletrônico seguem uma distribuição normal com média 8 cm e desvio padrão 1 cm. Qual é a probabilidade de um componente ter medida inferior a 6,5 cm?

Medidas de um Componente Eletrônico

Distribuição: Normal
Média: 8 cm
Desvio Padrão: 1 cm
Solução:

pnorm(6.5, mean = 8, sd = 1)

## [1] 0.0668072

2 Amostragem

Amostragem por Conglomerados

População e Amostra, Quando Utilizar uma Amostra, Amostragem Aleatória Simples, Amostragem Estratificada

Exercícios 31-40

1. Uma empresa deseja realizar uma pesquisa de satisfação de seus clientes. Ela possui uma lista com 500 clientes e decide selecionar aleatoriamente uma amostra de 50 clientes para entrevistar. Que tipo de amostragem está sendo utilizada?

Cenário: Uma empresa possui uma lista com 500 clientes e seleciona aleatoriamente uma amostra de 50 clientes para entrevistar.

Tipo de Amostragem: Amostragem Aleatória Simples.

1. Um pesquisador está estudando o comportamento de aves em uma floresta. Ele divide a floresta em diferentes estratos, como copa das árvores, sub-bosque e solo. Em seguida, realiza amostragens separadas em cada estrato. Que tipo de amostragem está sendo empregada?

Cenário: O pesquisador divide a floresta em diferentes estratos (copa das árvores, sub-bosque e solo) e realiza amostragens separadas em cada estrato.

Tipo de Amostragem: Amostragem Estratificada.

1. Um professor deseja saber a opinião de seus alunos sobre um novo método de ensino. Ele divide a turma em grupos de acordo com o desempenho acadêmico e seleciona aleatoriamente alunos de cada grupo para formar a amostra. Que tipo de amostragem é essa?

Cenário: O professor divide a turma em grupos de acordo com o desempenho acadêmico e seleciona aleatoriamente alunos de cada grupo.

Tipo de Amostragem: Amostragem Estratificada.

1. Uma agência de publicidade quer avaliar a aceitação de um novo comercial de TV. Ela seleciona aleatoriamente cinco cidades diferentes e entrevista todas as pessoas que assistiram ao comercial nessas cidades. Que tipo de amostragem está sendo realizada?

Cenário: A agência de publicidade seleciona aleatoriamente cinco cidades diferentes e entrevista todas as pessoas que assistiram ao comercial nessas cidades.

Tipo de Amostragem: Amostragem por Conglomerados.

1. Uma agência de publicidade quer avaliar a aceitação de um novo comercial de TV. Ela seleciona aleatoriamente cinco cidades diferentes e entrevista todas as pessoas que assistiram ao comercial nessas cidades. Que tipo de amostragem está sendo realizada?

Cenário: O instituto divide a cidade em regiões geográficas e seleciona aleatoriamente alguns bairros em cada região para realizar exames médicos.

Tipo de Amostragem: Amostragem por Conglomerados.

1. Um fabricante de smartphones deseja verificar a qualidade de seus produtos. Ele seleciona aleatoriamente 100 smartphones do estoque e verifica se há defeitos em cada um deles. Que tipo de amostragem está sendo utilizada?

Cenário: O fabricante seleciona aleatoriamente 100 smartphones do estoque e verifica se há defeitos em cada um deles.

Tipo de Amostragem Amostragem Aleatória Simples.

1. Um pesquisador quer avaliar a eficácia de um novo medicamento. Ele divide os pacientes em grupos de acordo com a gravidade da doença e, em seguida, seleciona aleatoriamente pacientes de cada grupo para participar do estudo. Que tipo de amostragem está sendo realizada?

Cenário: O pesquisador divide os pacientes em grupos de acordo com a gravidade da doença e seleciona aleatoriamente pacientes de cada grupo para participar do estudo.

Tipo de Amostragem: Amostragem Estratificada.

1. Um sindicato deseja conhecer a opinião de seus membros sobre questões trabalhistas. Eles dividem os membros em grupos de acordo com a faixa etária e selecionam aleatoriamente representantes de cada faixa etária para participar de uma reunião. Que tipo de amostragem é essa?

Cenário: O sindicato divide os membros em grupos de acordo com a faixa etária e seleciona aleatoriamente representantes de cada faixa etária para participar de uma reunião.

Tipo de Amostragem: Amostragem Estratificada.

1. Uma empresa de alimentos deseja avaliar a aceitação de um novo produto. Ela seleciona aleatoriamente supermercados em diferentes regiões do país e, em seguida, coleta dados de vendas em cada supermercado. Que tipo de amostragem está sendo empregada?

Cenário: A empresa de alimentos seleciona aleatoriamente supermercados em diferentes regiões do país e coleta dados de vendas em cada supermercado.

Tipo de Amostragem: Amostragem por Conglomerados.

1. Um instituto de pesquisa deseja estudar o hábito de consumo de café em uma cidade. Eles escolhem aleatoriamente uma rua principal da cidade e entrevistam todas as pessoas que passam por ela em um determinado período. Que tipo de amostragem está sendo realizada?

Cenário: O instituto escolhe aleatoriamente uma rua principal da cidade e entrevista todas as pessoas que passam por ela em um determinado período.

Tipo de Amostragem: Amostragem por Conveniência.

2 Estimação

Intervalos de Confiança

Teorema do Limite Central, Níveis de Confiança e Significância, Erro Inferencial

Exercícios 41-50

1. Um pesquisador está interessado na altura média de estudantes universitários em uma universidade. Ele coleta uma amostra de 100 estudantes e calcula a média amostral como 175 cm. Construa um intervalo de confiança de 95% para a altura média dos estudantes, supondo um desvio padrão populacional de 8 cm.

Cenário: Amostra de 100 estudantes, média amostral de 175 cm, desvio padrão populacional de 8 cm.

Intervalo de Confiança de 95%:

n <- 100
mean <- 175
sd <- 8
error <- qnorm(0.975) * (sd / sqrt(n))
left <- mean - error
right <- mean + error
c(left, right)

## [1] 173.432 176.568

1. Uma empresa deseja estimar a proporção de clientes satisfeitos com seus serviços. Ela coleta uma amostra de 200 clientes e descobre que 150 estão satisfeitos. Construa um intervalo de confiança de 90% para a proporção de clientes satisfeitos.

Cenário: Amostra de 200 clientes, 150 satisfeitos.

Intervalo de Confiança de 90%:

n <- 200
p_hat <- 150 / 200
error <- qnorm(0.95) * sqrt((p_hat * (1 - p_hat)) / n)
left <- p_hat - error
right <- p_hat + error
c(left, right)

## [1] 0.6996368 0.8003632

1. Um agricultor deseja estimar a produção média de maçãs por árvore em seu pomar. Ele coleta uma amostra de 30 árvores e obtém uma produção média de 50 kg. O desvio padrão amostral é 6 kg. Construa um intervalo de confiança de 99% para a produção média por árvore.

Cenário: Amostra de 30 árvores, média amostral de 50 kg, desvio padrão amostral de 6 kg.

Intervalo de Confiança de 99%:

n <- 30
mean <- 50
sd <- 6
error <- qt(0.995, df = n - 1) * (sd / sqrt(n))
left <- mean - error
right <- mean + error
c(left, right)

## [1] 46.98053 53.01947

1. Um fabricante de lâmpadas deseja estimar a vida média de suas lâmpadas. Ele testa uma amostra de 50 lâmpadas e calcula a vida média como 1200 horas, com um desvio padrão de 100 horas. Construa um intervalo de confiança de 95% para a vida média das lâmpadas.

Cenário: Amostra de 50 lâmpadas, média amostral de 1200 horas, desvio padrão de 100 horas.

Intervalo de Confiança de 95%:

n <- 50
mean <- 1200
sd <- 100
error <- qnorm(0.975) * (sd / sqrt(n))
left <- mean - error
right <- mean + error
c(left, right)

## [1] 1172.282 1227.718

1. Um epidemiologista quer estimar a taxa média de infecção em uma determinada região. Ele coleta uma amostra de 500 pessoas e encontra uma taxa de infecção de 4%, com desvio padrão de 0,1%. Construa um intervalo de confiança de 98% para a taxa média de infecção.

Cenário: Amostra de 500 pessoas, taxa de infecção de 4%, desvio padrão de 0.1%.

Intervalo de Confiança de 98%:

n <- 500
mean <- 0.04
sd <- 0.001
error <- qnorm(0.99) * (sd / sqrt(n))
left <- mean - error
right <- mean + error
c(left, right)

## [1] 0.03989596 0.04010404

1. Um gerente de projeto deseja estimar o tempo médio necessário para concluir uma tarefa. Ele coleta uma amostra de 20 tarefas e calcula o tempo médio como 25 horas, com um desvio padrão de 3 horas. Construa um intervalo de confiança de 90% para o tempo médio de conclusão da tarefa.

Cenário: Amostra de 20 tarefas, média amostral de 25 horas, desvio padrão de 3 horas.

Intervalo de Confiança de 90%:

n <- 20
mean <- 25
sd <- 3
error <- qt(0.95, df = n - 1) * (sd / sqrt(n))
left <- mean - error
right <- mean + error
c(left, right)

## [1] 23.84006 26.15994

1. Um pesquisador quer estimar a média de calorias consumidas por adultos em uma cidade. Ele coleta uma amostra de 100 adultos e encontra uma média de 2000 calorias, com um desvio padrão de 300 calorias. Construa um intervalo de confiança de 95% para a média de calorias consumidas por adultos.

Cenário: Amostra de 100 adultos, média amostral de 2000 calorias, desvio padrão de 300 calorias.

Intervalo de Confiança de 95%:

n <- 100
mean <- 2000
sd <- 300
error <- qnorm(0.975) * (sd / sqrt(n))
left <- mean - error
right <- mean + error
c(left, right)

## [1] 1941.201 2058.799

1. Uma empresa deseja estimar a diferença média de salários entre dois departamentos. Ela coleta uma amostra de 50 funcionários de cada departamento e encontra que a diferença média é de R$500,00, com um desvio padrão de R$ R$100,00. Construa um intervalo de confiança de 99% para a diferença média de salários.

Cenário: Amostra de 50 funcionários de cada departamento, diferença média de R$500,00, desvio padrão de R$100,00.

Intervalo de Confiança de 99%:

n <- 50
mean <- 500
sd <- 100
error <- qnorm(0.995) * (sd / sqrt(n))
left <- mean - error
right <- mean + error
c(left, right)

## [1] 463.5723 536.4277

1. Um professor quer estimar a média de horas de estudo por semana dos estudantes de sua turma. Ele coleta uma amostra de 25 estudantes e encontra uma média de 12 horas, com um desvio padrão de 2 horas. Construa um intervalo de confiança de 96% para a média de horas de estudo.

Cenário: Amostra de 25 estudantes, média amostral de 12 horas, desvio padrão de 2 horas.

Intervalo de Confiança de 96%:

n <- 25
mean <- 12
sd <- 2
error <- qt(0.98, df = n - 1) * (sd / sqrt(n))
left <- mean - error
right <- mean + error
c(left, right)

## [1] 11.13138 12.86862

1. Uma empresa de tecnologia deseja estimar a proporção de usuários satisfeitos com seu novo aplicativo. Ela coleta uma amostra de 150 usuários e descobre que 120 estão satisfeitos, com desvio padrão de 2 funcionários. Construa um intervalo de confiança de 99% para a proporção de usuários satisfeitos.

Cenário: Amostra de 150 usuários, 120 satisfeitos.

Intervalo de Confiança de 99%:

n <- 150
p_hat <- 120 / 150
error <- qnorm(0.995) * sqrt((p_hat * (1 - p_hat)) / n)
left <- p_hat - error
right <- p_hat + error
c(left, right)

## [1] 0.7158738 0.8841262

3 Cálculo do Tamanho da Amostra

Calculando o Tamanho de uma Amostra

Variáveis Quantitativas e População Infinita, Variáveis Quantitativas e População Finita

Exercícios 51-60

1. Um pesquisador deseja estimar a média de salários de uma população de trabalhadores. Ele quer um intervalo de confiança de 95%, com um erro máximo de R$100. A variabilidade dos salários é conhecida de R$ 500,00. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

# Função para calcular o tamanho da amostra para média (população infinita)
calcular_tamanho_mostra_media_infinita <- function(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  n <- (Z * desvio_padrao / erro_maximo)^2  # Cálculo do tamanho da amostra
  return(ceiling(n))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.95  # Intervalo de confiança de 95%
erro_maximo <- 100  # Erro máximo de R$100
desvio_padrao <- 500  # Desvio padrão de R$500

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_media_infinita(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 97

1. Uma empresa deseja estimar a proporção de clientes que comprariam um novo produto. Ela quer um intervalo de confiança de 90%, com um erro máximo de 5%, assumindo um desvio padrão de 3%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 5000 clientes?

# Função para calcular o tamanho da amostra para proporção em população finita
calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite <- function(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra não ajustado
  n_ = (Z^2 * proporcao * (1 - proporcao)) / erro_maximo^2
  # Ajuste para população finita
  n_finite <- (n_ * tamanho_populacao) / (tamanho_populacao + n_ - 1)
  return(ceiling(n_finite))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.90  # Intervalo de confiança de 90%
erro_maximo <- 0.05  # Erro máximo de 5% (0.05 em formato decimal)
tamanho_populacao <- 5000  # Tamanho da população finita
proporcao <- 0.03  # 3% de proporção de clientes que comprariam o produto

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 32

1. Um cientista social deseja estimar a média de horas que os estudantes universitários gastam estudando por semana. Ele quer um intervalo de confiança de 99%, com um erro máximo de 2 horas e desvio padrão de 1 hora. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

# Função para calcular o tamanho da amostra para média (população infinita)
calcular_tamanho_mostra_media_infinita <- function(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra
  n <- (Z * desvio_padrao / erro_maximo)^2
  return(ceiling(n))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.99  # Intervalo de confiança de 99%
erro_maximo <- 2  # Erro máximo de 2 horas
desvio_padrao <- 1  # Desvio padrão de 1 hora

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_media_infinita(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 2

1. Uma agência de viagens deseja estimar a proporção de pessoas que preferem viajar de avião em vez de ônibus. Ela quer um intervalo de confiança de 95%, com um erro máximo de 3%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 8000 pessoas, para aceitarmos um desvio de 3%?

# Função para calcular o tamanho da amostra para proporção em população finita
calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite <- function(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra não ajustado
  n_0 <- (Z^2 * proporcao * (1 - proporcao)) / erro_maximo^2
  # Ajuste para população finita
  n_finite <- (n_0 * tamanho_populacao) / (n_0 + tamanho_populacao - 1)
  return(ceiling(n_finite))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.95  # Intervalo de confiança de 95%
erro_maximo <- 0.03  # Erro máximo de 3% (0.03 em formato decimal)
tamanho_populacao <- 8000  # Tamanho da população finita
proporcao <- 0.5  # Usamos 0.5 para maximizar a amostra

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 942

1. Um pesquisador deseja estimar a média de idade de uma população de idosos. Ele quer um intervalo de confiança de 90%, com um erro máximo de 1 ano. A variabilidade das idades é desconhecida. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita e desvio padrão de 6 meses?

# Função para calcular o tamanho da amostra para média (população infinita)
calcular_tamanho_mostra_media_infinita <- function(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra
  n <- (Z * desvio_padrao / erro_maximo)^2
  return(ceiling(n))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.90  # Intervalo de confiança de 90%
erro_maximo <- 1  # Erro máximo de 1 ano
desvio_padrao <- 0.5  # Desvio padrão de 6 meses, ou seja, 0.5 ano

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_media_infinita(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 1

1. Uma empresa de telecomunicações deseja estimar a proporção de clientes insatisfeitos com seus serviços. Ela quer um intervalo de confiança de 96%, com um erro máximo de 2% e desvio padrão de 0,5%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 10000 clientes?

# Função para calcular o tamanho da amostra para proporção em população finita
calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite <- function(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra não ajustado
  n_0 <- (Z^2 * proporcao * (1 - proporcao)) / erro_maximo^2
  # Ajuste para população finita
  n_finite <- (n_0 * tamanho_populacao) / (n_0 + tamanho_populacao - 1)
  return(ceiling(n_finite))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.96  # Intervalo de confiança de 96%
erro_maximo <- 0.02  # Erro máximo de 2% (0.02 em formato decimal)
tamanho_populacao <- 10000  # Tamanho da população finita
proporcao <- 0.5  # Usamos 0.5 para maximizar a amostra

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 2087

1. Um pesquisador deseja estimar a média de gastos mensais de uma população de famílias. Ele quer um intervalo de confiança de 98%, com um erro máximo de R$50. A variabilidade dos gastos é de R$10,00. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

# Função para calcular o tamanho da amostra para média (população infinita)
calcular_tamanho_mostra_media_infinita <- function(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra
  n <- (Z * desvio_padrao / erro_maximo)^2
  return(ceiling(n))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.98  # Intervalo de confiança de 98%
erro_maximo <- 50  # Erro máximo de R$50,00
desvio_padrao <- 10  # Desvio padrão de R$10,00

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_media_infinita(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 1

1. Uma ONG deseja estimar a proporção de voluntários em uma comunidade. Ela quer um intervalo de confiança de 94%, com um erro máximo de 4%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 6000 pessoas e desvio padrão de 5%?

# Função para calcular o tamanho da amostra para proporção em população finita
calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite <- function(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra não ajustado
  n_0 <- (Z^2 * proporcao * (1 - proporcao)) / erro_maximo^2
  # Ajuste para população finita
  n_finite <- (n_0 * tamanho_populacao) / (n_0 + tamanho_populacao - 1)
  return(ceiling(n_finite))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.94  # Intervalo de confiança de 94%
erro_maximo <- 0.04  # Erro máximo de 4% (0.04 em formato decimal)
tamanho_populacao <- 6000  # Tamanho da população finita
proporcao <- 0.05  # Proporção estimada de 5%

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 104

1. Um cientista de dados deseja estimar a média de tempo que os usuários gastam em um aplicativo. Ele quer um intervalo de confiança de 99%, com um erro máximo de 5 minutos. A variabilidade do tempo gasto é de 10 minutos. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população infinita?

# Função para calcular o tamanho da amostra para média (população infinita)
calcular_tamanho_mostra_media_infinita <- function(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra
  n <- (Z * desvio_padrao / erro_maximo)^2
  return(ceiling(n))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.99  # Intervalo de confiança de 99%
erro_maximo <- 5  # Erro máximo de 5 minutos
desvio_padrao <- 10  # Desvio padrão de 10 minutos

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_media_infinita(conf_int, erro_maximo, desvio_padrao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 27

1. Uma empresa de alimentos deseja estimar a proporção de consumidores que preferem um novo sabor de produto. Ela quer um intervalo de confiança de 92%, com um erro máximo de 2%. Qual seria o tamanho mínimo da amostra necessário, assumindo uma população finita de 12000 consumidores e desvio máximo de 3%?

# Função para calcular o tamanho da amostra para proporção em população finita
calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite <- function(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao) {
  # Calculando o valor Z para o intervalo de confiança
  Z <- qnorm(1 - (1 - conf_int) / 2)  # Quantil para o intervalo de confiança
  # Fórmula para o tamanho da amostra não ajustado
  n_0 <- (Z^2 * proporcao * (1 - proporcao)) / erro_maximo^2
  # Ajuste para população finita
  n_finite <- (n_0 * tamanho_populacao) / (n_0 + tamanho_populacao - 1)
  return(ceiling(n_finite))  # Retorna o tamanho da amostra arredondado para cima
}

# Parâmetros do exercício
conf_int <- 0.92  # Intervalo de confiança de 92%
erro_maximo <- 0.02  # Erro máximo de 2% (0.02 em formato decimal)
tamanho_populacao <- 12000  # Tamanho da população finita
proporcao <- 0.5  # Proporção estimada de 50%

# Calculando o tamanho da amostra
tamanho_mostra <- calcular_tamanho_mostra_proporcao_finite(conf_int, erro_maximo, tamanho_populacao, proporcao)

# Exibindo o resultado
cat("O tamanho mínimo da amostra necessário é:", tamanho_mostra, "\n")

## O tamanho mínimo da amostra necessário é: 1652

Probabilidade e Amostragem

Probabilidade e Estatística

Lhuany Motta

30 de December de 2024

1 Distribuição de Probabilidades

Distribuição Binomial

Distribuição de Poisson

Distribuição Normal

2 Amostragem

Amostragem por Conglomerados

2 Estimação

Intervalos de Confiança

3 Cálculo do Tamanho da Amostra

Calculando o Tamanho de uma Amostra