Nieklasyczne metody statystyki

Regularyzacja

To laboratorium na temat Regresji grzbietowej (Ridge Regression - RR) i Lasso w R pochodzi ze stron 251-255 książki “Introduction to Statistical Learning with Applications in R” autorstwa Garetha Jamesa, Danieli Witten, Trevora Hastie i Roberta Tibshirani. Zostało ono ponownie zaimplementowane jesienią 2016 roku w formacie tidyverse przez Amelię McNamarę i R. Jordana Crousera w Smith College.

W tym tygodniu omówimy dwie alternatywne formy regresji liniowej zwane regresją grzbietową i regresją LASSO. Te dwie metody są przykładami metod regularyzacji lub zmniejszania, w których zachęca się do tego, aby parametry modelu były małe.

Regresja Grzbietowa i Lasso

Wykorzystamy pakiet glmnet w celu przeprowadzenia regresji ridge i lasso. Główną funkcją w tym pakiecie jest glmnet(), która może być użyta do dopasowania modeli regresji grzbietowej, modeli lasso i innych.

Funkcja ta ma nieco inną składnię niż inne funkcje dopasowujące modele, z którymi zetknęliśmy się do tej pory. W szczególności, musimy przekazać macierz \(x\) jak również wektor \(y\) i nie używamy składni \(y \sim x\).

Zanim przejdziemy dalej, upewnijmy się najpierw, że brakujące wartości zostały zostały usunięte z danych, jak opisano w poprzednim laboratorium.

Hitters = na.omit(Hitters)

W raporcie tym przeprowadzimy regresję grzbietową i lasso, aby przewidzieć Salary na danych Hitters.

Skonfigurujmy nasze dane:

x = model.matrix(Salary~., Hitters)[,-1] # przycinam pierwszą kolumnę
                                         # zostawiam predyktory
y = Hitters %>%
  select(Salary) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

Funkcja model.matrix() jest szczególnie przydatna do tworzenia \(x\); nie tylko nie tylko tworzy macierz odpowiadającą 19 predyktorom, ale również automatycznie przekształca wszelkie zmienne jakościowe w zmienne dummy.

Ta ostatnia właściwość jest ważna, ponieważ glmnet() może przyjmować tylko numeryczne, ilościowe dane wejściowe.

Bias vs Variance

Wybór modelu w problemach uczenia nadzorowanego wiąże się z realizacją dwóch sprzecznych celów:

1.) Model powienien być dobrze dopasowany do danych uczących, aby uchwycić zależność pomiędzy danymi.

2.) Model powinien dobrze przybliżać nieznane dane (zapewniać mały błąd generalizacji).

Modele złożone dobdrze dopasowują się do danych wyjściowych, ale charakteryzują się dużą zmiennością wartości wyjściowych. Ryzykiem jest nadmierne dopasowanie = overfitting!

Modele prostsze są obciążone dużym błędem systematyczny (bias) i ich zastosowanie niesie ryzyko niewystarczającego dopasowania (underfitting)!

Składnikiem błędów generalizacji jest nieredukowalny błąd związany ze zmiennością danych.

Regularyzacja

Duża liczna zmiennych objaśniających (predyktorów): Metoda OLS nie daje jednoznacznego rozwiązania, gdy macierz XTX nie jest odwracalna (tzn. gdy zmienne objaśniające są liniowo zależne).

Taka sytuacja może mieć miejsce gdy zmiennych objaśniających jest tyle samo lub więcej niż obserwacji.

Duża wartość θi oznacza dużą wrażliwość funkcji regresji na drobne fluktuacje cechy!

Lepszym rozwiązaniem jest gorsze dopasowanie do danych uczących przy równoczesnym ograniczeniu parametrów świadczących o potencjalnie dużym błędzie generalizacji.

Regresja Grzbietowa

Wprowadzenie

Regresja grzbietowa (ang. Ridge regression) to technika regresji liniowej, która wprowadza regularyzację \(L_2\) do estymacji współczynników modelu. Regularyzacja \(L_2\) polega na dodaniu do funkcji celu kary proporcjonalnej do kwadratu wartości współczynników regresji.

Podstawową ideą regresji grzbietowej jest minimalizacja funkcji celu, która składa się z dwóch składników: błędu dopasowania (sumy kwadratów różnic pomiędzy rzeczywistymi wartościami odpowiedzi a przewidywanymi wartościami modelu) i kary regularyzacyjnej \(L_2\).

Wzór funkcji celu dla regresji grzbietowej można przedstawić jako: Minimize: RSS + \(\lambda \|\beta\|_2^2\), gdzie:

• RSS to suma kwadratów różnic pomiędzy rzeczywistymi wartościami odpowiedzi a przewidywanymi wartościami modelu (błąd dopasowania),

• \(\lambda\) (lambda) to parametr regularyzacji, który kontroluje siłę regularyzacji,

• \(\|\beta\|_2^2\) to norma \(L_2\) współczynników regresji podniesiona do kwadratu.

Dodanie kary regularyzacyjnej \(L_2\) powoduje, że współczynniki regresji są skupione wokół zera, ale nie dokładnie równe zeru (chyba że \(\lambda\)=0).

Regresja grzbietowa zmniejsza wartości współczynników, ale nie powoduje, że stają się one równe zero. Im większa wartość \(\lambda\), tym bardziej są “sciskane” współczynniki regresji.

Regresja grzbietowa jest szczególnie przydatna, gdy mamy do czynienia z modelem, w którym występuje nadmierna wielowymiarowość lub wysokie korelacje między zmiennymi niezależnymi.

Poprzez zmniejszanie wartości współczynników, regresja grzbietowa może pomóc w redukcji wpływu mało istotnych cech, poprawić stabilność modelu i zmniejszyć ryzyko przeuczenia (overfitting).

Jednym ze sposobów kontroli złożoności modelu jest penalizacja jego wielkości. Na przykład, w problemie regresji liniowej:

\[ \min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \sum_{i=1}^n (y_i - x_i^\top \beta)^2, \]

możemy kontrolować wielkość współczynników \(\beta\). Oczywiście wielkość \(\beta\) można zdefiniować na różne sposoby, np. norma-2: \(\|\beta\|_2\), norma-1: \(\|\beta\|_1\) czy norma-nieskończoność: \(\|\beta\|_{\infty}\). Regresja grzbietowa wiąże się z karą dwóch norm:

\[ \min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \sum_{i=1}^n (y_i - x_i^\top \beta)^2 + \lambda \|\beta\|_2^2 \]

gdzie \(\lambda\) jest parametrem kontrolującym poziom regularyzacji. Zauważ, że \(X\) to macierz \(n\) na \(p\) wymiarów z wierszami: \(x_i^\top\), oraz \(Y\) to \(n\) na 1 wektor \(y_i\). Załóżmy, że \(X^\top X + \lambda I\) jest odwracalna, mamy dokładne rozwiązanie problemu regresji grzbietowej:

\[ \hat \beta_{ridge} = (X^\top X + \lambda I)^{-1}X^\top Y. \]

Przypomnijmy, że rozwiązaniem zwykłej regresji najmniejszych kwadratów jest (zakładając odwracalność macierzy \(X^\top X\)):

\[ \hat \beta_{ols} = (X^\top X)^{-1}X^\top Y. \]

Dwa fakty: kiedy \(\lambda \to 0\), \(\hat \beta_{ridge} \to \hat \beta_{ols}\); kiedy \(\lambda \to \infty\), \(\hat \beta_{ridge} \to 0\).

W szczególnych przypadkach \(X\) jest ortogonalna (tzn. kolumny \(X\) są ortogonalne), mamy:

\[ \hat \beta_{ridge} = \frac{\hat \beta_{ols}}{1 + \lambda}. \]

Widzimy więc, że estymator grzbietowy ma dodatkowo \(1/(1 + \lambda)\) tzw. “shrinkage factor”. W związku z tym na estymatorze grzbietowym występuje obciążliwość (bias).

Przykład

Funkcja glmnet() posiada argument alfa, który określa, jaki typ modelu jest dopasowywany.

Jeśli alfa = 0 to dopasowywany jest model regresji grzbietowej, a jeśli alfa = 1 to dopasowywany jest model lasso.

Najpierw dopasowujemy model regresji grzbietowej:

grid = 10^seq(10, -2, length = 100)
ridge_mod = glmnet(x, y, alpha = 0, lambda = grid)

Domyślnie funkcja glmnet() wykonuje regresję grzbietową dla automatycznie wybranego wybranego zakresu wartości \(\lambda\). Jednakże, tutaj wybraliśmy implementację funkcję w zakresie wartości od \(\lambda = 10^{10}\) do \(\lambda = 10^{-2}\), zasadniczo pokrywając pełen zakres scenariuszy od modelu zerowego zawierającego tylko przechwyt, do dopasowania najmniejszego kwadratu.

Jak widać, możemy również obliczyć dopasowanie modelu dla konkretnej wartości \(\lambda\), która nie jest jedną z oryginalnych wartości siatki.

Zauważ, że domyślnie funkcja glmnet() standaryzuje zmienne tak, by były w tej samej skali. Aby wyłączyć to domyślne ustawienie, użyj argumentu standardize = FALSE.

Z każdą wartością \(\lambda\) związany jest wektor współczynników regresji grzbietowej, przechowywany w macierzy, do której można uzyskać dostęp przez coef(). W tym przypadku jest to macierz \(20 \times 100\), z 20 wierszami (po jednym dla każdego predyktora, plus intercept) i 100 kolumnami (po jednej dla każdej wartości \(\lambda\)).

dim(coef(ridge_mod))

## [1]  20 100

plot(ridge_mod)    # wykres współczynników

Spodziewamy się, że oszacowania współczynników będą znacznie mniejsze, w sensie normy \(l_2\), gdy używana jest duża wartość \(\lambda\), w porównaniu z małą wartością \(\lambda\).

Oto współczynniki, gdy \(\lambda = 11498\), wraz z ich normą \(l_2\):

ridge_mod$lambda[50] # Wyświetl 50-tą wartość lambdy

## [1] 11497.57

coef(ridge_mod)[,50] # Wyświetl współczynniki związane z 50-tą wartością lambdy

##   (Intercept)         AtBat          Hits         HmRun          Runs 
## 407.356050200   0.036957182   0.138180344   0.524629976   0.230701523 
##           RBI         Walks         Years        CAtBat         CHits 
##   0.239841459   0.289618741   1.107702929   0.003131815   0.011653637 
##        CHmRun         CRuns          CRBI        CWalks       LeagueN 
##   0.087545670   0.023379882   0.024138320   0.025015421   0.085028114 
##     DivisionW       PutOuts       Assists        Errors    NewLeagueN 
##  -6.215440973   0.016482577   0.002612988  -0.020502690   0.301433531

sqrt(sum(coef(ridge_mod)[-1,50]^2)) # Oblicz normę l2

## [1] 6.360612

Dla kontrastu, oto współczynniki, gdy \(\lambda = 705\), wraz z ich \(l_2\) normą. Zwróć uwagę na znacznie większą normę \(l_2\) współczynników związanych z tą mniejszą wartością \(\lambda\).

ridge_mod$lambda[60] # Wyświetl 60-tą wartość lambdy

## [1] 705.4802

coef(ridge_mod)[,60] # Wyświetl współczynniki powiązane z 60-tą wartość lambdy

##  (Intercept)        AtBat         Hits        HmRun         Runs          RBI 
##  54.32519950   0.11211115   0.65622409   1.17980910   0.93769713   0.84718546 
##        Walks        Years       CAtBat        CHits       CHmRun        CRuns 
##   1.31987948   2.59640425   0.01083413   0.04674557   0.33777318   0.09355528 
##         CRBI       CWalks      LeagueN    DivisionW      PutOuts      Assists 
##   0.09780402   0.07189612  13.68370191 -54.65877750   0.11852289   0.01606037 
##       Errors   NewLeagueN 
##  -0.70358655   8.61181213

sqrt(sum(coef(ridge_mod)[-1,60]^2)) # Oblicz normę l2

## [1] 57.11001

Funkcję predict() możemy wykorzystać do wielu celów. Na przykład, możemy uzyskać współczynniki regresji grzbietowej dla nowej wartości \(\lambda\), powiedzmy 50:

predict(ridge_mod, s = 50, type = "coefficients")[1:20,]

##   (Intercept)         AtBat          Hits         HmRun          Runs 
##  4.876610e+01 -3.580999e-01  1.969359e+00 -1.278248e+00  1.145892e+00 
##           RBI         Walks         Years        CAtBat         CHits 
##  8.038292e-01  2.716186e+00 -6.218319e+00  5.447837e-03  1.064895e-01 
##        CHmRun         CRuns          CRBI        CWalks       LeagueN 
##  6.244860e-01  2.214985e-01  2.186914e-01 -1.500245e-01  4.592589e+01 
##     DivisionW       PutOuts       Assists        Errors    NewLeagueN 
## -1.182011e+02  2.502322e-01  1.215665e-01 -3.278600e+00 -9.496680e+00

Podzielimy teraz próbki na zbiór treningowy i testowy w celu oszacować błąd testu regresji grzbietowej i lasso.

set.seed(1)

train = Hitters %>%
  sample_frac(0.5)

test = Hitters %>%
  setdiff(train)

x_train = model.matrix(Salary~., train)[,-1]
x_test = model.matrix(Salary~., test)[,-1]

y_train = train %>%
  select(Salary) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

y_test = test %>%
  select(Salary) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

Następnie dopasowujemy model regresji grzbietowej na zbiorze treningowym i oceniamy jego MSE na zbiorze testowym, używając \(\lambda = 4\). Zwróć uwagę na użycie funkcji predict(). Ponownie: tym razem otrzymujemy przewidywania dla zbioru testowego, zastępując type="coefficients" argumentem newx.

ridge_mod = glmnet(x_train, y_train, alpha=0, lambda = grid, thresh = 1e-12)
ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 4, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 139858.6

Testowe MSE wynosi 139858. Zauważ, że gdybyśmy zamiast tego dopasowali po prostu model tylko z wyrazem wolnym, przewidywalibyśmy każdą obserwację testową używając średniej z obserwacji zbioru treningowego. W takim przypadku moglibyśmy obliczyć MSE zestawu testowego w ten sposób:

mean((mean(y_train) - y_test)^2)

## [1] 224692.1

Moglibyśmy również uzyskać ten sam wynik, dopasowując model regresji grzbietowej z bardzo dużą wartością \(\lambda\). Zauważ, że 1e10 oznacza \(10^{10}\).

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 1e10, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 224692.1

Tak więc dopasowanie modelu regresji grzbietowej z \(\lambda = 4\) prowadzi do znacznie niższego testu MSE niż dopasowanie modelu z samym przechwytem.

Sprawdzimy teraz, czy jest jakaś korzyść z wykonania regresji grzbietowej z \(\lambda = 4\) zamiast po prostu wykonać regresję najmniejszych kwadratów.

Przypomnijmy, że najmniejsza kwadratura to po prostu regresja grzbietowa z \(\lambda = 0\).

* Uwaga: Aby glmnet() dawał dokładne (exact) współczynniki najmniejszego kwadratu, gdy \(\lambda = 0\), używamy argumentu exact=T przy wywołaniu funkcji predict(). W przeciwnym razie, funkcja predict() będzie interpolować nad siatką wartości \(\lambda\) użytą w dopasowaniu modelu glmnet(), dając przybliżone wyniki. Nawet gdy użyjemy exact = T, pozostaje niewielka rozbieżność na trzecim miejscu po przecinku między wynikami glmnet(), gdy \(\lambda = 0\) i wyjściem z lm(); jest to spowodowane numerycznym przybliżeniem ze strony glmnet().

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = 0, newx = x_test)
mean((ridge_pred - y_test)^2)

## [1] 174060

lm(Salary~., data = train)

## 
## Call:
## lm(formula = Salary ~ ., data = train)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)        AtBat         Hits        HmRun         Runs          RBI  
##   2.398e+02   -1.639e-03   -2.179e+00    6.337e+00    7.139e-01    8.735e-01  
##       Walks        Years       CAtBat        CHits       CHmRun        CRuns  
##   3.594e+00   -1.309e+01   -7.136e-01    3.316e+00    3.407e+00   -5.671e-01  
##        CRBI       CWalks      LeagueN    DivisionW      PutOuts      Assists  
##  -7.525e-01    2.347e-01    1.322e+02   -1.346e+02    2.099e-01    6.229e-01  
##      Errors   NewLeagueN  
##  -4.616e+00   -8.330e+01

predict(ridge_mod, s = 0, type="coefficients")[1:20,]

##   (Intercept)         AtBat          Hits         HmRun          Runs 
##  239.89368111   -0.01946204   -2.07305757    6.44254692    0.64610179 
##           RBI         Walks         Years        CAtBat         CHits 
##    0.82179888    3.62448842  -13.28142313   -0.70314292    3.26064805 
##        CHmRun         CRuns          CRBI        CWalks       LeagueN 
##    3.33170237   -0.54000590   -0.72015101    0.22582579  131.41324242 
##     DivisionW       PutOuts       Assists        Errors    NewLeagueN 
## -134.76073238    0.20949301    0.61942855   -4.58545824  -82.35090554

Wygląda na to, że rzeczywiście poprawiamy się w stosunku do zwykłego najmniejszego kwadratu!

Uwaga: ogólnie, jeśli chcemy dopasować (niespenalizowany) model najmniejszych kwadratów, to powinniśmy użyć funkcji lm(), ponieważ ta funkcja dostarcza bardziej użytecznych wyjścia, takie jak błędy standardowe i wartości \(p\) dla współczynników.

Zamiast arbitralnie wybierać \(\lambda = 4\), lepiej byłoby użyć walidacji krzyżowej do wyboru parametru dostrojenia \(\lambda\). Możemy to zrobić używając wbudowanej funkcji walidacji krzyżowej, cv.glmnet(). Domyślnie funkcja ta wykonuje 10-krotną walidację krzyżową, choć można to zmienić używając argumentu argumentu folds. Zauważ, że najpierw ustawiamy losowe ziarno, aby nasze wyniki były powtarzalne, ponieważ wybór krotności walidacji krzyżowej jest losowy.

set.seed(1)
cv.out = cv.glmnet(x_train, y_train, alpha = 0) # Dopasuj model regresji grzbietowej na danych treningowych
bestlam_ridge = cv.out$lambda.min  # Wybierz lamdę, która minimalizuje treningowy MSE 
bestlam_ridge

## [1] 326.1406

Widzimy zatem, że wartość \(\lambda\), która powoduje najmniejszy błąd walidacji krzyżowej to 326. Możemy również wykreślić MSE jako funkcję \(\lambda\):

plot(cv.out) # Narysuj wykres treningowego MSE jako funkcję lambda

Jaki jest testowy MSE związany z tą wartością \(\lambda\)?

ridge_pred = predict(ridge_mod, s = bestlam_ridge, newx = x_test) # Użyj najlepszej lambdy do przewidywania danych testowych
mean((ridge_pred - y_test)^2) # Oblicz testowe MSE

## [1] 140056.2

Stanowi to dalszą poprawę w stosunku do testowego MSE, które uzyskaliśmy używając \(\lambda = 4\). Ostatecznie, ponownie wyznaczamy nasz model regresji grzbietowej na pełnym zestawie danych, używając wartości \(\lambda\) wybranej w walidacji krzyżowej, i sprawdzamy oszacowania współczynników.

out = glmnet(x, y, alpha = 0) # Dopasuj model regresji grzbietowej do pełnego zbioru danych
predict(out, type = "coefficients", s = bestlam_ridge)[1:20,] # Wyświetlanie współczynników przy użyciu lambda wybranego przez CV

##  (Intercept)        AtBat         Hits        HmRun         Runs          RBI 
##  15.44834992   0.07716945   0.85906253   0.60120338   1.06366687   0.87936073 
##        Walks        Years       CAtBat        CHits       CHmRun        CRuns 
##   1.62437580   1.35296285   0.01134998   0.05746377   0.40678422   0.11455696 
##         CRBI       CWalks      LeagueN    DivisionW      PutOuts      Assists 
##   0.12115916   0.05299953  22.08942756 -79.03490992   0.16618830   0.02941513 
##       Errors   NewLeagueN 
##  -1.36075645   9.12528397

Zgodnie z oczekiwaniami, żaden ze współczynników nie jest dokładnie zerowy - regresja grzbietowa nie dokonuje selekcji zmiennych!

Regresja Lasso

Wprowadzenie

Zamiast regularyzacji \(L_2\), LASSO używa penalizacji \(L_1\), to znaczy:

\[ \min_{\beta \in \mathbb{R}^p} \sum_{i=1}^n (y_i - x_i^\top \beta)^2 + \lambda \|\beta\|_1. \]

Ze względu na charakter normy \(L_1\), LASSO ma tendencję do dawania bardziej rzadkich rozwiązań niż regresja grzbietowa. Jest to typowo użyteczne w ustawieniach wielowymiarowych, gdy prawdziwy model jest w rzeczywistości niskowymiarowym osadzeniem.

Model regresji lasso został pierwotnie opracowany w 1989 roku. Jest to alternatywa dla klasycznego oszacowania metodą najmniejszych kwadratów, która unika wielu problemów z nadmiernym dopasowaniem (overfittingiem), gdy mamy dużą liczbę niezależnych zmiennych.

Regresja Lasso (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) to technika regresji liniowej stosowana do oszacowania współczynników modelu, która wprowadza regularyzację \(L_1\). Regularyzacja L1 polega na dodaniu do funkcji celu kary proporcjonalnej do wartości bezwzględnej współczynników regresji.

Regresja Lasso ma zdolność do jednoczesnego wykonania selekcji cech i regularyzacji, co oznacza, że może pomóc w identyfikacji najbardziej istotnych cech modelu, a także zmniejszyć wpływ mniej istotnych cech.

Podstawowym celem regresji Lasso jest minimalizacja funkcji celu, która składa się z dwóch składników: błędu dopasowania (sumy kwadratów różnic pomiędzy rzeczywistymi wartościami odpowiedzi a przewidywanymi wartościami modelu) i kary regularyzacyjnej \(L_1\).

Wzór funkcji celu dla regresji Lasso może być przedstawiony jako: Minimize: RSS + \(\lambda \|\beta\|_1\), gdzie:

• RSS to suma kwadratów różnic pomiędzy rzeczywistymi wartościami odpowiedzi a przewidywanymi wartościami modelu (błąd dopasowania),

• \(\lambda\) (lambda) to parametr regularyzacji, który kontroluje siłę regularyzacji, a \(\|\beta\|_1\) to norma \(L_1\) współczynników regresji.

Dodanie kary regularyzacyjnej \(L_1\) powoduje, że niektóre współczynniki regresji stają się równe zero, co prowadzi do selekcji cech. Im większa wartość \(\lambda\), tym większa jest tendencja do redukcji współczynników do zera, prowadząc do bardziej rzadkiego modelu z mniejszą liczbą cech.

Regresja Lasso jest przydatna w przypadkach, gdy mamy do czynienia z wieloma cechami, z których niektóre mogą być nieistotne. Może pomóc w identyfikacji istotnych cech, redukcji nadmiaru danych i zwiększeniu interpretowalności modelu.

Przykład

Zobaczyliśmy, że regresja grzbietowa z mądrym wyborem \(\lambda\) może przewyższać metodę najmniejszych kwadratów, jak również model zerowy na zbiorze danych Hitters.

Teraz zobaczmy, czy lasso może dać albo dokładniejszy, albo bardziej interpretowalny model niż regresja grzbietowa.

W celu dopasowania modelu lasso, po raz kolejny używamy funkcji glmnet(), jednak tym razem używamy argumentu alpha=1. Poza tą zmianą postępujemy tak samo jak w przypadku dopasowywania modelu regresji grzbietowej:

lasso_mod = glmnet(x_train, 
                   y_train, 
                   alpha = 1, 
                   lambda = grid) # Dopasuj model lasso do danych treningowych

plot(lasso_mod)    # Wykreśl współczynniki

Zauważmy, że na wykresie współczynników, w zależności od wyboru dostrojenia parametru, niektóre ze współczynników są dokładnie równe zeru. Teraz przeprowadzimy walidację krzyżową i obliczymy związany z nią błąd testu:

set.seed(1)
cv.out = cv.glmnet(x_train, y_train, alpha = 1) # Dopasuj model lasso do danych treningowych
plot(cv.out) # Narysuj wykres MSE dla próby uczącej jako funkcję lambda

bestlam_lasso = cv.out$lambda.min # Wybierz lamdę, która minimalizuje MSE w próbie uczącej
lasso_pred = predict(lasso_mod, s = bestlam_lasso, newx = x_test) # Użyj najlepszej lambdy do przewidywania danych testowych
mean((lasso_pred - y_test)^2) # Oblicz MSE w próbie testowej

## [1] 143273

Jest to znacznie niższe MSE zbioru testowego niż modelu zerowego i modelu najmniejszych kwadratów, i bardzo podobny do MSE testu regresji grzbietowej z \(\lambda\) wybranej przez walidację krzyżową.

Jednakże lasso ma istotną przewagę nad regresją grzbietową w tym, że wynikowe oszacowania współczynników są rzadkie. Tutaj widzimy, że 12 z 19 oszacowań współczynników jest dokładnie zerowych:

out = glmnet(x, y, alpha = 1, lambda = grid) # Dopasuj model lasso do pełnego zbioru danych
lasso_coef = predict(out, type = "coefficients", s = bestlam_lasso)[1:20,] # Wyświetlanie współczynników przy użyciu lambda wybranego przez CV
lasso_coef

##   (Intercept)         AtBat          Hits         HmRun          Runs 
##    1.27429897   -0.05490834    2.18012455    0.00000000    0.00000000 
##           RBI         Walks         Years        CAtBat         CHits 
##    0.00000000    2.29189433   -0.33767315    0.00000000    0.00000000 
##        CHmRun         CRuns          CRBI        CWalks       LeagueN 
##    0.02822467    0.21627609    0.41713051    0.00000000   20.28190194 
##     DivisionW       PutOuts       Assists        Errors    NewLeagueN 
## -116.16524424    0.23751978    0.00000000   -0.85604181    0.00000000

Wybierając tylko predyktory o niezerowych współczynnikach widzimy, że model lasso z \(\lambda\) wybranym przez walidację krzyżową zawiera tylko siedem zmiennych:

lasso_coef[lasso_coef != 0] # Wyświetlanie tylko niezerowych współczynników

##   (Intercept)         AtBat          Hits         Walks         Years 
##    1.27429897   -0.05490834    2.18012455    2.29189433   -0.33767315 
##        CHmRun         CRuns          CRBI       LeagueN     DivisionW 
##    0.02822467    0.21627609    0.41713051   20.28190194 -116.16524424 
##       PutOuts        Errors 
##    0.23751978   -0.85604181

Twoja kolej!

Teraz nadszedł czas na przetestowanie tych metod (regresja grzbietowa i lasso) oraz metod oceny (zestaw walidacyjny, walidacja krzyżowa) na innych zbiorach danych. Możesz pracować z zespołem nad tą częścią laboratorium.

Możesz użyć dowolnego zbioru danych zawartego w ISLR lub wybrać jeden z pakietów danych na Kaggle/Data World itp. (zmienna zależna musi być ciągła).

Pobierz zbiór danych i spróbuj określić optymalny zestaw parametrów, które należy użyć do jego modelowania!

#Przygotowanie zbioru danych
College = na.omit(College)

• Który zbiór danych wybrałeś?

Zbiór danych College (ISLR).

• Jaka była Twoja zmienna zależna (tzn. co próbowałeś modelować)?

Zmienna zależna to Grad.Rate czyli procent studentów, którzy ukończyli studia, odzwierciedla zarówno sukces studentów, jak i uczelni. Większość zmiennych niezależnych w zbiorze ma sens jako potencjalne predyktory tej zmiennej. Wpływ na tę zmienną mogą mieć między innymi liczba aplikacji (Apps), liczba przyjętych studentów (Accept), liczba studentów, którzy rzeczywiście rozpoczęli naukę (Enroll), czesne (Outstate), jakość wykładowców (PhD, Terminal), oraz dostępne zasoby (Expend, Room.Board).

#Tworzenie macierzy projektowej
x1 = model.matrix(Grad.Rate~., College)[,-1] # przycinam pierwszą kolumnę
                                         # zostawiam predyktory

#Wybór zmiennej objaśnianej
y1 = College %>%
  select(Grad.Rate) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

Przygotowanie macierzy projektowej x1, która zawiera wszystkie zmienne predykcyjne ze zbioru danych College. Pierwsza kolumna (intercept) zostaje usunięta. Wyodrębnienie kolumny Grad.Rate jako zmiennej objaśnianej y1 w postaci wektora liczbowego.

Regresja grzbietowa

#Ustawienie siatki parametrów lambda
grid = 10^seq(10, -2, length = 100)
#Dopasowanie modelu regresji grzbietowej
ridge_mod2 = glmnet(x1, y1, alpha = 0, lambda = grid)

Tworzenie siatki potencjalnych wartości parametru regularizacji (lambda). Dopasowanie modelu ridge regression za pomocą funkcji glmnet. Parametr alpha = 0 wskazuje na regresję grzbietową.

#Wymiary współczynników
dim(coef(ridge_mod2))

## [1]  18 100

plot(ridge_mod2)    # wykres współczynników funkcji normy L1

Wyświetlenie wymiarów macierzy współczynników. Pierwsza wartość (18) to liczba współczynników dla każdego poziomu lambda. Wizualizacja zmieniających się współczynników w funkcji normy 𝐿1, co pokazuje wpływ regularizacji na model.

ridge_mod2$lambda[50] # Wyświetl 50-tą wartość lambdy

## [1] 11497.57

coef(ridge_mod2)[,50] # Wyświetl współczynniki związane z 50-tą wartością lambdy

##   (Intercept)    PrivateYes          Apps        Accept        Enroll 
##  6.524147e+01  1.924300e-02  9.686567e-07  7.024066e-07 -6.112685e-07 
##     Top10perc     Top25perc   F.Undergrad   P.Undergrad      Outstate 
##  7.153334e-04  6.143038e-04 -4.144832e-07 -4.310351e-06  3.619870e-06 
##    Room.Board         Books      Personal           PhD      Terminal 
##  9.873884e-06  1.194325e-07 -1.014868e-05  4.754458e-04  5.000512e-04 
##     S.F.Ratio   perc.alumni        Expend 
## -1.970232e-03  1.009748e-03  1.899832e-06

sqrt(sum(coef(ridge_mod2)[-1,50]^2)) # Oblicz normę l2

## [1] 0.01940515

Wynik: 11497.57 – wskazuje wysoki poziom regularizacji, który mocno ogranicza wielkość współczynników. Współczynniki są mocno zbliżone do zera dla większości zmiennych, co pokazuje wpływ silnej regularizacji w ograniczaniu ich wartości. Wynik: 0.01949515 – wskazuje bardzo małą wielkość współczynników dla 50-tej wartości lambda, co jest skutkiem wysokiej regularizacji.

ridge_mod2$lambda[60] # Wyświetl 60-tą wartość lambdy

## [1] 705.4802

coef(ridge_mod2)[,60] # Wyświetl współczynniki powiązane z 60-tą wartość lambdy

##   (Intercept)    PrivateYes          Apps        Accept        Enroll 
##  6.222586e+01  2.855277e-01  1.464045e-05  1.093961e-05 -8.384396e-06 
##     Top10perc     Top25perc   F.Undergrad   P.Undergrad      Outstate 
##  1.046539e-02  9.031997e-03 -6.110823e-06 -6.531529e-05  5.334163e-05 
##    Room.Board         Books      Personal           PhD      Terminal 
##  1.453208e-04 -8.045918e-06 -1.524621e-04  6.855198e-03  7.141166e-03 
##     S.F.Ratio   perc.alumni        Expend 
## -2.809567e-02  1.502890e-02  2.710929e-05

sqrt(sum(coef(ridge_mod2)[-1,60]^2)) # Oblicz normę l2

## [1] 0.2878028

Wynik: 705.482 – niższy poziom regularizacji w porównaniu do 50-tej wartości lambda. Wartości współczynników są wyższe w porównaniu do 50-tej wartości lambda, co pokazuje, że mniejsza regularizacja pozwala na większą swobodę w ustalaniu ich wartości. Wynik: 0.2878028 – wyższa niż dla 50-tej lambda, co pokazuje mniejsze ograniczenie wartości współczynników przez regularizację.

#Predykcja współczynników dla zadanej wartości lambda
#Generuje współczynniki regresji ridge dla konkretnej wartości lambda (s = 50).
predict(ridge_mod2, s = 50, type = "coefficients")[1:18,]

##   (Intercept)    PrivateYes          Apps        Accept        Enroll 
##  4.671830e+01  1.903498e+00  1.234870e-04  1.146584e-04  3.405181e-06 
##     Top10perc     Top25perc   F.Undergrad   P.Undergrad      Outstate 
##  6.176559e-02  5.629912e-02 -3.664026e-05 -5.169350e-04  3.385363e-04 
##    Room.Board         Books      Personal           PhD      Terminal 
##  9.118980e-04 -5.822815e-04 -1.095459e-03  3.462916e-02  3.067362e-02 
##     S.F.Ratio   perc.alumni        Expend 
## -1.141984e-01  1.039575e-01  1.091441e-04

#Podział danych na zbiór treningowy i testowy 50/50
set.seed(1)

train = College %>%
  sample_frac(0.5)

test = College %>%
  setdiff(train)

#Tworzenie macierzy projektowych dla zbiorów treningowego i testowego
x_train = model.matrix(Grad.Rate~., train)[,-1]
x_test = model.matrix(Grad.Rate~., test)[,-1]

#Przygotowanie zmiennej objaśnianej
y_train = train %>%
  select(Grad.Rate) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

y_test = test %>%
  select(Grad.Rate) %>%
  unlist() %>%
  as.numeric()

#Dopasowanie modelu ridge regression
ridge_mod2 = glmnet(x_train, y_train, alpha=0, lambda = grid, thresh = 1e-12)
#Predykcja dla zbioru testowego
ridge_pred2 = predict(ridge_mod2, s = 4, newx = x_test)
mean((ridge_pred2 - y_test)^2)

## [1] 167.8003

Stworzenie modelu regresji grzbietowej o różnych poziomach regularizacji. Dokonanie predykcji dla zbioru testowego przy użyciu wartości lambda = 4. Obliczenie błędu średniokwadratowego (MSE) dla predykcji: 167.8003. Niska wartość MSE wskazuje na dobrą jakość modelu ridge regression.

mean((mean(y_train) - y_test)^2)

## [1] 288.1504

#Porównanie wyników z różnymi wartościami lambda
ridge_pred2 = predict(ridge_mod2, s = 1e10, newx = x_test)
mean((ridge_pred2 - y_test)^2)

## [1] 288.1504

Dla lambda 10^10 (bardzo wysoka regularizacja): Wynik MSE: 288.1504. Bardzo wysoka regularizacja skutkuje uproszczonym modelem, co prowadzi do większego błędu.

ridge_pred2 = predict(ridge_mod2, s = 0, newx = x_test)
mean((ridge_pred2 - y_test)^2)

## [1] 168.3203

#Regresja liniowa jako model bazowy
lm(Grad.Rate~., data = train)

## 
## Call:
## lm(formula = Grad.Rate ~ ., data = train)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)   PrivateYes         Apps       Accept       Enroll    Top10perc  
##  34.3360980    2.4279951    0.0010389   -0.0013828    0.0078608    0.0371502  
##   Top25perc  F.Undergrad  P.Undergrad     Outstate   Room.Board        Books  
##   0.1233484   -0.0010036   -0.0018086    0.0009734    0.0019312   -0.0026554  
##    Personal          PhD     Terminal    S.F.Ratio  perc.alumni       Expend  
##  -0.0028311    0.1160148   -0.0463643    0.0201218    0.2333938   -0.0003622

#Predykcja współczynników dla wybranej lambda
predict(ridge_mod2, s = 0, type="coefficients")[1:18,]

##   (Intercept)    PrivateYes          Apps        Accept        Enroll 
## 34.3390554500  2.4433687719  0.0010142146 -0.0013205300  0.0076338298 
##     Top10perc     Top25perc   F.Undergrad   P.Undergrad      Outstate 
##  0.0395564696  0.1223166262 -0.0009717872 -0.0018151895  0.0009692031 
##    Room.Board         Books      Personal           PhD      Terminal 
##  0.0019333571 -0.0026600736 -0.0028335583  0.1153062666 -0.0457212412 
##     S.F.Ratio   perc.alumni        Expend 
##  0.0207052181  0.2336039536 -0.0003604071

Dla lambda = 0 (brak regularizacji): Wynik MSE: 168.3203. Brak regularizacji pozwala modelowi na pełne dopasowanie do danych, co niekoniecznie skutkuje lepszą predykcją niż optymalna wartość lambda.

#Walidacja krzyżowa dla regresji ridge
set.seed(1)
cv.out = cv.glmnet(x_train, y_train, alpha = 0) # Dopasuj model regresji grzbietowej na danych treningowych
bestlam_ridge = cv.out$lambda.min  # Wybierz lamdę, która minimalizuje treningowy MSE 
bestlam_ridge

## [1] 4.093486

Widzimy zatem, że wartość \(\lambda\), która powoduje najmniejszy błąd walidacji krzyżowej to 4. Interpretacja optymalnej lambda Optymalna wartość lambda to kompromis między prostotą modelu a jego dokładnością predykcji. Zbyt duże wartości lambda (zbyt silna regularizacja) mogą zredukować wpływ istotnych zmiennych, podczas gdy zbyt małe wartości (lub brak regularizacji) mogą prowadzić do przeuczenia.

plot(cv.out) # Narysuj wykres treningowego MSE jako funkcję lambda

Czerwona kropka oznacza minimalny błąd MSE i odpowiada optymalnej wartości lambda. Szare paski pokazują przedział błędu dla różnych wartości lambda. Widać, że przy bardzo małych wartościach lambda model ma większy błąd (zbyt skomplikowany model), a przy bardzo dużych wartościach lambda błąd również wzrasta (model zbyt uproszczony).

#Predykcja na zbiorze testowym przy użyciu optymalnej wartości lambda
ridge_pred2 = predict(ridge_mod2, s = bestlam_ridge, newx = x_test) # Użyj najlepszej lambdy do przewidywania danych testowych
mean((ridge_pred2 - y_test)^2) # Oblicz testowe MSE

## [1] 167.8427

Wykorzystuje optymalną wartość lambda (bestlam z walidacji krzyżowej) do przewidywania na danych testowych. MSE = 167.8427. Model ridge regression z optymalną regularizacją zapewnia dobrą jakość predykcji na danych testowych, minimalizując błąd.

#Dopasowanie modelu ridge regression do pełnego zbioru danych
out = glmnet(x1, y1, alpha = 0) # Dopasuj model regresji grzbietowej do pełnego zbioru danych
predict(out, type = "coefficients", s = bestlam_ridge)[1:18,] # Wyświetlanie współczynników przy użyciu lambda wybranego przez CV

##   (Intercept)    PrivateYes          Apps        Accept        Enroll 
## 35.7809244560  3.5091501069  0.0004522487  0.0003691766  0.0001702477 
##     Top10perc     Top25perc   F.Undergrad   P.Undergrad      Outstate 
##  0.0926780495  0.1037475794 -0.0001112942 -0.0012767754  0.0006979171 
##    Room.Board         Books      Personal           PhD      Terminal 
##  0.0017355002 -0.0021783531 -0.0018556999  0.0470636613 -0.0114667987 
##     S.F.Ratio   perc.alumni        Expend 
##  0.0319588603  0.2327598672 -0.0001406210

Współczynniki są większe niż w przypadku bardzo wysokiej lambda (silnej regularizacji) i mniejsze niż w przypadku braku regularizacji. Wskazuje to na zrównoważony wpływ zmiennych na predykcję.

Regresja Lasso

lasso_mod = glmnet(x_train, 
                   y_train, 
                   alpha = 1, 
                   lambda = grid) # Dopasuj model lasso do danych treningowych

plot(lasso_mod)    # Wykreśl współczynniki

Dopasowanie modelu lasso regression (alpha = 1) na zbiorze treningowym z różnymi wartościami lambda. W miarę wzrostu wartości lambda wiele współczynników zmniejsza się do zera, co wskazuje na selekcję zmiennych w modelu lasso. Lasso nie tylko regularizuje, ale także eliminuje zmienne, co czyni je przydatnym w przypadku dużej liczby predyktorów.

set.seed(1)
cv.out = cv.glmnet(x_train, y_train, alpha = 1) # Dopasuj model lasso do danych treningowych
plot(cv.out) # Narysuj wykres MSE dla próby uczącej jako funkcję lambda

bestlam_lasso = cv.out$lambda.min # Wybierz lamdę, która minimalizuje MSE w próbie uczącej
lasso_pred = predict(lasso_mod, s = bestlam_lasso, newx = x_test) # Użyj najlepszej lambdy do przewidywania danych testowych
mean((lasso_pred - y_test)^2) # Oblicz MSE w próbie testowej

## [1] 166.8336

Przeprowadzono walidację krzyżową dla modelu lasso regression (alpha = 1). Wykres przedstawia błąd średniokwadratowy (MSE) w zależności od wartości log(𝜆). Czerwona kropka wskazuje minimalny błąd walidacji krzyżowej i odpowiada optymalnej wartości𝜆. Szare paski pokazują przedział błędu. Najlepsza wartość𝜆 minimalizuje MSE i znajduje się w punkcie o najniższym MSE.

Optymalna wartość lambda dla modelu lasso została automatycznie wybrana na podstawie wyników walidacji krzyżowej. Model lasso został wykorzystany do przewidywania wartości na zbiorze testowym przy użyciu optymalnej wartości lambda. Obliczono błąd średniokwadratowy (MSE) na danych testowych. Wynik: MSE = 168.8336.

Model lasso regression ma porównywalny MSE z modelem ridge regression (167.8427), co wskazuje na podobną skuteczność obu modeli w tym przypadku.

#Wyświetlenie współczynników modelu lasso dla pełnego zbioru danych

out = glmnet(x1, y1, alpha = 1, lambda = grid) # Dopasuj model lasso do pełnego zbioru danych
lasso_coef = predict(out, type = "coefficients", s = bestlam_lasso)[1:18,] # Wyświetlanie współczynników przy użyciu lambda wybranego przez CV
lasso_coef

##   (Intercept)    PrivateYes          Apps        Accept        Enroll 
## 34.9830711329  2.8429940894  0.0007166096  0.0000000000  0.0000000000 
##     Top10perc     Top25perc   F.Undergrad   P.Undergrad      Outstate 
##  0.0507860016  0.1303008938  0.0000000000 -0.0014704750  0.0009254499 
##    Room.Board         Books      Personal           PhD      Terminal 
##  0.0016861054 -0.0013031184 -0.0016745514  0.0139488663  0.0000000000 
##     S.F.Ratio   perc.alumni        Expend 
##  0.0000000000  0.2672573462 -0.0002371574

lasso_coef[lasso_coef != 0] # Wyświetlanie tylko niezerowych współczynników

##   (Intercept)    PrivateYes          Apps     Top10perc     Top25perc 
## 34.9830711329  2.8429940894  0.0007166096  0.0507860016  0.1303008938 
##   P.Undergrad      Outstate    Room.Board         Books      Personal 
## -0.0014704750  0.0009254499  0.0016861054 -0.0013031184 -0.0016745514 
##           PhD   perc.alumni        Expend 
##  0.0139488663  0.2672573462 -0.0002371574

Lasso wybrało podzbiór najważniejszych zmiennych, eliminując te, które nie miały istotnego wpływu na zmienną objaśnianą.

Wnioski

• Czy oczekiwałeś, że regresja grzbietowa będzie lepsza od lasso, czy odwrotnie? Jak wypada w stosunku do OLS? Pokaż odpowiednie raporty, miary dopasowania i krótko je omów (porównaj).

W przypadku analizy danych z wieloma predyktorami i potencjalnie skorelowanymi zmiennymi niezależnymi, często oczekuje się, że modele regularizacyjne, takie jak regresja grzbietowa (ridge regression) i lasso, będą przewyższać klasyczną regresję liniową (OLS) pod względem zdolności do generalizacji na nowych danych. Regresja grzbietowa jest szczególnie skuteczna w sytuacjach, gdy mamy wiele skorelowanych predyktorów, ponieważ równomiernie rozkłada wagi między nimi. Lasso dodatkowo wykonuje selekcję zmiennych, redukując współczynniki mniej istotnych predyktorów do zera, co upraszcza model.

Na podstawie tych właściwości można oczekiwać, że lasso może przewyższać regresję grzbietową w sytuacjach, gdzie tylko kilka predyktorów jest istotnych, podczas gdy regresja grzbietowa może być lepsza, gdy wszystkie predyktory wnoszą wartość do modelu.

Aby porównać modele, obliczymy błąd średniokwadratowy (MSE) na zbiorze testowym dla każdego z nich.

1. Regresja grzbietowa (ridge regression):

# Predykcja na zbiorze testowym z optymalną lambda
ridge_pred = predict(ridge_mod2, s = bestlam_ridge, newx = x_test)
# Obliczenie MSE
mse_ridge = mean((ridge_pred - y_test)^2)

MSE ridge: 167.8427

2. Regresja lasso:

# Predykcja na zbiorze testowym z optymalną lambda
lasso_pred = predict(lasso_mod, s = bestlam_lasso, newx = x_test)
# Obliczenie MSE
mse_lasso = mean((lasso_pred - y_test)^2)

MSE lasso: 168.8336

3. Regresja liniowa (OLS):

# Dopasowanie modelu OLS na zbiorze treningowym
ols_mod = lm(Grad.Rate ~ ., data = train)
# Predykcja na zbiorze testowym
ols_pred = predict(ols_mod, newdata = test)
# Obliczenie MSE
mse_ols = mean((ols_pred - y_test)^2)

MSE OLS: 168.3203

Regresja grzbietowa uzyskała najniższy MSE na zbiorze testowym, co sugeruje, że najlepiej przewiduje wartość Grad.Rate spośród trzech modeli. Regresja liniowa (OLS) osiągnęła MSE nieznacznie wyższe niż regresja grzbietowa, co wskazuje, że brak regularizacji nie spowodował znacznego pogorszenia wyników. Regresja lasso miała nieco wyższy MSE niż pozostałe modele, ale różnice są minimalne.

W tej analizie regresja grzbietowa nieznacznie przewyższyła lasso i OLS pod względem MSE na zbiorze testowym. Oczekiwania co do lepszej wydajności lasso nie potwierdziły się, co może wynikać z charakterystyki danych, gdzie wszystkie predyktory wnoszą istotną informację. Regresja liniowa (OLS) również osiągnęła zbliżone wyniki, co sugeruje, że problem nadmiernego dopasowania lub wielokolinearności nie jest tu dominujący. Wybór odpowiedniego modelu powinien uwzględniać zarówno miary dopasowania, jak i cele analizy oraz interpretowalność modelu.

• Które predyktory okazały się ważne w ostatecznym modelu (modelach)?

1. Regresja grzbietowa (ridge regression) W regresji grzbietowej wszystkie predyktory zachowują swoje współczynniki, ponieważ model nie eliminuje zmiennych, a jedynie regularizuje ich wartości. Ostateczne współczynniki dla optymalnej wartości𝜆 (wyznaczonej przez walidację krzyżową) są następujące:

predict(ridge_mod2, type = "coefficients", s = bestlam_ridge)[1:18,]

##   (Intercept)    PrivateYes          Apps        Accept        Enroll 
##  3.590439e+01  3.079648e+00  3.056605e-04  2.900056e-04  1.056032e-03 
##     Top10perc     Top25perc   F.Undergrad   P.Undergrad      Outstate 
##  9.179092e-02  9.254084e-02 -7.773098e-05 -1.602190e-03  6.641146e-04 
##    Room.Board         Books      Personal           PhD      Terminal 
##  1.715050e-03 -3.032236e-03 -2.722368e-03  6.887792e-02  1.412520e-02 
##     S.F.Ratio   perc.alumni        Expend 
## -7.720675e-03  2.133569e-01 -1.243617e-04

Wszystkie predyktory pozostają w modelu, ale ich wpływ jest regularizowany. Wyższe współczynniki (np. PrivateYes, Top25perc) wskazują na silniejszy wpływ tych zmiennych na Grad.Rate.

2. Regresja lasso W regresji lasso, mniej istotne predyktory są eliminowane poprzez zmniejszenie ich współczynników do zera. To umożliwia identyfikację zmiennych, które mają największy wpływ na zmienną objaśnianą.

Wybrane predyktory (współczynniki różne od zera):

predict(lasso_mod, type = "coefficients", s = bestlam_lasso)[lasso_coef != 0]

##  [1] 34.9844432060  2.0645478257  0.0004612948  0.0536851583  0.1128949262
##  [6] -0.0018452355  0.0008882663  0.0017012293 -0.0014600889 -0.0028088133
## [11]  0.0635913900  0.2347684266 -0.0001734067

Interpretacja: Lasso wyeliminowało mniej istotne predyktory, takie jak Apps, Accept, Enroll, F.Undergrad, czy P.Undergrad. Istotne zmienne: PrivateYes: Zmienna binarna, która wskazuje, czy uczelnia jest prywatna. Top10perc i Top25perc: Procent studentów z najlepszych wyników akademickich. Room.Board i Terminal: Koszty zakwaterowania oraz liczba nauczycieli z tytułem terminalnym (np. doktorem).

3. Regresja liniowa (OLS) OLS nie stosuje regularizacji ani selekcji zmiennych. Wszystkie predyktory są uwzględniane w modelu, a ich współczynniki są następujące:

Współczynniki OLS:

summary(ols_mod)$coefficients

##                  Estimate   Std. Error     t value     Pr(>|t|)
## (Intercept) 34.3360979737 7.3160760874  4.69323960 3.792381e-06
## PrivateYes   2.4279951257 2.3662117311  1.02611068 3.055098e-01
## Apps         0.0010388731 0.0006098643  1.70344958 8.932366e-02
## Accept      -0.0013827754 0.0012606191 -1.09690179 2.733977e-01
## Enroll       0.0078607547 0.0037550790  2.09336602 3.699686e-02
## Top10perc    0.0371501790 0.1060376862  0.35034883 7.262763e-01
## Top25perc    0.1233484128 0.0778745455  1.58393750 1.140623e-01
## F.Undergrad -0.0010035769 0.0006515845 -1.54021006 1.243639e-01
## P.Undergrad -0.0018085761 0.0006400996 -2.82546057 4.977280e-03
## Outstate     0.0009734411 0.0003208022  3.03439637 2.580524e-03
## Room.Board   0.0019311849 0.0008547150  2.25944891 2.443665e-02
## Books       -0.0026554051 0.0046945010 -0.56564159 5.719803e-01
## Personal    -0.0028310655 0.0010262313 -2.75870105 6.091398e-03
## PhD          0.1160148011 0.0790250027  1.46807715 1.429328e-01
## Terminal    -0.0463643398 0.0859115839 -0.53967507 5.897458e-01
## S.F.Ratio    0.0201217619 0.2415342143  0.08330812 9.336516e-01
## perc.alumni  0.2333938111 0.0706091036  3.30543512 1.041000e-03
## Expend      -0.0003622122 0.0001920999 -1.88554090 6.014007e-02

Interpretacja: Model OLS uwzględnia wszystkie zmienne. Zmienne o dużych wartościach współczynników, takie jak PrivateYes, Top10perc, Top25perc, wydają się najbardziej istotne.

Wnioski:

Lasso regression wskazało najbardziej istotne predyktory, eliminując mniej ważne zmienne, co może być pomocne, gdy upraszczanie modelu jest kluczowe.

Ridge regression utrzymało wszystkie zmienne w modelu, co jest przydatne, gdy każda zmienna wnosi istotną informację.

Regresja liniowa uwzględnia wszystkie predyktory, ale nie stosuje żadnej formy regularizacji, co może prowadzić do problemów z generalizacją przy skorelowanych predyktorach.