Konsep Dasar Probabilitas

Logo

Probabilitas adalah landasan bagi berbagai bidang ilmu seperti statistika, sains data, kecerdasan buatan, dan ekonomi. Dengan memahami probabilitas, kita tidak hanya dapat memprediksi kejadian di masa depan, tetapi juga membuat keputusan yang lebih baik berdasarkan informasi yang ada.

Mengapa Probabilitas Penting?
Probabilitas memberikan dasar untuk memahami ketidakpastian dan variasi dalam data. Konsep ini membantu kita:

  1. Mengukur Peluang: Menentukan seberapa besar kemungkinan suatu kejadian akan terjadi.
  2. Mengambil Keputusan: Membantu membuat keputusan berdasarkan kemungkinan terbaik, seperti dalam analisis risiko atau investasi.
  3. Membangun Prediksi: Digunakan dalam model statistik dan pembelajaran mesin untuk memprediksi hasil berdasarkan data historis.

Sejarah Singkat Probabilitas

Probabilitas awalnya berkembang dari permainan judi di abad ke-17, di mana para matematikawan seperti Blaise Pascal dan Pierre de Fermat mulai mengkaji peluang dalam permainan kartu dan dadu. Seiring waktu, probabilitas menjadi cabang matematika yang lebih formal dan digunakan untuk menyelesaikan berbagai masalah praktis dalam sains, ekonomi, dan teknologi.

Dasar-dasar yang perlu dipahami
konsep utama:

  1. Ruang Sampel: Himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

  2. Kejadian: Subset dari ruang sampel yang merepresentasikan hasil tertentu yang kita minati.

  3. Probabilitas Kejadian: Ukuran seberapa besar kemungkinan kejadian tersebut akan terjadi.

  4. Aturan-aturan Dasar Probabilitas: Prinsip matematika yang digunakan untuk menghitung probabilitas gabungan, saling eksklusif, dan bersyarat.

Probabilitas adalah pondasi bagi pengambilan keputusan yang rasional dan informatif. Dengan mempelajarinya, kita membuka pintu untuk memahami bagaimana dunia bekerja dalam kondisi ketidakpastian.

1 Definisi Probabilitas

Probabilitas adalah ukuran atau angka yang menunjukkan kemungkinan terjadinya suatu peristiwa. Probabilitas ini dinyatakan dalam nilai antara 0 dan 1, di mana nilai 0 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut tidak mungkin terjadi atau tidak ada peluang sama sekali untuk terjadi. Sebaliknya, nilai 1 menunjukkan bahwa peristiwa tersebut pasti terjadi atau terjadi dengan kepastian penuh. Nilai probabilitas ini memberikan gambaran tentang seberapa besar peluang suatu kejadian dapat terjadi, berdasarkan informasi atau data yang ada.

1.1 Rumus Dasar Probabilitas

Jika \(A\) adalah kejadian yang ingin dihitung probabilitasnya, maka:

\[ P(A) = \frac{\text{Jumlah hasil yang mendukung kejadian A}}{\text{Jumlah total hasil dalam ruang sampel}} \]

Berikut adalah rumus-rumus dasar: Logo

1.2 Contoh

1.2.1 Melempar Koin

Misalkan kita memiliki keranjang yang berisi dua objek: “Head” dan “Tail”, yang masing-masing mewakili sisi koin. Probabilitas mendapatkan “Head” atau “Tail” saat melempar koin adalah: - Total objek dalam keranjang = 2 (Head dan Tail). - Probabilitas mendapatkan “Head”: \[P(\text{Head}) = \frac{1}{2}\]

1.2.2 Melempar Dadu

Bayangkan kita memiliki keranjang yang berisi 6 bola, masing-masing berlabel dengan angka 1 hingga 6. Probabilitas untuk mendapatkan angka 3 saat memilih satu bola secara acak dari keranjang adalah:

  • Total objek dalam keranjang = 6 (dengan label 1, 2, 3, 4, 5, dan 6).
  • Probabilitas mendapatkan angka 3: \[P(3) = \frac{1}{6}\]

1.2.3 Mengambil Bola dari Keranjang

Sekarang, misalkan kita memiliki keranjang yang berisi 3 bola merah, 4 bola biru, dan 5 bola hijau. Probabilitas menarik bola biru secara acak adalah:

  • Total bola dalam keranjang = 3 (merah) + 4 (biru) + 5 (hijau) = 12 bola
  • Probabilitas untuk menarik bola biru: \[P(\text{Bola Biru}) = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}\]

1.2.4 Mengambil Kartu dari Dek Kartu

Bayangkan kita memiliki sebuah keranjang yang berisi 52 kartu, di mana 13 kartu adalah hati. Probabilitas menarik kartu hati secara acak dari keranjang adalah:

  • Total kartu dalam keranjang = 52 kartu.
  • Jumlah kartu hati = 13 kartu.
  • Probabilitas untuk menarik kartu hati: \[P(\text{Hati}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\]

1.2.5 Mengambil Bola Merah dari Keranjang

Misalkan kita memiliki sebuah keranjang yang berisi 10 bola: 6 bola merah dan 4 bola biru. Probabilitas mengambil bola merah dari keranjang adalah:

  • Total bola dalam keranjang = 10 bola.
  • Jumlah bola merah = 6 bola.
  • Probabilitas untuk mengambil bola merah: \[P(\text{Bola Merah}) = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\]

1.2.6 Memilih Angka Genap dari Keranjang Dadu

Kita memiliki sebuah keranjang yang berisi 6 bola, yang masing-masing berlabelkan angka 1 hingga 6. Probabilitas memilih angka genap dari keranjang ini adalah:

  • Total bola dalam keranjang = 6 (berlabel 1, 2, 3, 4, 5, 6).
  • Angka genap dalam keranjang = {2, 4, 6}.
  • Probabilitas memilih angka genap: \[P(\text{Angka Genap}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

2 Ruang Sampel dan Kejadian

2.1 Definisi Ruang Sampel (Sample Space)

Ruang sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil yang dapat terjadi dari suatu percobaan atau peristiwa. Dalam probabilitas, ruang sampel sering dilambangkan dengan simbol \(S\) dan mencakup semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu eksperimen. Ruang sampel merupakan langkah awal yang sangat penting dalam menghitung probabilitas karena seluruh perhitungan probabilitas bergantung pada jumlah elemen dalam ruang sampel tersebut.

2.2 Ciri-ciri Ruang Sampel

  1. Mencakup Semua Kemungkinan Hasil: Tidak boleh ada hasil yang tertinggal dari ruang sampel.
  2. Hasilnya Tidak Tumpang Tindih: Setiap elemen dalam ruang sampel harus unik dan tidak saling tumpang tindih.
  3. Menggambarkan Eksperimen Secara Lengkap: Ruang sampel harus dapat mencerminkan hasil eksperimen secara menyeluruh.

2.3 Contoh-contoh Ruang Sampel

2.3.1 Melempar Koin

  • Percobaan: Melempar sebuah koin.
  • Ruang sampel: \[S = \{\text{Head}, \text{Tail}\}\] Artinya, hasilnya hanya dapat berupa “Head” atau “Tail”.

2.3.2 Melempar Dadu

  • Percobaan: Melempar sebuah dadu bersisi enam.
  • Ruang sampel: \[S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\] Artinya, setiap sisi dadu memiliki angka yang unik dari 1 hingga 6.

2.3.3 Mengambil Bola dari Keranjang

  • Percobaan: Mengambil satu bola dari sebuah keranjang yang berisi 3 bola merah, 2 bola biru, dan 1 bola hijau.
  • Ruang sampel: \[S = \{\text{Merah}, \text{Merah}, \text{Merah}, \text{Biru}, \text{Biru}, \text{Hijau}\}\] Dalam hal ini, ruang sampel mencakup semua warna bola yang mungkin terambil, dan jumlah elemen mencerminkan total bola dalam keranjang.

2.3.4 Memilih Kartu dari Dek Kartu

  • Percobaan: Mengambil satu kartu dari sebuah dek yang berisi 52 kartu standar.
  • Ruang sampel: \[S = \{\text{As Hati}, \text{2 Hati}, \dots, \text{Raja Sekop}\}\] Dalam ruang sampel ini, semua kemungkinan kartu dalam dek 52 kartu diwakili.

2.3.5 Hasil Angka pada Dua Kali Lemparan Dadu

  • Percobaan: Melempar dua dadu secara bersamaan.
  • Ruang sampel: \[S = \{(1,1), (1,2), (1,3), \dots, (6,6)\}\] Jumlah elemen ruang sampel adalah 36, karena ada 6 kemungkinan pada dadu pertama dan 6 kemungkinan pada dadu kedua \((6 \times 6 = 36)\).

2.4 Jenis-jenis Ruang Sampel

  1. Ruang Sampel Diskret:
    Digunakan jika hasil dari percobaan adalah bilangan yang terpisah atau diskret. Contoh: Melempar koin, melempar dadu, atau menarik bola dari keranjang.

  2. Ruang Sampel Kontinu:
    Digunakan jika hasil dari percobaan adalah bilangan dalam interval tertentu yang tak terhingga. Contoh: Mengukur waktu kedatangan kereta yang dapat memiliki nilai antara 0 hingga tak terhingga, atau mengukur berat suatu benda.

2.5 Pentingnya Ruang Sampel dalam Probabilitas

Ruang sampel berfungsi sebagai dasar dalam menghitung probabilitas. Dengan memahami ruang sampel, kita dapat menentukan jumlah hasil yang diinginkan \(n(E)\) dan jumlah total kemungkinan hasil \(n(S)\), yang diperlukan untuk menghitung probabilitas: \[P(E) = \frac{n(E)}{n(S)}\]

3 Kejadian (Event)

3.1 Definisi Kejadian (event)

Kejadian adalah subset dari ruang sampel yang terdiri dari hasil-hasil yang memenuhi kondisi tertentu. Dalam probabilitas, kejadian merepresentasikan satu atau lebih hasil yang kita minati dalam sebuah percobaan atau eksperimen. Kejadian ini dapat berupa kejadian tunggal (satu hasil saja) atau gabungan beberapa hasil (himpunan subset).

Kejadian sering dilambangkan dengan huruf kapital seperti \(A\), \(B\), atau \(C\), dan elemen-elemen di dalamnya merupakan hasil-hasil dari ruang sampel yang sesuai dengan kriteria kejadian tersebut.

3.2 Karakteristik Kejadian

  1. Subset dari Ruang Sampel:
    Setiap kejadian adalah bagian dari ruang sampel (sample space), yang merupakan himpunan semua kemungkinan hasil dari percobaan.

  2. Bentuk Kejadian:

    • Kejadian Tunggal: Terdiri dari satu elemen dalam ruang sampel. Misalnya, pada pelemparan dadu, kejadian “mendapat angka 5” adalah kejadian tunggal dengan subset \({5}\).

    • Kejadian Majemuk: Terdiri dari beberapa elemen dalam ruang sampel. Misalnya, pada pelemparan dadu, kejadian “mendapat angka genap” adalah kejadian majemuk dengan subset \({2, 4, 6}\).

  3. Nilai Probabilitas:
    Probabilitas suatu kejadian dihitung sebagai perbandingan antara banyaknya hasil dalam kejadian dengan total hasil dalam ruang sampel.

3.3 Contoh Kejadian

3.3.1 Melempar Dadu

  • Ruang Sampel \(S\):
    Ketika sebuah dadu dengan enam sisi dilempar, semua kemungkinan hasil adalah \({1, 2, 3, 4, 5, 6}\).
  • Kejadian Tunggal \((A)\):
    Mendapat angka 4. Subset kejadian \((A = \{4})\).
    Probabilitas: \[P(A) = \frac{\text{Jumlah hasil kejadian}}{\text{Jumlah elemen ruang sampel}} = \frac{1}{6}\]
  • Kejadian Majemuk \((B)\):
    Mendapat angka genap. Subset kejadian \((B = {2, 4, 6}\).
    Probabilitas: \[P(B) = \frac{\text{Jumlah hasil kejadian}}{\text{Jumlah elemen ruang sampel}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\]

3.3.2 Menarik Kartu dari Dek (52 Kartu)

  • Ruang Sampel \((S)\):
    Semua kartu dalam satu dek adalah 52 kartu, yang terdiri dari 4 jenis (hati, wajik, sekop, dan keriting) dengan masing-masing 13 kartu.
  • Kejadian Tunggal \((A)\):
    Mendapat kartu As sekop. Subset kejadian \(A = \{\text{As sekop}\}\).
    Probabilitas: \[P(A) = \frac{\text{Jumlah hasil kejadian}}{\text{Jumlah elemen ruang sampel}} = \frac{1}{52}\]
  • Kejadian Majemuk \((B)\):
    Mendapat kartu hati. Subset kejadian \((B = \{\text{Semua kartu hati (13 kartu)}\}\).
    Probabilitas: \[P(B) = \frac{\text{Jumlah hasil kejadian}}{\text{Jumlah elemen ruang sampel}} = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\]

3.3.3 Menyusun Bola dari Keranjang

  • Ruang Sampel \((S)\):
    Sebuah keranjang berisi bola merah, biru, dan kuning dengan rincian: 3 merah, 4 biru, dan 2 kuning. Total ada \((3 + 4 + 2 = 9)\) bola.

  • Kejadian Tunggal \((A)\):
    Menarik bola kuning. Subset kejadian \((A = \{\text{kuning}\})\).

    Probabilitas:
    \[P(A) = \frac{\text{Jumlah hasil kejadian}}{\text{Jumlah elemen ruang sampel}} = \frac{2}{9}\]

  • Kejadian Majemuk (\(B\)):
    Menarik bola merah atau biru. Subset kejadian \((B = \{\text{merah, biru}\})\).
    Probabilitas:
    \[P(B) = \frac{\text{Jumlah hasil kejadian}}{\text{Jumlah elemen ruang sampel}} = \frac{3 + 4}{9} = \frac{7}{9}\]

3.4 Visualisasi Kejadian**

4 Macam-macam Probabilitas

4.1 Probabilitas Kejadian Tunggal

Probabilitas kejadian tunggal adalah kemungkinan terjadinya satu peristiwa tertentu dalam suatu ruang sampel. Probabilitas dihitung dengan membandingkan jumlah hasil yang memenuhi kejadian tersebut terhadap jumlah total hasil dalam ruang sampel.

Rumus Umum Probabilitas Kejadian Tunggal

\[P(A) = \frac{\text{Jumlah hasil dalam kejadian A}}{\text{Jumlah total hasil dalam ruang sampel}}\] - P(A): Probabilitas kejadian A - Jumlah hasil dalam kejadian A: Banyaknya hasil yang memenuhi kejadian A - Jumlah total hasil dalam ruang sampel: Total semua hasil yang mungkin terjadi dalam percobaan

4.1.1 Contoh:

4.1.1.1 Melempar Dadu

Sebuah dadu memiliki 6 sisi dengan angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Probabilitas mendapatkan angka tertentu, misalnya angka 4, dihitung sebagai berikut:

  1. Ruang Sampel: Total hasil yang mungkin: \({1, 2, 3, 4, 5, 6}\). Jumlah total hasil: 6.

  2. Kejadian A: Mendapatkan angka 4 berarti hanya ada 1 hasil yang memenuhi kejadian ini, yaitu angka {4}.

  3. Probabilitas: \(P(4) = \frac{1}{6}\)

Jadi, probabilitas mendapatkan angka 4 saat melempar dadu adalah \(\frac{1}{6}\)** atau sekitar 16,67%.

4.1.1.2 Menarik Kartu dari Dek

Dalam sebuah dek kartu remi terdapat 52 kartu yang terdiri dari 4 jenis (hati, wajik, sekop, dan keriting) masing-masing dengan 13 kartu. Probabilitas menarik satu kartu hati dihitung sebagai berikut:

  1. Ruang Sampel: Total kartu dalam dek: 52.

  2. Kejadian A: Mendapatkan kartu hati berarti ada 13 kartu yang memenuhi kejadian ini \(({As hati, 2 hati, 3 hati, ..., Raja hati})\).

  3. Probabilitas: \[P(\text{Hati}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}.\]

Jadi, probabilitas menarik kartu hati dari dek adalah \(\frac{1}{4}\)** atau 25%.

4.1.2 Hal Penting mengenai Probabilitas Kejadian Tunggal

  1. Probabilitas selalu bernilai antara 0 dan 1:

    • \(P(A) = 0\): Kejadian tidak mungkin terjadi.
    • \(P(A) = 1\): Kejadian pasti terjadi.

  2. Ruang Sampel harus mencakup semua hasil yang mungkin, dan setiap hasil dalam ruang sampel harus memiliki peluang yang sama untuk terjadi (jika tidak, diperlukan pendekatan khusus).

  3. Probabilitas dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, desimal, atau persentase.

Dengan memahami rumus dan konsep dasar ini, Anda dapat menghitung probabilitas kejadian tunggal untuk berbagai percobaan atau situasi dalam kehidupan sehari-hari.

4.2 Probabilitas Kejadian Saling Eksklusif

Dua kejadian disebut saling eksklusif jika keduanya tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Rumus:
Jika \(A\) dan \(B\) saling eksklusif, maka:
\(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)

4.2.1 Contoh: Melempar Dadu

  • Kejadian \(A\): Mendapat angka genap $ {2, 4, 6}$.
  • Kejadian \(B\): Mendapat angka ganjil $ {1, 3, 5}$.

Karena \(A\) dan \(B\) tidak dapat terjadi bersamaan, maka:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B)\]

\[P(A) = \frac{3}{6}, \quad P(B) = \frac{3}{6}, \quad P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{3}{6} = 1\]

4.3 Probabilitas Kejadian Tidak Saling Eksklusif

Dua kejadian disebut tidak saling eksklusif jika keduanya dapat terjadi secara bersamaan.

Rumus
Jika \(A\) dan \(B\) tidak saling eksklusif, maka:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

4.3.1 Contoh: Menarik Kartu

  • Kejadian \(A\): Menarik kartu hati \(13\) kartu).
  • Kejadian \(B\): Menarik kartu King \(4\) kartu).
  • Kejadian \(A \cap B\): Menarik kartu King hati \(1\) kartu).

Probabilitas:

\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\]

\[P(A \cup B) = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}\]

4.4 Probabilitas Bersyarat

Probabilitas bersyarat adalah probabilitas suatu kejadian terjadi dengan syarat kejadian lain telah terjadi.

Rumus
Jika \(A\) dan \(B\) adalah dua kejadian, maka:

\[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}\]

4.4.1 Contoh: Menarik Bola dari Kotak

Sebuah kotak berisi:
- 3 bola merah.
- 2 bola biru.
Probabilitas menarik bola merah \(A\) dengan syarat bahwa bola yang diambil adalah biru atau merah \(B\): \[P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{3}{5}}{1} = \frac{3}{5}\]

4.5 Probabilitas dalam Kehidupan Sehari-hari

Probabilitas bukan hanya konsep teoretis, tetapi juga sangat relevan dalam berbagai aspek kehidupan kita. Misalnya:

  • Dalam sains data: Probabilitas digunakan untuk menganalisis data, membangun model prediksi, dan mengidentifikasi pola.

  • Dalam ekonomi: Digunakan untuk memperkirakan risiko dalam investasi dan memahami perilaku pasar.

  • Dalam kehidupan sehari-hari: Membantu kita memahami hal-hal seperti peluang menang dalam lotere, kemungkinan keberhasilan dalam strategi tertentu, atau bahkan memutuskan apakah membawa payung berdasarkan ramalan cuaca.

5 Probabilitas dalam Sains Data

Probabilitas memainkan peran yang sangat penting dalam sains data, karena hampir semua analisis data melibatkan ketidakpastian. Probabilitas membantu dalam membuat prediksi, inferensi statistik, dan pengambilan keputusan berbasis data. Probabilitas digunakan di berbagai aplikasi, seperti klasifikasi, regresi, pengujian hipotesis, pembelajaran mesin, hingga analisis A/B testing.

5.1 Definisi Probabilitas dalam Sains Data

Dalam konteks sains data, probabilitas adalah alat matematis untuk mengukur ketidakpastian dalam pengambilan keputusan berbasis data. Probabilitas digunakan untuk:

  • Membuat prediksi: Menentukan kemungkinan suatu peristiwa di masa depan.

  • Mengestimasi parameter model: Seperti menghitung likelihood dalam regresi logistik.

  • Mengukur ketidakpastian: Contohnya, menghitung confidence intervals dalam statistik.

  • Menggunakan data yang terbatas: Untuk memahami pola dari sampel tanpa harus mengamati seluruh populasi.

Probabilitas dalam sains data sering dikombinasikan dengan statistik untuk membuat kesimpulan berbasis data.

5.2 Metode Pengambilan Sampel dalam Sains Data

Pengambilan sampel (sampling) adalah proses memilih subset data dari populasi yang lebih besar untuk dianalisis. Mengapa penting?

  • Efisiensi: Tidak selalu memungkinkan untuk bekerja dengan seluruh populasi karena keterbatasan sumber daya.

  • Keakuratan: Dengan teknik yang benar, sampel dapat merepresentasikan populasi.

  • Inferensi: Membantu membuat kesimpulan tentang populasi berdasarkan data sampel.

5.3 Metode Pengambilan Sampel

5.3.1 Sampel Acak Sederhana (Simple Random Sampling)

  • Definisi: Setiap anggota populasi memiliki peluang yang sama untuk dipilih.

  • Contoh: Memilih 50 siswa secara acak dari total 1000 siswa.

  • Perhitungan: Populasi: \((1, 2, 3, \dots, 1000)\) (total 1000 individu). Sampel: Pilih 50 individu secara acak.

5.3.2 Sampel Acak Berstrata (Stratified Sampling)

  • Definisi: Populasi dibagi ke dalam kelompok atau strata, dan sampel diambil secara acak dari masing-masing strata.

  • Contoh: Memilih sampel berdasarkan kelompok umur (misalnya, 10% dari anak-anak, remaja, dan dewasa).

  • Perhitungan: Populasi terdiri dari 3 strata:

  • Anak-anak: 100 individu.

  • Remaja: 300 individu.

  • Dewasa: 600 individu.

Ambil 10% sampel dari masing-masing strata: - Anak-anak: \(100 \times 10\% = 10\) - Remaja: \(300 \times 10\% = 30\) - Dewasa: \(600 \times 10\% = 60\)

5.3.3 Sampel Sistematik (Systematic Sampling)

  • Definisi: Sampel diambil secara sistematis berdasarkan interval tertentu.
  • Contoh: Memilih setiap orang ke-5 dari daftar populasi.
  • Perhitungan: Populasi: \(1, 2, 3, \dots, 100\) (total 100 individu). Interval sistematik: Ambil setiap individu ke-5. Sampel: \(1, 6, 11, \dots, 96\) (total 20 individu).

5.3.4 Sampel Klaster (Cluster Sampling):

  • Definisi: Populasi dibagi ke dalam kelompok (klaster), lalu klaster tertentu dipilih secara acak untuk diambil seluruhnya.
  • Contoh: Memilih 3 dari 10 kelas di sebuah sekolah, kemudian mengambil semua siswa dari kelas yang dipilih.
  • Perhitungan: Populasi terdiri dari 10 kelas: Total siswa per kelas: \(25, 30, 28, 32, 20, 24, 29, 27, 26, 31\) Pilih 3 kelas secara acak: \(Kelas 3, Kelas 7, Kelas 10\)
  1. Sampel Bertujuan (Judgmental/Purposive Sampling):
    • Definisi: Sampel dipilih berdasarkan penilaian atau kriteria tertentu.
    • Contoh: Memilih siswa dengan nilai tertinggi dari 10 kelas.
    • Perhitungan: Populasi terdiri dari beberapa grup dengan ukuran yang berbeda. Ukuran sampel proporsional ke total populasi tiap grup. Misalnya: Grup A (20%), Grup B (30%), Grup C (50%).

5.4 Kapan Menggunakan Setiap Metode?

Metode Kapan Digunakan
Sampel Acak Sederhana Jika populasi homogen dan akses ke semua anggota mudah.
Sampel Berstrata Jika populasi heterogen dan perlu representasi dari setiap kelompok.
Sampel Sistematik Jika ada pola dalam populasi, misalnya daftar terorganisir.
Sampel Klaster Jika populasi tersebar secara geografis dan sulit diakses langsung.
Sampel Bertujuan Jika membutuhkan sampel yang memenuhi kriteria tertentu untuk studi eksplorasi.

6 Studi Kasus 1: Penerapan Probabilitas dalam Prediksi Kualitas Produk

6.1 Tujuan

Menghitung probabilitas bahwa suatu produk akan cacat \((P(D = \text{Yes})\), dengan syarat:
- Komponen yang digunakan adalah berkualitas rendah \((C = \text{Low})\)
- Proses produksi dilakukan di bawah standar \((P = \text{Below})\)

Untuk ini, kita menggunakan Teorema Bayes.

Teorema Bayes
Teorema Bayes adalah rumus dalam probabilitas yang digunakan untuk menghitung probabilitas bersyarat:

\[P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}\]

Dalam kasus:
\[ P(D = \text{Yes} | C = \text{Low}, P = \text{Below}) = \frac{P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{Yes}) \cdot P(D = \text{Yes})}{P(C = \text{Low}, P = \text{Below})} \]

6.2 Langkah-Langkah Penyelesaian

6.2.1 Tentukan Semua Probabilitas yang Diketahui

Dari soal, kita memiliki informasi berikut:

  1. \(P(D = \text{Yes}) = 0.05\) → Probabilitas bahwa produk cacat.
  2. \(P(D = \text{No}) = 0.95\)
    → Probabilitas bahwa produk tidak cacat.
  3. \(P(C = \text{Low}) = 0.30\)
    → Probabilitas komponen berkualitas rendah.
  4. \(P(C = \text{High}) = 0.70\)
    → Probabilitas komponen berkualitas tinggi.
  5. \(P(P = \text{Below}) = 0.40\)
    → Probabilitas proses produksi di bawah standar.
  6. \(P(P = \text{Standard}) = 0.60\) → Probabilitas proses produksi sesuai standar.

Kita juga memerlukan probabilitas bersyarat:
- Jika produk cacat \(D = \text{Yes}\):
- \(P(C = \text{Low} | D = \text{Yes}) = 0.80\) - \(P(P = \text{Below} | D = \text{Yes}) = 0.90\)

  • Jika produk tidak cacat \(D = \text{No}\):
    • \(P(C = \text{Low} | D = \text{No}) = 0.25\)
    • \(P(P = \text{Below} | D = \text{No}) = 0.30\)

6.2.2 Hitung \(P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{Yes}\)

Karena \(C = \text{Low}\) dan \(P = \text{Below}\) diasumsikan independen, kita dapat menghitung probabilitas gabungan:

\[P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{Yes}) = P(C = \text{Low} | D = \text{Yes}) \cdot P(P = \text{Below} | D = \text{Yes})\]

Substitusi nilai:

\[P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{Yes}) = 0.80 \cdot 0.90 = 0.72\]

6.2.3 Hitung \(P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{No}\)

Dengan cara yang sama, untuk \(D = \text{No}\):

\[P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{No}) = P(C = \text{Low} | D = \text{No}) \cdot P(P = \text{Below} | D = \text{No})\]

Substitusi nilai:

\[P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{No}) = 0.25 \cdot 0.30 = 0.075\]

6.2.4 Hitung \(P(C = \text{Low}, P = \text{Below}\)

Gunakan Aturan Probabilitas Total:

\[P(C = \text{Low}, P = \text{Below}) = P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{Yes}) \cdot P(D = \text{Yes}) + P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{No}) \cdot P(D = \text{No}\]

Substitusi nilai:

\[P(C = \text{Low}, P = \text{Below}) = (0.72 \cdot 0.05) + (0.075 \cdot 0.95)\]

\[P(C = \text{Low}, P = \text{Below}) = 0.036 + 0.07125 = 0.10725\]

6.2.5 Hitung \[P(D = \text{Yes} | C = \text{Low}, P = \text{Below}\]

Gunakan Teorema Bayes:

\(4P(D = \text{Yes} | C = \text{Low}, P = \text{Below}) = \frac{P(C = \text{Low}, P = \text{Below} | D = \text{Yes}) \cdot P(D = \text{Yes})}{P(C = \text{Low}, P = \text{Below})}\)$

Substitusi nilai:

\[P(D = \text{Yes} | C = \text{Low}, P = \text{Below}) = \frac{0.72 \cdot 0.05}{0.10725}\]

\[P(D = \text{Yes} | C = \text{Low}, P = \text{Below}) = \frac{0.036}{0.10725} \approx 0.3357\]

6.2.6 Hasil Akhir

Probabilitas bahwa suatu produk akan cacat \(P(D = \text{Yes})\) jika diketahui komponen yang digunakan berkualitas rendah dan proses produksi di bawah standar adalah 33.57%.

  • Independensi: Dalam perhitungan ini, kita mengasumsikan bahwa komponen berkualitas rendah \(C\) dan proses produksi di bawah standar \(P\) independen satu sama lain, meskipun kenyataannya mungkin ada korelasi.
  • Interpretasi: Probabilitas 33.57% berarti bahwa, dalam skenario yang disebutkan, sekitar 1 dari 3 produk kemungkinan besar akan cacat.

6.3 Visualisasi

7 Studi Kasus 2

Menghitung probabilitas bahwa suatu transaksi adalah penipuan \(P(F = \text{Fraud} \mid L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card})\) menggunakan Teorema Bayes. Berikut adalah langkah-langkah lengkapnya.

Diberikan: - \(P(F = \text{Fraud}) = 0.01\)
- \(P(F = \text{Not Fraud}) = 0.99\)
- \(P(L = \text{Foreign}) = 0.20\)
- \(P(A = \text{High}) = 0.10\)
- \(P(M = \text{Credit Card}) = 0.50\)

Dibutuhkan: \[ P(F = \text{Fraud} \mid L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card}) \]

Menggunakan Teorema Bayes: \[ P(F = \text{Fraud} \mid L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card}) = \frac{P(L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card} \mid F = \text{Fraud}) \cdot P(F = \text{Fraud})}{P(L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card})} \]

Menghitung Probabilitas Numerator Numerator adalah:

\[ P(L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card} \mid F = \text{Fraud}) \cdot P(F = \text{Fraud}) \]

Misalkan:

  • Probabilitas lokasi luar negeri jika transaksi penipuan: \(P(L = \text{Foreign} \mid F = \text{Fraud}) = 0.70\)

  • Probabilitas pembelian lebih dari $500 jika transaksi penipuan: \(P(A = \text{High} \mid F = \text{Fraud}) = 0.80\)

  • Probabilitas kartu kredit jika transaksi penipuan: \(P(M = \text{Credit Card} \mid F = \text{Fraud}) = 0.90\)

Asumsi ketiga fitur independen: \[ P(L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card} \mid F = \text{Fraud}) = P(L = \text{Foreign} \mid F = \text{Fraud}) \cdot P(A = \text{High} \mid F = \text{Fraud}) \cdot P(M = \text{Credit Card} \mid F = \text{Fraud}) \]

\[ = 0.70 \cdot 0.80 \cdot 0.90 = 0.504 \]

Probabilitas transaksi adalah penipuan: \[ P(F = \text{Fraud}) = 0.01 \]

Numerator: \[ 0.504 \cdot 0.01 = 0.00504 \]

Menghitung Probabilitas Denominator Denominator adalah: \[ P(L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card}) \]

Menggunakan hukum total probabilitas: \[ P(L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card}) = P(L, A, M \mid F = \text{Fraud}) \cdot P(F = \text{Fraud}) + P(L, A, M \mid F = \text{Not Fraud}) \cdot P(F = \text{Not Fraud}) \]

Untuk \(F = \text{Not Fraud}\):

  • \(P(L = \text{Foreign} \mid F = \text{Not Fraud}) = 0.10\)

  • \(P(A = \text{High} \mid F = \text{Not Fraud}) = 0.05\)

  • \(P(M = \text{Credit Card} \mid F = \text{Not Fraud}) = 0.40\)

\[ P(L, A, M \mid F = \text{Not Fraud}) = 0.10 \cdot 0.05 \cdot 0.40 = 0.002 \]

Probabilitas transaksi bukan penipuan:

\[ P(F = \text{Not Fraud}) = 0.99 \]

Denominator:

\[ P(L, A, M) = (0.504 \cdot 0.01) + (0.002 \cdot 0.99) = 0.00504 + 0.00198 = 0.00702 \]

Menghitung Probabilitas Akhir

\[ P(F = \text{Fraud} \mid L = \text{Foreign}, A = \text{High}, M = \text{Credit Card}) = \frac{0.00504}{0.00702} \approx 0.718 \]

Probabilitas bahwa transaksi tersebut adalah penipuan adalah 71.8% jika diketahui bahwa transaksi dilakukan dari lokasi luar negeri, jumlah pembelian lebih dari $500, dan metode pembayaran menggunakan kartu kredit.

7.1 Visualisasi

8 Referensi

https://bookdown.org/dsciencelabs/statistika_dasar/_book/Konsep_Dasar_Probabilitas.html#studi-kasus-1-1

Hogg, R. V., McKean, J. W., & Craig, A. T. (2019). Introduction to Mathematical Statistics (8th ed.). Pearson.

Ross, S. M. (2020). A First Course in Probability (10th ed.). Pearson.
Grimmett, G., & Welsh, D. (2014). Probability: An Introduction (2nd ed.). Oxford University Press.

Papoulis, A., & Pillai, S. U. (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (4th ed.). McGraw-Hill.

DeGroot, M. H., & Schervish, M. J. (2019). Probability and Statistics (4th ed.). Pearson.

Blitzstein, J. K., & Hwang, J. (2019). Introduction to Probability (2nd ed.). CRC Press.

Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications (Vol. 1, 3rd ed.). Wiley.

Freedman, D., Pisani, R., & Purves, R. (2007). Statistics (4th ed.). W. W. Norton & Company.

Mitzenmacher, M., & Upfal, E. (2005). Probability and Computing: Randomized Algorithms and Probabilistic Analysis. Cambridge University Press.

Walpole, R. E., Myers, R. H., Myers, S. L., & Ye, K. (2011). Probability and Statistics for Engineers and Scientists (9th ed.). Pearson.