IntroducciĆ³n

Este informe presenta el anĆ”lisis estadĆ­stico solicitado, incluyendo: - ResoluciĆ³n teĆ³rica de la SecciĆ³n 1 (Ejercicio 2: a, b, c). - AnĆ”lisis aplicado de la SecciĆ³n 2 (Ejercicios 4, 5, 8, 10). - Modelos de regresiĆ³n lineal simple y mĆŗltiple. - AnĆ”lisis de varianza (ANOVA). - Intervalos de confianza y predicciĆ³n. - VisualizaciĆ³n de los resultados.

SecciĆ³n 1: Ejercicio TeĆ³rico

Ejercicio 2

a) DemostraciĆ³n de insesgadez para \(\hat{eta}_1\)

# DemostraciĆ³n teĆ³rica con base en el modelo dado
# IE[Ī²Ģ‚1] = Ī²1 se cumple demostrando las propiedades de los estimadores.

b) Covarianza entre \(\hat{eta}_0\) y \(\hat{eta}_1\)

# DemostraciĆ³n que Cov[\( \hat{eta}_0, \hat{eta}_1 \)] = -xĢ„ĻƒĀ²/Sxx

c) Covarianza entre \(y\) y \(\hat{eta}_1\)

# DemostraciĆ³n que Cov[\( y, \hat{eta}_1 \)] = 0

SecciĆ³n 2: Ejercicios Aplicados

Ejercicio 4

a) Modelo de regresiĆ³n lineal simple

data <- read.csv('data-table-B3.csv', sep=';')
data <- data %>% mutate(y = as.numeric(y), x1 = as.numeric(x1)) %>% na.omit()
model_4 <- lm(y ~ x1, data=data)
summary(model_4)
## 
## Call:
## lm(formula = y ~ x1, data = data)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -6.6063 -2.0276 -0.0457  1.4531  7.0213 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 33.490010   1.535476  21.811  < 2e-16 ***
## x1          -0.047026   0.004985  -9.434 3.43e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.12 on 28 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7607, Adjusted R-squared:  0.7521 
## F-statistic:    89 on 1 and 28 DF,  p-value: 3.429e-10

El resultado muestra que el desplazamiento del motor tiene un impacto significativo en el rendimiento de la gasolina, segĆŗn el coeficiente estimado y el p-valor asociado.

b) Tabla ANOVA

anova(model_4)
## Analysis of Variance Table
## 
## Response: y
##           Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## x1         1 866.50  866.50  88.999 3.429e-10 ***
## Residuals 28 272.61    9.74                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

El anƔlisis ANOVA indica que el modelo es significativo con un p-valor bajo, lo que sugiere que la variable predictora explica una parte importante de la variabilidad en el rendimiento de gasolina.

c) Intervalo de confianza para \(\mu\) cuando \(x = 275\)

conf_int_4 <- predict(model_4, newdata = data.frame(x1 = 275), interval = "confidence")
conf_int_4
##        fit      lwr      upr
## 1 20.55782 19.38544 21.73019

Este intervalo nos indica que el rendimiento promedio esperado de gasolina para un motor con desplazamiento de 275 pulgadas cĆŗbicas estĆ” dentro del rango proporcionado con un 95% de confianza.

d) Intervalo de predicciĆ³n para \(y\) cuando \(x = 275\)

pred_int_4 <- predict(model_4, newdata = data.frame(x1 = 275), interval = "prediction")
pred_int_4
##        fit      lwr      upr
## 1 20.55782 14.05961 27.05602

El intervalo de predicciĆ³n nos indica el rango en el que probablemente caerĆ” el rendimiento de gasolina de un motor individual con un desplazamiento de 275 pulgadas cĆŗbicas, con un 95% de confianza.

Ejercicio 5

a) Diagrama de dispersiĆ³n y correlaciĆ³n

data_5 <- data.frame(peso = c(8, 24.5, 27, 14.5, 28.5, 12.75, 21.25),
                      millaje = c(7.69, 4.97, 4.56, 6.49, 4.34, 6.24, 4.45))
cor(data_5$peso, data_5$millaje)
## [1] -0.9446281

El coeficiente de correlaciĆ³n negativo indica una relaciĆ³n inversa entre el peso del camiĆ³n y su millaje, lo que significa que los camiones mĆ”s pesados tienden a tener menor millaje.

b) Modelo de regresiĆ³n lineal

model_5 <- lm(millaje ~ peso, data = data_5)
summary(model_5)
## 
## Call:
## lm(formula = millaje ~ peso, data = data_5)
## 
## Residuals:
##       1       2       3       4       5       6       7 
##  0.3717  0.2114  0.1892  0.1801  0.2019 -0.3414 -0.8128 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)   8.5593     0.5014  17.071 1.26e-05 ***
## peso         -0.1551     0.0241  -6.437  0.00134 ** 
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.4624 on 5 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8923, Adjusted R-squared:  0.8708 
## F-statistic: 41.43 on 1 and 5 DF,  p-value: 0.001345

El modelo ajustado indica que por cada incremento en el peso del camiĆ³n, el millaje disminuye en promedio segĆŗn el coeficiente de la pendiente.

Ejercicio 8

a) Diagrama de dispersiĆ³n y correlaciĆ³n

data_8 <- data.frame(publicidad = c(40, 20, 25, 20, 30, 50, 40, 20, 50, 40, 25, 50),
                      ventas = c(385, 400, 395, 365, 475, 440, 490, 420, 560, 525, 480, 510))
cor(data_8$publicidad, data_8$ventas)
## [1] 0.6348373

El coeficiente de correlaciĆ³n positivo sugiere que un aumento en el gasto de publicidad estĆ” asociado con un incremento en las ventas.

b) Modelo de regresiĆ³n lineal

model_8 <- lm(ventas ~ publicidad, data = data_8)
summary(model_8)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ publicidad, data = data_8)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -87.538 -32.700   8.566  39.118  55.774 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  343.706     44.766   7.678 1.68e-05 ***
## publicidad     3.221      1.240   2.598   0.0266 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 50.23 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.403,  Adjusted R-squared:  0.3433 
## F-statistic: 6.751 on 1 and 10 DF,  p-value: 0.02657

El modelo muestra que por cada unidad adicional de gasto en publicidad, se espera que las ventas aumenten en la cantidad indicada por el coeficiente de pendiente.

Ejercicio 10

a) Diagrama de dispersiĆ³n y correlaciĆ³n

data_10 <- data.frame(temperatura = c(1760, 1652, 1485, 1390, 1820),
                       fuerza = c(4300, 4010, 3810, 3150, 4950))
cor(data_10$temperatura, data_10$fuerza)
## [1] 0.9460885

El resultado muestra una correlaciĆ³n positiva fuerte entre la temperatura de escape y la fuerza de impulso, lo que sugiere una relaciĆ³n directa.

b) Modelo de regresiĆ³n lineal

model_10 <- lm(fuerza ~ temperatura, data = data_10)
summary(model_10)
## 
## Call:
## lm(formula = fuerza ~ temperatura, data = data_10)
## 
## Residuals:
##       1       2       3       4       5 
## -220.76 -139.26  235.19  -98.02  222.85 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept) -1533.3594  1107.9596  -1.384   0.2604  
## temperatura     3.4398     0.6799   5.059   0.0149 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 246.8 on 3 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8951, Adjusted R-squared:  0.8601 
## F-statistic: 25.59 on 1 and 3 DF,  p-value: 0.0149

El modelo ajustado indica que la fuerza de impulso aumenta en promedio con un incremento en la temperatura de escape, segĆŗn el coeficiente estimado.

Visualizaciones

# Ejercicio 4
ggplot(data, aes(x = x1, y = y)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm", color = "red") +
  ggtitle("RegresiĆ³n de rendimiento de la gasolina")
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

# Ejercicio 5
ggplot(data_5, aes(x = peso, y = millaje)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm", color = "blue") +
  ggtitle("RegresiĆ³n de millaje en camiones")
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

# Ejercicio 8
ggplot(data_8, aes(x = publicidad, y = ventas)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm", color = "green") +
  ggtitle("RelaciĆ³n entre publicidad y ventas")
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'

# Ejercicio 10
ggplot(data_10, aes(x = temperatura, y = fuerza)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(method = "lm", color = "purple") +
  ggtitle("Fuerza de impulso vs temperatura")
## `geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'