E.Final
S.ACAR
2024-12-17
SORU
New Jersey ve Pennsylvania’daki fast-food restoranlarındaki çeşitli ürünlerin fiyatlarına ilişkin posta kodu düzeyinde veriler ve posta kodu popülasyonunun özellikleridir. Buradaki fikir, fast-food restoranlarının siyahların daha yoğun olduğu bölgelerde daha yüksek fiyatlar talep edip etmediğini öğrenmektir.
library(wooldridge)
library(rmarkdown)DEĞİŞKEN TANIMLARI
37 değişkene ilişkin 410 gözlem içeren bir veri çerçevesi:
psoda: orta boy soda fiyatı, 1. dalga
pfries: küçük boy patates kızartması fiyatı, 1. dalga
pentree: ana yemek fiyatı (burger veya tavuk), 1. dalga
wagest: başlangıç ücreti, 1. dalga
nmgrs: yönetici sayısı, 1. dalga
nregs: kasa sayısı, 1. dalga
hrsopen: açık saatler, 1. dalga
emp: çalışan sayısı, 1. dalga
psoda2: orta boy soda fiyatı, 2. dalga
pfries2: küçük boy patates kızartması fiyatı, 2. dalga
pentree2: ana yemek fiyatı, 2. dalga
wagest2: başlangıç ücreti, 2. dalga
nmgrs2: yönetici sayısı, 2. dalga
nregs2: kasa sayısı, 2. dalga
hrsopen2: açık saatler, 2. dalga
emp2: çalışan sayısı, 2. dalga
compown: =1 eğer şirket sahibiyse
chain: BK = 1, KFC = 2, Roy Rogers = 3, Wendy’s = 4
density: nüfus yoğunluğu, kasaba
crmrte: suç oranı, kasaba
state: NJ = 1, PA = 2
prpblck: siyah oranı, posta kodu
prppov: yoksulluk oranı, posta kodu
prpncar: araba olmayan oran, posta kodu
hseval: ortanca konut değeri, posta kodu
nstores: mağaza sayısı, posta kodu
income: ortanca aile geliri, posta kodu
county: ilçe etiketi
lpsoda: log(psoda)
lpfries: log(pfries)
lhseval: log(hseval)
lincome: log(gelir)
ldensity: log(yoğunluk)
NJ: New Jersey için =1
BK: =1 eğer Burger King
KFC: =1 eğer Kentucky Fried Chicken
RR: =1 eğer Roy Rogers
CEVAPLARI
A)
data("discrim")head(discrim)## psoda pfries pentree wagest nmgrs nregs hrsopen emp psoda2 pfries2 pentree2
## 1 1.12 1.06 1.02 4.25 3 5 16.0 27.5 1.11 1.11 1.05
## 2 1.06 0.91 0.95 4.75 3 3 16.5 21.5 1.05 0.89 0.95
## 3 1.06 0.91 0.98 4.25 3 5 18.0 30.0 1.05 0.94 0.98
## 4 1.12 1.02 1.06 5.00 4 5 16.0 27.5 1.15 1.05 1.05
## 5 1.12 NA 0.49 5.00 3 3 16.0 5.0 1.04 1.01 0.58
## 6 1.06 0.95 1.01 4.25 4 4 15.0 17.5 1.05 0.94 1.00
## wagest2 nmgrs2 nregs2 hrsopen2 emp2 compown chain density crmrte state
## 1 5.05 5 5 15.0 27.0 1 3 4030 0.0528866 1
## 2 5.05 4 3 17.5 24.5 0 1 4030 0.0528866 1
## 3 5.05 4 5 17.5 25.0 0 1 11400 0.0360003 1
## 4 5.05 4 5 16.0 NA 0 3 8345 0.0484232 1
## 5 5.05 3 3 16.0 12.0 0 1 720 0.0615890 1
## 6 5.05 3 4 15.0 28.0 0 1 4424 0.0334823 1
## prpblck prppov prpncar hseval nstores income county lpsoda
## 1 0.1711542 0.0365789 0.0788428 148300 3 44534 18 0.11332869
## 2 0.1711542 0.0365789 0.0788428 148300 3 44534 18 0.05826885
## 3 0.0473602 0.0879072 0.2694298 169200 3 41164 12 0.05826885
## 4 0.0528394 0.0591227 0.1366903 171600 3 50366 10 0.11332869
## 5 0.0344800 0.0254145 0.0738020 249100 1 72287 10 0.11332869
## 6 0.0591327 0.0835001 0.1151341 148000 2 44515 18 0.05826885
## lpfries lhseval lincome ldensity NJ BK KFC RR
## 1 0.05826885 11.90699 10.70401 8.301521 1 0 0 1
## 2 -0.09431065 11.90699 10.70401 8.301521 1 1 0 0
## 3 -0.09431065 12.03884 10.62532 9.341369 1 1 0 0
## 4 0.01980261 12.05292 10.82707 9.029418 1 0 0 1
## 5 NA 12.42561 11.18840 6.579251 1 1 0 0
## 6 -0.05129331 11.90497 10.70358 8.394799 1 1 0 0B)
Ortalama prpblck ve income değerlerini standart sapmalarıyla birlikte bulun. prpblck ve income ölçü birimleri nelerdir?
mean(discrim$prpblck)## [1] NAsd(discrim$prpblck)## [1] NAmean(discrim$income)## [1] NAsd(discrim$income)## [1] NABildiğimiz mean ve sd fonksiyonlarını kullanarak ortalama ve standart sapma değerlerini bulamadık. Çıkan NA sonucu bize bu değişkenlerin içinde bazı gözlemlerin mevcut olmadığını gösteriyor olabilir. discrim veri setinde 410 gözlem olduğundan her bir gözlemi kontrol edemiyoruz ve bu değişkenlerin içinde kaç tane gözlemin mevcut olmadığını çıkaramıyoruz. R bize bu konuda is.na fonksiyonu ile yardımcı oluyor. is.na aslında sorduğumuz ingilizce bir soru ve is na? derken R’a mevcut olmayan gözlem var mı diye soru soruyoruz. R’da bize her bir gözlem için o gözlemin değeri olup olmadığını TRUE (doğru) ve FALSE (yanlış) olarak geri veriyor.
sum(is.na(discrim$prpblck))## [1] 1sum(is.na(discrim$income))## [1] 1Gördüğünüz gibi hem prbblck hem income değişkenlerinin birer gözlemi boş değere sahip. Bu yüzden mean ve sd fonksiyonlarının NA gözlemlerinine sahip olduğunu söylememiz lazım.
mean(discrim$prpblck,na.rm = TRUE)## [1] 0.1134864sd(discrim$prpblck,na.rm = TRUE)## [1] 0.1824165mean(discrim$income, na.rm = TRUE)## [1] 47053.78sd(discrim$income, na.rm = TRUE)## [1] 13179.29fonksiyonun içine yazdığımız na.rm (na remove, çıkar) Mevcut olmayan gözlemleri hesaplamadan çıkarmamızı söyler. prbblck değişkeninin ortalaması 0.11, standart sapması 0.18, income değişkeninin ortalaması 47053, standart sapması 13179 olacaktır.
Diyelim ki siz bütün değişkenler için kaç tane gözlemin mevcut olmadığını, kaç tane gözlemin var olduğunu, ortalamasını ve standart sapmasını görmek istiyorsunuz. Bu durumda vtable paketi size yardımcı olacaktır. Aşağıdaki komutu kullanmak için vtable paketini yüklemeniz gerektiğini unutmayın.
library(vtable)## Loading required package: kableExtrasumtable(discrim, summ=c('notNA(x)', 'countNA(x)', 'mean(x)','sd(x)'),out='return')## Variable NotNA CountNA Mean Sd
## 1 psoda 402 8 1 0.089
## 2 pfries 393 17 0.92 0.11
## 3 pentree 398 12 1.3 0.64
## 4 wagest 390 20 4.6 0.35
## 5 nmgrs 404 6 3.4 1
## 6 nregs 388 22 3.6 1.2
## 7 hrsopen 410 0 14 2.8
## 8 emp 404 6 18 9.4
## 9 psoda2 388 22 1 0.094
## 10 pfries2 382 28 0.94 0.11
## 11 pentree2 386 24 1.4 0.65
## 12 wagest2 389 21 5 0.25
## 13 nmgrs2 404 6 3.5 1.1
## 14 nregs2 388 22 3.6 1.2
## 15 hrsopen2 399 11 14 2.8
## 16 emp2 397 13 18 8.6
## 17 compown 410 0 0.34 0.48
## 18 chain 410 0 2.1 1.1
## 19 density 409 1 4562 5132
## 20 crmrte 409 1 0.053 0.047
## 21 state 410 0 1.2 0.39
## 22 prpblck 409 1 0.11 0.18
## 23 prppov 409 1 0.071 0.067
## 24 prpncar 409 1 0.11 0.12
## 25 hseval 409 1 147399 56070
## 26 nstores 410 0 3.1 1.8
## 27 income 409 1 47054 13179
## 28 county 410 0 14 8
## 29 lpsoda 402 8 0.04 0.085
## 30 lpfries 393 17 -0.088 0.12
## 31 lhseval 409 1 12 0.39
## 32 lincome 409 1 11 0.28
## 33 ldensity 409 1 8 1
## 34 NJ 410 0 0.81 0.39
## 35 BK 410 0 0.42 0.49
## 36 KFC 410 0 0.2 0.4
## 37 RR 410 0 0.24 0.43C)
Bu modeli OLS ile tahmin edin ve sonuçları, n ve R-kare dahil olmak üzere denklem biçiminde rapor edin. (Tahminleri raporlarken bilimsel gösterimi kullanmayın.) prpblck üzerindeki katsayıyı yorumlayın. Sizce ekonomik olarak büyük mü?
discrimreg <- lm(psoda ~ prpblck + income, data = discrim)
summary(discrimreg)##
## Call:
## lm(formula = psoda ~ prpblck + income, data = discrim)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.29401 -0.05242 0.00333 0.04231 0.44322
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 9.563e-01 1.899e-02 50.354 < 2e-16 ***
## prpblck 1.150e-01 2.600e-02 4.423 1.26e-05 ***
## income 1.603e-06 3.618e-07 4.430 1.22e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.08611 on 398 degrees of freedom
## (9 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.06422, Adjusted R-squared: 0.05952
## F-statistic: 13.66 on 2 and 398 DF, p-value: 1.835e-06
Örnek boyutu 399 gözlemdir (398 serbestlik derecesi ve 9 eksik gözlem ile gösterilir) ve ayarlanmış R^2 0.595’tir. prpblck katsayısı, her şey eşit olduğunda, prpblck %10 artarsa, soda fiyatının ekonomik olarak önemli olmayan derecede yaklaşık 1,2 sent artacağını gösterir.
D)
Basit regresyon
modelini kullanarak basit regresyonu tahmin edin. Ayrımcılık etkisi income’ı kontrol ettiğiniz modele göre daha mı büyük daha mı küçük?
basitdiscrimreg <- lm(psoda ~ prpblck, data = discrim)
summary(basitdiscrimreg)##
## Call:
## lm(formula = psoda ~ prpblck, data = discrim)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.30884 -0.05963 0.01135 0.03206 0.44840
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1.03740 0.00519 199.87 < 2e-16 ***
## prpblck 0.06493 0.02396 2.71 0.00702 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.0881 on 399 degrees of freedom
## (9 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.01808, Adjusted R-squared: 0.01561
## F-statistic: 7.345 on 1 and 399 DF, p-value: 0.007015Basit regresyon ile prpblack üzerindeki katsayının tahmini 0.065’tir. Bu, önceki tahminden daha düşüktür ve bu nedenle, gelir hariç tutulduğunda ayrımcılık etkisinin azaldığını gösterir.
E)
Gelire göre sabit fiyat esnekliğine sahip bir model daha uygun olabilir.
Modelin tahmin edin ve tahminlerini raporlayın. Eğer prpblck .20 (20 yüzde puanı) artarsa, psoda’nın tahmini yüzde değişimi ne olur? (İpucu: Cevap 2.xx’dir, burada “xx”i doldurursunuz)
logdiscrimreg <- lm(log(psoda) ~ prpblck + log(income), data = discrim)
summary(logdiscrimreg)##
## Call:
## lm(formula = log(psoda) ~ prpblck + log(income), data = discrim)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.33563 -0.04695 0.00658 0.04334 0.35413
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.79377 0.17943 -4.424 1.25e-05 ***
## prpblck 0.12158 0.02575 4.722 3.24e-06 ***
## log(income) 0.07651 0.01660 4.610 5.43e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.0821 on 398 degrees of freedom
## (9 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.06809, Adjusted R-squared: 0.06341
## F-statistic: 14.54 on 2 and 398 DF, p-value: 8.039e-07paste( (0.2*100)*0.122, "yüzdelik artış")## [1] "2.44 yüzdelik artış"“Prpblck” yüzde 20 artarsa, psoda tahmini olarak %2,44 artacaktır.
F)
Şimdi prppov değişkenini kısım e’deki regresyona ekleyin. β₁’e ne olur?
logdiscrimregprpov <- lm(log(psoda) ~ prpblck+log(income) + prppov, data = discrim)
summary(logdiscrimregprpov)##
## Call:
## lm(formula = log(psoda) ~ prpblck + log(income) + prppov, data = discrim)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.32218 -0.04648 0.00651 0.04272 0.35622
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.46333 0.29371 -4.982 9.4e-07 ***
## prpblck 0.07281 0.03068 2.373 0.0181 *
## log(income) 0.13696 0.02676 5.119 4.8e-07 ***
## prppov 0.38036 0.13279 2.864 0.0044 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.08137 on 397 degrees of freedom
## (9 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.08696, Adjusted R-squared: 0.08006
## F-statistic: 12.6 on 3 and 397 DF, p-value: 6.917e-08prppov eklemek, prpblck katsayısının 0,0738’e düşmesine neden olur.
G)
log(income) ve prppov arasındaki ilişkiyi bulun. Kabaca beklediğiniz gibi mi?
cor(log(discrim$income), discrim$prppov, use = "complete.obs")## [1] -0.838467Korelasyon yaklaşık olarak -0.838’dir. Bu mantıklı, çünkü gelirdeki düşüşlerin daha yüksek yoksulluk oranlarıyla sonuçlanması beklenebilir.
H)
Aşağıdaki ifadeyi değerlendirin: “log(income) ve prppov çok yüksek oranda ilişkili olduğundan, aynı regresyonda olmalarına gerek yoktur.”
Yüksek düzeyde ilişkili olmalarına rağmen, her ikisinin de dahil edilmesi mükemmel bir doğrusallık ile sonuçlanmaz ve bunun yerine, ayırt edici etkiyi izole etmeye yardımcı olan başka bir kontrol değişkeni ekleyerek modeli tamamlar.
F TESTİ
F testi, iki grup arasında ortalamaların farklarını incelemek için kullanılan bir istatistiksel testtir. Özellikle, varyansların eşit olup olmadığını test etmek amacıyla kullanılır ve genellikle regresyon analizlerinde veya varyans analizi (ANOVA) gibi testlerde yer alır.
H0: Tüm regresyon katsayıları sıfırdır (modelin açıklayıcı gücü yok). H1: En az bir regresyon katsayısı sıfırdan farklıdır.
F Değeri: F testi, F istatistiğini hesaplar. Bu değer, grup varyanslarının (veya modelin açıklama gücünün) oranı olarak belirlenir. Yüksek bir F değeri, modelin veya grupların açıklayıcı gücünün yüksek olduğunu gösterir.
p-değeri: F testinin p-değeri, sıfır hipotezinin reddedilip reddedilmeyeceğini belirler. Eğer p-değeri çok küçükse (genellikle 0.05’ten küçük), sıfır hipotezi reddedilir ve modelin veya grupların arasında anlamlı bir fark olduğu kabul edilir. Eğer p-değeri büyükse (genellikle 0.05’ten büyük), sıfır hipotezi kabul edilir ve grup varyanslarının veya modelin açıklayıcı gücünün önemli bir fark oluşturmadığı sonucuna varılır.
SSRr :kısıtlı modelin hata payının karelerinin toplamı, SSRur:kısıtsız modelin hata payının karelerinin toplamı, q : kısıt sayısı, n-k-1 :kısıtsız modelin serbestlik derecesidir.
Fq;n-k-1 tablo değeridir.
(Eğer bir regresyon modelinin R² değeri %85 (0.85) ise, bu, modelin bağımsız değişkenler aracılığıyla bağımlı değişkenin %85’ini açıkladığı anlamına gelir. Ancak, modelin kalan %15’lik kısmı açıklamak için daha fazla değişken veya farklı modelleme yaklaşımları gerekebilir.)
R^2 kullanarak :
Kısıtsız modelimizi oluşturuyoruz. pentree(ana yemek fiyatı (burger veya tavuk) yani bağımlı değişken ; prpblck, income, hrsopen(açık saatler) bağımsız değişkendir.
model_unrestricted <- lm(pentree ~ prpblck + income + hrsopen , data = discrim)summary(model_unrestricted)##
## Call:
## lm(formula = pentree ~ prpblck + income + hrsopen, data = discrim)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.09998 -0.30246 -0.06881 0.20769 2.36509
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 3.319e+00 1.721e-01 19.277 < 2e-16 ***
## prpblck 4.272e-01 1.542e-01 2.771 0.00585 **
## income -7.568e-07 2.164e-06 -0.350 0.72677
## hrsopen -1.398e-01 9.385e-03 -14.892 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.5091 on 393 degrees of freedom
## (13 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.379, Adjusted R-squared: 0.3742
## F-statistic: 79.94 on 3 and 393 DF, p-value: < 2.2e-16prpblck katsayısını 0 kabul ettik yani prpblck değişkenini çıkararak kıstlı modelimizi oluşturuyoruz.
model_restricted <- lm(pentree ~ income + hrsopen , data = discrim)summary(model_restricted)##
## Call:
## lm(formula = pentree ~ income + hrsopen, data = discrim)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -1.15183 -0.29367 -0.07359 0.22360 2.32868
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 3.500e+00 1.606e-01 21.793 <2e-16 ***
## income -3.368e-06 1.965e-06 -1.714 0.0872 .
## hrsopen -1.404e-01 9.461e-03 -14.838 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.5134 on 394 degrees of freedom
## (13 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.3668, Adjusted R-squared: 0.3636
## F-statistic: 114.1 on 2 and 394 DF, p-value: < 2.2e-16f_test <- anova(model_restricted, model_unrestricted)print(f_test)## Analysis of Variance Table
##
## Model 1: pentree ~ income + hrsopen
## Model 2: pentree ~ prpblck + income + hrsopen
## Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
## 1 394 103.86
## 2 393 101.87 1 1.9905 7.6789 0.005852 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Yorum:
1)Kısıtlı model için RSS: 103.86 2)Kısıtsız model için RSS: 101.87 Kısıtsız model, RSS değerini azaltmıştır (daha küçük hata kareleri toplamı), bu da ek değişkenin (prpblck) modele katkı sağladığını gösterir.
F değeri = 7.6789 Bu F değeri, eklenen prpblck değişkeninin katsayısının sıfır olmadığını test etmektedir.
p-value (Pr(>F)) = 0.005852
p-value, 0.05’ten küçüktür (%1’den daha küçük bir seviyede anlamlıdır). Bu durumda, prpblck değişkeninin modele anlamlı katkı sağladığı sonucu çıkarılır.
Hipotez Testi:
H0 (Null Hipotezi): prpblck değişkeninin katsayısı sıfırdır (anlamlı katkısı yoktur). H1 (Alternatif Hipotez): prpblck değişkeninin katsayısı sıfır değildir (anlamlı katkısı vardır). Karar: p-value 0.0058 olduğu için, H0 hipotezi reddedilir. Bu durumda, prpblck değişkeninin modele anlamlı katkı sağladığı söylenebilir.
Yorum: prpblck değişkeni eklendiğinde, modelin hata kareleri toplamı düşmüş ve modelin açıklayıcılığı artmıştır. Bu durum, siyahi nüfus oranının (prpblck) pentree değişkeni üzerinde istatistiksel olarak anlamlı bir etkisi olduğunu göstermektedir.
- f testi için kısıtsız model :
model_unrestricted_2 <- lm(pfries2 ~ income + prppov + prpblck + emp, data = discrim)summary(model_unrestricted_2)##
## Call:
## lm(formula = pfries2 ~ income + prppov + prpblck + emp, data = discrim)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.25446 -0.07262 -0.00221 0.07742 0.40537
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 7.826e-01 3.693e-02 21.192 < 2e-16 ***
## income 2.685e-06 5.927e-07 4.531 7.94e-06 ***
## prppov -5.963e-02 1.460e-01 -0.408 0.683254
## prpblck 1.605e-01 4.285e-02 3.747 0.000207 ***
## emp 1.030e-03 5.740e-04 1.795 0.073412 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1042 on 371 degrees of freedom
## (34 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.1089, Adjusted R-squared: 0.09925
## F-statistic: 11.33 on 4 and 371 DF, p-value: 1.099e-08Kısıtlı model için income katsayısını 0 kabul ettik yani income değişkenini çıkardık.
model_restricted_2 <- lm(pfries2 ~ prppov + prpblck + emp, data = discrim)summary(model_restricted_2)##
## Call:
## lm(formula = pfries2 ~ prppov + prpblck + emp, data = discrim)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.25730 -0.08073 -0.00159 0.07673 0.41761
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.9387309 0.0136110 68.969 < 2e-16 ***
## prppov -0.4846119 0.1148233 -4.221 3.07e-05 ***
## prpblck 0.1841660 0.0436301 4.221 3.06e-05 ***
## emp 0.0009166 0.0005883 1.558 0.12
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1069 on 372 degrees of freedom
## (34 observations deleted due to missingness)
## Multiple R-squared: 0.05955, Adjusted R-squared: 0.05197
## F-statistic: 7.852 on 3 and 372 DF, p-value: 4.294e-05f_test_2 <- anova(model_restricted_2, model_unrestricted_2)
print(f_test_2)## Analysis of Variance Table
##
## Model 1: pfries2 ~ prppov + prpblck + emp
## Model 2: pfries2 ~ income + prppov + prpblck + emp
## Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F)
## 1 372 4.2510
## 2 371 4.0282 1 0.22288 20.528 7.937e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Yorum :
H0 (Null Hipotezi): income değişkeninin katsayısı sıfırdır (income değişkeninin modele katkısı yoktur). H1 (Alternatif Hipotez): income değişkeninin katsayısı sıfır değildir (income değişkeninin modele katkısı vardır). p-değeri 0.000008 olduğundan, H0 hipotezi reddedilir. Bu durumda, income değişkeni modele anlamlı bir katkı sağlamaktadır. income değişkeni eklendiğinde, RSS (hata kareleri toplamı) 4.2510’dan 4.0282’ye düşmüştür. Bu düşüş istatistiksel olarak anlamlıdır (F = 20.528, p < 0.01). Dolayısıyla, income değişkeni, pfries2 bağımlı değişkenini açıklamada önemli bir değişkendir ve modelin uyumunu iyileştirmiştir.