• En el curso hemos visto métodos para estimar el riesgo de que un consumidor no pague, basado en la "similitud" o "diferencia" que guarde con otro grupo de consumidores.

• Hemos visto cómo estimar el riesgo de que una compañia incumpla sus obligaciones, tomando en cuenta la evolución del precio de sus acciones y el valor de sus compromisos.

• Sin embargo, hasta ahora no hemos tomado en cuenta que las mencionadas estimaciones podrían variar con el paso del tiempo.

• Una forma de estimar la probabilidad de que un individuo (o entidad) con calificación \(X_1\) permaneza con esa misma calificación, o cambie a una calificación \(X_2\) en un periodo dado, es usando las llamdas matrices de transición.

• Como ejemplo simplificado, supongamos que existen dos calificaciones, \(A\) y \(B\), un estado de Impago (Default), \(D\), y un estado que carece de calificación \(NR\). La matriz de transición se ilustra como:

• La forma más sencilla de estimar la probabilidades que aparecen en las entradas de la matriz de transición, es haciendo un análisis por cohorts. Es decir, fijamos un periodo de tiempo, \(t\), por ejemplo 1 año, 6 meses, etc. Al inicio del periodo, se tiene una cantidad de firmas \(N_{i;t}\) en la categoría \(i\). Al finalizar el perido, si se re-evalúa su calificación (Posiblemente con información adicional y/o un método distinto al original), algunas firmas habrán migrado, o transitado, a la categoría \(j\); denotamos a la cantidad de firmas que comenzaron el periodo \(t\) en la categoría \(i\), y que terminaron dicho periodo en la categoría \(j\) como $N_{ij;t}. Con estas cantidades es posible estimar una probabilidad de transición de la categoría \(i\) a la categoría \(j\) como: \[ P_t(i \rightarrow j) = p_{ij;t} = \frac{N_{ij;t}}{N_{i;t}} \]

• Usualmente, la matriz de transición se estima usando datos de distintos periodos. Es usual promediar las matrices de transición de cada periodo pesándolas con el número de firmas en dicho periodo, es decir: \[ p_{ij} = \frac{\sum_{t}N_{i;t}p_{ij;t}}{\sum_{t}N_{i;t}} = \frac{\sum_{t}N_{i;t}\frac{N_{ij;t}}{N_{i;t}}}{\sum_{t}N_{i;t}}=\frac{\sum_{t}N_{ij;t}}{\sum_{t}N_{i;t}} = \frac{N_{ij}}{N_{i}} \]

• Para estimar las probabilidades de transición a lo largo de multiples periodos, simplemente se multiplica la matriz de transición de un periodo tantas veces como periodos se quieran tomar en cuenta, es decir, para \(T_0\) periodos, la matriz de transcición se obtiene por: \[ P_{T_0} = P^{T_0}_{1} = \underbrace{P_1P_1\ldots P_1}_{\text{$T_0$ veces}} \]

• Se construye una matriz llamada generador, \(\Lambda\), de la forma: \[ \Lambda_{ij} = \frac{N_{ij}}{\int_{t_0}^{t} Y_{i}(s) ds},\ \ i \neq j;\\ \Lambda_{ii} = -\sum_{j\neq i}\Lambda_{ij}; \] donde \(Y_i(s)\) es el tiempo que pasan las frimas en la categoría \(i\). Para generar la matriz de transicion para un periodo \(T_0\) se usa: \[ P(T_0) = exp(T_0\Lambda) = \sum_{k=0}^{\infty}\frac{\Lambda^kT_0^k}{k!}. \]

Lo valioso de este método es que permite calcular la matriz de transición para cualquier periodo \(T_0\), no sólo cuando dicho periodo es entero.

Una manera usual de calcular la incertidumbre, asociada a una muestra \(S\), de algún método estadístico es usar la técnica de "Bootstraping" o "Muestreo con remplazo", que se resume en:

• Se toma un elemento \(s1 \in S\), y se incluye en una segunda muestra \(T_1\).
• Se toma un segundo elemento \(s2 \in S\), permitiendo que si \(s2=s1\) se incluya en la muestra \(T_1\) (remplazo).
• Se repite el paso anterior hasta que la muestra \(T_1\) tenga la misma cantidad de elementos que \(S\).
• Se crean \(n\sim 1000\) mestras \(T_i\), que permitan calcular con la incertidumbre deseada el estimador deseado.

En nuestro caso, el estimador deseado es el valor esperado del Default.

Esto lo calculamos usando la columna con calificación \(D\) de la matriz de transición. Hacemos dicho cálculo para cada una de las matrices \(P_i\) obtenidas con las muestras \(T_i\), y observamos su distribución. Si el estimador se comporta de forma gaussiana, es facil obtener el valor esperado \(\mu(D)\) y su desviación estándard \(\sigma(D)\), usando los estimadores muestrales. De esta forma, podemos predecir con un \(95\%\) de nivel de confianza, que el porcentaje de default d, estará en el rango: \[ d \in [\mu(D)-2\sigma(D),\mu(D)+2\sigma(D)] \]

Al calcular la matriz de transición usando datos de años anteriores, se promedian los años en los cuáles hubo variaciones en el porcentaje de empresas que incurrieron en default. Sería útil conocer qué es lo que ocasiona tales variaciones. Dichas variaciones, típicamente están correlacionads con variaciones en las condiciones macroeconómicas. Una forma sencilla de estimar el porcentaje de default durante un año, es realizar una regresión lineal usando variables macroeconómicas, usando el porcentaje de default como variable objetivo. Una lista breve de posibles variables es:

• Cambios en utilidades corporativas, \(PRF\): \[ PRF = \frac{1+\textrm{Predicción de cambios en utilidades corporativas}}{1+\textrm{Predicción de cambio en GDP}} -1 \]

• Spreads en bonos corporativos, \(SPR\): \[ SPR = \textrm{Utilidad en bonos corporativos} - \textrm{Utilidad en bonos sin riesgo} \]

• Envejecimiento de la cartera, \(AGE\): \[ AGE = \frac{\textrm{Número de nuevos clientes hace tres periodos}}{\textrm{Número total de clientes actuales}} \]

• Riesgo promedio, \(BBB\) \[ BBB = \textrm{fraccción de clientes con calificación $BBB$} \]

Por suepuesto, es posible tomar otras variables para alimentar la regresión lineal.