We should understand certain basic limitations on insurance protection. First, it is restricted to reducing those consequences of random events that can be measured in monetary terms.
A second basic limitation is that insurance does not directly reduce the probability of loss.
The economic justification for an insurance system is that it contributes to general welfare by improving the prospect that plans will not be frustrated by random events. Such systems may also increase total production by encouraging individuals and corporations to embark on ventures where the possibility of large losses would inhibit such projects in the absence of insurance.
[En alguna ocasión escuché/leí (¿dónde?) que solamente hay tres grandes maneras de añadir valor en el proceso productivo: mayor eficacia (incrementando las ventas), mayor eficiencia (reduciendo los costos) o reduciendo los riesgos.]
Al cálculo actuarial le concierne la evaluación de:
las distribuciones de pérdida individuales;
las distribuciones de pérdida colectivas;
la distribución de pérdida agregada de la compañía.
La teoría de la utilidad es un área del conocimiento cuyo objetivo es el estudio de la toma de decisiones bajo incertidumbre. La teoría de la utilidad es fundamental en el estudio del cálculo actuarial y, por lo tanto, de los sistemas de seguros.
Una posible solución a la toma de decisiones bajo incertidumbre, de acuerdo con lo propuesto por la teoría de la utilidad, consiste en calcular el valor de un determinado proyecto económico (cuyo resultado es incierto y, por lo tanto, puede ser modelado como una variable aleatoria) como el valor esperado del valor del proyecto. Este valor esperado es también conocido como el valor actuarial de un prospecto.
No obstante, y en particular en el contexto de los sistemas de seguros, con frecuencia resulta inapropiado igualar este valor esperado con el monto que un tomador de decisiones estaría dispuesto a pagar como protección ante la incertidumbre asociada al resultado del evento económico. Esto sucede porque el monto que una persona está dispuesta a pagar por esta protección generalmente depende de factores adicionales al mero resultado del evento como, por ejemplo, la riqueza de la persona (y, en particular, la riqueza de la persona en comparación al resultado económico).
En otras palabras, no es lo mismo una ganancia (o una pérdida) de $1,000,000 para una persona cuya riqueza excede significativamente ese monto que para quien tiene significativamente menos que ese monto.
Está claro que es necesario considerar algo más. La teoría de la utilidad lo que nos dice, entonces, es que el tomador de decisiones considera en realidad no el valor esperado del resultado del proyecto, sino la utilidad esperada de su riqueza al finalizarse el proyecto. Es decir que, si \(w\) es la riqueza inicial del tomador de decisiones y \(X\) es la variable aleatoria que describe el resultado del proyecto, entonces el tomador de decisiones valorará:
\[E[u(w+X)]\]
donde \(u(w)\) es una función de utilidad que modela o describe el valor que el tomador de decisiones le asigna a cada nivel de riqueza \(w\).
Así, por ejemplo, el tomador de decisiones puede comparar dos potenciales prospectos económicos, \(X\) y \(Y\), eligiendo el prospecto \(X\) si \(E[u(w + X)] > E[u(w + Y)]\), y eligiendo a \(Y\) en caso contrario.
La teoría de la utilidad, como toda teoría, parte de algunos supuestos básicos:
El tomador de decisiones es un tomador de decisiones racional, es decir, que toma decisiones siguiendo alguna regla de decisión y la sigue consistentemente.
El tomador de decisiones, al encontrarse ante dos diferentes distribuciones de resultados que afectan a su nivel de riqueza de manera diferente es capaz de expresar preferencia de una sobre de otra (o indiferencia).
Las preferencias del tomador de decisiones deben cumplir con un conjunto mínimo de requerimientos de consistencia:
[PENDIENTE: AGREGAR AQUÍ LOS PRINCIPIOS DE CONSISTENCIA.]
Los niveles cualitativos de preferencia del tomador de decisiones pueden ser descritos (sustituidos) por un valor numérico, determinado por la función de utilidad, es decir que la función de utilidad no es otra cosa que una descripción numérica de las preferencias del tomador de decisiones.
Al ser modelos que describen las preferencias, las funciones de utilidad pueden no estar determinadas de manera única.
¿Cómo se aplica esta teoría de utilidad al seguro? Supongamos que un individuo tiene una riqueza \(w\) y está expuesto a una pérdida \(X\) (\(X\) es una v.a.). Si se le ofrece la oportunidad de asegurar su riqueza contra las posibles pérdidas mediante el pago de una cantidad fija \(G\) entonces, para la toma de decisión sobre si asegurarse o no, el individuo, de acuerdo con lo señalado por la teoría de utilidad comparará las utilidad esperada de ambos prospectos, esto es
\[ \begin{align*} u(w - G)\\ E[u(w- X)] \end{align*} \]
Desde luego, el individuo decidirá comprar la protección solamente cuando
\[ u(w - G) > E[u(w- X)]. \]
Podemos ver, entonces, que la decisión de adquirir el seguro dependerá en gran medida de la forma de la función de utilidad del individuo. En este sentido, se ha observado en la práctica que \(u(\cdot)\) es una función creciente y con frecuencia con incrementos marginales decrecientes (Bowers et al. 1997). Es decir, es común suponer / observar que \(u'(w) > 0\) y \(u''(w) < 0\).
En este sentido, utilizando las desigualdades de Jensen, es posible ver que
\[ \begin{align*} u''(w) < 0 \Rightarrow E[u(X)] \leq u(E[X])\\ u''(w) > 0 \Rightarrow E[u(X)] \geq u(E[X])\\ \end{align*} \]
Si ahora aplicamos estas desigualdades al problema del seguro planteado más arriba veremos que (si \(u''(w) < 0\)), partiendo de un punto en el que el individuo es indiferente entre las dos alternativas
\[ \begin{align*} u(w - G) &= E[u(w - X)]\\ E[u(w - X)] &\leq u(E[w - X])\\ &= u(w - \mu)\\ u(w - G) &\leq u(w - \mu). \end{align*} \]
Adicionalmente, dado que \(u\) es una función creciente (\(u'(w) > 0\)) entonces
\[ \begin{align*} u(w - G) &\leq u(w - \mu)\\ w - G &\leq w - \mu\\ G &\geq \mu. \end{align*} \]
¿Qué significa esto? Recordemos que partimos de una situación de indiferencia entre los dos prospectos (asegurarse o no asegurarse). Lo que nos dice esta desigualdad es que, si la función de utilidad es creciente con incrementos marginales decrecientes, el individuo estará dispuesto a pagar una prima mayor a sus pérdidas esperadas con tal de estar asegurado. Si consideramos que las pérdidas esperadas del individuo representan los gastos principales del asegurador, entonces existe una oportunidad de una relación mutuamente beneficiosa entre asegurado y asegurador.
Un individuo con una función de utilidad con estas características es llamado un individuo averso al riesgo.
Una distribución de severidad individual es una función de distribución mediante la cual se describe el comportamiento de los montos de los siniestros individuales de una cartera de contratos de seguro. En este sentido, las funciones de distribución a usar típicamente se busca que cumplan con las siguientes características:
donde la variable aleatoria \(X\) es el monto del siniestro y \(F(X)\) es su correspondiente función de distribución.
Uno de los motivos por los que estudiamos a las distribuciones de pérdida es para entender que ciertos cambios en estas distribuciones a menudo tienen diversos efectos en diferentes capas de las coberturas del seguro. Por ello, cuando ajustamos distribuciones a datos empíricos es muy importante considerar los fines para los que será utilizada la distribución de pérdida (para ciertos usos o fines, es posible que nos interese que el ajuste sea mejor en determinadas zonas de la distribución).
Ahora, si queremos describir el monto agregado de las reclamaciones a una aseguradora en un determinado intervalo de tiempo, lo describiremos mediante la variable aleatoria:
\[X = \sum\limits_{i=0}^k Z_i\]
donde \(k\) es, también, una variable aleatoria que describe al número de reclamaciones en el intervalo de tiempo.
En términos generales, para modelar la pérdida, severidad o monto del siniestro, se busca utilizar funciones de distribución que satisfagan las características mencionadas anteriormente.
Función de densidad :
\[f(x|\alpha, \beta) = \frac{x^{\alpha - 1}}{\Gamma(\alpha) \beta^\alpha} e^{-\frac{x}{\beta}}\]
Función generadora de momentos :
\[M(t) = (1 - \beta t)^{-\alpha}\]
\(E[X]\) :
\[\alpha \cdot \beta\]
\(Var[X]\) :
\[\alpha \cdot \beta^2\]
A los parámetros \(\alpha, \beta\) se les conoce como parámetros de forma y escala, respectivamente. Sin embargo, es frecuente encontrar a la función de densidad parametrizada en función del parámetro de tasa o razón (rate, en inglés), el cual no es otra cosa más que el recíproco del parámetro de escala \(\beta\):
\[\lambda = \frac{1}{\beta};\]
\[f(x|\alpha, \lambda) = \frac{\lambda^{\gamma} }{\Gamma(\alpha)} \cdot x^{\alpha - 1} \cdot e^{-\lambda \cdot x}.\]
Una variable aleatoria log-normal es una v.a. continua \(X\) cuyo logaritmo natural se distribuye normal. En otras palabras, decimos que \(X \sim Lognormal(\mu, \sigma^2)\) si \(Y = \ln{X} \sim N(\mu, \sigma^2)\).
Desde luego, dado que \(X\) es obtenida como el logaritmo natural de una v.a. continua cuyo dominio es \(\mathbb{R}\), el dominio de \(X\) será \(\mathbb{R}^{+}\). Podemos ver, entonces uno de los motivos por los que este tipo de variables aleatorias es atractivo para modelar eventos de pérdida.
Notas históricas pendientes: Francis Galto, MacAlister, Cobb-Douglas (asociar a Matemáticas Financieras II).
\[ \begin{aligned} F_X(x) &= F_Y(g^{-1}(x)). \end{aligned} \]
Por lo tanto:
\[ \begin{aligned} f_X(x) &= \frac{d}{dx} F_X(g^{-1}(x))\\ &= f_X(g^{-1}(x)) \frac{d}{dx} g^{-1}(x). \end{aligned} \]
Si \(X = g(Y) = e^{Y}\), entonces \(Y = g^{-1}(X) = \ln{X}\) y, entonces, \(\frac{d}{dx} g^{-1}(x) = \frac{1}{x}\). Si, adicionalmente, \(Y \sim N(\mu, \sigma^2)\) entonces:
\[ \begin{aligned} f_X(x) &= f_X(g^{-1}(x)) \frac{d}{dx} g^{-1}(x)\\ &= f_X(\ln{x}) \times \frac{1}{x}\\ &= \frac{1}{x} \frac{1}{\sigma\sqrt{2 \pi}} e^{- \frac{(\ln{x} - \mu)^2}{2\sigma^2}}. \end{aligned} \]
\[ E[X] = e^{\mu + \frac{\sigma^2}{2}}. \]
[Demostración pendiente].
\[ Var[X] = e^{2\mu + \sigma^2} \times (e^{\sigma^2} - 1). \]
[Demostración pendiente.
Esta sección está compilada a partir, en principio, de mis apuntes de la materia de Cálculo Actuarial II, cursada en el ITAM durante el semestre de agosto a diciembre de 1999.
Lecturas recomendadas:
Un principio fundamental de matemáticas financieras que se extiende al cálculo actuarial es el principio de equivalencia. Este principio permite establecer el criterio de valuación, digamos, al inicio del periodo de valuación para dos esquemas de flujos de efectivo diferentes.
Una vez transcurrido cierto tiempo, sin embargo, el principio de equivalencia no aplica de la misma manera ya que el valor presente actuarial de los flujos futuros yo no necesariamente serán equivalentes. Para que el principio de equivalencia siga siendo aplicable es necesario tomar en cuenta la generación de derechos (activos) y obligaciones (pasivos) para los participantes en los esquemas de flujos de efectivo.
En el caso de obligaciones contingentes, el elemento que logra este balance entre activos y pasivos son las reservas. Las reservas son, por lo tanto, fundamentales dentro del cálculo actuarial. Sea \(k\) la v.a. correspondiente al tiempo a la muerte en años completos para una persona de edad \(x\). La función de densidad de \(k\) se denota como \(_k p_x q_{x+k}\).
Sea \(j\) la v.a. correspondiente al tiempo a la muerte en años completos para una persona de edad \(x+k\). La función de densidad de \(j\) se denotará entonces como \(_jp_{x+k}q_{x+k+j}\).
La función generadora de momentos de una variable aleatoria es una función tal que:
\[M_X (t) = E[e^{tX}]\]
Podemos ver por qué se le conoce como la función generadora de momentos si desarrollamos la expansión de la serie de Taylor de la función \(e^{tX}\) al rededor del 0:
\[M_X(t) = E[e^{0*X} + \frac{e^{0*X}*X*(t - 0)}{1!} + \frac{e^{0*X}*X^2*(t-0)^2}{2!} + \dots + \frac{e^{0*X}*X^n*(t - 0)^n}{n!} + \dots] =\]
\[E[1 + \frac{tX}{1!} + \frac{t^2X^2}{2!} + \dots + \frac{t^n*X^n}{n!} + \dots] =\]
\[1 + E[\frac{tX}{1!}] + E[\frac{t^2X^2}{2!}] + \dots + E[\frac{t^n*X^n}{n!}] + \dots =\]
Si ahora calculamos la n-ésima derivada de \(M_X(t)\) respecto de t:
\[\frac{d^n}{dt^n} M_X(t) = E[X^n] + g(t)\]
donde \(g(t)\) es una función que representa a la n-ésima derivada respecto de t de los términos de la serie de Taylor de orden mayor a n.
Si ahora evaluamos la expresión obtenida para \(t = 0\):
\[\left. \frac{d^n}{dt^n} M_X(t)\right|_{t=0} = E[X^n]\]
ya que todos los términos de \(g(t)\) se encuentran multiplicados por una potencia de \(t\).