問題１（教科書p.60 小問題２）：

①の解答

表１のシャピロ・ウイルクの検定結果から，握力（p = 0.0011 < 0.05） と年齢(p = 0.0000 < 0.05) は正規分布ではなく，身長(p = 0.1009 > 0.05)が正規分布であるから， いずれも少なくとも1方が非正規分布のため，すべてスピアマンの順位相関係数である。

②の解答

表３により，握力と身長(p = 0.0000 < 0.05)は，有意な相関（結果）があると認められる。

③の解答

握力と身長は有意な相関があり，表２により，その相関係数は0.7665で，強い正の相関を有する。

問題２：

Aさん～Gさんの数学と理科のテスト成績が次のようになる。数学と理科の成績の間に相関性があるか，RstudioまたはEZR（例２のようにデータをインポート）を用いて相関検定を行い，相関係数と散布図も求めなさい。

①模範解答

数学と理科の成績をベクトルとして，それぞれxとyに代入して， シャピロ・ウィルク検定を用い，それぞれの正規性を検定する。 ２方とも，正規分布であれば，ピアソン相関係数を求め，少なくとも １方が非正規分布なら，スピアマン順位相関係数を求める。最後に 検定結果を解釈する。

#相関係数(ピアソンかスピアマンか自動判断）
# データ:
x <- c(71, 45, 88, 51, 48, 56, 40)
y <- c(50, 35, 92, 44, 65, 66, 33)

#データの正規性をシャピロ・ウィルク検定で確認
shapiro_x <- shapiro.test(x)
shapiro_y <- shapiro.test(y)

cat("xのシャピロ検定 p値: ", shapiro_x$p.value, "\n")
## xのシャピロ検定 p値:  0.2579559
cat("yのシャピロ検定 p値: ", shapiro_y$p.value, "\n")
## yのシャピロ検定 p値:  0.4766395
# 正規性の判定 (p値 > 0.05なら正規分布とみなす)
if (shapiro_x$p.value > 0.05 & shapiro_y$p.value > 0.05) {
  cat("両変数は正規分布とみなされるため、ピアソン相関係数を利用する。\n")
  
  # ピアソン相関係数の計算
  result <- cor.test(x, y, method = "pearson")
} else {
  cat("少なくとも一方が正規分布でないため、スピアマン順位相関係数を利用する。\n")
  
  # スピアマン順位相関係数の計算
  result <- cor.test(x, y, method = "spearman")
}
## 両変数は正規分布とみなされるため、ピアソン相関係数を利用する。
# 相関結果の出力
cat("相関係数: ", result$estimate, "\n")
## 相関係数:  0.7828269
cat("p値: ", result$p.value, "\n")
## p値:  0.03740906
# 有意性の判断
if (result$p.value < 0.05) {
  cat("有意な相関が認められます。\n")
} else {
  cat("有意な相関は認められません。\n")
}
## 有意な相関が認められます。
#散布図
plot(x, y, pch = 19, col = "red")

②検定結果の解釈

  • 帰無仮説：数学と理科の成績間に相関性がない。

  • シャピロ検定結果，数学(p = 0.2579559 > 0.05)と 理科(p = 0.4766395 > 0.05)とも，正規分布に従う。

  • ピアソン相関係数が適用である。

  • ピアソン相関検定の結果，p = 0.03740906 < 0.05, 帰無仮説を 棄却できるから，統計的有意な相関が認め， 相関係数 r = 0.7828269であるため，かなり強い相関性があると判断できる。 また，散布図からも，正の強い相関が見られる。