Questão 1
matematica_antes <- c(6.0, 5.2, 5.6, 8.7, 5.2, 6.3, 6.4, 7.4)
biologia_antes <- c(5.6, 4.5, 4.2, 4.3, 4.1, 7.1, 4.9, 4.3)
matematica_depois <- c(8.0, 8.9, 7.7, 8.6, 8.4, 7.7, 9.2, 8.6)
biologia_depois <- c(7.1, 8.0, 8.5, 8.4, 8.5, 6.0, 8.0, 6.9)
# Matrizes
antes <- cbind(matematica_antes, biologia_antes)
depois <- cbind(matematica_depois, biologia_depois)
# Diferença entre as notas "Depois" e "Antes"
diferenca <- depois - antes
# Dados necessarios
n <- nrow(diferenca) # Numero de individuos
p <- ncol(diferenca) # Numero de variaveis (Matematica e Biologia)
media_dif <- colMeans(diferenca) # Media das diferenças
cov_dif <- cov(diferenca) # Matriz de covariancia das diferencas
# Estatistica T2 de Hotelling
t2 <- n * t(media_dif) %*% solve(cov_dif) %*% media_dif
t2
## [,1]
## [1,] 33.74379
# Valor critico da distribuicao F
alpha <- 0.05
f_crit <- ((n - 1) * p / (n - p)) * qf(1 - alpha, p, n - p)
f_crit
## [1] 12.00092
# Decisao
if (t2 > f_crit) {
cat("Conclusão: Rejeitamos H0. Há diferença significativa entre as notas Antes e Depois.\n")
} else {
cat("Conclusão: Não rejeitamos H0. Não há evidência suficiente para afirmar diferença significativa.\n")
}
## Conclusão: Rejeitamos H0. Há diferença significativa entre as notas Antes e Depois.
Questão 2
grupo_a <- data.frame(
Comprimento = c(14.69, 14.62, 17.26, 18.27, 13.41, 16.66, 18.33),
Peso = c(19.17, 12.58, 15.19, 16.65, 11.06, 10.34, 18.4),
Volume = c(16.6, 10.51, 17.66, 16.5, 12.79, 11.67, 13.97)
)
grupo_b <- data.frame(
Comprimento = c(12.76, 10.86, 17.84, 16.37, 16.25, 17.95, 10.26),
Peso = c(14.29, 13.97, 18.58, 13.65, 15.31, 18.77, 13.29),
Volume = c(19.06, 10.98, 14.68, 13.12, 19.51, 14.04, 12.58)
)
# a) Calculo das medias de cada variavel para cada grupo
media_a <- colMeans(grupo_a)
media_a
## Comprimento Peso Volume
## 16.17714 14.77000 14.24286
media_b <- colMeans(grupo_b)
media_b
## Comprimento Peso Volume
## 14.61286 15.40857 14.85286
# b) Calculo da matriz de covariancia combinada Sp
n_a <- nrow(grupo_a) # Tamanho do Grupo A
n_b <- nrow(grupo_b) # Tamanho do Grupo B
cov_a <- cov(grupo_a) # Matriz de covariancia do Grupo A
cov_b <- cov(grupo_b) # Matriz de covariancia do Grupo B
# Matriz de covariancia combinada
sp <- ((n_a - 1) * cov_a + (n_b - 1) * cov_b) / (n_a + n_b - 2)
sp
## Comprimento Peso Volume
## Comprimento 7.208090 4.340994 2.571950
## Peso 4.340994 8.891774 3.750894
## Volume 2.571950 3.750894 9.026174
# c) Aplicacao do teste T² de Hotelling
# Diferença entre os vetores de medias
diff_medias <- as.matrix(media_a - media_b)
# Estatistica T²
t2 <- (n_a * n_b / (n_a + n_b)) * t(diff_medias) %*% solve(sp) %*% diff_medias
t2
## [,1]
## [1,] 2.760874
# Valor critico da distribuicao F
p <- ncol(grupo_a) # Numero de variaveis
alpha <- 0.05
f_crit <- ((n_a + n_b - 2) * p / (n_a + n_b - 1 - p)) * qf(1 - alpha, p, n_a + n_b - 1 - p)
f_crit
## [1] 13.34975
# Decisao
if (t2 > f_crit) {
cat("Conclusão: Rejeitamos H0. Há diferença significativa entre os dois grupos.\n")
} else {
cat("Conclusão: Não rejeitamos H0. Não há evidência suficiente para afirmar diferença significativa entre os dois grupos.\n")
}
## Conclusão: Não rejeitamos H0. Não há evidência suficiente para afirmar diferença significativa entre os dois grupos.
Questão 3
dados <- data.frame(
Ansiedade = c(42, 38, 44, 40, 37, 41, 43, 39, 42, 38, 41, 40, 39, 43, 37),
Cortisol = c(26, 24, 27, 25, 24, 26, 28, 25, 27, 24, 26, 25, 23, 28, 24),
QualidadeSono = c(6.5, 7.2, 6.8, 7.0, 7.5, 6.9, 6.4, 7.3, 6.6, 7.1, 6.7, 7.4, 7.0, 6.8, 7.6)
)
# a) Teste para a matriz de correlacoes
# Calculando a matriz de correlacao
correlacoes <- cor(dados)
correlacoes
## Ansiedade Cortisol QualidadeSono
## Ansiedade 1.0000000 0.9022189 -0.8317286
## Cortisol 0.9022189 1.0000000 -0.7335882
## QualidadeSono -0.8317286 -0.7335882 1.0000000
# Teste de Bartlett para verificar a adequacao da matriz de correlacao
library(psych)
bartlett.test <- cortest.bartlett(correlacoes, n = nrow(dados))
bartlett.test
## $chisq
## [1] 34.84367
##
## $p.value
## [1] 1.314508e-07
##
## $df
## [1] 3
# b) Teste T² de Hotelling
# Hipotese nula: Media populacional e c(39, 25, 7.0)
media_populacional <- c(39, 25, 7.0)
media_amostra <- colMeans(dados) # Media da amostra
cov_amostra <- cov(dados) # Matriz de covariancia
n <- nrow(dados) # Tamanho da amostra
p <- ncol(dados) # Numero de variaveis
# Estatistica T² de Hotelling
diff_medias <- as.matrix(media_amostra - media_populacional)
t2 <- n * t(diff_medias) %*% solve(cov_amostra) %*% diff_medias
t2
## [,1]
## [1,] 18.11812
# Valor critico da distribuicao F
alpha <- 0.05
f_crit <- ((n - 1) * p / (n - p)) * qf(1 - alpha, p, n - p)
f_crit
## [1] 12.21603
# Decisao
if (t2 > f_crit) {
cat("Conclusão: Rejeitamos H0. As médias da amostra diferem significativamente da população especificada.\n")
} else {
cat("Conclusão: Não rejeitamos H0. Não há evidências suficientes para dizer que as médias da amostra diferem da população especificada.\n")
}
## Conclusão: Rejeitamos H0. As médias da amostra diferem significativamente da população especificada.
Questão 4
dados <- data.frame(
Variedades = factor(c("A", "B", "C", "D", "A", "B", "C", "D", "A", "B", "C", "D")),
Altura = c(45.2, 46.5, 47.0, 42.1, 43.0, 42.5, 50.1, 49.8, 51.2, 40.5, 41.0, 40.8),
Frutos = c(15, 14, 16, 12, 13, 11, 17, 18, 16, 10, 9, 8)
)
dados
## Variedades Altura Frutos
## 1 A 45.2 15
## 2 B 46.5 14
## 3 C 47.0 16
## 4 D 42.1 12
## 5 A 43.0 13
## 6 B 42.5 11
## 7 C 50.1 17
## 8 D 49.8 18
## 9 A 51.2 16
## 10 B 40.5 10
## 11 C 41.0 9
## 12 D 40.8 8
# MANOVA: Analise de Variancia Multivariada
manova_resultado <- manova(cbind(Altura, Frutos) ~ Variedades, data = dados)
manova_resultado
## Call:
## manova(cbind(Altura, Frutos) ~ Variedades, data = dados)
##
## Terms:
## Variedades Residuals
## Altura 21.49583 144.82667
## Frutos 16.25 102.00
## Deg. of Freedom 3 8
##
## Residual standard errors: 4.254801 3.570714
## Estimated effects may be unbalanced
# Resultados das ANOVAs univariadas para cada variavel
summary.aov(manova_resultado)
## Response Altura :
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Variedades 3 21.496 7.1653 0.3958 0.7597
## Residuals 8 144.827 18.1033
##
## Response Frutos :
## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
## Variedades 3 16.25 5.4167 0.4248 0.7406
## Residuals 8 102.00 12.7500