EXERCÍCIOS TRIOLA, 10 ed. – CAPÍTULO 6 – SEÇÃO 6-3

Escores de QI. Nos exercícios 5 a 12, suponha que os adultos tenham escores de QI normalmente distribuídos, com média igual a 100 e desvio padrão de 15. Sugestão: desenhe um gráfico em cada caso.

  1. Ache a probabilidade de que um adulto, selecionado aleatoriamente, tenha um QI menor do que 130.
pnorm(130, mean = 100, sd = 15)
## [1] 0.9772499

Gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
plot(x, y, type = "l")
abline(h=0)
i <- x <= 130
polygon(c(0,x[i],130), c(0,y[i],0), col="blue")

  1. Ache a probabilidade de que um adulto, selecionado aleatoriamente, tenha um QI maior do que 131,5 (que é a exigência para ser membro da sociedade Mensa).
pnorm(131.5, mean = 100, sd = 15, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.01786442

Gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)

plot(x, y, type = "l")
abline(h = 0)

i <- x >= 131.5
polygon(c(132,x[i],145), c(0,y[i],0), col="red")

  1. Ache a probabilidade de que um adulto, selecionado aleatoriamente, tenha um QI entre 90 e 110 (considerado como a faixa normal).
pnorm(110, mean = 100, sd = 15) - pnorm(90, mean = 100, sd = 15)
## [1] 0.4950149

Gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
plot(x, y, type = "l")
abline(h = 0)
i <- x >= 90 & x <= 110
polygon(c(90,x[i],110), c(0,y[i],0), col = "green")

  1. Ache a probabilidade de que um adulto, selecionado aleatoriamente, tenha um QI entre 110 e 120 (considerado como a faixa normal brilhante).
pnorm(120, mean = 100, sd = 15) - pnorm(110, mean = 100, sd = 15)
## [1] 0.1612813

Gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
plot(x, y, type = "l")
abline(h = 0)
i <- x >= 110 & x <= 120
polygon(c(110,x[i],120), c(0,y[i],0), col = "lightcyan")

  1. Ache P10, que é o escore de QI que separa os 10% inferiores dos 90% superiores.
qnorm(0.1, 100, 15)
## [1] 80.77673

Gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
plot(x, y, type = "l")
abline(h=0)
i <- x <= 81
polygon(c(0,x[i],81), c(0,y[i],0), col="lightgreen")

  1. Ache P60 que é o escore de QI que separa os 60% inferiores dos 40% superiores.
qnorm(0.6, 100, 15)
## [1] 103.8002

Gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
plot(x, y, type = "l")
abline(h=0)
i <- x <= 104
polygon(c(0,x[i],104), c(0,y[i],0), col="lightyellow")

  1. Ache o escore de QI que separa os 35% superiores dos demais.
qnorm(0.35, 100, 15, lower.tail = FALSE)
## [1] 105.7798

Gráfico:

x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
plot(x, y, type = "l")
abline(h = 0)
i <- x >= 105.8
polygon(c(106,x[i],145), c(0,y[i],0), col="aquamarine")

  1. Ache o escore de QI que separa os 85% superiores dos demais.
qnorm(0.85, 100, 15, lower.tail = FALSE)
## [1] 84.4535
x <- seq(55, 145)
y <- dnorm(x, 100, 15)
plot(x, y, type = "l")
abline(h = 0)
i <- x >= 84.45
polygon(c(85,x[i],145), c(0,y[i],0), col="royalblue")

Nos Exercícios 13 a 16, use as seguintes informações (baseadas em dados da Pesquisa Nacional de Saúde):

  1. Exigência de Altura do Club Beanstalk. O Club Beanstalk, uma organização social para pessoas altas, tem uma exigência de que as mulheres devem ter uma altura de, pelo menos, 70 pol (70 pol = 177,8 cm). Qual é a porcentagem de mulheres que atendem a tal exigência?
round(pnorm(70, 63.6, 2.5, lower.tail = F) * 100,  2)
## [1] 0.52
  1. Exigência de Altura para Mulheres Militares. O exército americano exige que a altura das mulheres esteja entre 58 pol (ou 147,32 cm) e 80 pol (203,2 cm). Ache a porcentagem de mulheres que atendem a essa exigência. Há muitas mulheres que têm seu direito de ingressar no Exército negado por serem muito baixas ou muito altas?
round(((pnorm(80, 63.6, 2.5) - pnorm(58, 63.6, 2.5))*100),2)
## [1] 98.75

Não. O percentual de mulheres que têm seu direito de ingressar no Exército negado por serem muito baixas ou muito altas é de 100 - 98.75 = 1,25%.

  1. Projetando Portas. A altura padrão de uma porta é de 80 pol (203,2 cm).
  1. Qual é a porcentagem dos homens que são tão altos que não passam por uma porta padrão sem se curvarem, e qual é a porcentagem das mulheres que são tão altas que não passam por uma porta padrão sem se curvarem? Com base nesses resultados, parece que o projeto atual de porta é adequado?

Homens:

round(pnorm(80, 69, 2.8, lower.tail = F)*100,4)
## [1] 0.0043

Mulheres:

round(pnorm(80, 63.6, 2.5, lower.tail = F)*100,4)
## [1] 0
  1. Se um estatístico projeta uma casa de modo que todas as portas tenham altura suficiente para todos os homens, exceto os 5% mais altos, qual seria a altura de porta usada?
round(qnorm(0.95, 69, 2.8), 1)
## [1] 73.6
  1. Projetando Caixões. O caixão padrão tem um comprimento interno de 78 pol (198,12 cm).
  1. Qual é a porcentagem de homens altos demais para caberem em um caixão padrão, e qual é a porcentagem de mulheres altas demais para caberem em um caixão padrão? Com base nesses resultados, parece que o tamanho de um caixão padrão é adequado?

Homens:

round(pnorm(78, 69, 2.8, lower.tail = F) * 100, 2)
## [1] 0.07

Mulheres:

round(pnorm(78, 63.6, 2.5, lower.tail = F) * 100, 2)
## [1] 0
  1. Um fabricante de caixões deseja reduzir os custos de produção fazendo caixões menores. Qual comprimento interno seria adequado para todos os homens, com exceção dos 1% mais altos?
round(qnorm(0.99, 69, 2.8), 1)
## [1] 75.5
  1. Pesos ao Nascer. Os pesos ao nascer, nos Estados Unidos, são normalmente distribuídos, com uma média de 3420 g e um desvio padrão de 495 g. Se um hospital planeja estabelecer condições especiais de observação para os 2% bebês mais leves, qual peso seria usado para o corte que separa 2% mais leves dos demais?
round(qnorm(0.02, 3420, 495), 1)
## [1] 2403.4
  1. Pesos ao Nascer. Na Noruega, os pesos ao nascer são normalmente distribuídos, com uma média de 3570 g e um desvio padrão de 500 g. Repita o Exercício 17 para os bebês nascidos na Noruega. O resultado é muito diferente do encontrado no Exercício 17?
round(qnorm(0.02, 3570, 500), 1)
## [1] 2543.1

O resultado não é muito diferente do resultado encontrado no exercício 17, pois a diferença foi de aproximadamente 140 g.

  1. Contato Visual. Em um estudo de comportamento facial, as pessoas em um grupo de controle têm seu contato visual controlado por um período de 5 minutos. Seus tempos são normalmente distribuídos, com uma média de 184,0 s e um desvio padrão de 55,0 s (com base em “Ethological Study of Facial Behavior in Nonparanoid and Paranoid Schizophrenic Patients”, de Pittman, Olk, Orr e Singh, Psychiatry, Vol. 144, Nº 1). Para uma pessoa selecionada aleatoriamente no grupo de controle, ache a probabilidade de que seu tempo de contato visual seja maior do que 230,0 s, que é a média para esquizofrênicos paranóides.
pnorm(230, 184, 55, lower.tail = F)
## [1] 0.2014752
  1. Temperaturas do Corpo. Com base nos resultados amostrais do Conjunto de Dados 2 do Apêndice B, suponha que as temperaturas do corpo humano sejam distribuídas normalmente, com média de 98,20°F e um desvio padrão de 0,62°F.
  1. O Hospital Bellevue, na Cidade de Nova York, usa 100,6°F como a menor temperatura considerada como febre. Qual é a porcentagem de pessoas normais e saudáveis que seriam consideradas febris? Tal porcentagem sugere que o corte de 100,6°F é apropriado?
round(pnorm(100.6, 98.2, 0.62, lower.tail = F)*100, 4)
## [1] 0.0054

A temperatura de 100,6°F não é apropriada como temperatura de corte para febre, pois somente 0,0054% dos casos atingem esse valor. Além disso, 100,6°F está fora do limite de µ + 3σ, o que confirma que essa temperatura é muito rara.

  1. Os médicos desejam selecionar uma temperatura mínima para a requisição de exames médicos adicionais. Qual deve ser essa temperatura, se eles desejam que somente 5% das pessoas saudáveis tenham temperatura superior? (Tal resultado é chamado um falso positivo, o que significa que o resultado do teste deu positivo, mas a pessoa não está realmente doente.)
round(qnorm(0.95, 98.2, 0.62), 2)
## [1] 99.22
  1. Tempos de Gravidez. Os tempos de gravidez são normalmente distribuídos, com uma média de 268 dias e um desvio padrão de 15 dias.
  1. Um uso clássico de distribuição normal é inspirado em uma carta para “Dear Aby”, na qual uma mulher afirmava ter dado à luz 308 dias depois da visita de seu marido, que estava em serviço na Marinha. Dada essa informação, ache a probabilidade de uma gravidez durar 308 dias ou mais. O que esse resultado sugere?
pnorm(308, 268, 15, lower.tail = F)
## [1] 0.003830381

O resultado sugere que, ou foi uma gravidez muito rara, ou o marinheiro não era o pai.

  1. Se um bebê é classificado como prematuro no caso de a duração da gravidez estar dentro dos 4% tempos inferiores, ache o tempo de gravidez que separa os bebês prematuros dos demais. Bebês prematuros requerem tratamentos especiais, e esse resultado pode ser útil para os administradores de hospitais no planejamento de tais cuidados.
round(qnorm(0.04, 268, 15), 1)
## [1] 241.7
  1. Larguras de Quadris e Assentos de Aeronaves. Os engenheiros desejam projetar assentos em aviões comerciais de modo que sejam largos o bastante para acomodarem 98% de todos os homens. (Acomodar 100% dos homens exigiria assentos muito largos que seriam muito caros.) Os homens têm quadris que são normalmente distribuídos, com uma média de 14,4 pol e um desvio padrão de 1,0 pol (com base em dados da sondagem antropométrica de Gordon, Clauser, et. al.). Ache P98. Isto é, ache a largura de quadril que separa os 98% menores dos 2% mais largos.
round(qnorm(0.98, 14.4, 1), 2)
## [1] 16.45
  1. Desenhando Capacetes. Os engenheiros têm que considerar a largura da cabeça dos homens ao desenhar capacetes para motociclistas. Os homens têm cabeça com largura normalmente distribuída, com uma média de 6,0 pol e um desvio padrão de 1,0 pol (com base nos dados de uma sondagem antropométrica de Gordon, Churchill et. al.). Devido a restrições orçamentárias, os capacetes serão desenhados de modo a se ajustarem em todos os homens, exceto aqueles com largura de cabeça dentre as 2,5% inferiores ou 2,5% superiores. Ache as larguras mínima e máxima que se ajustarão aos capacetes.

Largura mínima:

round(qnorm(0.025, 6, 1), 2)
## [1] 4.04

Largura máxima:

round(qnorm(0.975, 6, 1), 2)
## [1] 7.96
  1. Distância de Assento. Uma exigência comum é de que um item (tal como um assento de avião ou de teatro) se ajuste a pessoas na faixa entre o 5º percentil para mulheres e o 95º percentil para homens. Se essa exigência é adotada, quais são as distâncias mínima e máxima de assento? Para a distância de assento, use o comprimento das nádegas ao joelho. Os homens têm esses comprimentos distribuídos normalmente, com uma média de 23,5 pol e um desvio padrão de 1,1 pol. As mulheres têm esses comprimentos distribuídos normalmente, com uma média de 22,7 pol e um desvio padrão de 1,0 pol.

5º percentil para mulheres:

round(qnorm(0.05, 22.7, 1), 2)
## [1] 21.06

95º percentil para homens:

round(qnorm(0.95, 22.7, 1), 2)
## [1] 24.34
  1. Conjunto de Dados do Apêndice B: Pressão Sanguínea Sistólica. Consulte o Conjunto de Dados 1 no Apêndice B e use os níveis de pressão sanguínea sistólica para homens.

Dados: 125, 107, 126, 110, 110, 107, 113, 126, 137, 110, 109, 153, 112, 119, 113, 125, 131, 121, 132, 112, 121, 116, 95, 110, 110, 125, 124, 131, 109, 112, 127, 132, 116, 125, 112, 125, 120, 118, 115, 115.

masc_sist <- c(125, 107, 126, 110, 110, 107, 113, 126, 137, 110, 109, 153, 112, 119, 113, 125, 131, 121, 132, 112, 121, 116, 95, 110, 110, 125, 124, 131, 109, 112, 127, 132, 116, 125, 112, 125, 120, 118, 115, 115)
  1. Usando os níveis de pressão sanguínea sistólica para homens, ache a média, o desvio padrão, e verifique se os dados têm uma distribuição que é aproximadamente normal.

Média:

mean(masc_sist)
## [1] 118.9

Desvio Padrão:

sd(masc_sist)
## [1] 10.46312
  1. Supondo que os níveis de pressão sanguínea sistólica de homens sejam normalmente distribuídos, ache o 5º e o 95º percentis. [Considere as estatísticas da parte (a) como se fossem parâmetros populacionais.] Tais percentis poderiam ser úteis para os médicos ao determinarem se níveis de pressão sanguínea sistólica são muito baixos ou muito altos.

5º percentil:

round(qnorm(0.05, 118.9, 10.46), 1)
## [1] 101.7

95º percentil:

round(qnorm(0.95, 118.9, 10.46), 1)
## [1] 136.1
  1. Conjunto de Dados do Apêndice B: Pressão Sanguínea Sistólica. Repita o Exercício 25 para as mulheres.

Dados: 104, 99, 102, 114, 94, 101, 108, 104, 123, 93, 89, 112, 107, 116, 181, 98, 100, 127, 107, 116, 97, 155, 106, 110, 105, 118, 133, 113, 113, 107, 95, 108, 114, 104, 125, 124, 92, 119, 93, 106.

fem_sist <- c(104, 99, 102, 114, 94, 101, 108, 104, 123, 93, 89, 112, 107, 116, 181, 98, 100, 127, 107, 116, 97, 155, 106, 110, 105, 118, 133, 113, 113, 107, 95, 108, 114, 104, 125, 124, 92, 119, 93, 106)
  1. Média:
mean(fem_sist)
## [1] 110.8

Desvio Padrão:

sd(fem_sist)
## [1] 17.1138
  1. 5º percentil:
round(qnorm(0.05, 110.8, 17.11), 1)
## [1] 82.7

95º percentil:

round(qnorm(0.95, 110.8, 17.11), 1)
## [1] 138.9

Referência:

TRIOLA, Mario F. Introdução à estatística. 10.ed. Rio de Janeiro: LTC, 2008.