O Modelo Logístico de 3 Parâmetros (3PL) é um dos modelos da Teoria de Resposta ao Item (TRI).

A equação do Modelo de 3PL é dada por:

\[\begin{equation}\label{eq:3PL} P({U_i}_j = 1|{\theta}_j) = c_i(1-c_i)+\frac{1}{1+e^{-Da_i(\theta_j- b_i)}} \end{equation}\]

com i = 1, 2, …, I e j = 1,2, … , n 

# Funçao da cci no R
P_theta <- function(theta, D = 1.702) {
  c + (1 - c) / (1 + exp(-D * a * (theta - b)))
}

θ representa a habilidade ou proficiência.

Dificuldade (\(b_i\)): é o valor do traço latente θ que determina a posição da curva característica do item ao longo do eixo de habilidade. Esse parâmetro indica o nível de proficiência necessário para que o item comece a discriminar entre indivíduos com habilidades mais altas e mais baixas. Quanto maior o b, mais “à direita” no eixo de habilidade a curva estará, indicando um item mais difícil.

Discriminação (\(a_i\)) Reflete a capacidade do item de distinguir entre pessoas com diferentes níveis de habilidade ou proficiência. Um valor maior de a indica que o item é mais sensível às diferenças de habilidade.

Acerto Casual (\(c_i\)) Representa a probabilidade de uma pessoa acertar o item mesmo sem possuir a habilidade necessária, como ao adivinhar a resposta correta.

D Constante de normalização, geralmente D = 1,702.

O Modelo de 3PL é especialmente útil em testes de múltipla escolha, nos quais os respondentes têm a opção de adivinhar a resposta correta. Essa é uma das razões pelas quais o Modelo de 3PL é usado em avaliações de grande escala, como o Exame Nacional do Ensino Médio (ENEM) e outras avaliações padronizadas.

Exemplo de Curva Característica do Item (CCI)

Segue um exemplo de Curva característica do item com os parâmetros a = 2, b = 1 e c = 0,2

# Função para plotar  a curva caracteristica do item
plotCCI <- function(){
  curve(P_theta(x), 
      from = -3, to = 3, 
      xlab = expression(theta), 
      ylim = c(0,1),
      ylab = expression(P(theta)), 
      main = "Curva Característica do Item", 
      lwd = 2)
}
# Parâmetros do item
a <- 2  
b <- 1  
c <- 0.2 

# Plotar a curva caracteristica do item
plotCCI()

Adicionando o ponto de inflexão

O ponto de inflexão de uma função é o ponto em que a derivada é igual a zero.

A primeira derivada da equação é:

\[ P'(\theta_j) = \frac{D \cdot (1 - c_i) \cdot a_i \cdot e^{-D a_i (\theta_j - b_i)}}{\left( 1 + e^{-D a_i (\theta_j - b_i)} \right)^2} \]

A primeira derivada nunca é igual a 0.

Fazendo a 2ª derivada da função característica do item, temos:

\[ P''(\theta_j) = \frac{D^2 (1 - c_i) a_i^2 e ^{-D(\theta_j - b_i)}} {(1 + e^{-D(\theta_j - b_i)})^2} + \frac{D^2 (1 - c_i) a_i^2 (e^{-D(\theta_j - b_i)})^2} {(1 + e^{-D(\theta_j - b_i)})^2}. \]

Temos que a 2ª derivada é ihual a zero somente quando \(\theta_j = b_i\).
Portanto \(\theta_j = b_i\) é o ponto de inflexão da curva característica do item.

plotCCI()
# Para add o ponto de inflexão
points(b, P_theta(theta = b), pch = 19, col = "red")