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广义线性模型

<!DOCTYPE html> 000

广义线性模型

<div>
<div class="quarto-title-meta-heading">Author</div>
<div class="quarto-title-meta-contents">
         <p>221527229方景鑫</p>
      </div>

1 广义线性模型

1.1 Logisitic回归：妊娠糖尿病分析

因变量：糖尿病(Diabetes){阳性：pos，阴性：neg}，设阳性为1、阴性为0
自变量：年龄(Age)、体重指数(BMI，kg/m² )、血糖浓度(Glucose )、舒张压(Diastolic blood pressure，(mm)Hg )、怀孕次数(Number of times pregnant )
数据文件：diabetes.csv，共 724个观察值

1.1.1 划分训练集和测试集

前450条个案为训练集，用于估计Logist模型

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	Age	Diabetes	BMI	Glucose	Pressure	Pregnant
1	50	pos	33.6	148	72	6
2	31	neg	26.6	85	66	1
3	32	pos	23.3	183	64	8
4	21	neg	28.1	89	66	1
5	33	pos	43.1	137	40	0
6	30	neg	25.6	116	74	5
7	26	pos	31	78	50	3
8	53	pos	30.5	197	70	2
9	30	neg	37.6	110	92	4
10	34	pos	38	168	74	10

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后274条个案为测试集，用于评价模型的估计效果

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	Age	Diabetes	BMI	Glucose	Pressure	Pregnant
451	63	neg	28	132	86	4
452	35	pos	35.5	158	70	3
453	29	neg	35.2	123	88	0
454	28	neg	27.8	85	58	4
455	23	neg	38.2	84	82	0
456	24	pos	42.3	135	68	0
457	21	neg	40.7	139	62	1
458	58	neg	46.5	173	78	0
459	28	neg	25.6	99	72	4
460	67	neg	26.1	194	80	8

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训练集糖尿病率36.44%，测试集糖尿病率为31.02%，两者大致相等。

1.1.2 训练集估计回归方程

term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	-7.950	0.97	-8.21	0.00
Age	0.012	0.01	1.00	0.32
BMI	0.089	0.02	4.81	0.00
Glucose	0.032	0.00	7.39	0.00
Pressure	-0.005	0.01	-0.50	0.61
Pregnant	0.098	0.04	2.45	0.01

l o g (\frac{p}{1 - p}) = - 7.95 + 0.012 \times A g e + 0.089 \times B M I + 0.032 \times G l u c o s e - 0.005 \times P r e s s u r e + 0.098 \times P r e g n a n t

1.1.3 测试集预测效果评价

	pos_pred	neg_pred
pos	53	32
neg	21	168

由训练集预测混淆矩阵可知

准确率(accuracy)：80.66%
精确率(precision)：62.35%
召回率(recall)：71.62%
$F_{1}$ 得分( $F_{1}$ score)：66.67%

1.1.4 回归模型边际效应

     Age      BMI  Glucose Pressure Pregnant 
    0.26     1.94     0.70    -0.11     2.14

年龄每增加一岁患病风险提高0.26%；体重指数每增加1患病风险提高1.94%；血糖浓度每增加1患病风险提高0.7%；舒张压每增加1患病风险降低0.11%；怀孕次数每增加一次患病风险提高2.14%。
体重指数、血糖浓度、怀孕次数对患病风险呈正向影响，符合预期。
年龄和舒张压对患病风险影响小且不显著，考虑逐步回归选择更合适的模型

1.2 Logisitic回归逐步回归

1.2.1 逐步回归的回归方程

Start: AIC=461.36 Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pressure + Pregnant

       Df Deviance    AIC

Pressure 1 449.62 459.62
Age 1 450.35 460.35 449.36 461.36
Pregnant 1 455.53 465.53
BMI 1 474.67 484.67
Glucose 1 515.90 525.90

Step: AIC=459.62 Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pregnant

       Df Deviance    AIC

Age 1 450.43 458.43 449.62 459.62
Pregnant 1 455.69 463.69
BMI 1 475.95 483.95
Glucose 1 515.92 523.92

Step: AIC=458.43 Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant

       Df Deviance    AIC

450.43 458.43 - Pregnant 1 461.76 467.76 - BMI 1 476.19 482.19 - Glucose 1 522.88 528.88

term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	-7.950	0.97	-8.21	0.00
Age	0.012	0.01	1.00	0.32
BMI	0.089	0.02	4.81	0.00
Glucose	0.032	0.00	7.39	0.00
Pressure	-0.005	0.01	-0.50	0.61
Pregnant	0.098	0.04	2.45	0.01

$l o g (\frac{p}{1 - p}) = - 7.95 + 0.012 \times A g e + 0.089 \times B M I + 0.032 \times G l u c o s e - 0.005 \times P r e s s u r e + 0.098 \times P r e g n a n t$

1.2.2 逐步回归的预测效果

	pos_pred	neg_pred
pos	53	32
neg	22	167

由训练集预测混淆矩阵可知

准确率(accuracy)：80.29%
精确率(precision)：62.35%
召回率(recall)：70.67%
$F_{1}$ 得分( $F_{1}$ score)：66.25% ### 逐步回归的边际效应

     Age      BMI  Glucose Pressure Pregnant 
    0.26     1.94     0.70    -0.11     2.14

2 判别分析

2.1 线性贝叶斯判别

2.1.1 判别函数

由于只有目标变量只有两类，线性贝叶斯判别等价于Fisher判别。以下为Fisher判别的判别函数：

$w = 5.981 + 0.008 \times A g e + 0.068 \times B M I + 0.028 \times G l u c o s e - 0.003 \times P r e s s u r e + 0.082 \times P r e g n a n t$

该判别函数和Logsitic回归的方程近似等价，各系数存在近似的倍数关系。注意，这里 $w$ 大于0判为neg，小于0判为pos。

2.1.2 测试集合的预测结果

测试集合预测的后验概率:

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	neg	pos
451	0.634	0.366
452	0.332	0.668
453	0.738	0.262
454	0.926	0.074
455	0.901	0.099
456	0.489	0.511
457	0.464	0.536
458	0.109	0.891
459	0.906	0.094
460	0.119	0.881

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两类后验概率差异越大代表判别越有把握，错判的概率越小。

测试集合预测的混淆矩阵

	pos_pred	neg_pred
pos	53	32
neg	22	167

预测效果与Logistic模型基本一致。

2.2 二次贝叶斯判别

2.2.1 测试集合的预测

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	neg	pos
451	0.412	0.588
452	0.402	0.598
453	0.727	0.273
454	0.931	0.069
455	0.854	0.146
456	0.494	0.506
457	0.509	0.491
458	0.056	0.944
459	0.951	0.049
460	0.063	0.937

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2.2.2 测试集合的混淆矩阵

	pos_pred	neg_pred
pos	53	32
neg	23	166

模型整体表现良好：模型的 准确率 达到 79.9%，表示大多数预测是正确的。这是一个相对较高的准确率，说明模型在区分正负类样本方面有一定的能力。
精确率和召回率之间的权衡：
- 精确率（62.3%）和 召回率（69.6%）显示出模型在预测正类（pos）时存在一定的偏差。尽管模型能识别出大约 70% 的实际正类样本（召回率），但其中只有大约 62% 的预测为正类的样本实际上确实是正类（精确率）。这意味着，模型在预测为正类时，误判的负类样本比例较高。
- 如果目标是提高正类的覆盖率（即召回率），则可以容忍一定的误判，反之，如果目标是减少误判，则可能需要调整模型以提高精确率。
F1 分数 约为 0.657，说明模型在平衡 精确率 和 召回率 上表现一般。F1 分数在 0.6 到 0.7 之间，意味着模型可以在两者之间做出一定的妥协，但仍有提升空间。

3 聚类分析

利用例子7.2中2007年城镇居民消费数据作聚类分析，并比较不同聚类的效果

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	食品	衣着	设备	医疗	交通	教育	居住	杂项
北京	4934.05	1512.88	981.13	1294.07	2328.51	2383.96	1246.19	649.66
天津	4249.31	1024.15	760.56	1163.98	1309.94	1639.83	1417.45	463.64
河北	2789.85	975.94	546.75	833.51	1010.51	895.06	917.19	266.16
山西	2600.37	1064.61	477.74	640.22	1027.99	1054.05	991.77	245.07
内蒙古	2824.89	1396.86	561.71	719.13	1123.82	1245.09	941.79	468.17
辽宁	3560.21	1017.65	439.28	879.08	1033.36	1052.94	1047.04	400.16
吉林	2842.68	1127.09	407.35	854.8	873.88	997.75	1062.46	394.29
黑龙江	2633.18	1021.45	355.67	729.55	746.03	938.21	784.51	310.67
上海	6125.45	1330.05	959.49	857.11	3153.72	2653.67	1412.1	763.8
江苏	3928.71	990.03	707.31	689.37	1303.02	1699.26	1020.09	377.37

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3.1 系统聚类

3.1.1 类平均法

从树状图看两类聚合为一类时聚类距离明显突变，分为两类比较合理。其中第一类包括：北京、上海、浙江、广东，其余为一类。

从各类的类中心看，第一类为沿海发达地区，各类消费水平明显高于第二类。

类别	食品	衣着	设备	医疗	交通	教育	居住	杂项
1	5252.19	1265.92	864.95	940.69	2730.43	2297.70	1317.82	583.77
2	3252.73	983.08	521.21	635.12	1012.19	1072.89	880.07	316.79

3.1.2 离差平方和法

从树状图可以看出离差平方和法和类平均法大致相同，分为两类比较合理。

从各类的类中心看，第一类为沿海发达地区，各类消费水平明显高于第二类。和类平均法的结果大致相同。

类别	食品	衣着	设备	医疗	交通	教育	居住	杂项
1	5252.19	1265.92	864.95	940.69	2730.43	2297.70	1317.82	583.77
2	3252.73	983.08	521.21	635.12	1012.19	1072.89	880.07	316.79

3.2 K-means聚类

3.2.1 分为三类

第一类包括：河北、山西、内蒙古、吉林、黑龙江、江西、河南、贵州、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆，多为中部和沿海地区

第二类包括：北京、上海、浙江、广东，多为东北和西部地区，多为东北和西部地区。

第三类包括：天津、辽宁、江苏、安徽、福建、山东、湖北、湖南、广西、海南、重庆、四川、云南、西藏，为沿海发达地区。

从各类的类中心看，第三类地区的各项消费水平最高，尤其在交通、教育等项目；第一类地区的的各项消费水平均低于第三类但高于第二类地区。

类别	食品	衣着	设备	医疗	交通	教育	居住	杂项
1	2840.50	1030.10	492.95	634.22	887.03	1006.11	833.05	322.25
2	5252.19	1265.92	864.95	940.69	2730.43	2297.70	1317.82	583.77
3	3635.52	939.41	547.45	635.95	1128.40	1134.90	923.74	311.73

3.2.2 分为两类

第一类包括：北京、天津、上海、浙江、福建、广东，多为中部和沿海地区

第二类包括：河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、江苏、安徽、江西、山东、河南、湖北、湖南、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆，多为东北和西部地区，多为东北和西部地区。

可以看出第二类地区各项消费水平都高于第一类地区

类别	食品	衣着	设备	医疗	交通	教育	居住	杂项
1	4925.72	1171.43	810.96	904.86	2306.43	2042.83	1324.99	529.12
2	3171.13	983.13	506.67	619.27	976.49	1036.08	843.34	308.55