Inferencia para la Comparación de Más de Dos Medias

Teoría del ANOVA

El ANOVA es una técnica estadística que se utiliza para comparar las medias de tres o más grupos. La idea básica detrás del ANOVA es comparar la variabilidad entre los grupos con la variabilidad dentro de los grupos. Si la variabilidad entre los grupos es significativamente mayor que la variabilidad dentro de los grupos, entonces podemos concluir que al menos un par de grupos son diferentes.

Estadístico de Contraste

El estadístico de contraste para el ANOVA es la razón de dos varianzas:

\[ F_c = \frac{MS_{\text{between}}}{MS_{\text{within}}}\tag{1} \]

donde \(MS_{\text{between}}\) es la media de las varianzas entre los grupos y \(MS_{\text{within}}\) es la media de las varianzas dentro de los grupos. Si la hipótesis nula es cierta, entonces \(F_c\) sigue una distribución \(F\) con \(k-1\) y \(n-k\) grados de libertad, donde \(k\) es el número de grupos y \(n\) es el número total de observaciones.

Figura 1. Diagrama conceptual del análisis de varianza (ANOVA) que muestra que la varianza total es la suma de la varianza entre grupos y la varianza dentro del grupo.

Hipótesis

Las hipótesis para el ANOVA son:

Hipótesis nula (\(H_0\)): Las medias de todos los grupos son iguales.
Hipótesis alternativa (\(H_1\)): Al menos un par de medias de grupos son diferentes.

Ejemplo 1. Comparación de Cuatro Grupos

El conjunto de datos ChickWeight contiene datos sobre el peso de los pollitos alimentados con diferentes dietas durante un período de tiempo. Las variables son:

peso: peso del pollito (variable numérica, dependiente).
tiempo: tiempo en días (variable numérica, independiente).
pollito: identificador del pollito (categórico).
dieta: tipo de dieta (variable categórica, independiente con cuatro niveles: 1, 2, 3, 4).

Estadísticas Descriptivas

Vamos a calcular las medias y desviaciones estándar de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas.

Tabla 1. Estadísticas descriptivas de los pesos de los pollitos por dieta.

Diet	mean_weight	sd_weight
1	102.6	56.7
2	122.6	71.6
3	142.9	86.5
4	135.3	68.8

Y graficamos la media de peso de los pollitos por dieta en el día 21.

# Graficar los pesos de los pollitos por dieta solamente para el último día
library(ggplot2)
# filtrar los datos para el último día
ChickWeight %>%
  filter(Time == max(Time)) %>%
  ggplot(aes(x = Diet, y = weight, fill = factor(Diet))) +
  geom_boxplot() +
  geom_point(stat = "summary", fun = mean, color = "red", shape = 18, size = 3) +
  labs(x = "Dieta", y = "Peso")

Figura 2. Boxplot de los pesos de los pollitos por dieta en el último día.

Formulación de Hipótesis

Para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, en el último día del experimento, formulamos las hipótesis:

Hipótesis nula: \(H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4\).
Hipótesis alternativa: \(H_1:\) Al menos un par de medias de grupos son diferentes.

Calcular los Estadísticos del ANOVA

Vamos a calcular los estadísticos del ANOVA para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas.

Las fórmulas para calcular los estadísticos del ANOVA son:

Suma de cuadrados entre grupos (SSB): \(\text{SSB} = \sum_{i=1}^{k} n_i(\bar{Y}_i - \bar{Y})^2\).
Suma de cuadrados dentro de grupos (SSW): \(\text{SSW} = \sum_{i=1}^{k} \sum_{j=1}^{n_i} (Y_{ij} - \bar{Y}_i)^2\).
Grados de libertad entre grupos: \(k-1\).
Grados de libertad dentro de grupos: \(n-k\).
Grados de libertad total: \(n-1\).
Media cuadrática entre grupos (MSB): \(\text{MSB} = \frac{\text{SSB}}{k-1}\).
Media cuadrática dentro de grupos (MSW): \(\text{MSW} = \frac{\text{SSW}}{n-k}\).
Estadístico de contraste: \(F_c = \frac{MSB}{MSW}\).

# Filtrar los datos para el último día
ChickWeight_last_day <- ChickWeight %>% filter(Time == max(Time))

# Calcular la suma de cuadrados total
SS_total <- sum((ChickWeight_last_day$weight - mean(ChickWeight_last_day$weight))^2)

# Calcular la suma de cuadrados entre grupos
SS_between <- sum(table(ChickWeight_last_day$Diet) * (tapply(ChickWeight_last_day$weight, ChickWeight_last_day$Diet, mean) - mean(ChickWeight_last_day$weight))^2)

# Calcular la suma de cuadrados dentro de grupos
SS_within <- sum((ChickWeight_last_day$weight - ave(ChickWeight_last_day$weight, ChickWeight_last_day$Diet, FUN = mean))^2)

# Calcular los grados de libertad
k <- length(unique(ChickWeight_last_day$Diet))
n <- nrow(ChickWeight_last_day)
df_between <- k - 1

# Calcular las medias cuadráticas
MS_between <- SS_between / df_between
MS_within <- SS_within / (n - k)

# Calcular el estadístico de contraste
F_c <- MS_between / MS_within

# Crear tabla con los estadísticos
anova_table <- data.frame(
  Source = c("Between", "Within", "Total"),
  SS = c(SS_between, SS_within, SS_total),
  df = c(df_between, n - k, n - 1),
  MS = c(MS_between, MS_within, NA),
  F = c(F_c, NA, NA)
)
tabla2 <- gt(anova_table)
# calcular p-value
p_value <- 1 - pf(F_c, df_between, n - k)
p_value <- round(p_value, 4)

Tabla 2. Estadísticos del ANOVA para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas.

Source	SS	df	MS	F
Between	57164.22	3	19054.741	4.654713
Within	167839.42	41	4093.644	NA
Total	225003.64	44	NA	NA

Implementación del ANOVA en R

Vamos a implementar el ANOVA para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, para el último día del experimento.

# Cargar el paquete necesario
library(stats)

# Implementar el ANOVA para el último día
modelo_anova <- aov(weight ~ Diet, data = ChickWeight %>% filter(Time == max(Time)))

Tabla 3. Resultados del ANOVA para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, el último día del experimento.

summary(modelo_anova)

##             Df Sum Sq Mean Sq F value  Pr(>F)   
## Diet         3  57164   19055   4.655 0.00686 **
## Residuals   41 167839    4094                   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Interpretación de los Resultados

El estadístico de contraste \(F_c\) es 4.6547132 y el valor-p asociado es 0.0069. Dado que el valor-p es menor que 0.05, rechazamos la hipótesis nula y concluimos que al menos un par de medias de grupos son diferentes.

Pruebas Post-hoc

Si el ANOVA es significativo, podemos realizar pruebas post-hoc para determinar qué pares de medias son diferentes. Una de las pruebas post-hoc más comunes es la prueba de Tukey.

# Cargar el paquete necesario
library(emmeans)

# Realizar la prueba de Tukey
tukey_results <- emmeans(modelo_anova, pairwise ~ Diet)

Tabla 4. Resultados de la prueba de Tukey para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, el último día del experimento.

tukey_results

## $emmeans
##  Diet emmean   SE df lower.CL upper.CL
##  1       178 16.0 41      145      210
##  2       215 20.2 41      174      256
##  3       270 20.2 41      229      311
##  4       239 21.3 41      195      282
## 
## Confidence level used: 0.95 
## 
## $contrasts
##  contrast      estimate   SE df t.ratio p.value
##  Diet1 - Diet2    -37.0 25.8 41  -1.433  0.4868
##  Diet1 - Diet3    -92.5 25.8 41  -3.588  0.0047
##  Diet1 - Diet4    -60.8 26.7 41  -2.281  0.1193
##  Diet2 - Diet3    -55.6 28.6 41  -1.943  0.2264
##  Diet2 - Diet4    -23.9 29.4 41  -0.811  0.8487
##  Diet3 - Diet4     31.7 29.4 41   1.080  0.7036
## 
## P value adjustment: tukey method for comparing a family of 4 estimates

Supuestos del ANOVA

El ANOVA tiene varios supuestos que deben cumplirse para que los resultados sean válidos:

Normalidad: Las distribuciones de las poblaciones deben ser normales.
Homogeneidad de varianzas: Las varianzas de las poblaciones deben ser iguales.
Independencia: Las observaciones deben ser independientes entre sí.

Prueba de Homogeneidad de Varianzas

Podemos realizar una prueba de homogeneidad de varianzas para verificar si las varianzas de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas son iguales. La hipótesis a contrastar es:

Hipótesis nula: Las varianzas de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas son iguales.
Hipótesis alternativa: Las varianzas de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas no son iguales.

# Cargar el paquete necesario
library(car)

# Realizar la prueba de homogeneidad de varianzas
leveneTest(weight ~ Diet, data = ChickWeight %>% filter(Time == max(Time)))

## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  3  1.1597 0.3367
##       41

La prueba de homogeneidad de varianzas no es significativa, lo que indica que las varianzas de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas son iguales.

Alternativa No-Paramétrica

Si los supuestos del ANOVA no se cumplen, podemos utilizar una alternativa no paramétrica, como la prueba de Kruskal-Wallis, para comparar las medias de los grupos.

# Realizar la prueba de Kruskal-Wallis
kruskal.test(weight ~ Diet, data = ChickWeight %>% filter(Time == max(Time)))

## 
##  Kruskal-Wallis rank sum test
## 
## data:  weight by Diet
## Kruskal-Wallis chi-squared = 10.585, df = 3, p-value = 0.0142

La prueba de Kruskal-Wallis es significativa, lo que indica que al menos un par de medias de grupos son diferentes.

Ejemplo 2. ANOVA con Repeticiones

En algunos experimentos, las observaciones se recopilan en diferentes momentos o bajo diferentes condiciones. En estos casos, es importante tener en cuenta la estructura de los datos y aplicar un ANOVA con repeticiones para tener en cuenta la correlación entre las observaciones.

El conjunto de datos ChickWeight contiene datos sobre el peso de los pollitos alimentados con diferentes dietas durante un período de tiempo. Vamos a comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, a lo largo del tiempo.

Estadísticas Descriptivas

Vamos a calcular las medias y desviaciones estándar de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, a lo largo del tiempo.

# Calcular las medias y desviaciones estándar por dieta y tiempo
tabla3 <- ChickWeight %>%
  group_by(Diet, Time) %>%
  summarise(mean_weight = round(mean(weight), 1), sd_weight = round(sd(weight), 1)) %>%
  gt()

Tabla 5. Estadísticas descriptivas de los pesos de los pollitos por dieta (1, 2, 3, 4) y tiempo (días).

Time	mean_weight	sd_weight
1
0	41.4	1.0
2	47.2	4.3
4	56.5	4.1
6	66.8	7.8
8	79.7	13.8
10	93.1	22.5
12	108.5	32.6
14	123.4	37.4
16	144.6	45.0
18	158.9	49.2
20	170.4	55.4
21	177.8	58.7
2
0	40.7	1.5
2	49.4	2.9
4	59.8	2.3
6	75.4	4.2
8	91.7	14.8
10	108.5	24.3
12	131.3	37.5
14	141.9	43.7
16	164.7	52.8
18	187.7	63.3
20	205.6	70.3
21	214.7	78.1
3
0	40.8	1.0
2	50.4	2.4
4	62.2	2.8
6	77.9	5.7
8	98.4	12.3
10	117.1	20.2
12	144.4	27.1
14	164.5	34.5
16	197.4	44.6
18	233.1	57.6
20	258.9	65.2
21	270.3	71.6
4
0	41.0	1.1
2	51.8	1.9
4	64.5	2.5
6	83.9	5.1
8	105.6	9.3
10	126.0	11.4
12	151.4	15.3
14	161.8	15.7
16	182.0	25.3
18	202.9	33.6
20	233.9	37.6
21	238.6	43.3

Formulación de Hipótesis

Para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, a lo largo del tiempo, formulamos las hipótesis:

Hipótesis nula: \(H_0: \mu_1 = \mu_2 = \mu_3 = \mu_4\).
Hipótesis alternativa: \(H_1:\) Al menos un par de medias de grupos son diferentes.

Implementación del ANOVA con Repeticiones en R

Vamos a implementar el ANOVA con repeticiones para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, a lo largo del tiempo.

# Implementar el ANOVA con repeticiones
modelo_anova_rep <- aov(weight ~ Diet * Time + Error(Chick), data = ChickWeight)

# Resumen del ANOVA con repeticiones
tabla6 <- summary(modelo_anova_rep)

Interpretación de los Resultados

Tabla 6. Resultados del ANOVA con repeticiones para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, a lo largo del tiempo.

tabla6$`Error: Chick`[[1]]

##           Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
## Diet       3 155863   51954  7.2207 0.0004822 ***
## Time       1  55175   55175  7.6683 0.0081965 ** 
## Diet:Time  1   2482    2482  0.3450 0.5599840    
## Residuals 44 316586    7195                      
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Dieta: Existe un efecto significativo de la dieta sobre la variable de respuesta (p = 0.000482), lo que confirma que los grupos de dieta difieren.
Tiempo: Existe un efecto significativo del tiempo (p = 0.008197), lo que sugiere que la variable de respuesta cambia con el tiempo.
Interacción dieta:tiempo: No hay interacción significativa (p = 0.559984), lo que indica que el efecto de la dieta en los grupos no depende del tiempo.

Tabla 7. Resultados del ANOVA con repeticiones para comparar las medias de los pesos de los pollitos alimentados con las cuatro dietas, a lo largo del tiempo.

tabla6$`Error: Within`[[1]]

##            Df  Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)    
## Time        1 1962914 1962914 3049.280 < 2.2e-16 ***
## Diet:Time   3   84222   28074   43.612 < 2.2e-16 ***
## Residuals 524  337315     644                       
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Tiempo: Existe un efecto significativo muy fuerte del tiempo (p < 2e-16), lo que indica que la variable de respuesta cambia significativamente con el tiempo en los sujetos.
Interacción dieta:tiempo: Existe una interacción significativa muy fuerte (p < 2e-16), lo que sugiere que el efecto de la dieta en la variable de respuesta depende del tiempo en los sujetos.

Referencia

Çetinkaya-Rundel, M., Hardin, J., 2024. Introduction to Modern Statistics (2e), Second. ed. https://openintro-ims.netlify.app/

Inferencia para la Comparación de Más de Dos Medias

D. S. Fernández del Viso

2024-12-03

Introducción a la Comparación de Más de Dos Medias

Teoría del ANOVA

Estadístico de Contraste

Hipótesis

Ejemplo 1. Comparación de Cuatro Grupos

Estadísticas Descriptivas

Formulación de Hipótesis

Calcular los Estadísticos del ANOVA

Implementación del ANOVA en R

Interpretación de los Resultados

Pruebas Post-hoc

Supuestos del ANOVA

Prueba de Homogeneidad de Varianzas

Alternativa No-Paramétrica

Ejemplo 2. ANOVA con Repeticiones

Estadísticas Descriptivas

Formulación de Hipótesis

Implementación del ANOVA con Repeticiones en R

Interpretación de los Resultados

Referencia