广义线性模型
1 广义线性模型
1.1 Logisitic回归：妊娠糖尿病分析
因变量：糖尿病(Diabetes){阳性：pos，阴性：neg}，设阳性为1、阴性为0
自变量：年龄(Age)、体重指数(BMI，kg/m2 )、血糖浓度(Glucose )、舒张压(Diastolic blood pressure，(mm)Hg )、怀孕次数(Number of times pregnant )
数据文件：diabetes.csv，共 724个观察值
1.1.1 划分训练集和测试集
- 前450条个案为训练集，用于估计Logist模型
- 后274条个案为测试集，用于评价模型的估计效果
- 训练集糖尿病率36.44%，测试集糖尿病率为31.02%，两者大致相等。
1.1.2 训练集估计回归方程
| term | estimate | std.error | statistic | p.value |
|---|---|---|---|---|
| (Intercept) | -7.950 | 0.97 | -8.21 | 0.00 |
| Age | 0.012 | 0.01 | 1.00 | 0.32 |
| BMI | 0.089 | 0.02 | 4.81 | 0.00 |
| Glucose | 0.032 | 0.00 | 7.39 | 0.00 |
| Pressure | -0.005 | 0.01 | -0.50 | 0.61 |
| Pregnant | 0.098 | 0.04 | 2.45 | 0.01 |
\[ log(\frac{p}{1-p}) =-7.95+0.012\times Age+0.089\times BMI+0.032\times Glucose-0.005\times Pressure+0.098\times Pregnant\]
1.1.3 测试集预测效果评价
| pos_pred | neg_pred | |
|---|---|---|
| pos | 53 | 32 |
| neg | 21 | 168 |
由训练集预测混淆矩阵可知
- 准确率(accuracy)：80.66%
- 精确率(precision)：62.35%
- 召回率(recall)：71.62%
- \(F_1\)得分(\(F_1\) score)：66.67%
1.1.4 回归模型边际效应
Age BMI Glucose Pressure Pregnant
0.26 1.94 0.70 -0.11 2.14 年龄每增加一岁患病风险提高0.26%；体重指数每增加1患病风险提高1.94%；血糖浓度每增加1患病风险提高0.7%；舒张压每增加1患病风险降低0.11%；怀孕次数每增加一次患病风险提高2.14%。
体重指数、血糖浓度、怀孕次数对患病风险呈正向影响，符合预期。
年龄和舒张压对患病风险影响小且不显著，考虑逐步回归选择更合适的模型
1.2 Logisitic回归逐步回归
1.2.1 逐步回归的回归方程
step.glm=step(glm.fits)Start: AIC=461.36
Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pressure + Pregnant
Df Deviance AIC
- Pressure 1 449.62 459.62
- Age 1 450.35 460.35
<none> 449.36 461.36
- Pregnant 1 455.53 465.53
- BMI 1 474.67 484.67
- Glucose 1 515.90 525.90
Step: AIC=459.62
Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pregnant
Df Deviance AIC
- Age 1 450.43 458.43
<none> 449.62 459.62
- Pregnant 1 455.69 463.69
- BMI 1 475.95 483.95
- Glucose 1 515.92 523.92
Step: AIC=458.43
Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant
Df Deviance AIC
<none> 450.43 458.43
- Pregnant 1 461.76 467.76
- BMI 1 476.19 482.19
- Glucose 1 522.88 528.88summary(step.glm)
Call:
glm(formula = Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant, family = binomial,
data = diabetes, subset = id.train)
Coefficients:
Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -7.939663 0.819306 -9.691 < 2e-16 ***
BMI 0.085129 0.017658 4.821 1.43e-06 ***
Glucose 0.032675 0.004262 7.666 1.77e-14 ***
Pregnant 0.115033 0.034649 3.320 9e-04 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)
Null deviance: 590.34 on 449 degrees of freedom
Residual deviance: 450.43 on 446 degrees of freedom
AIC: 458.43
Number of Fisher Scoring iterations: 4可以看出，经过逐步回归筛选之后的方程为：
log(p/1-p)=-7.94+0.085BIM+0.033Glucose+0.115Pregnant
1.2.2 逐步回归的预测效果
glm.probs=predict(step.glm,data.test,type="response")
y.pred <- rep("neg", 274)
y.pred[glm.probs>.5]<-"pos"
y.pred <- factor(y.pred,levels=c("pos","neg"))
y <- factor(data.test$Diabetes,levels=c("pos","neg"))
t2=table(y,y.pred);colnames(t2)=c("pos_pred","neg_pred")
t2 y.pred
y pos_pred neg_pred
pos 53 32
neg 22 167Accuracy=mean(y.pred==y)
Precision=t2[1,1]/sum(t2[1,])
Recall=t2[1,1]/sum(t2[,1])
F1=2*Precision*Recall/(Precision+Recall)
op2=c(Accuracy=Accuracy,Precision=Precision,Recall=Recall,F1=F1);op2 Accuracy Precision Recall F1
0.8029197 0.6235294 0.7066667 0.6625000 经过逐步回归的方程AIC值为458.43，由测试集预测混淆矩阵可知：
准确率：80.29% 精确率：62.35% 召回率：70.67% F1得分：66.25%
1.2.3 逐步回归的边际效应
X=as.matrix(cbind(1,data.train[,-c(1,2,5)]))
xbat<-(apply(X,2,mean))
W=coef(step.glm)
(dlogis(sum(xbat*W))*W)[-1] BMI Glucose Pregnant
0.018661159 0.007162621 0.025216463 由均值边际效应可得：体重指数每增加1患病风险提高1.87%；血糖浓度每增加1患病风险提高0.72%；怀孕次数每增加1患病风险提高2.52%。
体重指数、血糖浓度、怀孕次数对患病风险的影响呈正向趋势，符合预期。故逐步回归选择的模型是恰当的。
2 判别分析
2.1 线性贝叶斯判别
2.1.1 判别函数
由于只有目标变量只有两类，线性贝叶斯判别等价于Fisher判别。以下为Fisher判别的判别函数：
\[ w =5.981+0.008\times Age+0.068\times BMI+0.028\times Glucose-0.003\times Pressure+0.082\times Pregnant\]
该判别函数和Logsitic回归的方程近似等价，各系数存在近似的倍数关系。注意，这里\(w\)大于0判为neg，小于0判为pos。
2.1.2 测试集合的预测结果
测试集合预测的后验概率:
两类后验概率差异越大代表判别越有把握，错判的概率越小。
测试集合预测的混淆矩阵
| pos_pred | neg_pred | |
|---|---|---|
| pos | 53 | 32 |
| neg | 22 | 167 |
预测效果与Logistic模型基本一致。
2.2 二次贝叶斯判别
2.2.1 测试集合的预测
predict(ld,data.test)$posterior%>% round(3) %>% DT::datatable()两类后验概率差异越大代表判别越有把握，错判的概率越小。
2.2.2 测试集合的混淆矩阵
| pos_pred | neg_pred | |
|---|---|---|
| pos | 53 | 32 |
| neg | 23 | 166 |
3 聚类分析
利用例子7.2中2007年城镇居民消费数据作聚类分析，并比较不同聚类的效果
3.1 系统聚类
3.1.1 类平均法
从树状图看两类聚合为一类时聚类距离明显突变，分为两类比较合理。其中第一类包括：北京、上海、浙江、广东，其余为一类。
从各类的类中心看，第一类为沿海发达地区，各类消费水平明显高于第二类。
| 类别 | 食品 | 衣着 | 设备 | 医疗 | 交通 | 教育 | 居住 | 杂项 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5252.19 | 1265.92 | 864.95 | 940.69 | 2730.43 | 2297.70 | 1317.82 | 583.77 |
| 2 | 3252.73 | 983.08 | 521.21 | 635.12 | 1012.19 | 1072.89 | 880.07 | 316.79 |
3.1.2 离差平方和法
从树状图看两类聚合为一类时聚类距离明显突变，分为两类比较合理。其中第一类包括：北京、上海、浙江、广东，其余为一类。
从各类的类中心看，第一类为沿海发达地区，各类消费水平明显高于第二类，特别是在交通和交于项目更加明显。
| 类别 | 食品 | 衣着 | 设备 | 医疗 | 交通 | 教育 | 居住 | 杂项 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5252.19 | 1265.92 | 864.95 | 940.69 | 2730.43 | 2297.70 | 1317.82 | 583.77 |
| 2 | 3252.73 | 983.08 | 521.21 | 635.12 | 1012.19 | 1072.89 | 880.07 | 316.79 |
3.2 K-means聚类
3.2.1 分为三类
第一类包括：天津、辽宁、江苏、安徽、福建、湖北、广西、海南、重庆、四川、云南、西藏 ，多为中部和沿海地区。
第二类包括：北京、上海、浙江、广东 ，多为东北和西部地区。
第三类包括：河北、山西、内蒙古、吉林、黑龙江、江西、山东、河南、湖南、贵州、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 ，为沿海发达地区。
从各类的类中心看，第二类地区的各项消费水平最高，尤其在交通、教育等项目；第一类地区的的各项消费水平均低于第二类但高于第三类地区。
| 类别 | 食品 | 衣着 | 设备 | 医疗 | 交通 | 教育 | 居住 | 杂项 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 3706.07 | 907.98 | 533.34 | 627.19 | 1123.09 | 1117.68 | 919.60 | 310.23 |
| 2 | 5252.19 | 1265.92 | 864.95 | 940.69 | 2730.43 | 2297.70 | 1317.82 | 583.77 |
| 3 | 2890.07 | 1043.15 | 511.50 | 641.46 | 923.46 | 1037.06 | 848.46 | 322.04 |
3.2.2 分为两类
第一类包括：北京、天津、上海、浙江、福建、广东 ，多为发达的沿海地区。
第二类包括：河北、山西、内蒙古、辽宁、吉林、黑龙江、江苏、安徽、江西、山东、河南、湖北、湖南、广西、海南、重庆、四川、贵州、云南、西藏、陕西、甘肃、青海、宁夏、新疆 ，多为中部和沿海沿海地区。
从各类的类中心看，第一类地区的各项消费水平最高，尤其在交通、教育等项目最为明显，第一类在交通和教育都比第二类高出一倍；第二类地区的的各项消费水平均低于第一类。
| 类别 | 食品 | 衣着 | 设备 | 医疗 | 交通 | 教育 | 居住 | 杂项 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 4925.72 | 1171.43 | 810.96 | 904.86 | 2306.43 | 2042.83 | 1324.99 | 529.12 |
| 2 | 3171.13 | 983.13 | 506.67 | 619.27 | 976.49 | 1036.08 | 843.34 | 308.55 |