1.1 Mean Untuk Data Kelompok dengan Outlier

Definisi

Mean adalah ukuran pemusatan data yang diperoleh dengan menjumlahkan seluruh data dan membaginya dengan jumlah data. Untuk data kelompok, mean dihitung dengan menggunakan titik tengah kelas interval dan frekuensinya.

Menambahkan outlier (misalnya interval 100.000 - 109.000 dengan frekuensi 1) meningkatkan nilai mean karena outlier tersebut memiliki nilai yang jauh lebih tinggi dibandingkan dengan nilai-nilai lain dalam dataset. Dengan kata lain, mean cenderung terpengaruh dan menjadi lebih besar.

Outlier yang jauh lebih besar daripada nilai-nilai lainnya akan menarik rata-rata (mean) ke arah nilai outlier tersebut, sehingga rata-rata menjadi lebih tinggi daripada yang seharusnya jika outlier tersebut tidak ada.

Karakteristik Mean pada Data Kelompok

1. Menggunakan titik tengah kelas untuk mewakili data dalam kelompok
2. Mempertimbangkan frekuensi setiap kelas
3. Memberikan gambaran pusat data secara keseluruhan

Rumus Mean untuk Data Kelompok \[ \bar{x} = \frac{\sum(f \cdot x_i)}{\sum f} \]

Keterangan Rumus:

\(\bar{x}\) : Nilai rata-rata (mean)

\(f\) : Frekuensi pada setiap kelas interval

\(x_i\) : Titik tengah kelas interval

1.2 Mean untuk Data Kelompok tanpa Outlier

Data tidak terpengaruh oleh nilai ekstrem (outlier), sehingga mean yang dihitung lebih mencerminkan rata-rata normal dari seluruh data.

1.3 Visualisasi dengan Bloxplot

2.1 Median Untuk Data Kelompok Dengan Outlier

Jika data mengandung outlier, median akan tetap menjadi ukuran pemusatan data yang tidak terpengaruh oleh nilai ekstrem tersebut, karena median bergantung pada posisi data, bukan nilai numeriknya. Jadi, meskipun ada outlier, median bisa tetap menunjukkan nilai yang tidak jauh dari posisi tengah distribusi data.

Namun, outlier dapat memengaruhi persepsi kita terhadap distribusi data secara keseluruhan. Jika median digunakan bersamaan dengan mean, perbedaan keduanya dapat memperlihatkan seberapa besar pengaruh outlier pada distribusi data tersebut.

Langkah-langkah Perhitungan Median dengan Outlier:

1. Total frekuensi \(N\): \[ N = 4 + 6 + 8 + 5 + 2 + 1 = 26 \]

2. Tentukan \(\frac{N}{2}\): \[ \frac{N}{2} = \frac{26}{2} = 13 \] Artinya, kita mencari kelas median yang frekuensi kumulatifnya lebih besar dari 13, yaitu kelas 30 - 39.

3. Identifikasi data yang diperlukan:

   • \(L = 30\) (batas bawah kelas median)
   • \(F = 10\) (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)
   • \(f = 8\) (frekuensi pada kelas median)
   • \(w = 10\) (panjang interval kelas)

4. Gunakan rumus median: \[ \text{Median} = 30 + \left(\frac{13 - 10}{8}\right) \times 10 = 30 + \left(\frac{3}{8}\right) \times 10 = 30 + 3.75 = 33.75 \]

Hasil Median (Dengan Outlier): 33.75 jam

2.2 Median Untuk Data Kelompok Tanpa Outlier

Pada data yang tidak memiliki outlier, median akan berada di sekitar nilai tengah dari distribusi. Jika kita tidak memiliki data ekstrem yang jauh lebih tinggi atau lebih rendah dari data lainnya, perhitungan median akan relatif lebih sederhana dan tidak terpengaruh secara signifikan oleh data yang sangat besar atau sangat kecil.

Langkah-langkah Perhitungan Median:

1. Total frekuensi \(N\): \[ N = 4 + 6 + 8 + 5 + 2 = 25 \]

2. Tentukan \(\frac{N}{2}\): \[ \frac{N}{2} = \frac{25}{2} = 12.5 \] Artinya, kita mencari kelas median yang frekuensi kumulatifnya lebih besar dari 12.5, yaitu kelas 30 - 39.

3. Identifikasi data yang diperlukan:

   • \(L = 30\) (batas bawah kelas median)
   • \(F = 10\) (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)
   • \(f = 8\) (frekuensi pada kelas median)
   • \(w = 10\) (panjang interval kelas)

4. Gunakan rumus median: \[ \text{Median} = 30 + \left(\frac{12.5 - 10}{8}\right) \times 10 = 30 + \left(\frac{2.5}{8}\right) \times 10 = 30 + 3.125 = 33.125 \]

Hasil Median (Tanpa Outlier): 33.125 jam Perbandingan Hasil Median: - Tanpa Outlier: 33.125 jam - Dengan Outlier: 33.75 jam

2.3 Visualisasi dengan Bloxplot

3.1 Modus Untuk Data Kelompok Dengan Outlier

Outlier dapat memengaruhi perhitungan modus karena mereka dapat mengubah distribusi frekuensi. Misalnya, jika ada nilai ekstrim (outlier) yang muncul dengan frekuensi tinggi, maka interval kelas yang berisi outlier tersebut bisa menjadi interval modus. Oleh karena itu, modus dengan outlier bisa sangat berbeda dari modus pada data tanpa outlier.

Modus Dengan Outlier: - Interval kelas dengan frekuensi tertinggi adalah 100.000 - 109.000 dengan frekuensi 10. - Maka, kita dapat menggunakan rumus modus untuk menghitung modus.

\[ L = 100.000, \quad f_1 = 10, \quad f_0 = 7, \quad f_2 = 4, \quad h = 10.000 \]

\[ \text{Modus} = 100.000 + \left( \frac{10 - 7}{(2 \times 10 - 7 - 4)} \right) \times 10.000 \]

\[ \text{Modus} = 100.000 + \left( \frac{3}{(20 - 11)} \right) \times 10.000 \]

\[ \text{Modus} = 100.000 + \left( \frac{3}{9} \right) \times 10.000 = 100.000 + 3.333 = 103.333 \]

Jadi, Modus dengan outlier adalah 103.333 Rupiah.

3.2 Modus Untuk Data Kelompok Tanpa Outlier

Tanpa adanya outlier, modus dapat dihitung secara langsung dari data yang ada, dengan mencari interval kelas yang memiliki frekuensi tertinggi. Pada data tanpa outlier, distribusi frekuensi biasanya lebih merata, sehingga modus cenderung stabil dan mencerminkan kondisi umum data.

Modus Tanpa Outlier: - Interval kelas dengan frekuensi tertinggi adalah 30.000 - 39.000 dengan frekuensi 7. - Maka, kita dapat menggunakan rumus modus untuk menghitung modus.

\[ L = 30.000, \quad f_1 = 7, \quad f_0 = 5, \quad f_2 = 4, \quad h = 10.000 \]

\[ \text{Modus} = 30.000 + \left( \frac{7 - 5}{(2 \times 7 - 5 - 4)} \right) \times 10.000 \]

\[ \text{Modus} = 30.000 + \left( \frac{2}{(14 - 9)} \right) \times 10.000 \]

\[ \text{Modus} = 30.000 + \left( \frac{2}{5} \right) \times 10.000 = 30.000 + 4.000 = 34.000 \]

Jadi, Modus tanpa outlier adalah 34.000 Rupiah.

Perbandingan Hasil Modus:

• Tanpa Outlier: 34.000 Rupiah
• Dengan Outlier: 103.333 Rupiah

3.3 Visualisasi dengan Bloxplot

4.1 Perhitungan Mean

1. Tentukan nilai tengah (\(Xi\) setiap intervalnya:

\[ \begin{align*} x_1 &= \frac{20.000 + 29.000}{2} = 24.500 \\ x_2 &= \frac{30.000 + 39.000}{2} = 34.500 \\ x_3 &= \frac{40.000 + 49.000}{2} = 44.500 \\ x_4 &= \frac{50.000 + 59.000}{2} = 54.500 \\ x_5 &= \frac{60.000 + 69.000}{2} = 64.500 \end{align*} \]

2. Perhitungan \(f \cdot x_i\): \[ \begin{align*} f_1 \cdot x_1 &= 4 \cdot 24.500 = 98.000 \\ f_2 \cdot x_2 &= 6 \cdot 34.500 = 207.00 \\ f_3 \cdot x_3 &= 10 \cdot 44.500 = 445.000 \\ f_4 \cdot x_4 &= 8 \cdot 54.500 = 436.000 \\ f_5 \cdot x_5 &= 2 \cdot 64.500 = 129.000 \end{align*} \]

3. Jumlahkan \(\sum (f \cdot x_i)\) dan total frekuensi (\(n\)): \[ \begin{align*} \sum (f \cdot x_i) &= 98.000 + 207.000 + 445.000 + 436.000 + 129.000 = 1.315.000 \\ n &= 4 + 6 + 10 + 8 + 2 = 30. \end{align*} \]

4. Hitung Menggunakan rumus mean: \[ \bar{x} = \frac{\sum (f \cdot x_i)}{n} = \frac{1.315.000}{30} = 43.833{,}33. \]

5. Hasil:

Rata-rata penjualan harian adalah 43.833,33 rupiah.

4.2 Perhitungan Median

1. Tentukan \(\frac{n}{2}\): \[ \frac{n}{2} = \frac{30}{2} = 15. \]

2. Tentukan Frekuensi Kumultif:

• Frekuensi kumulatif kelas pertama adalah sama dengan frekuensi pada kelas pertama, yaitu 4.

• Frekuensi kumulatif kelas kedua dihitung dengan menjumlahkan frekuensi kelas pertama dan kedua: \[ 4 + 6 = 10 \]

• Frekuensi kumulatif kelas ketiga dihitung dengan menjumlahkan frekuensi kelas kedua dan ketiga: \[ 10 + 10 = 20 \]

• Frekuensi kumulatif kelas keempat dihitung dengan menjumlahkan frekuensi kelas ketiga dan keempat: \[ 20 + 8 = 28 \]

• Frekuensi kumulatif kelas kelima dihitung dengan menjumlahkan frekuensi kelas keempat dan kelima: \[ 28 + 2 = 30 \]

3. Tentukan Kelas Median: Posisi median \(\frac{n}{2} = 15\) berada di interval 40.000 - 49.000.

4.Hitung Batas Bawah Kelas Median (\(L\)): \[ L = 40.000 - 500 = 39.500. \]

5. Hitung Median: Gunakan rumus median: \[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c, \] keterangan:

• \(L = 39.500\)

• \(\frac{n}{2} = 15\)

• \(F = 10\) (kumulatif sebelum kelas median)

• \(f_m = 10\) (frekuensi kelas median)

• \(c = 10.000\) (lebar interval)

Substitusi nilai: \[ \text{Median} = 39.500 + \left( \frac{15 - 10}{10} \right) \cdot 10.000. \] Sederhanakan: \[ \text{Median} = 39.500 + (0.5 \cdot 10.000). \] \[ \text{Median} = 39.500 + 5.000 = 44.500. \]

6. Hasil: Median penjualan harian adalah 44.500 rupiah.

4.3 Perhitungan Modus

1. Tentukan Kelas Modus Frekuensi terbesar berada di interval 40.000 - 49.000, sehingga kelas modus adalah interval ini.

2. Hitung Batas Bawah Kelas Modus (\(L\)): \[ L = 40.000 - 500 = 39.500. \]

3. Gunakan Rumus Modus Rumus modus: \[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_m - f_1}{(f_m - f_1) + (f_m - f_2)} \right) \cdot c, \]

di mana: - \(L = 39.500\)

• \(f_m = 10\) (frekuensi kelas modus)

• \(f_1 = 6\) (frekuensi kelas sebelum)

• \(f_2 = 8\) (frekuensi kelas sesudah)

• \(c = 10.000\) (lebar interval)

4. Substitusi Nilai Substitusi ke rumus: \[ \text{Modus} = 39.500 + \left( \frac{10 - 6}{(10 - 6) + (10 - 8)} \right) \cdot 10.000. \]

Sederhanakan: \[ \text{Modus} = 39.500 + \left( \frac{4}{4 + 2} \right) \cdot 10.000. \] \[ \text{Modus} = 39.500 + \left( \frac{4}{6} \cdot 10.000 \right). \] \[ \text{Modus} = 39.500 + 6.666{,}67. \] \[ \text{Modus} = 46.166{,}67. \]

5. Hasil: Modus penjualan harian adalah 46.166,67 rupiah.

4.4 Diagram Perbandingan hasil Mean, Median dan Modus

5.1 Perhitungan Mean

1. Tentukan Nilai Tengah (\(x_i\)) Setiap Interval \[ \begin{align*} x_1 = \frac{40 + 49}{2} = 44.5\\ x_2 = \frac{50 + 59}{2} = 54.5\\ x_3 = \frac{60 + 69}{2} = 64.5\\ x_4 = \frac{70 + 79}{2} = 74.5\\ x_5 = \frac{80 + 89}{2} = 84.5 \end{align*} \]

2. Hitung \(f \cdot x_i\)

\[ \begin{align*} f_1 \cdot x_1 = 5 \cdot 44.5 = 222.5\\ f_2 \cdot x_2 = 8 \cdot 54.5 = 436\\ f_3 \cdot x_3 = 12 \cdot 64.5 = 774\\ f_4 \cdot x_4 = 10 \cdot 74.5 = 745\\ f_5 \cdot x_5 = 5 \cdot 84.5 = 422.5\\ \end{align*} \]

3. Jumlahkan \(f \cdot x_i\) dan Total Frekuensi (\(n\))

\[ \begin{align*} \sum (f \cdot x_i) = 222.5 + 436 + 774 + 745 + 422.5 = 2600\\\\ n = 5 + 8 + 12 + 10 + 5 = 40 \end{align*} \]

4. Gunakan Rumus Mean

$$ \[\begin{align*} \bar{x} = \frac{\sum (f \cdot x_i)}{n} = \frac{2600}{40} = 65 \end{align*}\] $$

5. Hasil:

Rata-rata nilai siswa adalah 65.

5.2 Perhitungan Median

1. Tentukan \(\frac{n}{2}\)

\[ \frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]

2. Tentukan Kumulatif Frekuensi

1. Frekuensi kumulatif kelas pertama:
   • Sama dengan frekuensi kelas pertama, yaitu 5.
2. Frekuensi kumulatif kelas kedua:
   • Menambahkan frekuensi kelas kedua (\(f = 8\)) ke frekuensi kumulatif sebelumnya (\(F = 5\)): \[ 5 + 8 = 13 \]
3. Frekuensi kumulatif kelas ketiga:
   • Menambahkan frekuensi kelas ketiga (\(f = 12\)) ke frekuensi kumulatif sebelumnya (\(F = 13\)): \[ 13 + 12 = 25 \]
4. Frekuensi kumulatif kelas keempat:
   • Menambahkan frekuensi kelas keempat (\(f = 10\)) ke frekuensi kumulatif sebelumnya (\(F = 25\)): \[ 25 + 10 = 35 \]
5. Frekuensi kumulatif kelas kelima:
   • Menambahkan frekuensi kelas kelima (\(f = 5\)) ke frekuensi kumulatif sebelumnya (\(F = 35\)): \[ 35 + 5 = 40 \]

3. Tentukan Kelas Median

\[ \text{Posisi median} \left(\frac{n}{2} = 20\right) \text{ ada di interval } 60 - 69. \]

4. Hitung Batas Bawah Kelas Median (\(L\))

\[ L = 60 - 0.5 = 59.5 \]

5. Gunakan Rumus Median

Rumus median:

\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c \]

dengan:

\[ L = 59.5\\ \frac{n}{2} = 20\\ F = 13\\ f_m = 12\\ c = 10 \]

6. Substitusi Nilai

\[ \text{Median} = 59.5 + \left( \frac{20 - 13}{12} \right) \cdot 10 \]

7. Sederhanakan \[ \text{Median} = 59.5 + \left( \frac{7}{12} \cdot 10 \right) = 59.5 + 5.833 = 65.333 \]

8. Hasil:

Median nilai siswa adalah 65.33.

5.3 Perhitungan Modus

1. Tentukan Kelas Modus Frekuensi terbesar berada di interval 60 - 69, sehingga kelas modus adalah interval ini.

2. Hitung Batas Bawah Kelas Modus (\(L\))

\[ L = 60 - 0.5 = 59.5 \]

3. Gunakan Rumus Modus

\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_m - f_1}{(f_m - f_1) + (f_m - f_2)} \right) \cdot c \]

dengan:

\[ L = 59.5\\f_m = 12\\f_1 = 8\\ f_2 = 10\\c = 10 \]

4. Substitusi Nilai

\[ \text{Modus} = 59.5 + \left( \frac{12 - 8}{(12 - 8) + (12 - 10)} \right) \cdot 10 \]

5. Sederhanakan

\[ \text{Modus} = 59.5 + \left( \frac{4}{4 + 2} \cdot 10 \right)\\ = 59.5 + \left( \frac{4}{6} \cdot 10 \right)\\ = 59.5 + 6.666 = 66.166 \]

6. Hasil:

Modus nilai siswa adalah 66.17.

5.4 Diagram Perbandingan Hasil Mean, Median dan Modus:

6.1 Perhitungan Mean

Rumus:

\[ \text{Mean} = \frac{\sum (f \cdot x)}{n} \]

1. Hitung Titik Tengah \(x\) untuk setiap interval:

\[ \begin{align*} 150–159: x_1 = 154.5 \\ 160–169: x_2 = 164.5 \\ 170–179: x_3 = 174.5 \\ 180–189: x_4 = 184.5 \\ 190–199: x_5 = 194.5 \\ 200–209: x_6 = 204.5 \\ \end{align*} \]

2. Kalikan \(f \cdot x\):

\[ \begin{align*} 4 \cdot 154.5 = 618 \\ 6 \cdot 164.5 = 987 \\ 10 \cdot 174.5 = 1,745 \\ 8 \cdot 184.5 = 1,476 \\ 5 \cdot 194.5 = 972.5 \\ 2 \cdot 204.5 = 409 \\ \end{align*} \]

3. Hitung Jumlah \(\sum (f \cdot x)\): \[ 618 + 987 + 1,745 + 1,476 + 972.5 + 409 = 6,207.5 \]

4. Total Frekuensi \(n\): \[n = 4 + 6 + 10 + 8 + 5 + 2 = 35\]

5. Substitusi ke rumus Mean: \[ \text{Mean} = \frac{6,207.5}{35} = 177.36 \]

6. Hasil:

Mean = 177.36 mg/dL

6.2 Perhitungan Median

1. Cari Posisi Median: \[ n = 35, maka \frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \]

2. Tentukan Frekuensi Kumulatif

Posisi ke-17.5 berada pada interval 170–179.

3. Parameter Median: \[ L = 170 (batas bawah kelas median)\\ F = 10 (frekuensi kumulatif sebelum kelas median)\\ f_m = 10 (frekuensi kelas median)\\ c = 10 (panjang interval) \] 4. Substitusi: \[ \text{Median} = 170 + \left( \frac{17.5 - 10}{10} \right) \cdot 10\\ = 170 + \left( \frac{7.5}{10} \right) \cdot 10 = 170 + 7.5 = 177.5 \]

Hasil: Median = 177.5 mg/dL

6.3 Perhitungan Modus

Rumus: \[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_m - f_0}{(f_m - f_0) + (f_m - f_2)} \right) \cdot c \]

1. Identifikasi Kelas Modus: \[ \text{Frekuensi tertinggi:} f_m = 10 \text{(pada interval}170–179)\\ \text{Frekuensi sebelumnya:} f_0 = 6 \text{(pada interval} 160–169)\\ \text{Frekuensi sesudahnya:} f_2 = 8 \text{(pada interval} 180–189) \]

2. Parameter Modus: L = 170 (batas bawah kelas modus) c = 10 (panjang interval)

3. Substitusi ke Rumus Modus: \[ \text{Modus} = 170 + \left( \frac{10 - 6}{(10 - 6) + (10 - 8)} \right) \cdot 10\\ = 170 + \left( \frac{4}{4 + 2} \right) \cdot 10\\ = 170 + \left( \frac{4}{6} \right) \cdot 10\\ = 170 + 6.67 = 176.67 \]

Hasil: Modus = 176.67 mg/dL

6.4 Diagram Perbandingan Hasil Mean, Median dan Modus