Tugas Pertemuan 9 Statistika Dasar
November 24, 2024
Bab 1 Tugas 9 StatDas
1.1 PRAKTIKUM 1
1.1.1 Mean Untuk Data Kelompok
1.1.1.1 Apa Itu Mean ?
Mean → adalah nilai rata-rata yang menunjukkan ukuran pusat data. Untuk data kelompok, kita tidak memiliki setiap data individu, tetapi hanya kelompok data (kelas interval) dan jumlah data di masing-masing kelompok (frekuensi). Oleh karena itu, kita menggunakan titik tengah kelas untuk mewakili data dalam kelompok tersebut.
Untuk menghitung rata-rata dari data kelompok, kita menggunakan rumus berikut:
\[\bar{x} = \frac{\sum(f \cdot x_i)}{\sum f}\]
Dimana :
\(\bar{x}\) → adalah nilai rata-rata (mean)
\(f\) → adalah frekuensi pada setiap kelas interval
\(x_i\) → adalah titik tengah kelas interval.
1.1.1.2 Contoh Perhitungan
1. Menentukan Titik Tengah \(x_i\)
Titik tengah \(x_i\) → adalah nilai di tengah setiap kelas interval. Karena kita tidak tahu nilai individu dalam kelas, kita anggap semua data dalam kelas berada di titik tengah ini.
2. Mengenal Apa Itu Outlier
Sebelum masuk ke dalam perhitungan mean, kita ketahui dulu mengenai outlier. Outlier adalah data yang berbeda atau jauh lebih besar/kecil dibandingkan dengan data lainnya dalam satu set data.
Misalnya, jika kita memiliki data tinggi badan teman-teman yang kebanyakan berada di 150-160 cm, tapi ada satu orang yang tingginya itu 190 cm (nah, ini disebut outlier), maka mean bisa terpengaruh lebih tinggi daripada nilai yang mewakili banyaknya data.
Jadi, “Outlier bisa dibilang sebagai data yang dapat mengubah pola distribusi data, yang membuat data awalnya normal (pembagian dengan baik) menjadi tidak normal atau terganggu.”
3. Rumus Menghitung Mean Data Kelompok
\[x_i = \frac{Tepi\,Bawah + Tepi\,Atas}{2}\]
1.1.1.3 Mean (Dengan Outlier)
Misalnya, data kelompok yang diberikan seperti ini :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi ($f$)} \\ \hline 10 - 19 & 5 \\ \hline 20 - 29 & 8 \\ \hline 30 - 39 & 12 \\ \hline 40 - 49 & 10 \\ \hline 50 - 59 & 4 \\ \hline 100 - 109 \, (\text{outlier}) & 1\\ \hline \end{array} \]
Langka 1 : Menghitung Titik Tengah (\(x_i\))
\[x_i = \frac{Tepi\,Bawah + Tepi\,Atas}{2}\]
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Interval Kelas} & \text{Frekuensi (f)} & \text{Titik Tengah (}x_i\text{)} \\ \hline 10 - 19 & 5 & x_i = \frac{10 + 19}{2} = 14.5 \\ \hline 20 - 29 & 8 & x_i = \frac{20 + 29}{2} = 24.5 \\ \hline 30 - 39 & 12 & x_i = \frac{30 + 39}{2} = 34.5 \\ \hline 40 - 49 & 10 & x_i = \frac{40 + 49}{2} = 44.5 \\ \hline 50 - 59 & 4 & x_i = \frac{50 + 59}{2} = 54.5 \\ \hline 100 - 109 \, (\text{outlier}) & 1 & x_i = \frac{100 + 109}{2} = 104.5 \\ \hline \end{array}\]Langka 2 : Menghitung (\(f\)) . (\(x_i\))
Kalikan setiap \(f\) dengan \(x_i\) :
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Interval Kelas} & \text{Frekuensi (f)} & \text{Titik Tengah (}x_i\text{)} & f \cdot x_i \\ \hline 10 - 19 & 5 & 14.5 & 5 \cdot 14.5 = 72.5 \\ \hline 20 - 29 & 8 & 24.5 & 8 \cdot 24.5 = 196 \\ \hline 30 - 39 & 12 & 34.5 & 12 \cdot 34.5 = 414 \\ \hline 40 - 49 & 10 & 44.5 & 10 \cdot 44.5 = 445 \\ \hline 50 - 59 & 4 & 54.5 & 4 \cdot 54.5 = 218 \\ \hline 100 - 109 \, (\text{outlier}) & 1 & 104.5 & 1 \cdot 104.5 = 104.5 \\ \hline \end{array}\]Langkah 3 : Jumlahkan Semua Frekuensi dan \(f \cdot x_i\)
- Total frekuensi f : \[ \sum f = 5 + 8 + 12 + 10 + 4 + 1 = 40\ \]
- Total hasil kali \(\sum (f \cdot x_i)\) : \[ \sum (f \cdot x_i) = 72.5 + 196 + 414 + 445 + 218 + 104.5 = 1450 \ \]
- Hitung Mean : \[ \bar{x} = \frac{\sum f \cdot x_i}{\sum f} = \frac{1450}{40} = 36.25 \]
1.1.1.4 Mean (Tanpa Outlier)
Jika tadi ada interval 100-109, mari kita hilangkan dulu interval 100-109 (outlier) kemudian ulangi perhitungannya. Perhatikan tabel di bawah ini :
\[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Interval Kelas} & \text{Frekuensi (f)} & \text{Titik Tengah (}x_i\text{)} & f \cdot x_i \\ \hline 10 - 19 & 5 & 14.5 & 72.5 \\ \hline 20 - 29 & 8 & 24.5 & 196 \\ \hline 30 - 39 & 12 & 34.5 & 414 \\ \hline 40 - 49 & 10 & 44.5 & 445 \\ \hline 50 - 59 & 4 & 54.5 & 218 \\ \hline \end{array}\]Total frekuensi \(f\) : \[ \sum f = 5 + 8 + 12 + 10 + 4 = 39 \ \]
Total hasil kali \(\sum (f \cdot x_i)\) : \[ \sum (f \cdot x_i) = 72.5 + 196 + 414 + 445 + 218 = 1345.5\ \]
Hitung Mean : \[ \bar{x} = \frac{\sum (f \cdot x_i)}{\sum f} = \frac{1345.5}{39} = 34.49 \]
1.1.2 Median Untuk Data Kelompok
1.1.2.1 Apa Itu Median ?
Median → nilai tengah dari sebuah data. Jika data diurutkan, median adalah nilai yang berada di tengah. Jika ada banyak data, kita cari data yang membagi dua bagian, yaitu setengah data lebih kecil dan setengah data lebih besar.
Namun, pada data kelompok (data yang sudah dibagi dalam interval kelas), kita tidak bisa langsung mencari nilai tengah. Kita harus menggunakan rumus khusus dengan mempertimbangkan frekuensi (berapa kali data muncul) dan interval kelas.
1.1.2.2 Contoh Perhitungan
Gunakan Rumus Median → Jika sudah menemukan kelas median, kita gunakan rumus untuk menghitung nilai median. Rumusnya adalah:
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{\sum f}{2} - F_k \text{ sebelumnya}}{f_{\text{median}}} \right) \cdot c \] Dimana :
\(L\) → batas bawah kelas median (angka awal interval)
\(F_k{sebelumnya}\) → Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
\(f_{median}\) → Frekuensi kelas median
\(c\) → anjang interval kelas
1.1.2.3 Median (Dengan Outlier)
Kita ambil dari data yang sudah ada di perhitungan Mean tadi. Berikut datanya :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi ($f$)} \\ \hline 10 - 19 & 5 \\ \hline 20 - 29 & 8 \\ \hline 30 - 39 & 12 \\ \hline 40 - 49 & 10 \\ \hline 50 - 59 & 4 \\ \hline 100 - 109 \, (\text{outlier}) & 1\\ \hline \end{array} \]
Langkah 1: Hitung Frekuensi Kumulatif \(F_k\)
\[\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Interval Kelas} & \text{Frekuensi (f)} & \text{Frekuensi Kumulatif (}F_k\text{)} \\ \hline 10 - 19 & 5 & 5 \\ \hline 20 - 29 & 8 & 13 \\ \hline 30 - 39 & 12 & 25 \\ \hline 40 - 49 & 10 & 35 \\ \hline 50 - 59 & 4 & 39 \\ \hline 100 - 109 \, (\text{outlier}) & 1 & 40 \\ \hline \end{array}\]Langkah 2: Tentukan Posisi Median nya
- Median berada di posisi ke :
\[ Median Posisi = \frac{\sum f}{2} \] - Total frekuensi f :
\[ \sum f = 40 \ \] - Sehingga :
\[ Median Posisi = \frac{40}{2} = 20 \] Langkah 3: Tentukan Kelas Median
Median berada di kelas yang mencakup posisi ke-20 pada kolom \(F_k\). Dari tabel :
\(F_k = 13\) untuk kelas 20 - 29 (tidak mencakup posisi ke-20).
\(F_k = 25\) untuk kelas 30 - 39 (mencakup posisi ke-20).
Maka, kelas median adalah 30 - 39.
Langkah 4: Hitung Median
Gunakan rumus median :
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{\sum f}{2} - F_k \text{ sebelumnya}}{f_{\text{median}}} \right) \cdot c \]
Subtitusi Nilai
Dari Tabel :
Kelas median = 30 - 39
\(L = 30 - 0.5 = 29.5\) (tepi bawah)
\(F_k{sebelumnya} = 13\)
\(f_{median} = 12\)
\(c = 10\)
Substitusi nilai ke rumus :
\[ Median = 29.5 + \left( \frac{20 - 13}{12} \right) \cdot 10\ \]
Langkah 5: Selesaikan Perhitungan
Hitung f}{2} - F_k \[ 20 - 13 = 7\ \]
Bagi hasil tersebut dengan \(f_{median}\) \[ \ \frac{7}{12} = 0.5833 \ \]
Kalikan hasil dengan panjang interval \(c\) \[ 0.5833 \cdot 10 = 5.833\ \]
Tambahkan ke tepi bawah \(L\) \[ Median = 29.5 + 5.833 = 35.333 \]
Hasil Median Tanpa Outlier \[ Median Tanpa Outlier = 34.92 \]
Hasil Median Dengan Outlier : \[ Median Dengan Outlier = 35.33 \]
1.1.2.4 Median (Tanpa Outlier)
Sekarang kita hitung median tanpa kelas 100 - 109 (outlier).
Langkah 1: Hitung Total Frekuensi Baru
Jika kelas 100 - 109 dihapus, total frekuensi menjadi:
\[
\ \sum f = 5 + 8 + 12 + 10 + 4 = 39 \
\]
Langkah 2: Tentukan Median Posisi Baru
Median berada di posisi ke: \[ Median Posisi = \frac{\sum f}{2} = \frac{39}{2} = 19.5 \] Langkah 4: Hitung Median Baru
Subtitusi ke rumus : \[ Median = 29.5 + \left( \frac{19.5 - 13}{12} \right) \cdot 10\ \]
Hitung \(\sum f_{2} - F_k\) sebelumnya \[ 19.5 - 13 = 6.5\ \]
Bagi hasil tersebut dengan \(f_{median}\) \[ \ \frac{6.5}{12} = 0.5417 \ \]
Kalikan hasil dengan panjang interval \(c\) \[ 0.5417 \cdot 10 = 5.417\ \]
Tambahkan ke tepi bawah \(L\) \[ Median = 29.5 + 5.417 = 34.917 \]
Hasil Median Tanpa Outlier \[ Median Tanpa Outlier = 34.92 \]
1.1.3 Modus Untuk Data Kelompok
1.1.3.1 Apa Itu Modus ?
Modus adalah nilai yang paling sering muncul dalam suatu kumpulan data. Dalam data berkelompok, modus merupakan nilai yang terdapat pada kelas dengan frekuensi tertinggi, yaitu kelas yang memiliki frekuensi (jumlah) terbesar.
1.1.3.2 Contoh Perhitungan
Data tabel masih kita gunakan dari data sebelumnya :
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi ($f$)} \\ \hline 10 - 19 & 5 \\ \hline 20 - 29 & 8 \\ \hline 30 - 39 & 12 \\ \hline 40 - 49 & 10 \\ \hline 50 - 59 & 4 \\ \hline 100 - 109 \, (\text{outlier}) & 1\\ \hline \end{array} \]
1.1.3.3 Modus (Dengan Outlier)
Langkah 1: Tentukan Kelas Modus
Modus berada pada kelas dengan frekuensi tertinggi. Untuk data di atas:
Frekuensi terbesar terdapat pada kelas 30 - 39 dengan frekuensi 12.
Jadi, kelas modusnya adalah 30 - 39.
Langkah 2: Hitung Modus dengan Rumus
Rumus untuk menghitung modus pada data kelompok adalah:
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{(f_1 - f_0)}{(2f_1 - f_0 - f_2)} \right) \cdot h \]
Keterangan:
\(L\): Tepi bawah kelas modus
\(f_1\): Frekuensi kelas modus
\(f_0\): Frekuensi kelas sebelum kelas modus
\(f_2\): Frekuensi kelas setelah kelas modus
\(h\): Panjang interval kelas
Dari tabel:
Kelas modus = 30 - 39
\(L = 30\) (tepi bawah kelas modus)
\(f_1 = 12\) (frekuensi kelas modus)
\(f_0 = 8\) (frekuensi kelas sebelumnya, yaitu 20 - 29)
\(f_2 = 10\) (frekuensi kelas setelahnya, yaitu 40 - 49)
\(h = 10\) (panjang interval kelas)
Substitusi ke rumus:
Rumus untuk menghitung modus adalah:
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{(f_1 - f_0)}{(2f_1 - f_0 - f_2)} \right) \cdot h \]
Dengan substitusi nilai-nilai yang ada:
\[ \text{Modus} = 30 + \left( \frac{(12 - 8)}{(2 \cdot 12 - 8 - 10)} \right) \cdot 10 \]
Langkah 3: Selesaikan Perhitungan
- Hitung bagian pembilang:
\[ 12 - 8 = 4 \]
- Hitung bagian penyebut:
\[ 2 \cdot 12 - 8 - 10 = 24 - 8 - 10 = 6 \]
- Hitung hasil bagi pembilang dan penyebut:
\[ \frac{4}{6} = 0.6667 \]
- Kalikan dengan panjang interval \(h = 10\):
\[ 0.6667 \cdot 10 = 6.667 \]
- Tambahkan ke tepi bawah kelas modus \(L = 30\):
\[ \text{Modus} = 30 + 6.667 = 36.67 \]
Modus Dengan Outlier
\[ \text{Modus (Dengan Outlier)} = 36.67 \]
1.1.3.4 Modus (Tanpa Outlier)
Untuk menghitung modus tanpa outlier, kita menghapus kelas 100 - 109 yang merupakan outlier.
Langkah 1: Hitung Frekuensi Total Tanpa Outlier
Jika kelas 100 - 109 dihapus, total frekuensi menjadi:
\[ \sum{f} = 5 + 8 + 12 + 10 + 4 = 39 \]
Langkah 2: Tentukan Kelas Modus Baru
Frekuensi terbesar tetap pada kelas 30 - 39 dengan frekuensi 12, sehingga kelas modusnya tetap 30 - 39.
Langkah 3: Hitung Modus dengan Rumus yang Sama
Gunakan rumus yang sama seperti sebelumnya, namun kali ini tanpa outlier:
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{(f_1 - f_0)}{(2f_1 - f_0 - f_2)} \right) \cdot h \]
Dari tabel tanpa outlier:
- Kelas modus = 30 - 39
- \(L = 30\) (tepi bawah kelas modus)
- \(f_1 = 12\) (frekuensi kelas modus)
- \(f_0 = 8\) (frekuensi kelas sebelumnya, yaitu 20 - 29)
- \(f_2 = 10\) (frekuensi kelas setelahnya, yaitu 40 - 49)
- \(h = 10\) (panjang interval kelas)
Substitusi ke rumus:
\[ \text{Modus} = 30 + \left( \frac{(12 - 8)}{(2 \cdot 12 - 8 - 10)} \right) \cdot 10 \]
Langkah perhitungan sama persis seperti sebelumnya:
- Hitung bagian pembilang:
\[ 12 - 8 = 4 \]
- Hitung bagian penyebut:
\[ 2 \cdot 12 - 8 - 10 = 24 - 8 - 10 = 6 \]
- Hitung hasil bagi pembilang dan penyebut:
\[ \frac{4}{6} = 0.6667 \]
- Kalikan dengan panjang interval \(h = 10\):
\[ 0.6667 \cdot 10 = 6.667 \]
- Tambahkan ke tepi bawah kelas modus \(L = 30\):
\[ \text{Modus} = 30 + 6.667 = 36.67 \]
Modus Tanpa Outlier:
\[ \text{Modus (Tanpa Outlier)} = 36.67 \]
1.2 PRAKTIKUM 2
1.2.1 Bisnis
Studi Kasus : Analisis Data Pesanan Harian Sebagai Jasa Desain
Data Kelompok Penjualan Harian
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval Penjualan Harian (ribu rupiah)} & \text{Frekuensi (hari)} \\ \hline 10,000 - 19,000 & 5 \\ \hline 20,000 - 29,000 & 8 \\ \hline 30,000 - 39,000 & 12 \\ \hline 40,000 - 49,000 & 10 \\ \hline 50,000 - 59,000 & 4 \\ \hline 100,000 - 109,000 & 1 \\ \hline \end{array}\]1.2.1.1 Analisis Dengan Mean
Langkah Perhitungan Mean:
- Hitung nilai tengah (\(x_i\)) untuk setiap interval.
Contoh:
Untuk interval \(10,000 - 19,000\), nilai tengahnya adalah:
\[ x_i = \frac{(10,000 + 19,000)}{2} = 14,500 \]
Kalikan \(x_i\) dengan frekuensi (\(f\)) untuk mendapatkan \(f \cdot x_i\).
Jumlahkan semua \(f \cdot x_i\) untuk mendapatkan \(\sum{f \cdot x_i}\).
Jumlahkan seluruh frekuensi (\(n\)).
Gunakan rumus mean:
\[ \bar{x} = \frac{\sum{f \cdot x_i}}{\sum{f}} \]
Tabel Perhitungan Mean:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{Interval} & \text{Frekuensi (f)} & \text{Nilai Tengah (}x_i\text{)} & f \cdot x_i \\ \hline 10,000 - 19,000 & 5 & 14,500 & 72,500 \\ \hline 20,000 - 29,000 & 8 & 24,500 & 196,000 \\ \hline 30,000 - 39,000 & 12 & 34,500 & 414,000 \\ \hline 40,000 - 49,000 & 10 & 44,500 & 445,000 \\ \hline 50,000 - 59,000 & 4 & 54,500 & 218,000 \\ \hline 100,000 - 109,000 & 1 & 104,500 & 104,500 \\ \hline \text{Total} & 40 & - & 1,450,000 \\ \hline \end{array} \]
\[ x = frac{\sum{f \cdot x_i}}{\sum{f}} = \frac{1,450,000}{40} = 36,250 \]
Interpretasi:
Rata-rata penjualan harian bisnis jasa desain adalah 36,250 rupiah.
1.2.1.2 Analisis Dengan Median
Data Kelompok Penjualan Harian
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval Penjualan Harian (ribu rupiah)} & \text{Frekuensi (hari)} \\ \hline 10,000 - 19,000 & 5 \\ \hline 20,000 - 29,000 & 8 \\ \hline 30,000 - 39,000 & 12 \\ \hline 40,000 - 49,000 & 10 \\ \hline 50,000 - 59,000 & 4 \\ \hline 100,000 - 109,000 & 1 \\ \hline \end{array} \]
Langkah-langkah Perhitungan Median:
- Total Frekuensi (n):
\[ n = 5 + 8 + 12 + 10 + 4 + 1 = 40 \]
- Cari Posisi Median (\(n/2\)):
\[ \frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]
Posisi median ada pada urutan ke-20.
- Kumulatif Frekuensi:
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Interval Penjualan Harian (ribu rupiah)} & \text{Frekuensi (hari)} & \text{Kumulatif Frekuensi} \\ \hline 10,000 - 19,000 & 5 & 5 \\ \hline 20,000 - 29,000 & 8 & 13 \\ \hline 30,000 - 39,000 & 12 & 25 \\ \hline 40,000 - 49,000 & 10 & 35 \\ \hline 50,000 - 59,000 & 4 & 39 \\ \hline 100,000 - 109,000 & 1 & 40 \\ \hline \end{array} \]
Dari tabel kumulatif frekuensi, posisi median terletak pada interval \(30,000 - 39,000\) karena kumulatif frekuensi pada interval ini meliputi posisi ke-20.
Tentukan Kelas Median:
Kelas yang mencakup posisi ke-20 adalah \(30,000 - 39,000\).Hitung Batas Bawah Kelas Median (\(L\)):
\[ L = 30,000 - 500 = 29,500 \]
- Menggunakan Rumus Median:
Rumus median untuk data kelompok adalah:
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c \]
Dimana: - \(L = 29,500\) (batas bawah kelas median), - \(F = 13\) (frekuensi kumulatif kelas sebelumnya), - \(f_m = 12\) (frekuensi kelas median), - \(c = 10,000\) (panjang interval kelas).
- Perhitungan Median:
\[ \text{Median} = 29,500 + \left( \frac{20 - 13}{12} \right) \cdot 10,000 \]
\[ \text{Median} = 29,500 + \left( \frac{7}{12} \right) \cdot 10,000 \]
\[ \text{Median} = 29,500 + 5,833.33 = 35,333.33 \]
Interpretasi:
Median penjualan harian bisnis jasa desain adalah 35,333.33 rupiah.
1.2.1.3 Analisis Dengan Modus
Langkah Perhitungan Modus:
Tentukan kelas modus (\(f_m\) = frekuensi terbesar).
Kelas modus: \(30,000 - 39,000\) (\(f_m = 12\)).Gunakan rumus modus:
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{(f_m - f_1) + (f_m - f_2)}{f_m - f_1} \right) \cdot c \]
- Diketahui:
- \(L = 30,000\) (batas bawah kelas modus),
- \(f_m = 12\),
- \(f_1 = 8\) (frekuensi sebelum kelas modus),
- \(f_2 = 10\) (frekuensi setelah kelas modus),
- \(c = 10,000\) (panjang interval).
Perhitungan Modus:
\[ \text{Modus} = 30,000 + \left( \frac{(12 - 8) + (12 - 10)}{12 - 8} \right) \cdot 10,000 \]
\[ \text{Modus} = 30,000 + \left( \frac{4 + 2}{4} \right) \cdot 10,000 \]
\[ \text{Modus} = 30,000 + \frac{6}{4} \cdot 10,000 = 30,000 + 6,666.67 = 36,666.67 \]
Interpretasi:
Modus penjualan harian bisnis jasa desain adalah 36,666.67 rupiah.
1.2.2 Kesehatan
Tabel Data Tingkat Kolesterol dalam Darah (mg/dL)
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval Kolesterol (mg/dL)} & \text{Frekuensi (jumlah orang)} \\ \hline 150 - 159 & 4 \\ \hline 160 - 169 & 6 \\ \hline 170 - 179 & 10 \\ \hline 180 - 189 & 8 \\ \hline 190 - 199 & 5 \\ \hline 200 - 209 & 2 \\ \hline \end{array} \]
1.2.2.1 Analisis Dengan Mean
Rumus Mean (untuk data kelompok):
\[ \text{Mean} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{n} \]
Dimana: - \(f_i\) adalah frekuensi (jumlah orang di setiap interval)
\(x_i\) adalah titik tengah dari setiap interval
\(n\) adalah total frekuensi
Titik Tengah \(x_i\):
Interval 150 - 159: \(x_1 = \frac{150 + 159}{2} = 154.5\)
Interval 160 - 169: \(x_2 = \frac{160 + 169}{2} = 164.5\)
Interval 170 - 179: \(x_3 = \frac{170 + 179}{2} = 174.5\)
Interval 180 - 189: \(x_4 = \frac{180 + 189}{2} = 184.5\)
Interval 190 - 199: \(x_5 = \frac{190 + 199}{2} = 194.5\)
Interval 200 - 209: \(x_6 = \frac{200 + 209}{2} = 204.5\)
Menghitung \(\sum (f_i \cdot x_i)\):
\[ (4 \cdot 154.5) + (6 \cdot 164.5) + (10 \cdot 174.5) + (8 \cdot 184.5) + (5 \cdot 194.5) + (2 \cdot 204.5) = 6307.5 \]
Total Frekuensi \(n\):
\[ n = 4 + 6 + 10 + 8 + 5 + 2 = 35 \]
Mean:
\[ \text{Mean} = \frac{6307.5}{35} = 180.21 \]
1.2.2.2 Analisis Dengan Median
Rumus Median (untuk data kelompok):
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{n/2 - F}{f_m} \right) \cdot c \]
Dimana: - \(L\) adalah batas bawah kelas median
\(F\) adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas median
\(f_m\) adalah frekuensi kelas median
\(c\) adalah panjang interval
Langkah-langkah untuk mencari kelas median:
- Cari \(n/2\):
\[ \frac{n}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \]
Kumulatif Frekuensi:
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{Interval Kolesterol (mg/dL)} & \text{Frekuensi (f)} & \text{Kumulatif Frekuensi (F)} \\ \hline 150 - 159 & 4 & 4 \\ \hline 160 - 169 & 6 & 10 \\ \hline 170 - 179 & 10 & 20 \\ \hline 180 - 189 & 8 & 28 \\ \hline 190 - 199 & 5 & 33 \\ \hline 200 - 209 & 2 & 35 \\ \hline \end{array} \]
Kelas median adalah 170 - 179, karena kumulatif frekuensi sebelum kelas ini adalah 10, dan kumulatif frekuensinya adalah 20, yang mencakup nilai 17.5.
Menghitung Median:
Batas bawah kelas median \(L = 170\)
Frekuensi kumulatif sebelum kelas median \(F = 10\)
Frekuensi kelas median \(f_m = 10\)
Panjang interval \(c = 10\)
\[ \text{Median} = 170 + \left( \frac{17.5 - 10}{10} \right) \cdot 10 = 170 + \left( \frac{7.5}{10} \right) \cdot 10 = 170 + 7.5 = 177.5 \]
1.2.2.3 Analisis Dengan Modus
Rumus Modus (untuk data kelompok):
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{(2f_1) - f_0 - f_2}{f_1 - f_0} \right) \cdot c \]
Dimana: - \(L\) adalah batas bawah kelas modus
\(f_1\) adalah frekuensi kelas modus
\(f_0\) adalah frekuensi kelas sebelumnya
\(f_2\) adalah frekuensi kelas sesudahnya
\(c\) adalah panjang interval.
Kelas modus adalah 170 - 179, karena frekuensi kelas ini adalah yang terbesar (10).
Batas bawah kelas modus \(L = 170\)
Frekuensi kelas modus \(f_1 = 10\)
Frekuensi kelas sebelumnya \(f_0 = 6\)
Frekuensi kelas sesudahnya \(f_2 = 8\)
Panjang interval \(c = 10\).
Menghitung Modus:
\[ \begin{aligned} \text{Modus} &= 170 + \left( \frac{(2 \cdot 10) - 6 - 8}{10 - 6} \right) \cdot 10 \\ &= 170 + \left( \frac{20 - 6 - 8}{4} \right) \cdot 10 \\ &= 170 + \left( \frac{6}{4} \right) \cdot 10 \\ &= 170 + 6.67 \\ &= 176.67 \end{aligned} \]
Hasil Perhitungan:
- Mean = 180.21 mg/dL
- Median = 177.5 mg/dL
- Modus = 176.67 mg/dL
1.2.3 Pendidikan
Tabel Data Distribusi (Interval Nilai)
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Interval Nilai} & \text{Frekuensi (jumlah siswa)} \\ \hline 10 - 19 & 5 \\ \hline 20 - 29 & 8 \\ \hline 30 - 39 & 12 \\ \hline 40 - 49 & 10 \\ \hline 50 - 59 & 4 \\ \hline 100 - 109 & 1 \\ \hline \end{array}\]1.2.3.1 Analisis Dengan Mean
Rumus Mean (untuk data kelompok):
\[ \text{Mean} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{n} \]
Dimana:
\(f_i\) adalah frekuensi (jumlah siswa di setiap interval)
\(x_i\) adalah titik tengah dari setiap interval
\(n\) adalah total frekuensi.
Titik Tengah \(x_i\):
Interval 10 - 19: \[ x_1 = \frac{10 + 19}{2} = 14.5 \]
Interval 20 - 29: \[ x_2 = \frac{20 + 29}{2} = 24.5 \]
Interval 30 - 39: \[ x_3 = \frac{30 + 39}{2} = 34.5 \]
Interval 40 - 49: \[ x_4 = \frac{40 + 49}{2} = 44.5 \]
Interval 50 - 59: \[ x_5 = \frac{50 + 59}{2} = 54.5 \]
Interval 100 - 109: \[ x_6 = \frac{100 + 109}{2} = 104.5 \]
Menghitung \(\sum (f_i \cdot x_i)\):
\[ (5 \cdot 14.5) + (8 \cdot 24.5) + (12 \cdot 34.5) + (10 \cdot 44.5) + (4 \cdot 54.5) + (1 \cdot 104.5) \\ = 72.5 + 196 + 414 + 445 + 218 + 104.5 \\ = 1449 \]
Total Frekuensi \(n\):
\[ n = 5 + 8 + 12 + 10 + 4 + 1 = 40 \]
Mean:
\[ \text{Mean} = \frac{1449}{40} = 36.23 \]
1.2.3.2 Analisis Dengan Median
Rumus Median (untuk data kelompok):
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{n}{2} - F \right) \cdot c \]
Dimana:
\(L\) adalah batas bawah kelas median
\(F\) adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas median
\(f_m\) adalah frekuensi kelas median
\(c\) adalah panjang interval
Langkah-langkah untuk mencari kelas median:
- Cari \(\frac{n}{2}\):
\[ \frac{n}{2} = \frac{40}{2} = 20 \]
- Kumulatif Frekuensi:
Kelas median adalah 30 - 39, karena kumulatif frekuensi sebelum kelas ini adalah 13, dan kumulatif frekuensinya adalah 25, yang mencakup nilai 20.
- Menghitung Median:
Batas bawah kelas median \(L = 30\), frekuensi kumulatif sebelum kelas median \(F = 13\), frekuensi kelas median \(f_m = 12\), panjang interval \(c = 10\).
\[ \text{Median} = 30 + \left( \frac{20 - 13}{12} \right) \cdot 10 = 30 + \left( \frac{7}{12} \right) \cdot 10 = 30 + 5.83 = 35.83 \]
1.2.3.3 Analisis Dengan Modus
Rumus Modus (untuk data kelompok):
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{(2f_1) - f_0 - f_2}{f_1 - f_0} \right) \cdot c \]
Dimana:
\(L\) adalah batas bawah kelas modus
\(f_1\) adalah frekuensi kelas modus
\(f_0\) adalah frekuensi kelas sebelumnya
\(f_2\) adalah frekuensi kelas sesudahnya
\(c\) adalah panjang interval
Kelas modus adalah 30 - 39, karena frekuensi kelas ini adalah yang terbesar (12).
Menghitung Modus:
Batas bawah kelas modus \(L = 30\), frekuensi kelas modus \(f_1 = 12\), frekuensi kelas sebelumnya \(f_0 = 8\), frekuensi kelas sesudahnya \(f_2 = 10\), panjang interval \(c = 10\).
\[ \text{Modus} = 30 + \left( \frac{(2 \cdot 12) - 8 - 10}{12 - 8} \right) \cdot 10 = 30 + \left( \frac{24 - 8 - 10}{4} \right) \cdot 10 \]
\[ \text{Modus} = 30 + \left( \frac{6}{4} \right) \cdot 10 = 30 + 6.67 = 36.67 \]
Hasil Perhitungan:
- Mean = 36.23
- Median = 35.83
- Modus = 36.67