Tugas Pertemuan 9
Statistika Dasar
Praktikum 1
Data Nilai Siswa
Data Interval | Frekuensi \((F_i)\) |
---|---|
41-50 | 20 |
51-60 | 30 |
61-70 | 40 |
71-80 | 50 |
81-90 | 30 |
91-100 | 20 |
Mean untuk Data Kelompok
Definisi Mean untuk Data Kelompok
Mean atau rata-rata adalah ukuran pemusatan data yang paling umum digunakan untuk menggambarkan rata-rata dari suatu distribusi. Untuk data kelompok, mean dihitung dengan memperhitungkan frekuensi dari setiap kelas interval.
Rumus Mean untuk Data Kelompok
Rumus untuk menghitung mean data kelompok adalah sebagai berikut:
\[ \bar{X} = \frac{\sum f_i \cdot x_i}{\sum f_i} \]
Di mana:
- \(\bar{X}\) = Mean (rata-rata)
- \(f_i\) = Frekuensi pada interval
ke-\(i\)
- \(x_i\) = Titik tengah dari interval
ke-\(i\), dihitung sebagai:
\[
x_i = \frac{\text{batas bawah interval} + \text{batas atas
interval}}{2}
\]
- \(\sum f_i\) = Total frekuensi
Perhitungan Titik Tengah dan Mean Data Kelompok
Rumus Titik Tengah
Titik tengah (\(x_i\)) dihitung menggunakan rumus berikut: \[ x_i = \frac{\text{Batas Bawah} + \text{Batas Atas}}{2} \]
Perhitungan Titik Tengah Tiap Interval
Berikut adalah perhitungan titik tengah untuk setiap interval:
Interval 41 - 50:
\[ x_i = \frac{41 + 50}{2} = 45.5 \]Interval 51 - 60:
\[ x_i = \frac{51 + 60}{2} = 55.5 \]Interval 61 - 70:
\[ x_i = \frac{61 + 70}{2} = 65.5 \]Interval 71 - 80:
\[ x_i = \frac{71 + 80}{2} = 75.5 \]Interval 81 - 90:
\[ x_i = \frac{81 + 90}{2} = 85.5 \]Interval 91 - 100:
\[ x_i = \frac{91 + 100}{2} = 95.5 \]
Tabel dengan Penambahan Titik Tengah
Berikut adalah tabel lengkap dengan \(x_i\) yang telah dihitung:
Data Interval | Frekuensi \((F_i)\) | Titik Tengah \((X_i)\) |
---|---|---|
41-50 | 20 | 45,5 |
51-60 | 30 | 55,5 |
61-70 | 40 | 65,5 |
71-80 | 50 | 75,5 |
81-90 | 30 | 85,5 |
91-100 | 20 | 95,5 |
1. Mean Data Kelompok dengan Outlier
Rumus Mean: \[ \bar{X} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i} \]
Langkah-langkah:
- Hitung \(f_i \cdot x_i\) untuk setiap interval:
\[ \begin{aligned} 20 \cdot 45.5 &= 910, \\ 30 \cdot 55.5 &= 1665, \\ 40 \cdot 65.5 &= 2620, \\ 50 \cdot 75.5 &= 3775, \\ 30 \cdot 85.5 &= 2565, \\ 20 \cdot 95.5 &= 1910. \end{aligned} \]
Hitung total \(\sum (f_i \cdot x_i)\): \[ \sum (f_i \cdot x_i) = 910 + 1665 + 2620 + 3775 + 2565 + 1910 = 13445 \]
Hitung total frekuensi \(\sum f_i\): \[ \sum f_i = 20 + 30 + 40 + 50 + 30 + 20 = 190 \]
Hitung Mean: \[ \bar{X} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i} = \frac{13445}{190} \approx 70.76 \]
2. Mean Data Kelompok tanpa Outlier
Data tanpa Outlier: Data dengan nilai lebih dari 90 (outlier) dihapus, sehingga hanya menggunakan interval dari 41–90.
Data Interval | Frekuensi \((F_i)\) | Titik Tengah \((X_i)\) |
---|---|---|
41-50 | 20 | 45,5 |
51-60 | 30 | 55,5 |
61-70 | 40 | 65,5 |
71-80 | 50 | 75,5 |
81-90 | 30 | 85,5 |
Langkah-langkah:
- Hitung \(f_i \cdot x_i\) untuk setiap interval:
\[ \begin{aligned} 20 \cdot 45.5 &= 910, \\ 30 \cdot 55.5 &= 1665, \\ 40 \cdot 65.5 &= 2620, \\ 50 \cdot 75.5 &= 3775, \\ 30 \cdot 85.5 &= 2565. \end{aligned} \]
Hitung total \(\sum (f_i \cdot x_i)\): \[ \sum (f_i \cdot x_i) = 910 + 1665 + 2620 + 3775 + 2565 = 11535 \]
Hitung total frekuensi \(\sum f_i\): \[ \sum f_i = 20 + 30 + 40 + 50 + 30 = 170 \]
Hitung Mean: \[ \bar{X} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i} = \frac{11535}{170} \approx 67.85 \]
Visualisasi Mean untuk Data Kelompok dengan outlier dan tanpa outlier
Median untuk Data Kelompok
Definisi Median untuk Data Kelompok
Median adalah nilai tengah yang membagi data menjadi dua bagian sama besar. Dalam data kelompok, median dihitung dengan menggunakan batas kelas dan frekuensi dari kelas-kelas interval.
Rumus Median untuk Data Kelompok
Rumus median untuk data kelompok adalah sebagai berikut:
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c \]
Di mana:
\(L\): Batas bawah kelas median
\(n\): Jumlah total frekuensi (\(\sum f\))
\(F\): Frekuensi kumulatif sebelum kelas median
\(f_m\): Frekuensi kelas median
\(c\): Panjang interval kelas
Data Asli:
Data Interval | Frekuensi \((F_i)\) | Titik Tengah \((X_i)\) |
---|---|---|
41-50 | 20 | 45,5 |
51-60 | 30 | 55,5 |
61-70 | 40 | 65,5 |
71-80 | 50 | 75,5 |
81-90 | 30 | 85,5 |
1. Median Data Kelompok dengan Outlier
Untuk menghitung median tanpa menghilangkan outlier, berikut adalah langkah-langkahnya:
Total Jumlah Data: \[ n = 20 + 30 + 40 + 50 + 30 + 20 = 190 \]
Posisi Median
Karena \(n = 190\), jumlah data genap, maka:
\[ \text{Posisi Median} = \frac{n}{2} = 95 \quad \text{dan} \quad \frac{n}{2} + 1 = 96 \]
Frekuensi Kumulatif
Data Interval | Frekuensi \((F_i)\) | Frekuensi Kumulatif |
---|---|---|
41-50 | 20 | 20 |
51-60 | 30 | 50 |
61-70 | 40 | 90 |
71-80 | 50 | 140 |
81-90 | 30 | 170 |
91-100 | 20 | 190 |
Berdasarkan frekuensi kumulatif, data ke-95 dan ke-96 berada dalam interval 71-80.
Rumus Median
Rumus median untuk data kelompok adalah:
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c \]
Substitusi Nilai
\[ L = 70.5, \quad F = 90, \quad f_m = 50, \quad c = 10 \]
- Perhitungan Median \[ \text{Median} = 70.5 + \left( \frac{95 - 90}{50} \right) \cdot 10 \] \[ \text{Median} = 70.5 + \left( \frac{5}{50} \right) \cdot 10 \] \[ \text{Median} = 70.5 + 1 = 71.5 \]
Hasil Median (dengan outlier)
\[ \boxed{71.5} \]
2. Median Data Kelompok Tanpa Outlier
Identifikasi Outlier
- Q1: Data ke-47.5 berada di kelas 61-70, sehingga \(Q1 = 65.5\).
- Q3: Data ke-142.5 berada di kelas 71-80, sehingga \(Q3 = 75.5\).
- IQR:
\[ \text{IQR} = Q3 - Q1 = 75.5 - 65.5 = 10 \] - Batas bawah dan atas:
\[ \text{Lower Bound} = Q1 - 1.5 \times \text{IQR} = 65.5 - 15 = 50.5 \] \[ \text{Upper Bound} = Q3 + 1.5 \times \text{IQR} = 75.5 + 15 = 90.5 \] - Interval 91-100 (\(x = 95.5\)) adalah outlier karena berada di luar batas atas.
Data yang Tersisa
Data Interval | Frekuensi \((F_i)\) | Frekuensi Kumulatif |
---|---|---|
41-50 | 20 | 20 |
51-60 | 30 | 50 |
61-70 | 40 | 90 |
71-80 | 50 | 140 |
81-90 | 30 | 170 |
- Jumlah data baru (\(n\)):
\[ n = 20 + 30 + 40 + 50 + 30 = 170 \] - Posisi median:
\[ \text{Median} = \frac{n}{2} = 85 \quad \text{dan} \quad \frac{n}{2} + 1 = 86 \]
Rumus Median
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c \]
Substitusi Nilai
- Interval median: \(71-80\)
\[ L = 70.5, \quad F = 90, \quad f_m = 50, \quad c = 10 \] - Hitung median:
\[ \text{Median} = 70.5 + \left( \frac{85 - 90}{50} \right) \cdot 10 \] \[ \text{Median} = 70.5 + \left( \frac{-5}{50} \right) \cdot 10 \] \[ \text{Median} = 70.5 - 1 = 69.5 \]
Hasil Median (tanpa outlier)
\[ \boxed{69.5} \]
Visualisasi Median untuk Data Kelompok dengan outlier dan tanpa outlier
Modus untuk Data Kelompok
Definisi Modus untuk Kelompok Data
Modus adalah salah satu ukuran pemusatan data yang menunjukkan nilai atau kelas yang paling sering muncul dalam suatu kumpulan data. Dalam analisis statistik, modus sering digunakan untuk data berkelompok yang disajikan dalam tabel distribusi frekuensi.
Langkah Menentukan Modus untuk Data Kelompok
Untuk data berkelompok, modus dihitung menggunakan rumus berikut:
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \right) \times c \]
Keterangan:
\(L\): tepi bawah kelas modus (kelas dengan frekuensi tertinggi).
\(f_1\): frekuensi kelas modus.
\(f_0\): frekuensi kelas sebelum kelas modus.
\(f_2\): frekuensi kelas setelah kelas modus.
\(c\): panjang interval kelas (selisih antara batas atas dan batas bawah kelas).
1. Modus Data Kelompok dengan Outlier
Misalkan terdapat outlier, yaitu kenaikan frekuensi di kelas tertinggi, sehingga tabel menjadi:
Data Interval | Frekuensi \((F_i)\) |
---|---|
41-50 | 20 |
51-60 | 30 |
61-70 | 40 |
71-80 | 50 |
81-90 | 30 |
91-100 | 20 (outlier) |
Langkah Perhitungan Modus
1. Identifikasi Kelas Modus:
Kelas dengan frekuensi tertinggi tetap 71-80 (\(f_1 = 50\)).
2. Informasi:
- \(L = 71\): tepi bawah kelas modus.
- \(f_1 = 50\): frekuensi kelas modus.
- \(f_0 = 40\): frekuensi kelas sebelum kelas modus.
- \(f_2 = 30\): frekuensi kelas setelah kelas modus.
- \(c = 10\): panjang interval kelas.
Rumus Modus:
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \right) \times c \]
Substitusi Nilai:
\[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{50 - 40}{(50 - 40) + (50 - 30)} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{10}{10 + 20} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{10}{30} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + (0.333 \times 10) \] \[ \text{Modus} = 71 + 3.33 \] \[ \text{Modus} \approx 74.33 \]
Kesimpulan:
Modus untuk data kelompok dengan outlier adalah 74.33. Keberadaan outlier pada kelas tertinggi (\(91-100\)) tidak memengaruhi nilai modus, karena kelas dengan frekuensi tertinggi tetap berada pada 71-80.
2. Modus Data Kelompok Tanpa Outlier
Misalkan terdapat data tanpa outlier, sehingga tabel distribusi frekuensi menjadi sebagai berikut:
Data Interval | Frekuensi \((F_i)\) |
---|---|
41-50 | 20 |
51-60 | 30 |
61-70 | 40 |
71-80 | 50 |
81-90 | 30 |
91-100 | 20 |
Langkah Perhitungan Modus
1. Identifikasi Kelas Modus:
Kelas dengan frekuensi tertinggi adalah 71-80 dengan frekuensi (\(f_1 = 50\)).
2. Informasi yang Dibutuhkan:
- \(L = 71\): tepi bawah kelas modus.
- \(f_1 = 50\): frekuensi kelas modus.
- \(f_0 = 40\): frekuensi kelas sebelum kelas modus.
- \(f_2 = 30\): frekuensi kelas setelah kelas modus.
- \(c = 10\): panjang interval kelas.
Rumus Modus:
\[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \right) \times c \]
Substitusi Nilai:
\[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{50 - 40}{(50 - 40) + (50 - 30)} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{10}{10 + 20} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{10}{30} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + (0.333 \times 10) \] \[ \text{Modus} = 71 + 3.33 \] \[ \text{Modus} \approx 74.33 \]
Kesimpulan:
Modus untuk data kelompok tanpa outlier adalah 74.33, yang menunjukkan bahwa nilai yang paling sering muncul dalam distribusi data terkonsentrasi di sekitar kelas interval 71-80.
Kesimpulan Akhir
- Modus dengan outlier: 74.33
- Modus tanpa outlier: 74.33
Pada kedua kasus, modus tidak berubah, karena kelas dengan frekuensi tertinggi tetap berada pada interval 71-80, oleh sebab itu pada modus untuk data kelompok keberadaan oulier tidak mempengaruhi modus.
Visualisasi Boxplot Modus dengan Outlier dan Tanpa Outlier
Praktikum 2
Bisnis
Studi Kasus: Analisis Penjualan Harian di Toko Kelontong
Data penjualan harian (dalam ribuan rupiah) :
Penjualan Harian (Interval) | Frekuensi (Hari) |
---|---|
41,000 - 50,000 | 20 |
51,000 - 60,000 | 30 |
61,000 - 70,000 | 40 |
71,000 - 80,000 | 50 |
81,000 - 90,000 | 30 |
91,000 - 100,000 | 20 |
1. Mean:
Perhitungan Titik Tengah Tiap Interval Berikut adalah perhitungan titik tengah untuk setiap interval:
Interval 41,000 - 50,000:
\[ x_i = \frac{41,000 + 50,000}{2} = 45,500 \]Interval 51,000 - 60,000:
\[ x_i = \frac{51,000 + 60,000}{2} = 55,500 \]Interval 61,000 - 70,000:
\[ x_i = \frac{61,000 + 70,000}{2} = 65,500 \]Interval 71,000 - 80,000:
\[ x_i = \frac{71,000 + 80,000}{2} = 75,500 \]Interval 81,000 - 90,000:
\[ x_i = \frac{81,000 + 90,000}{2} = 85,500 \]Interval 91,000 - 100,000:
\[ x_i = \frac{91,000 + 100,000}{2} = 95,500 \]
Langkah-langkah:
Hitung \(f_i \cdot x_i\) untuk setiap interval:
\[ \begin{aligned} 20 \cdot 45,500 &= 910,000, \\ 30 \cdot 55,500 &= 1,665,000, \\ 40 \cdot 65,500 &= 2,620,000 \\ 50 \cdot 75,500 &= 3,775,000, \\ 30 \cdot 85,500 &= 2,565,000, \\ 20 \cdot 95,500 &= 1,910,000. \end{aligned} \]
Hitung total \(\sum (f_i \cdot x_i)\): \[ \sum (f_i \cdot x_i) = 910,000 + 1,665,000 + 2,620,000 + 3,775,000 + 2,565,000 + 1,910,000 \] \[ \sum (f_i \cdot x_i) = 13,445,000 \]
Hitung total frekuensi \(\sum f_i\): \[ \sum f_i = 20 + 30 + 40 + 50 + 30 + 20 = 190 \]
Hitung Mean: \[ \bar{X} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i} = \frac{13,445,000}{190} \approx 70,763.- \]
Rata-rata penjualannya: \[ Rp 70,763.-\]
Visualisasi Mean menggunakan Density Plot
2. Median:
Total Jumlah Data: \[ n = 20 + 30 + 40 + 50 + 30 + 20 = 190 \]
Posisi Median
Karena \(n = 190\), jumlah data genap, maka:
\[ \text{Posisi Median} = \frac{n}{2} = 95 \quad \text{dan} \quad \frac{n}{2} + 1 = 96 \]
Berdasarkan frekuensi kumulatif, data ke-95 dan ke-96 berada dalam interval 71-80.
- Rumus Median
Rumus median untuk data kelompok adalah:
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c \]
- Substitusi Nilai
\[ L = 70,500, \quad F = 90, \quad f_m = 50, \quad c = 10,000 \]
- Perhitungan Median \[ \text{Median} = 70,500 + \left( \frac{95 - 90}{50} \right) \cdot 10,000 \] \[ \text{Median} = 70,500 + \left( \frac{5}{50} \right) \cdot 10,000 \] \[ \text{Median} = 70,500 + 1,000 = 71,500 \]
Nilai Tengah penjualannya: \[ Rp 71,500\]
Visualisasi Median Menggunakan Density Plot
3. Modus:
Identifikasi Kelas Modus: Kelas dengan frekuensi tertinggi berada di interval 71,000-80,000 (\(f_1 = 50\)).
- Informasi:
- \(L = 71,000\): tepi bawah kelas modus.
- \(f_1 = 50\): frekuensi kelas modus.
- \(f_0 = 40\): frekuensi kelas sebelum kelas modus.
- \(f_2 = 30\): frekuensi kelas setelah kelas modus.
- \(c = 10,000\): panjang interval kelas.
- Rumus Modus: \[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \right) \times c \]
- Substitusi Nilai: \[ \text{Modus} = 71,000 + \left( \frac{50 - 40}{(50 - 40) + (50 - 30)} \right) \times 10,000 \] \[ \text{Modus} = 71,000 + \left( \frac{10}{10 + 20} \right) \times 10,000 \] \[ \text{Modus} = 71,000 + \left( \frac{10}{30} \right) \times 10,000 \] \[ \text{Modus} = 71,000 + (0.333 \times 10,000) \] \[ \text{Modus} = 71,000 + 3,330 \] \[ \text{Modus} \approx 74,330 \]
Nilai Penjualan Yang Paling Sering Muncul : \[ Rp 74,330\]
Visualisasi Modus Menggunakan Density Plot
Visualisasi Perbandingan Mean, Median, dan Modus Menggunakan Density Plot
Kesehatan
Studi Kasus: Distribusi Berat Badan Anak di Posyandu
Data berat badan anak (dalam kg) di suatu wilayah:
Berat Badan (Interval) | Frekuensi (Anak) |
---|---|
1 - 10 | 20 |
11 - 20 | 30 |
21 - 30 | 10 |
31 - 40 | 30 |
41 - 50 | 50 |
51 - 60 | 40 |
1. Mean
Perhitungan Titik Tengah Tiap Interval
Berikut adalah perhitungan titik tengah untuk setiap interval:
Interval 1 - 10:
\[ x_i = \frac{1 + 10}{2} = 5.5 \]Interval 11 - 20:
\[ x_i = \frac{11 + 20}{2} = 15.5 \]Interval 21 - 30:
\[ x_i = \frac{21 + 30}{2} = 25.5 \]Interval 31 - 40:
\[ x_i = \frac{31 + 40}{2} = 35.5 \]Interval 41 - 50:
\[ x_i = \frac{41 + 50}{2} = 45.5 \]Interval 51 - 60:
\[ x_i = \frac{51 + 60}{2} = 55.5 \]
Langkah-langkah:
Hitung \(f_i \cdot x_i\) untuk setiap interval:
\[ \begin{aligned} 20 \cdot 5.5 &= 110, \\ 30 \cdot 15.5 &= 465, \\ 10 \cdot 25.5 &= 255 \\ 30 \cdot 35.5 &= 1,065, \\ 50 \cdot 45.5 &= 2,275, \\ 40 \cdot 55.5 &= 2,220. \end{aligned} \]
Hitung total \(\sum (f_i \cdot x_i)\): \[ \sum (f_i \cdot x_i) = 110 + 465 + 255 + 1,065 + 2,275 + 2,220 = 6,390 \]
Hitung total frekuensi \(\sum f_i\): \[ \sum f_i = 20 + 30 + 10 + 30 + 50 + 40 = 180 \]
Hitung Mean: \[ \bar{X} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i} = \frac{6,390}{180} \approx 35.5 \]
Rata-rata Berat Badan Anak: \[ 35.5 Kg \]
Visualisasi Mean Menggunakan Density Plot
2. Median:
Total Jumlah Data: \[ n = 20 + 30 + 10 + 30 + 50 + 40 = 180 \]
Posisi Median
Karena \(n = 180\), jumlah data genap, maka:
\[ \text{Posisi Median} = \frac{n}{2} = 90 \quad \text{dan} \quad \frac{n}{2} + 1 = 91 \]
Berdasarkan frekuensi kumulatif, data ke-90 ke-91 berada dalam interval 31-40.
- Rumus Median
Rumus median untuk data kelompok adalah:
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c \]
- Substitusi Nilai
\[ L = 31, \quad F = 60, \quad f_m = 30, \quad c = 10 \]
- Perhitungan Median \[ \text{Median} = 31 + \left( \frac{90 - 60}{30} \right) \cdot 10 \] \[ \text{Median} = 31 + \left( \frac{30}{30} \right) \cdot 10 \] \[ \text{Median} = 31 + 10 = 41 \]
Nilai Tengah Berat Badan Anak: \[ 41 Kg \]
Visualisasi Median Menggunakan Density Plot
3. Modus:
Identifikasi Kelas Modus: Kelas dengan frekuensi tertinggi berada di interval 41-50 (\(f_1 = 50\)).
Informasi:
\(L = 41\): tepi bawah kelas modus.
\(f_1 = 50\): frekuensi kelas modus.
\(f_0 = 30\): frekuensi kelas sebelum kelas modus.
\(f_2 = 40\): frekuensi kelas setelah kelas modus.
\(c = 10\): panjang interval kelas.
- Rumus Modus: \[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \right) \times c \]
- Substitusi Nilai: \[ \text{Modus} = 41 + \left( \frac{50 - 30}{(50 - 30) + (50 - 40)} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 41 + \left( \frac{20}{20 + 10} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 41 + \left( \frac{20}{30} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 41 + (0.666 \times 10) \] \[ \text{Modus} = 41 + 6.66 \] \[ \text{Modus} \approx 47.66 \]
Berat Badan Anak Yang Paling Sering Muncul : \[ 47.66 Kg \]
Visualisasi Modus Menggunakan Density Plot
Visualisasi Perbandingan Mean, Median, dan Modus Menggunakan Density Plot
Pendidikan
Studi Kasus: Distribusi Nilai Ujian Kalkulus
Data nilai ujian kalkulus dari sebuah kelas:
Nilai Ujian (Interval) | Frekuensi (Siswa) |
---|---|
41 - 50 | 15 |
51 - 60 | 35 |
61 - 70 | 25 |
71 - 80 | 45 |
81 - 90 | 20 |
91 - 100 | 10 |
1. Mean
Perhitungan Titik Tengah Tiap Interval
Berikut adalah perhitungan titik tengah untuk setiap interval:
Interval 41 - 50:
\[ x_i = \frac{41 + 50}{2} = 45.5 \]Interval 51 - 60:
\[ x_i = \frac{51 + 60}{2} = 55.5 \]Interval 61 - 70:
\[ x_i = \frac{61 + 70}{2} = 65.5 \]Interval 71 - 80:
\[ x_i = \frac{71 + 80}{2} = 75.5 \]Interval 81 - 90:
\[ x_i = \frac{81 + 90}{2} = 85.5 \]Interval 91 - 100:
\[ x_i = \frac{91 + 100}{2} = 95.5 \]
Langkah-langkah:
Hitung \(f_i \cdot x_i\) untuk setiap interval:
\[ \begin{aligned} 15 \cdot 45.5 &= 682.5, \\ 35 \cdot 55.5 &= 1,942.5, \\ 25 \cdot 65.5 &= 1,637.5, \\ 45 \cdot 75.5 &= 3,397.5, \\ 20 \cdot 85.5 &= 1,710, \\ 10 \cdot 95.5 &= 955. \end{aligned} \]
Hitung total \(\sum (f_i \cdot x_i)\): \[ \sum (f_i \cdot x_i) = 682.5 + 1,942.5 + 1,637.5 + 3,397.5 + 1,710 + 955 = 10.325 \]
Hitung total frekuensi \(\sum f_i\): \[ \sum f_i = 15 + 35 + 25 + 45 + 20 + 10 = 150 \]
Hitung Mean: \[ \bar{X} = \frac{\sum (f_i \cdot x_i)}{\sum f_i} = \frac{10.325}{150} \approx 68.83 \]
Rata-rata Nilai ujian: \[ 68.83 \]
Visualisasi Mean Menggunakan Density Plot
2. Median:
Total Jumlah Data: \[ n = 15 + 35 + 25 + 45 + 20 + 10 = 150 \]
Posisi Median
Karena \(n = 150\), jumlah data genap, maka:
\[ \text{Posisi Median} = \frac{n}{2} = 75 \quad \text{dan} \quad \frac{n}{2} + 1 = 76 \]
Berdasarkan frekuensi kumulatif, data ke-75 dan ke-76 berada dalam interval 61-70.
- Rumus Median
Rumus median untuk data kelompok adalah:
\[ \text{Median} = L + \left( \frac{\frac{n}{2} - F}{f_m} \right) \cdot c \]
- Substitusi Nilai
\[ L = 61, \quad F = 50, \quad f_m = 25, \quad c = 10 \]
- Perhitungan Median \[ \text{Median} = 61 + \left( \frac{75 - 50}{25} \right) \cdot 10 \] \[ \text{Median} = 61 + \left( \frac{25}{25} \right) \cdot 10 \] \[ \text{Median} = 11 + 10 = 71 \]
Nilai Tengah Ujian: \[ 71 \]
Visualisasi Median Menggunakan Density Plot
3. Modus:
Identifikasi Kelas Modus: Kelas dengan frekuensi tertinggi berada di interval 71-80 (\(f_1 = 45\)).
Informasi:
\(L = 71\): tepi bawah kelas modus.
\(f_1 = 45\): frekuensi kelas modus.
\(f_0 = 25\): frekuensi kelas sebelum kelas modus.
\(f_2 = 20\): frekuensi kelas setelah kelas modus.
\(c = 10\): panjang interval kelas.
- Rumus Modus: \[ \text{Modus} = L + \left( \frac{f_1 - f_0}{(f_1 - f_0) + (f_1 - f_2)} \right) \times c \]
- Substitusi Nilai: \[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{45 - 25}{(45 - 25) + (45 - 20)} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{20}{20 + 25} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + \left( \frac{20}{45} \right) \times 10 \] \[ \text{Modus} = 71 + (0.444 \times 10) \] \[ \text{Modus} = 71 + 4.44 \] \[ \text{Modus} \approx 75.44 \]
Nilai Ujian Yang Paling Sering Muncul : \[ 75.44 \]