广义线性模型

1 广义线性模型

1.1 Logisitic回归：妊娠糖尿病分析

因变量：糖尿病(Diabetes){阳性：pos，阴性：neg}，设阳性为1、阴性为0
自变量：年龄(Age)、体重指数(BMI，kg/m² )、血糖浓度(Glucose )、舒张压(Diastolic blood pressure，(mm)Hg )、怀孕次数(Number of times pregnant )
数据文件：diabetes.csv，共 724个观察值

1.1.1 划分训练集和测试集

前450条个案为训练集，用于估计Logist模型

后274条个案为测试集，用于评价模型的估计效果

训练集糖尿病率36.44%，测试集糖尿病率为31.02%，两者大致相等。

1.1.2 训练集估计回归方程

term	estimate	std.error	statistic	p.value
(Intercept)	-7.950	0.97	-8.21	0.00
Age	0.012	0.01	1.00	0.32
BMI	0.089	0.02	4.81	0.00
Glucose	0.032	0.00	7.39	0.00
Pressure	-0.005	0.01	-0.50	0.61
Pregnant	0.098	0.04	2.45	0.01

\[ log(\frac{p}{1-p}) =-7.95+0.012\times Age+0.089\times BMI+0.032\times Glucose-0.005\times Pressure+0.098\times Pregnant\]

1.1.3 测试集预测效果评价

	pos_pred	neg_pred
pos	53	32
neg	21	168

由训练集预测混淆矩阵可知

准确率(accuracy)：80.66%
精确率(precision)：62.35%
召回率(recall)：71.62%
\(F_1\)得分(\(F_1\) score)：66.67%

1.1.4 回归模型边际效应

     Age      BMI  Glucose Pressure Pregnant 
    0.26     1.94     0.70    -0.11     2.14

年龄每增加一岁患病风险提高0.26%；体重指数每增加1患病风险提高1.94%；血糖浓度每增加1患病风险提高0.7%；舒张压每增加1患病风险降低0.11%；怀孕次数每增加一次患病风险提高2.14%。
体重指数、血糖浓度、怀孕次数对患病风险呈正向影响，符合预期。
年龄和舒张压对患病风险影响小且不显著，考虑逐步回归选择更合适的模型

1.2 Logisitic回归逐步回归

1.2.1 逐步回归的回归方程

Start: AIC=461.36 Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pressure + Pregnant

       Df Deviance    AIC

Pressure 1 449.62 459.62
Age 1 450.35 460.35 449.36 461.36
Pregnant 1 455.53 465.53
BMI 1 474.67 484.67
Glucose 1 515.90 525.90

Step: AIC=459.62 Diabetes ~ Age + BMI + Glucose + Pregnant

       Df Deviance    AIC

Age 1 450.43 458.43 449.62 459.62
Pregnant 1 455.69 463.69
BMI 1 475.95 483.95
Glucose 1 515.92 523.92

Step: AIC=458.43 Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant

       Df Deviance    AIC

450.43 458.43 - Pregnant 1 461.76 467.76 - BMI 1 476.19 482.19 - Glucose 1 522.88 528.88

Call: glm(formula = Diabetes ~ BMI + Glucose + Pregnant, family = binomial, data = diabetes, subset = id.train)

Coefficients: Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)
(Intercept) -7.939663 0.819306 -9.691 < 2e-16 BMI 0.085129 0.017658 4.821 1.43e-06 Glucose 0.032675 0.004262 7.666 1.77e-14 Pregnant 0.115033 0.034649 3.320 9e-04

Signif. codes: 0 ‘’ 0.001 ’’ 0.01 ’’ 0.05 ‘.’ 0.1 ’ ’ 1

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

Null deviance: 590.34  on 449  degrees of freedom

Residual deviance: 450.43 on 446 degrees of freedom AIC: 458.43

Number of Fisher Scoring iterations: 4

1.2.2 逐步回归的预测效果

     y.pred
y     pos_pred neg_pred
  pos       53       32
  neg       22      167

 Accuracy Precision    Recall        F1 
0.8029197 0.6235294 0.7066667 0.6625000

对训练集预测正确率为80.66%，其中阴性预测正确率为88.89%，阳性预测正确率为62.35%
Logistic回归的预测能力略好于朴素贝叶斯，但对阴性预测能力较好，对阳性预测能力较差

1.2.3 逐步回归的边际效应

 (Intercept)          BMI      Glucose     Pregnant 
-1.740454936  0.018661159  0.007162621  0.025216463

2 判别分析

2.1 线性贝叶斯判别

2.1.1 判别函数

由于只有目标变量只有两类，线性贝叶斯判别等价于Fisher判别。以下为Fisher判别的判别函数：

\[ w =5.981+0.008\times Age+0.068\times BMI+0.028\times Glucose-0.003\times Pressure+0.082\times Pregnant\]

该判别函数和Logsitic回归的方程近似等价，各系数存在近似的倍数关系。注意，这里\(w\)大于0判为neg，小于0判为pos。

2.1.2 测试集合的预测结果

测试集合预测的后验概率:

两类后验概率差异越大代表判别越有把握，错判的概率越小。

测试集合预测的混淆矩阵

	pos_pred	neg_pred
pos	53	32
neg	22	167

预测效果与Logistic模型基本一致。

2.2 二次贝叶斯判别

2.2.1 测试集合的预测

2.2.2 测试集合的混淆矩阵

	pos_pred	neg_pred
pos	53	32
neg	23	166

预测效果与Logistic模型基本是一致。