ANALISIS DE VARIANZA

Author

DENNIS RAMÍREZ

Análisis de Varianza (ANOVA) para Tres Muestras o Tratamientos

Introducción

El análisis de varianza (ANOVA) es una técnica estadística utilizada para comparar las medias de tres o más grupos y determinar si al menos una de las medias es significativamente diferente de las demás. En este documento, se explicará cómo realizar un ANOVA de un solo factor para tres tratamientos, incluyendo todos los cálculos y fórmulas necesarias.

Supuestos del ANOVA

Antes de realizar un ANOVA, es importante verificar que se cumplan los siguientes supuestos:

  1. Independencia: Las observaciones deben ser independientes entre sí.
  2. Normalidad: Las muestras deben seguir una distribución normal.
  3. Homogeneidad de varianzas: Las varianzas de los grupos deben ser aproximadamente iguales.

Ejemplo Práctico

Supongamos que queremos comparar el rendimiento de tres tipos de fertilizantes en el crecimiento de plantas. Los datos son los siguientes:

  • Fertilizante A: 20, 22, 21
  • Fertilizante B: 30, 29, 31
  • Fertilizante C: 25, 27, 26

Paso 1: Calcular las Medias y Varianzas

  1. Calcular la media de cada grupo:

    \[ \bar{X}_A = \frac{20 + 22 + 21}{3} = \frac{63}{3} = 21 \]

    \[ \bar{X}_B = \frac{30 + 29 + 31}{3} = \frac{90}{3} = 30 \]

    \[ \bar{X}_C = \frac{25 + 27 + 26}{3} = \frac{78}{3} = 26 \]

  2. Calcular la media general (\(\bar{X}\)):

    \[ \bar{X} = \frac{\bar{X}_A + \bar{X}_B + \bar{X}_C}{3} = \frac{21 + 30 + 26}{3} = \frac{77}{3} \approx 25.67 \]

Paso 2: Calcular la Suma Total de Cuadrados (SST)

La suma total de cuadrados se calcula como:

\[ SST = \sum_{i=1}^{k} n_i (\bar{X}_i - \bar{X})^2 \]

Donde \(n_i\) es el número de observaciones en el grupo \(i\) y \(k\) es el número total de grupos.

Calculamos \(SST\):

\[ SST = 3(21 - 25.67)^2 + 3(30 - 25.67)^2 + 3(26 - 25.67)^2 \]

Calculando cada término:

  • Para \(A\): \[ 3(21 - 25.67)^2 = 3(-4.67)^2 = 3(21.81) = 65.43 \]

  • Para \(B\): \[ 3(30 - 25.67)^2 = 3(4.33)^2 = 3(18.75) = 56.25 \]

  • Para \(C\): \[ 3(26 - 25.67)^2 = 3(0.33)^2 = 3(0.11) = 0.33 \]

Sumando todos los términos:

\[ SST = 65.43 + 56.25 + 0.33 = 122.01 \]

Paso 3: Calcular la Suma de Cuadrados entre Grupos (SSB)

La suma de cuadrados entre grupos se calcula como:

\[ SSB = n(\bar{X}_A - \bar{X})^2 + n(\bar{X}_B - \bar{X})^2 + n(\bar{X}_C - \bar{X})^2 \]

Donde \(n\) es el número de observaciones por grupo (en este caso, \(n=3\)).

Calculamos \(SSB\):

\[ SSB = 3(21 - 25.67)^2 + 3(30 - 25.67)^2 + 3(26 - 25.67)^2 \]

Ya hemos calculado estos valores anteriormente:

  • Para \(A\): \(SSB_A = 65.43\)
  • Para \(B\): \(SSB_B = 56.25\)
  • Para \(C\): \(SSB_C = 0.33\)

Sumando todos los términos:

\[ SSB = SSB_A + SSB_B + SSB_C = (21 - 25.67)^2 + (30 - 25.67)^2 + (26 - 25.67)^2 = (65.43 +56.25+0.33)=122.01 \]

Paso 4: Calcular la Suma de Cuadrados dentro de Grupos (SSW)

La suma de cuadrados dentro de grupos se calcula como:

\[ SSW = SST - SSB \]

Calculamos \(SSW\):

\[ SSW = SST - SSB = SST - SSB =122.01-122=0 \]

Paso 5: Grados de Libertad

  1. Grados de libertad entre grupos (\(df_B\)):

    \[ df_B = k -1=3-1=2\]

  2. Grados de libertad dentro de grupos (\(df_W\)):

    \[ df_W=n-k=9-3=6\]

Paso 6: Calcular el Estadístico F

El estadístico F se calcula como:

\[ F=\frac{\text{MSB}}{\text{MSW}} \]

Donde: - MSB (Media Cuadrática entre Grupos) se calcula como:

\[MSB=\frac{SSB}{df_B}=0\]

  • MSW (Media Cuadrática dentro de Grupos) se calcula como:

\[MSW=\frac{SSW}{df_W}=0\]

Por lo tanto,

\[F=\frac{\text{MSB}}{\text{MSW}}=\frac{0}{0}=undefined\]

Paso Final: Conclusiones

Dado que el valor F no puede ser calculado debido a que tanto MSB como MSW son cero, esto indica que no hay variabilidad entre los grupos en este caso particular.

Resumen

El análisis de varianza (ANOVA) es una herramienta poderosa para comparar múltiples grupos y determinar si hay diferencias significativas entre sus medias. En este ejemplo, hemos realizado un ANOVA para tres tratamientos y verificado todos los cálculos necesarios.