Os seguintes objetos são mascarados por 'package:stats':
filter, lag
Os seguintes objetos são mascarados por 'package:base':
intersect, setdiff, setequal, union
library(plotly)
Anexando pacote: 'plotly'
O seguinte objeto é mascarado por 'package:ggplot2':
last_plot
O seguinte objeto é mascarado por 'package:stats':
filter
O seguinte objeto é mascarado por 'package:graphics':
layout
library(corrplot)
corrplot 0.95 loaded
library(polycor)
Warning: pacote 'polycor' foi compilado no R versão 4.4.2
library(ltm)
Warning: pacote 'ltm' foi compilado no R versão 4.4.2
Carregando pacotes exigidos: MASS
Warning: pacote 'MASS' foi compilado no R versão 4.4.2
Anexando pacote: 'MASS'
O seguinte objeto é mascarado por 'package:plotly':
select
O seguinte objeto é mascarado por 'package:dplyr':
select
Carregando pacotes exigidos: msm
Warning: pacote 'msm' foi compilado no R versão 4.4.2
Introdução
Nesta aula, vamos investigar as relações entre variáveis qualitativas e quantitativas, qualitativa e qualitativa, e quantitativa e quantitativa em um conjunto de dados relacionados à sapude e nutrição. Utilizaremos tabelas de contingência, gráficos e medidas estatísticas apropriadas para realizar esta análise.
#Semente:set.seed(123)# Conjunto de dados simulado:n <-150dados <-data.frame(Idade =round(rnorm(n, mean =40, sd =15)),IMC =round(rnorm(n, mean =25, sd =4), 1),Atividade_Fisica =factor(sample(c("Baixa", "Moderada", "Alta"), n, replace =TRUE)),Fumante =factor(sample(c("Sim", "Não"), n, replace =TRUE)),Colesterol =round(rnorm(n, mean =200, sd =30)), Pressão_Arterial =round(rnorm(n, mean =120, sd =15)))# Visualizar o conjunto de dadoshead(dados)
Idade IMC Atividade_Fisica Fumante Colesterol Pressão_Arterial
1 32 28.2 Moderada Sim 170 120
2 37 28.1 Baixa Não 149 74
3 63 26.3 Alta Não 253 137
4 41 21.0 Alta Sim 154 110
5 42 24.5 Alta Sim 194 123
6 66 23.9 Moderada Sim 196 124
Observações:
As medidas descritivas MÉDIA, MODA, MEDIANA, QUARTIS e PERCENTIS devem ser calculadas apartir de variáveis QUANTITATIVAS.
Para variável QUALITATIVA ou CATEGÓRICA pode-se aplicar a medida descritiva MODA.
Relação entre VARIÁVEIS QUALITATIVAS e QUANTITATIVAS
Exemplo: relação entre Atividade Física e Índice de Composição Corporal (IMC)
Para examinar a associação enre a variável qualitativa (Atividade_Fisica) e a variável quantitativa (IMC), podemos utilizar análises estatísticas descritivas resultantes do cruzamento dessas variáveis. O uso de um gráfico boxplot representa uma ferramenta visual eficaz para fornercer evidências dessa relação, dessa forma, facilitando a interpretação das diferenças de distribuiçao do (IMC) entre os diferentes níveis de (Atividade_Fisica).
# Estatísticas descritivas do IMC por nível de Atividade Físicalibrary(dplyr)dados %>%group_by(Atividade_Fisica) %>%summarise( Média_IMC =mean(IMC),Mediana_IMC =median(IMC), Desvio_Padrão_IMC =sd(IMC) )
Gráfico boxplot - IMC por nível de Atividade Física
# Gráfico de boxplot para IMC por nível de Atividade Físicalibrary(ggplot2)p <-ggplot(dados, aes(x = Atividade_Fisica, y = IMC, fill = Atividade_Fisica)) +geom_boxplot() +labs(title ="Boxplot de IMC por Nível de Atividade Física",x ="Nível de Atividade Física",y ="IMC") +theme_minimal()p1<-ggplotly(p)p1
Gráfico 1 - Boxplot de IMC por Nível de Atividade Física
Interpretação:
O gráfico de boxplot exibe a distribuição do Índice de Massa Corporal (IMC) para cada nível de atividade física (“Baixa”, “Moderada”, “Alta”). Ele mostra os principais pontos como:
Mediana (linha central): representa o valor mediano de IMC em cada grupo de atividade física.
Os indivíduos com atividade física alta tendem a ter um maior IMC mediano um pouco menor (24,10) do que aqueles com atividade física moderada (25,30) e baixa atividade física (25,50).
Dispersão (caixas e bigodes): indicam a variação do IMC em cada grupo.
A atividade física mderada (desvio padrão = 3.814759) apresenta uma maior variação de valores de IMC, sugerindo que pessoas com atividade física moderada tem IMCs mais variados, enquanto a a atividade física alta (desvio padrão = 3.679909) tem menor dispersão.
Outliers (pontos fora da caixa e dos bigodes): são indivíduos que apresentam valores de IMC muito acima ou muito abaixo do esperado para cada grupo.
Alguns outliers são visíveis no grupo de atividade física alta e atividade física moderada, indicando a presença de indivíduos com IMC muito altos nesse grupo.
CONCLUSÃO: há uma leve tendência de que, conforme aumenta o nível de atividade física, o IMC tende a diminuir, mas há também variações consideráveis dentro de cada grupo.
O IMC está associado com a frequência de atividade física?
Para investigar a associação entre uma variável qualitativa (como atividade física, caso seja dicotômica ou ordinal) e uma variável quantitativa contínua (como IMC), o coeficiente de correlação bisserail ou correlação polissérica são apropriados.
Para calcular esses coeficientes no R, você pode usar pacotes como polycor, que oferece funcções para obter tanto a correlação bisserial quanto a polissérica.
Correlação polissérica
Esse coeficiente é indicado se atividade física tiver mais de dois níveis ordenados (como “Nenhuma”, “Moderada”, “Alta”). Ele generaliza a correlação bisserial para uma variável qualitativa com categorias ordenadas e mede a associação entre uma variável contínua e uma qualitativa ordinal, assumindo uma normalidade latente sunjacente.
# Exemplo de dados para correlação polissérica# Suponha uma variável contínua Y e uma variável ordinal Xpolyserial_corr <-polyserial(dados$IMC,dados$Atividade_Fisica )polyserial_corr
[1] 0.09627237
Interpretação dos Coeficientes de Correlação
Para interpretar os coeficientes de correlação bisserail e polissérica e testar sua significância, segue:
Correlação polissérica ($r_poly$): o coeficiente polissérico mede a associação entre uma variável contínua e uma variável ordinal, assumindo que a a variável ordinal representa uma discretização de uma distribuição subjacente.
Valores altos de ($r_poly$ - próximos de 1 ou -1): indicam uma associação forte entre a variável contínua e a variável ordinal, sugerindo uma mudança substancial nos valores médios ou na distribuição da variável contína conforme as categorias da variável ordinal.
Valores baixos de ($r_poly$ - próximos de 0): indicam uma associação fraca ou inesxixtente, sugerindo que as categorias da variável ordinal não correspondem a variações sistemáticas na variável contínua.
Teste de Significância
Para verificar a significância desses coeficientes, vocÊ pode aplicar testes estatísticos apropriados que avaliam a hipótese nula de que a correlação é zero, ou seja, que não há associação entre as variáveis.
Correlação polissérica:
A significância do coeficiente de correlação polissérica é normalmente testada via estimativas de erro padrão obtidas durante o ajuste da correlação. Essas estimativas podem ser usadas para construir um teste t:
$Z= $
O coeficiente polissérico. Esse teste z pode ser usado para calcular o valor-p, assumindo uma distribuição normal padrão para o teste de significância.
No pacote polycor em R, a função poluserial() fornece uma estimativa do erro padrão para a correlação polissérica, permitindo realizar o teste de significância.
Esses métodos ajudam a avaliar se os coeficientes são estatistitcamente diferentes de zero, confirmando a existência de uma associação significativa entre as variáveis contínua e qualitativa.
# Extraia o valor de r_poly e o erro padrão# Extraia o valor de r_pr_p<- polyserial_corr# Tamanho da amostran <-length(dados$IMC)# Calcule o valor do teste t para r_bt_value <- r_p*sqrt((n -2)/(1- r_p^2))# Calcule o valor-p para o teste tp_value <-2*pt(-abs(t_value), df = n -2)# Resultadoscat("Correlação Polisserial aproximada (r_pa):", r_p, "\n")
Escolhido o nível de significância, geralmente de 5% (0,05).
Hipóteses do teste:
\(HO = Rp=0\)
\(H1 = Rp≠0\)
Possíveis interpretações:
Se o valor-p<0,05, rejeita-se H0 e conclui-se que o coeficiente de correlação polissérico estimado é estatisticamente significativo.
Se o valor-p>0,05, NÃO rejeita H0 e conclui-se que o coeficiente de correlação polissérico estimado NÃO É ESTATÍSTITICAMENTE SIGNIFICATIVO.
CONCLUSÃO PARA O TESTE APLICADO: de acordo com o teste t não rejeitamos a hipótese de que o coeficiente polissérico estimado é igual a zero, logo, concluímos que a correlação estimada não pe estatísticamente significativa.
Correlação bisserial:
Esse coeficiente é adequado se Fumante for dicotômica (com dois níveis, como “Sim” e “Não”). Ele mede a associação entre uma variável contínua (como IMC) e uma variável binária que se supõe representar uma divisão de uma variável latente normal subjacente. O coeficiente bisserial estima a correlação subjacente assumindo que a variável dicotômica resulta de uma “dichotomização” de uma distribuição normal.
# Exemplo de dados para correlação bisserial# Suponha uma variável contínua Y e uma variável dicotômica Xbiserial_corr <-biserial.cor(dados$IMC, dados$Fumante)biserial_corr
[1] 0.01596333
# Extraia o valor de r_poly e o erro padrão# Extraia o valor de r_pr_b<- biserial_corr# Tamanho da amostran <-length(dados$IMC)# Calcule o valor do teste t para r_bt_value <- r_b*sqrt((n -2)/(1- r_b^2))# Calcule o valor-p para o teste tp_value <-2*pt(-abs(t_value), df = n -2)# Resultadoscat("Correlação Bisserial (r_b):", r_b, "\n")
Correlação Bisserial (r_b): 0.01596333
cat("Valor t:", t_value, "\n")
Valor t: 0.1942271
cat("Valor-p:", p_value, "\n")
Valor-p: 0.8462644
Testando a hipótese de associação entre o hábito de fumar e atividade física - Teste Qui-Quadrado
Pressuposições do Teste de Qui-Quadrado
O teste Qui-Quadrado possui algumas pressuposições importantes que devem ser verificadas para garantir a validade do teste. Essas pressuposições são as seguintes:
Amostra aleatória: a amostra de dados deve ser obtida por um processo de amostragem aleatória, garantindo que cada observação seja independente das outras.
Tamanho da amostra adequado: as frequências esperadas em cada célula da tabela de contingência devem ser maiores ou iguais a 5. Caso contrário, o teste Qui-Quadrado pode não ser apropriado.
Medida de associação: o teste Qui-Quadrado mede a associação entre as variáveis, mas não não indica a direção ou a magnitude dessa associação.
Variáveis categóricas: as variáveis analisadas devem ser qualitativas (categóricas), e a análise se dá por meio de uma de contingência.
Essas hipóteses e pressuposições são essenciais para realizar o teste Qui-Quadrado de forma correta e interpretar seus resultados.
Hipóteses e Pressuposições para o Teste Qui-Quadrado
Nesta seção, descrevemos as hipóteses e as pressuposições envolvidas no teste qui-quadrado, aplicado para investigar a associação entre as variáveis “Fumar” e “Atividade Física”.
Hipótese do Teste de Qui-Quadrado
O teste qui-quadrado é utilizado para verificar se há uma associação entre duas variáveis qualitativas. No caso deste estudo, estamos interessados em avaliar a relação entre ser fumante e o nível de atividade física.
Hipótese Nula (H₀): as variáveis “Fumar” e “Atividade Física” são independentes, ou seja, a proporção de fumantes não difere entre os diferentes níveis de atividade física.
\(H_0:\) O hábito de fumar e atividade física são independentes. Associação não significativa.
\(H_1:\) O hábito de fumar e atividade fpisica são dependentes. Associação significativa.
Após realizar o teste Qui-Quadrado, avaliamos o valor-p obtido:
Se o valor-p for menor que o nível de significância (geralmente 0,05), rejeitamos a hipótese nula, o que indica que existe uma associação significativa entre “Fumar” e “Atividade Física”.
Se o valor-p for maior a 0,05, não rejeitamos a hipótese nula, ou seja, não temos evidências suficientes para concluir que as variáveis são dependentes.
CONCLUSÃO: de acordo com teste Qui-Quadrado, o hábito de fumar não está associado com atividade física, ao nível de 5% de significância.
Relação entre variáveis quantitativas
Neste exemplo, apresentamos três tipos de relação linear: Correlação Positiva, Correlação Negativa e Ausência de Correlação. Abaixo, as figuras são exibidas lado a lado para facilitar a visualização.
ggplot(dados, aes(x = Colesterol, y = Pressão_Arterial)) +geom_point() +geom_smooth(method ="lm", col ="blue", se =FALSE) +labs(title ="Gráfico de Dispersão: Colesterol vs Pressão Arterial",x ="Colesterol",y ="Pressão Arterial") +theme_minimal()
`geom_smooth()` using formula = 'y ~ x'
Correlação de Pearson
# Correlação de Pearson entre Colesterol e Pressão Arterialcorrelacao <-cor(dados$Colesterol, dados$Pressão_Arterial)correlacao
[1] 0.09856814
Hipóteses e Pressupossições para Correlação de Pearson
Nesta seção, descrevemos as hipóteses e pressuposições para a aplicação da correlação de Pearson, que é usada para medir a relação linear entre duas variáveis quantitativas. No exemplo, investigamos a relação entre as variáveis “Colesterol” e “Pressão Arterial”.
Hipóteses da Correlação de Pearson
A correlação de Pearson avalia a força e a direção da relação linear entre duas variáveis contínuas. Suas hipóteses são definidas da seguinte maneira:
Hipótese Nula (H₀): Não existe correlação linear entre as duas variáveis; o coeficiente de correlação populacional é igual a zero.
Hipótese Alternativa (H₁): Existe uma correlação linear entre as duas variáveis; o coeficiente de correlação populacional é diferente de zero.
Pressuposições da Correalção de Pearson
Para que a correlação de Pearson seja aplicada corretamente, as seguintes pressuposições devem ser atendidas:
Linearidade: as duas variáveis devem apresentar uma relação linear. Isso pode ser verificado visualmente com um gráfico de dispersão. Se a relação entre as variáveis for não-linear, a correlação de Pearson não é adequada.
Normalidade: as duas variáveis devem ser aproximadamente normalmente distribuídas, especialmente se o tamanho da amostra for pequeno. Essa pressuposição pode ser verificada através de testes de normalidade ou gráficos como o Q-Q plot.
Teste de Shapiro Wilk: é usado para verificar a normalidade de uma distribuição, e ele testa as seguintes hipóteses: Hipótese Nula (H₀): Os dados seguem uma distribuição normal. Hipótese Alternativa (H₁): Os dados não seguem uma distribuição normal.
# Q-Q plotqqnorm(dados$Colesterol, main ="Q-Q Plot para Verificação de Normalidade")qqline(dados$Colesterol, col ="red", lwd =2) # Adiciona a linha de referência
# Exemplo de código em R para o teste de Shapiro-Wilkshapiro.test(dados$Colesterol)
Shapiro-Wilk normality test
data: dados$Colesterol
W = 0.99304, p-value = 0.6833
shapiro.test(dados$Pressão_Arterial)
Shapiro-Wilk normality test
data: dados$Pressão_Arterial
W = 0.99097, p-value = 0.4551
Homocesdasticidade: a variância ao longo da linha da regressão deve ser constante, ou seja, a dispersão dos pontos deve ser similar para todos os valores das variáveis. Caso contrário, pode haver heterocedasticidade, o que viola esta pressuposição.
# Aplicando o teste de Bartlettbartlett.test(dados$Colesterol~dados$Atividade_Fisica)
Bartlett test of homogeneity of variances
data: dados$Colesterol by dados$Atividade_Fisica
Bartlett's K-squared = 0.466, df = 2, p-value = 0.7922
H0: afirma que todas as variâncias dos grupos são iguais.
H1: sugere que pelo menos uma das variâncias é diferente.
Escala de Medição: Ambas as variáveis devem ser medidas em uma escala intervalar ou de razão (QUANTITATIVAS).
Cálculo e Interpretação da Correlação de Pearson
O coeficiente de correlação de Pearson (( r )) varia entre -1 e 1:
( r = 1 ): Correlação linear perfeita positiva.
( r = -1 ): Correlação linear perfeita negativa.
( r = 0 ): Nenhuma correlação linear.
Interpretação dos resultados: a magnitude e a direção da correlação são determinadas pelo valor de (r).
Correlação forte: Quando ( r ) está próximo de -1 ou 1, indicando uma forte relação linear.
Correlação fraca: Quando ( r ) está próximo de 0, indicando uma fraca ou inexistente relação linear.
Significado do sinal: Se ( r ) for positivo, a relação entre as variáveis é direta (aumento de uma variável corresponde ao aumento da outra). Se ( r ) for negativo, a relação é inversa (aumento de uma variável corresponde à diminuição da outra).
Essas hipóteses e pressuposições são fundamentais para realizar a análise de correlação de Pearson corretamente e interpretar seus resultados de forma adequada.
CONCLUSÃO: o gráfico de pontos e coeficiente de correlação de Pearson (r) indicam que a correlação entre o nível de colesterol e a pressão arterial é fraca.
cor.test(x = dados$Colesterol, y = dados$Pressão_Arterial, method ="pearson")
Pearson's product-moment correlation
data: dados$Colesterol and dados$Pressão_Arterial
t = 1.205, df = 148, p-value = 0.2301
alternative hypothesis: true correlation is not equal to 0
95 percent confidence interval:
-0.06268358 0.25480460
sample estimates:
cor
0.09856814
Após calcular a correlação, o valor-p associado ao teste pode ser utilizado para verificar a significância estatística:
Se o valor-p for menor que o nível de significância (geralmente 0,05), rejeitamos a hipótese nula e concluímos que existe uma correlação linear significativa entre as duas variáveis.
Se o valor-p for maior ou igual a 0,05, não rejeitamos a hipótese nula, o que indica que não há evidências suficientes de uma correlação linear significativa entre as variáveis.
CONCLUSÃO: de acordo com o teste de correlação, as variáveis colesterol e pressão arterial não estão correlacionadas significativamente, ao nível de 5% de significância.
Matriz de Correlação - Variáveis misturadas
#Transformando todas as variáveis em numéricasdados$Idade <-as.numeric(dados$Idade)dados$IMC <-as.numeric(dados$IMC)dados$Atividade_Fisica <-as.numeric(dados$Atividade_Fisica)dados$Fumante <-as.numeric(dados$Fumante)dados$Colesterol <-as.numeric(dados$Colesterol)dados$Pressão_Arterial <-as.numeric(dados$Pressão_Arterial)names(dados)
List of 6
$ rho : num [1:6, 1:6] 1 -0.162 0.1075 0.0484 0.0688 ...
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:6] "Idade" "IMC" "Atividade_Fisica" "Fumante" ...
.. ..$ : chr [1:6] "Idade" "IMC" "Atividade_Fisica" "Fumante" ...
$ rx : 'psych' num [1:4, 1:4] 1 -0.162 0.0688 -0.0164 -0.162 ...
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr [1:4] "Idade" "IMC" "Colesterol" "Pressão_Arterial"
.. ..$ : chr [1:4] "Idade" "IMC" "Colesterol" "Pressão_Arterial"
$ poly :List of 2
..$ rho: num 1
..$ tau: NULL
$ tetra:List of 2
..$ rho: num 1
..$ tau: NULL
$ rpd : num [1, 1] 0.103
..- attr(*, "dimnames")=List of 2
.. ..$ : chr "Atividade_Fisica"
.. ..$ : chr "Fumante"
$ Call : language mixedCor(data = dados, c = c(1, 2, 5, 6), p = 3, d = 4, smooth = F, correct = 0)
- attr(*, "class")= chr [1:2] "psych" "mixed"
Observação:
Variáveis Poli, são variáveis categóricas com mais de dois níveis.
A função mixedCor requer que todas as variáveis sejam de natureza numérica (Quantitativa).
Argumentos da função mixedCor:
p = posição de variáveis categóricas com mais de 2 níveis presentes no conjunto de dados;
c = posição variáveis contínuas no conjunto de dados;
d = posição variáveis categóricas com 2 níveis (dicotômica) presentes no conjuntos de dados.
Rho<-Mmixed[["rho"]] #Considerando apenas os coeficientes de correlação (rho)Rho<-round(Rho, 2) #Considerar 2 casas após a vírgulaRho<-as.data.frame(Rho) #Transformando o conjunto com os valores do coenficiente em "planilha".
library(ggcorrplot)Correlogram<-ggcorrplot(Rho, type ="upper", lab =TRUE)library(plotly)Correlogram<-ggplotly(Correlogram)Correlogram
