ESTATÍSTICA NÃO PARAMÉTRICA

PRÁTICA 5: MAIS DE DUAS AMOSTRAS DEPENDENTES

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1 PACOTES NECESSÁRIOS

Para esta quinta aula prática de Estatística Não Paramétrica, precisaremos dos seguintes pacotes:

require(DescTools) # Faz os testes Q de Cochran e Page
require(multcompView) # Auxilia nas comparações múltiplas
require(PCMRMplus) # Fas os testes de Friedman e Nemenyi

2 TESTE Q DE COCHRAN

Para fazer o teste Q de Cochran no R, basta utilizar a função CochranQTest() do pacote DescTools. Essa função tem o seguinte argumento:

• y = Matriz com os dados.

A função CochranQTest retorna as seguintes saídas:

• Q = Estatística de teste
• df = Graus de liberdade
• p-value = valor-p

2.1 EXEMPLO: TREINAMENTOS DE MEMORIZAÇÃO

Considere a avaliação da eficácia de quatro métodos de treinamento (A, B, C e D) na memorização de palavras em um grupo de 23 estudantes. Cada estudante foi submetido a todos os métodos, e depois de cada sessão, responderam corretamente (1) ou incorretamente (0) a um teste de memorização. Os dados com as respostas dos 23 estudantes são dados a seguir:

Queremos verificar se há diferenças significativas na proporção de respostas corretas entre os métodos. Para isto, vamos utilizar o teste Q de Cochran com um nível de significância global de 5%.

As hipóteses de interesse serão, portanto:

• \(H_0:\) Não há diferenças na proporção de respostas corretas entre os métodos.
• \(H_1:\) Existe diferença na proporção de respostas corretas em pelo menos um dos métodos.

Inicialmente, precisamos salvar a base de dados em um objeto. Os comandos a seguir fazem isso:

Dados <- matrix(
  c(0, 0, 1, 1,  
    0, 1, 1, 1,  
    0, 1, 1, 1,  
    0, 0, 1, 1,
    1, 1, 1, 1,
    1, 1, 0, 1,
    0, 0, 1, 0, 
    1, 1, 1, 0,
    0, 1, 1, 1,
    0, 1, 0, 1,
    0, 0, 1, 1,
    0, 1, 1, 1,
    1, 1, 1, 1,
    0, 1, 1, 1,
    1, 1, 0, 1,
    1, 1, 1, 0,
    0, 1, 1, 1,
    0, 1, 0, 1,
    0, 0, 1, 1,
    0, 1, 1, 1,
    1, 1, 1, 1,
    0, 1, 1, 1,
    1, 1, 0, 1),
  nrow = 23, byrow = TRUE
)
colnames(Dados) <- c("Metodo_A", "Metodo_B", "Metodo_C", "Metodo_D")
rownames(Dados) <- paste("Estudante", 1:23)

Com os dados armazenados, o teste é realizado com o seguinte comando:

TesteQ = CochranQTest(Dados)
TesteQ

## 
##  Cochran's Q test
## 
## data:  y
## Q = 16, df = 3, p-value = 0.001134

Com um valor p de 0,0011 rejeita-se a hipótese nula. Isto é, há evidências de que pelo menos um dos métodos fornece uma proporção de respostas corretas diferente.

2.1.1 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

Como o exemplo anterior indicou que há diferenças na proporção de respostas corretas entre os métodos, é importante conduzir mais um passo na análise e fazer as comparações múltiplas segundo o teste de McNemar em cada par de combinações dos métodos.

Como já visto nesta disciplina, o teste de McNemar é feito com a função mcnemar.test e testa a hipótese de diferença na distribuição das categorias entre dois tratamentos (condições). O código a seguir é uma função completa que faz o teste de McNemar em todas as combinações par a par e salva os valores-p destas comparações:

### Função para comparações múltiplas com o teste de McNemar
multiplas_comparacoes_McNemar <- function(dados) {
  n_colunas <- ncol(dados) # número de tratamentos (condições)
  p_values <- c()  # Vetor para armazenar os p-values
  comparacoes <- c()  # Vetor para armazenar as comparações
  for (i in 1:(n_colunas - 1)) { # Varrendo todas as combinações 
    for (j in (i + 1):n_colunas) { # par a par
      # Criando a tabela de contingência
      tabela <- table(dados[, i], dados[, j])
      # Realizando o teste de McNemar e corrigindo se b+c < 25
      if (tabela[2]+tabela[3]>=25) {
        mcnemar_result <- mcnemar.test(tabela,correct = FALSE)
      }else{
        mcnemar_result <- mcnemar.test(tabela,correct = TRUE)
      }
      # Adicionando o valor p ao vetor
      p_values <- c(p_values, mcnemar_result$p.value)
      # Criando o nome da comparação com base nos nomes das colunas
      comparacao_nome <- paste(colnames(dados)[i], colnames(dados)[j], sep = "-")
      comparacoes <- c(comparacoes, comparacao_nome)
    }
  }
  names(p_values)= comparacoes
  return(p_values)
}

Portanto, esta função retorna um vetor com os valores-p dos testes de McNemar com o indicativo de qual comparação foi realizada.

Vamos executar essa função nos dados dos métodos de treinamento:

valor_p = multiplas_comparacoes_McNemar(Dados)
valor_p

## Metodo_A-Metodo_B Metodo_A-Metodo_C Metodo_A-Metodo_D Metodo_B-Metodo_C 
##       0.004426526       0.024448945       0.005959526       1.000000000 
## Metodo_B-Metodo_D Metodo_C-Metodo_D 
##       0.683091398       0.723673610

Entretanto, estes valores-p ainda não estão ajustados para corrigir a inflação do erro tipo I atrelado ao nível de significância global. Para ajustar os valores-p conforme cada uma das correções vistas em sala (Bonferroni, Holm-Bonferroni, e BH) utilizamos a função p.adjust que necessita de um vetor com os valores-p e o método. Tem-se, portanto, os seguintes comandos:

valor_p_bonf = p.adjust(valor_p,method="bonferroni")
valor_p_holm = p.adjust(valor_p,method="holm")
valor_p_BH = p.adjust(valor_p,method="BH")
valor_p_bonf

## Metodo_A-Metodo_B Metodo_A-Metodo_C Metodo_A-Metodo_D Metodo_B-Metodo_C 
##        0.02655916        0.14669367        0.03575716        1.00000000 
## Metodo_B-Metodo_D Metodo_C-Metodo_D 
##        1.00000000        1.00000000

valor_p_holm

## Metodo_A-Metodo_B Metodo_A-Metodo_C Metodo_A-Metodo_D Metodo_B-Metodo_C 
##        0.02655916        0.09779578        0.02979763        1.00000000 
## Metodo_B-Metodo_D Metodo_C-Metodo_D 
##        1.00000000        1.00000000

valor_p_BH

## Metodo_A-Metodo_B Metodo_A-Metodo_C Metodo_A-Metodo_D Metodo_B-Metodo_C 
##        0.01787858        0.04889789        0.01787858        1.00000000 
## Metodo_B-Metodo_D Metodo_C-Metodo_D 
##        0.86840833        0.86840833

Note a diferença nos níveis de conservadorismo das correções.

Com os valores-p ajustados, o próximo passo é colocar as letras que indiquem os resultados das comparações efetuadas. Isso é feito com o comando multcompLetters do pacote MultcompView que apenas precisa receber um vetor com valores-p em que cada valor tem um rótulo com a comparação efetuada:

multcompLetters(valor_p_bonf)

## Metodo_A Metodo_B Metodo_C Metodo_D 
##      "a"      "b"     "ab"      "b"

multcompLetters(valor_p_holm)

## Metodo_A Metodo_B Metodo_C Metodo_D 
##      "a"      "b"     "ab"      "b"

multcompLetters(valor_p_BH)

## Metodo_A Metodo_B Metodo_C Metodo_D 
##      "a"      "b"      "b"      "b"

Como para este exemplo não temos um número muito elevado de comparações múltiplas, podemos utilizar as correções de Bonferroni ou Holm-Bonferroni. Ambas as correções concordam que o método A é diferente dos métodos B e D

2.2 EXERCÍCIO: DORES DE CABEÇA

Imagine que você deseja avaliar a eficácia de quatro tratamentos para reduzir dores de cabeça (Tratamentos A, B, C e D). Foram selecionados 30 pacientes e cada um foi exposto a todos os tratamentos, reportando se a dor foi reduzida (1) ou não (0) para cada tratamento.

Os dados coletados são os seguintes:

Dados <- matrix(c(
  1, 1, 0, 0,
  0, 0, 0, 1,
  1, 1, 0, 0,
  1, 1, 1, 0,
  1, 0, 0, 1,
  0, 1, 0, 0,
  1, 1, 0, 0,
  1, 0, 0, 1,
  1, 1, 0, 0,
  1, 0, 1, 1,
  1, 1, 0, 0,
  0, 1, 0, 0,
  1, 0, 0, 1,
  1, 1, 1, 0,
  1, 1, 0, 0,
  1, 1, 0, 0,
  1, 0, 0, 1,
  0, 1, 1, 0,
  1, 0, 0, 1,
  1, 1, 0, 0,
  1, 1, 0, 0,
  1, 1, 0, 0,
  0, 0, 0, 1,
  1, 1, 0, 0,
  1, 1, 0, 0,
  1, 1, 1, 0,
  1, 0, 0, 1,
  1, 1, 0, 0,
  0, 1, 0, 0,
  1, 0, 1, 1
), nrow = 30, byrow = TRUE)


# Nomeando as linhas e colunas
rownames(Dados) <- paste("Paciente", 1:30)
colnames(Dados) <- c("Trat A", "Trat B", "Trat C", "Trat D")

Utilize o teste Q de Cochran para investigar se a proporção de melhora das dores de cabeça é igual para todos os tratamentos. Caso necessário, recorra às comparações múltiplas. Considere \(\alpha=5\%\)

3 TESTE DE PAGE

Para executar o teste de Page no R, utilizaremos a função PageTest do pacote DescTools. A função PageTest precisa do seguinte argumento:

• y = Matriz com os dados.

A função PageTest retorna as seguintes saídas:

• L = Estatística de teste
• p-value = valor-p

3.1 EXEMPLO: NÍVEIS DE ESTRESSE

Foi desenvolvido um programa para reduzir os níveis de estresse de trabalhadores. Para determinar se o programa foi bem-sucedido, uma amostra de 15 trabalhadores foi selecionada e seu nível de estresse foi medido (pontuações baixas indicam níveis mais altos de estresse) antes do programa, bem como 1, 2 e 3 semanas após o início do programa. Os dados obtidos estão abaixo:

Utilize o teste de Page com um nível de significância de 5% para investigar se há uma tendência crescente no escore associado ao stress. Ou seja, investigue se o programa está sendo eficaz.

As hipóteses de interesse serão, portanto:

• \(H_0:\) Não há uma têndencia no escore associado ao stress.
• \(H_1:\) Existe uma têndencia crescente no escore associado ao stress.

Inicialmente, precisamos salvar a base de dados em um objeto. Os comandos a seguir fazem isso:

Dados <- matrix(
  c(16,22,23,25,
    12,18,24,29,
    23,24,26,27,
    8,20,28,30,
    3,12,13,17,
    5,13,11,15,
    19,22,25,26,
    22,22,23,26,
    12,20,22,24,
    16,22,26,29,
    14,25,18,21,
    24,26,21,23,
    9,12,20,23,
    3,9,13,16,
    2,8,6,10),
  nrow = 15, byrow = TRUE
)
colnames(Dados) <- c("Antes", "Semana 1", "Semana 2", "Semana 3")
rownames(Dados) <- paste("Trabalhador", 1:15)

Como a hipótese alternativa objetiva verificar uma tendência crescente e, com os dados armazenados, o teste é realizado com o seguinte comando:

TesteL = PageTest(Dados)
TesteL

## 
##  Page test for ordered alternatives
## 
## data:  Dados
## L = 436.5, p-value = 1.24e-10

Com um valor-p bem próximo de 0, a hipótese nula é rejeitada e há evidências de que o treinamento é eficaz, propiciando uma tendência crescente no escore de stress.

3.2 TENDÊNCIA DECRESCENTE

Se fosse necessário testar uma tendência decrescente, basta executar o seguinte comando para inverter as colunas antes de rodar o teste:

DadosInv<-Dados[, ncol(Dados):1]

3.3 EXERCÍCIO: DESEMPENHO ACADÊMICO

Considere o interesse de analisar o desempenho acadêmico de 10 alunos após a aplicação sequencial de 3 métodos de ensino (A, B e C):

Dados <- matrix(c(
  60, 75, 72,  
  58, 65, 67,  
  70, 68, 78,  
  50, 60, 55,  
  80, 85, 83,  
  55, 58, 62,  
  65, 72, 70, 
  60, 63, 68,  
  67, 70, 75,  
  62, 65, 64   
), nrow = 10, byrow = TRUE)

colnames(Dados) <- c("Método A", "Método B", "Método C")
rownames(Dados) <- paste("Aluno", 1:10)

Queremos verificar, com o teste de Page, se há uma tendência crescente nas notas ao nível de significância de \(\alpha = 5%\)

4 TESTE DE FRIEDMAN

Para fazer o teste de Friedman no R, basta utilizar a função friedmanTest() do pacote PMCMRplus. Essa função tem o seguinte argumento:

• y = Matriz com os dados.

A função friedmanTest retorna as seguintes saídas:

• Friedman chi-squared = Estatística de teste
• df = Graus de liberdade
• p-value = valor-p

4.1 EXEMPLO: DEPARTAMENTO DE VENDAS

O departamento de vendas de uma empresa deseja avaliar quatro tipos de serviços realizados no processo de pós-venda. Foram entrevistados 18 clientes para identificar a preferência em relação aos quatros tipos de serviço. As quatro alternativas foram apresentadas e foi solicitado a cada entrevistado que ordenasse os tipos de serviço, atribuindo o valor 1 para o menos preferido até o valor 4 para o mais preferido. Os dados coletados são fornecidos abaixo:

Considerando um nível de significância de 5%, deseja-se saber se há diferença significativa na preferência dos clientes pelos quatro serviços realizados pela empresa no processo de pós-venda.

As hipóteses de interesse serão, portanto:

• \(H_0:\) Não há diferenças nas medianas das preferências para os serviços.
• \(H_1:\) Existe diferença nas medianas das preferências dos serviços em pelo menos um deles.

Inicialmente, precisamos salvar a base de dados em um objeto. Os comandos a seguir fazem isso:

Dados <- matrix(c(
4, 3, 2, 1,
4, 2, 3, 1,
3, 1, 2, 4,
3, 1, 2, 4,
4, 2, 1, 3,
3, 1, 2, 4,
1, 3, 2, 4,
4, 2, 1, 3,
3, 1, 2, 4,
4, 1, 3, 2,
4, 2, 3, 1,
3, 1, 2, 4,
4, 3, 2, 1,
4, 3, 2, 1,
1, 2, 3, 4,
4, 2, 3, 1,
4, 3, 2, 1,
2, 1, 4, 3),
nrow = 18, byrow = TRUE)

colnames(Dados) <- c("Servico 1", "Servico 2", "Servico 3", "Servico 4")
rownames(Dados) <- paste("Entrevistado", 1:18)

Com os dados armazenados, o teste é realizado com o seguinte comando:

TesteF = PMCMRplus::friedmanTest(Dados)
TesteF

## 
##  Friedman rank sum test
## 
## data:  y
## Friedman chi-squared = 11.133, df = 3, p-value = 0.01103

Com um valor p de 0,01103 rejeita-se a hipótese nula. Isto é, há evidências de que pelo menos um dos serviço possui uma mediana das preferências diferente.

4.1.1 COMPARAÇÕES MÚLTIPLAS

Como o exemplo anterior indicou que há diferenças na medianas das preferências dos serviços entre os métodos, é importante conduzir mais um passo na análise e fazer as comparações múltiplas segundo o teste de Nemenyi em cada par de combinações dos métodos.

O pacote PMCMRplus possui a função frdAllPairsNemenyiTest() que já faz todas as comparações múltiplas necessárias. Basta colocar os dados como argumento. Segue o comando:

matriz_p_value = PMCMRplus::frdAllPairsNemenyiTest(Dados)$p.value
matriz_p_value

##             Servico 1 Servico 2 Servico 3
## Servico 2 0.006846536        NA        NA
## Servico 3 0.092643123 0.8028740        NA
## Servico 4 0.335169780 0.4080497 0.9171545

Essa matriz contempla todos os valores-p para as comparações múltiplas entre os serviços. Lembre-se que este teste já incorpora uma correção e não temos que fazer ajustes adicionais. Vamos transformar essa matriz em um vetor para extrair as letras.

vetor_p_value <- as.vector(matriz_p_value)
names(vetor_p_value) <- paste(rep(colnames(matriz_p_value),
                                  each = nrow(matriz_p_value)),
                      rep(rownames(matriz_p_value), 
                          times = ncol(matriz_p_value)),sep = "-")
vetor_p_value <- vetor_p_value[!is.na(vetor_p_value)]
vetor_p_value

## Servico 1-Servico 2 Servico 1-Servico 3 Servico 1-Servico 4 Servico 2-Servico 3 
##         0.006846536         0.092643123         0.335169780         0.802873960 
## Servico 2-Servico 4 Servico 3-Servico 4 
##         0.408049698         0.917154513

Agora sim temos um objeto pronto para ser usado na função multcompLetters() para extrair as letras:

letras = multcompLetters(vetor_p_value)
letras

## Servico 1 Servico 2 Servico 3 Servico 4 
##       "a"       "b"      "ab"      "ab"

Portanto, há evidências que o serviço 1 proporcione uma diferença na preferência com respeito ao serviço 2.

4.2 EXERCÍCIO: MEDICINA E SAÚDE

Suponha que estamos analisando o efeito de três diferentes tratamentos de reabilitação (Tratamento A, Tratamento B e Tratamento C) em uma condição específica de saúde, com um número maior 20 participantes. A recuperação dos pacientes com respeito a cada um dos métodos foi medida com uma pontuação de 0 a 10, sendo 0 a recuperação mínima e 10 a recuperação máxima. Os dados estão disponíveis abaixo:

Dados <- matrix(c(
  7.5, 6.0, 8.2, 
  5.3, 7.0, 6.5, 
  7.1, 8.0, 6.8, 
  5.5, 7.9, 8.1,
  7.3, 6.7, 7.4,
  6.9, 5.6, 7.2,
  6.4, 8.3, 6.4, 
  7.2, 6.5, 7.8, 
  6.9, 7.3, 8.0, 
  6.3, 6.8, 7.0, 
  7.6, 7.5, 6.7, 
  7.9, 6.2, 6.9, 
  7.1, 8.2, 6.1, 
  7.4, 8.0, 7.5, 
  8.3, 7.8, 7.9, 
  8.2, 8.1, 7.9, 
  8.5, 7.6, 7.8, 
  8.4, 7.9, 8.2, 
  8.3, 7.7, 8.1, 
  7.8, 7.5, 8.0), nrow = 20, byrow = FALSE)

colnames(Dados) <- c("Método A", "Método B", "Método C")
rownames(Dados) <- paste("Aluno", 1:20)

Queremos verificar, com o teste de Friedman, se existe diferença nas medianas das pontuações em pelo menos um dos tratamentos ao nível de significância de \(\alpha = 5%\). Conduza as comparações múltiplas, se necessário.

5 EXERCÍCIOS

Na lista prática, resolva os exercícios 5-9.