Final - DOE - Diseños Factoriales

Diseño de Experimentos - MIOE

1. Planeación del diseño

1.1 Introducción

Objetivo del experimento

Determinar el efecto de diferentes configuraciones de la catapulta en el tiempo de vuelo de dos tipos de proyectiles.

Factores y niveles seleccionados

  1. Factor A: Tipo de material

Niveles:

  • Bajo Nivel: cristal
  • Alto Nivel: madera
  1. Factor B: Punto de anclaje

Niveles:

  • Bajo Nivel: 2
  • Alto Nivel: 3
  1. Factor C: Ángulo de inclinación

Niveles:

  • Bajo Nivel: ángulo 2
  • Alto Nivel: ángulo 3

*Justificación:

Los factores y los niveles seleccionados fueron considerados teniendo en cuenta aquellas variables que en un modelo cinemático/dinámico pudiesen tener una influencia marcada sobre el tiempo de vuelo del proyectil.

  1. El ángulo de lanzamiento es crucial para maximizar la distancia y el tiempo de vuelo del proyectil. Desde un punto de vista físico, un ángulo de 45 grados suele ser óptimo para alcanzar la mayor distancia en condiciones ideales.

  2. La posición del punto de anclaje (donde se sostiene el brazo de la catapulta antes de ser liberado) afecta la longitud del brazo y, en consecuencia, la cantidad de energía potencial almacenada. Un punto de anclaje más cercano al pivote puede generar un mayor alcance de movimiento del brazo y, por tanto, una mayor liberación de energía.

  3. El tamaño, peso y forma del proyectil también afectan el tiempo de vuelo. Un proyectil más grande o pesado requerirá más energía para ser lanzado, lo que podría reducir su velocidad de salida y aumentar el tiempo de vuelo si la catapulta no puede impartir suficiente velocidad. La forma del proyectil influye en la resistencia al aire, que a su vez afecta el tiempo de vuelo.

1.2 Diseño experimental

Tipo de diseño

Se plantea un diseño factorial completo 2^k con 3 réplicas para cada tratamiento, obteniendo un total de 24 tratamientos.

Combinaciones de tratamientos

# Factores y niveles

material <- c("cristal", "madera")  # Niveles del factor Material
punto_anclaje <- c(2, 3)  # Niveles del factor Punto de Anclaje
angulo <- c(2, 3)  # Niveles del factor Ángulo
replicas <- 3  # Número de réplicas

# Generar todas las combinaciones posibles
combinaciones <- expand.grid(Material = material, 
                             Punto_de_Anclaje = punto_anclaje, 
                             Angulo = angulo)

# Crear las réplicas de forma aleatoria
set.seed(123)  # Para reproducibilidad
experimentos <- do.call(rbind, replicate(replicas, combinaciones[sample(nrow(combinaciones)), ], simplify = FALSE))

# Añadir columna para identificar la réplica
experimentos$Replica <- rep(1:replicas, each = nrow(combinaciones))

# Mostrar el diseño de experimentos
print(experimentos)
##    Material Punto_de_Anclaje Angulo Replica
## 7   cristal                3      3       1
## 8    madera                3      3       1
## 3   cristal                3      2       1
## 6    madera                2      3       1
## 2    madera                2      2       1
## 4    madera                3      2       1
## 5   cristal                2      3       1
## 1   cristal                2      2       1
## 51  cristal                2      3       2
## 41   madera                3      2       2
## 61   madera                2      3       2
## 11  cristal                2      2       2
## 21   madera                2      2       2
## 31  cristal                3      2       2
## 71  cristal                3      3       2
## 81   madera                3      3       2
## 32  cristal                3      2       3
## 82   madera                3      3       3
## 12  cristal                2      2       3
## 42   madera                3      2       3
## 62   madera                2      3       3
## 52  cristal                2      3       3
## 72  cristal                3      3       3
## 22   madera                2      2       3
# Guardar como archivo CSV
write.csv(experimentos, "final.csv", row.names = FALSE)

Número de réplicas

Se consideran 3 réplicas por tratamiento considerando el límite de tiempo designado para llevar a cabo todo el experimento y el número de tratamientos requeridos por un DOE 2^k, siendo k = 3.

2. Toma de información

2.1 Metodología

Procedimiento

  1. Explorar las posibles configuraciones de la catapulta.

  2. Determinar el número de factores, número de réplicas y tipo de experimento.

  3. Determinar el número de combinaciones.

  4. Definir roles de los integrantes para la ejecución.

  5. Realizar las mediciones de acuerdo a las combinaciones determinadas (tratamientos):

    • Establecer configuración (tratamiento).
    • Configurar la catapulta dependiendo del tratamiento a realizar.
    • Configurar el cronómetro en 00:00:00
    • Realizar el dispara del proyectil
    • Registrar el tiempo de vuelo.

Equipos y materiales utilizados

  • Catapulta
  • Cronómetro
  • Proyectiles: esfera de madera / esfera de cristal
  • Cinta de enmascarar
  • Computador: Registro de datos

2.2 Datos obtenidos

Tabla de resultados

datos <- read.csv("DOE_final.csv", sep = ";") %>% clean_names()
datos <- datos[,c('material','punto_de_anclaje','angulo', 'replica', 'tiempo_de_vuelo')]
ftable(datos)

material

punto_de_anclaje

angulo

replica

tiempo_de_vuelo

cristal

3

3

1

55

madera

3

3

1

56

cristal

3

2

1

44

madera

1

3

1

86

madera

1

2

1

60

madera

3

2

1

60

cristal

1

3

1

82

cristal

1

2

1

49

cristal

1

3

2

60

madera

3

2

2

43

madera

1

3

2

98

cristal

1

2

2

51

madera

1

2

2

59

cristal

3

2

2

48

cristal

3

3

2

54

madera

3

3

2

46

cristal

3

2

3

45

madera

3

3

3

46

cristal

1

2

3

48

madera

3

2

3

52

madera

1

3

3

84

cristal

1

3

3

56

cristal

3

3

3

65

madera

1

2

3

48

Observaciones relevantes durante la experimentación

  1. El nivel de iluminación del espacio donde se llevó a cabo el experimento impidió tomar registros “más precisos” del tiempo de vuelo del proyectil considerando que, la señal para registar el tiempo estuvo basado en el sonido del impacto del proyectil contra el suelo y no debido a un registo visual (luz) de dicho impacto. Si bien a distancias muy pequeñas el sentido de la audición y de la vista podrían estar equiparadas para registrar sucesos de los alrededores, la percepción humana de lo “visible” tiende a ser más veloz que lo “sonoro”.

  2. Cada tratamiento requirió de tres personas para lograr calibrar cada ejecución, lo que induce un error de repetibilidad durante todo el experimento. Se induce un error importante sobre el registro del tiempo de vuelo del proyectil dado que no es posible reproducir fielmente las condiciones iniciales de disparo del proyectil en cada tratamiento.

  3. Existe incertidumbre inducida en el resultado del tiempo de vuelo del proyectil por efecto de la capacidad de reacción limitada de un ser humando para registrar un tiempo del orden de milisegundos [ms].

3. Análisis de datos

datos <- datos%>%
  mutate_at(vars("material", "punto_de_anclaje", "angulo"), ~ factor(.))

head(datos)
##   material punto_de_anclaje angulo replica tiempo_de_vuelo
## 1  cristal                3      3       1              55
## 2   madera                3      3       1              56
## 3  cristal                3      2       1              44
## 4   madera                1      3       1              86
## 5   madera                1      2       1              60
## 6   madera                3      2       1              60

3.1 Análisis estadístico

Se calcula las medias de tiempo de vuelo para cada combinación de factores (tratamientos)

# is.numeric(datos$tiempo_de_vuelo)

datos_media <- datos %>%
  group_by(material, punto_de_anclaje, angulo) %>%
  summarise(tiempo_de_vuelo = mean(tiempo_de_vuelo))
ftable(datos_media)

material

punto_de_anclaje

angulo

tiempo_de_vuelo

cristal

1

2

49.33333

cristal

1

3

66.00000

cristal

3

2

45.66667

cristal

3

3

58.00000

madera

1

2

55.66667

madera

1

3

89.33333

madera

3

2

51.66667

madera

3

3

49.33333

Efectos principales e interacciones

#Gráficos de interacción

grafico_1 <- ggplot(datos_media, aes(x = angulo, y = tiempo_de_vuelo, color = punto_de_anclaje, group = punto_de_anclaje)) +
  geom_point(size = 3) +                # Añadir puntos
  geom_line() +                         # Añadir líneas para cada grupo
  facet_grid(~ material)+
  labs(
    title = "Gráfico de Interacción con Medias en función del material",
    x = "Ángulo de inclinación",
    y = "tiempo de vuelo")

grafico_1

# Gráfico 1: Boxplot de Tiempo de vuelo  con valor medio 

grafico2 <- ggplot(datos, aes(x = factor(material), y = tiempo_de_vuelo)) +
  geom_boxplot(aes(fill = factor(material)), color = "black", alpha = 0.7) +
  geom_jitter(width = 0.2, color = "darkblue", alpha = 0.5, size = 2) +  # Puntos de dispersión
  stat_summary(fun = mean, geom = "point", shape = 18, size = 3, color = "red") +  # Punto del valor medio
  stat_summary(fun = mean, geom = "text", aes(label = round(after_stat(y), 1)),  # Etiqueta del valor medio
               vjust = -0.5, color = "black", size = 3.5) +
  facet_grid(punto_de_anclaje ~ angulo, labeller = label_both)+
  labs(x = "Material", y = "Tiempo de vuelo en ms",
       title = "Tiempo de vuelo por material") +
  scale_fill_brewer(palette = "Blues") +
  theme_minimal() +
  theme(legend.position = "none",
        plot.title = element_text(size = 12))  # Tamaño del título
grafico2

Pruebas de significancia estadística

#ANOVA

modelo <-  aov(tiempo_de_vuelo ~ material + punto_de_anclaje + angulo + material:punto_de_anclaje + material:angulo + punto_de_anclaje:angulo, data=datos)

summary(modelo)
##                           Df Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)    
## material                   1  273.4   273.4   3.659 0.072757 .  
## punto_de_anclaje           1 1162.0  1162.0  15.554 0.001047 ** 
## angulo                     1 1365.0  1365.0  18.272 0.000512 ***
## material:punto_de_anclaje  1  392.0   392.0   5.248 0.035026 *  
## material:angulo            1    2.0     2.0   0.027 0.870647    
## punto_de_anclaje:angulo    1  610.0   610.0   8.166 0.010899 *  
## Residuals                 17 1270.0    74.7                     
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Verificación de supuestos: Normalidad

residuos <- residuals(modelo)

#Normalidad de los residuals
# p > 0.05: No se rechaza la normalidad.
# p ≤ 0.05: Se rechaza la normalidad.

shapiro_test <- shapiro.test(residuos)
print(shapiro_test)
## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  residuos
## W = 0.96452, p-value = 0.5356
qqnorm(residuos)
qqline(residuos)

Verificación de supuestos: Homocedasticidad

# Test de Levene Interpretación:
  
# p > 0.05: No se rechaza la homogeneidad de varianzas.
# p ≤ 0.05: Se rechaza la homogeneidad de varianzas.

test_levene <- leveneTest(tiempo_de_vuelo ~ material * punto_de_anclaje * angulo, data=datos)
print(test_levene)
## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median)
##       Df F value Pr(>F)
## group  7  0.4652 0.8456
##       16
plot(modelo$residuals)

Pruebas Post-Hoc (Tuckey)

tukey <- TukeyHSD(modelo)
print(tukey)
##   Tukey multiple comparisons of means
##     95% family-wise confidence level
## 
## Fit: aov(formula = tiempo_de_vuelo ~ material + punto_de_anclaje + angulo + material:punto_de_anclaje + material:angulo + punto_de_anclaje:angulo, data = datos)
## 
## $material
##                diff        lwr      upr     p adj
## madera-cristal 6.75 -0.6948059 14.19481 0.0727565
## 
## $punto_de_anclaje
##          diff       lwr       upr     p adj
## 3-1 -13.91667 -21.36147 -6.471861 0.0010471
## 
## $angulo
##         diff      lwr      upr     p adj
## 3-2 15.08333 7.638527 22.52814 0.0005123
## 
## $`material:punto_de_anclaje`
##                           diff         lwr       upr     p adj
## madera:1-cristal:1   14.833333   0.6482039 29.018463 0.0387099
## cristal:3-cristal:1  -5.833333 -20.0184628  8.351796 0.6536144
## madera:3-cristal:1   -7.166667 -21.3517961  7.018463 0.4952676
## cristal:3-madera:1  -20.666667 -34.8517961 -6.481537 0.0034547
## madera:3-madera:1   -22.000000 -36.1851295 -7.814871 0.0019718
## madera:3-cristal:3   -1.333333 -15.5184628 12.851796 0.9930724
## 
## $`material:angulo`
##                          diff        lwr      upr     p adj
## madera:2-cristal:2   6.166667 -8.0184628 20.35180 0.6137081
## cristal:3-cristal:2 14.500000  0.3148705 28.68513 0.0441787
## madera:3-cristal:2  21.833333  7.6482039 36.01846 0.0021148
## cristal:3-madera:2   8.333333 -5.8517961 22.51846 0.3688082
## madera:3-madera:2   15.666667  1.4815372 29.85180 0.0276968
## madera:3-cristal:3   7.333333 -6.8517961 21.51846 0.4761864
## 
## $`punto_de_anclaje:angulo`
##               diff        lwr       upr     p adj
## 3:2-1:2  -3.833333 -18.018463 10.351796 0.8676269
## 1:3-1:2  25.166667  10.981537 39.351796 0.0005277
## 3:3-1:2   1.166667 -13.018463 15.351796 0.9953250
## 1:3-3:2  29.000000  14.814871 43.185129 0.0001122
## 3:3-3:2   5.000000  -9.185129 19.185129 0.7503521
## 3:3-1:3 -24.000000 -38.185129 -9.814871 0.0008550
plot(tukey, las = 1)

3.2 Interpretación

  1. Para el material cristal, hay una interacción evidente entre el ángulo de inclinación y el punto de anclaje. Por otro lado, para la madera, la interacción entre estos factores parece más pronunciada, especialmente con el punto de anclaje en nivel 1 y el ángulo 3.

  2. El punto de anclaje parece tener un efecto significativo en el tiempo de vuelo, especialmente en combinación con el ángulo de inclinación y el material.

  3. Incrementar el ángulo de inclinación de 2 a 3 aumenta considerablemente el tiempo de vuelo en ciertas combinaciones, mientras que en otras disminuye, indicando interacción entre factores.

  4. De acuerdo con los resultados de la prueba de normalidad de Shapiro-Wilk y la prueba de homocedasticidad de Levene se puede inferir que el modelo considerado (ANOVA) para identificar los efectos e interacciones principales entre factores cumple con el supuesto de normalidad y de homocedasticidad de la varianza. Esto indica, que es un modelo adecuado desde un punto de vista estadísitco para estudiar el fenómeno.

4. Conclusiones

4.1 Resumen de hallazgos

  1. Los tiempos de vuelo más extendidos se observan con el material madera, particularmente cuando el ángulo es 3 y el punto de anclaje es 1. Para el material cristal, el tiempo de vuelo tiende a ser menor en comparación con la madera en la mayoría de los tratamientos.

  2. En cristal, el tiempo de vuelo aumenta al incrementar el ángulo de 2 a 3, pero este efecto depende del punto de anclaje. Para el punto de anclaje 1, el aumento es más pronunciado que para el punto de anclaje 3. En madera, ocurre algo similar, pero el efecto del ángulo de inclinación es aún más evidente en el punto de anclaje 1, con un incremento muy marcado en el tiempo de vuelo.

  3. Para el punto de anclaje 1, el ángulo de inclinación tiene un efecto más pronunciado en ambos materiales, especialmente en madera. Por otro lado, para el punto de anclaje 3, el efecto del ángulo es menos evidente en cristal y negativo en madera (el tiempo de vuelo disminuye).

  4. Las combinaciones específicas de factores (material, ángulo y punto de anclaje) generan efectos drásticamente distintos. Por ejemplo, el material madera con un ángulo de inclinación de 3 y punto de anclaje 1 maximiza el tiempo de vuelo, mientras que la combinación de cristal con ángulo 2 y punto de anclaje 3 resulta en los tiempos más bajos.

  5. El diseño óptimo para maximizar el tiempo de vuelo debe considerar que se utilize madera con el ángulo y punto de anclaje adecuados (posiblemente ángulo 3 y punto de anclaje 1).

  6. La interacción entre los factores muestra que no se pueden optimizar los niveles de manera aislada; es necesario analizar las combinaciones para lograr el mejor rendimiento.

4.2 Implicaciones prácticas

  1. Los principios observados en un experimento de catapultas pueden extenderse a otros sistemas de lanzamiento, como misiles, cohetes y proyectiles en aplicaciones militares o aeroespaciales. En estos campos, comprender cómo factores como el ángulo de lanzamiento, el material del dispositivo y la tensión afectan la distancia y el tiempo de vuelo es esencial para optimizar el rendimiento de los sistemas.

  2. En deportes como el lanzamiento de jabalina, el tiro con arco, o el fútbol americano (en el caso de los lanzamientos de balón), el estudio del ángulo y la velocidad de lanzamiento puede ayudar a optimizar el rendimiento del deportista. Los resultados del experimento de la catapulta podrían ayudar a entender cómo maximizar la distancia y el tiempo de vuelo en estos deportes.

  3. Los experimentos de catapulta sirven como un excelente modelo para estudiar principios básicos de la mecánica de fluidos y la aerodinámica. El comportamiento de los proyectiles en el aire, su interacción con la gravedad y la resistencia del aire, son fenómenos que también se aplican en la física del vuelo y el diseño de aviones, drones y otros vehículos aéreos.

  4. En situaciones de emergencia o en áreas de difícil acceso, los principios de lanzamiento de proyectiles pueden aplicarse en sistemas de distribución de materiales. Por ejemplo, en áreas donde no hay acceso a vehículos, se podrían usar dispositivos de lanzamiento (como catapultas modificadas o dispositivos similares) para transportar pequeños paquetes o suministros.

4.3 Limitaciones y recomendaciones

  1. La baja iluminación, la dependencia de un número importante de personas para calibrar la configuración (tratamiento) y el disparo del proyectil, así como un registro de tiempo manual limitado por la naturaleza de los sentidos de los seres humanos induce errores importantes en el registro del tiempo de vuelo.

  2. El experimento sería preferible realizarlo con la luz del día y no con luz artificial en la noche.

  3. Disminuir el error humano en el registro del tiempo de vuelo utilizando un sistema que permita realizar un registro automático y no manual.