6.1 벡터 공간과 부분 공간

정의 6.1 \(R^n\) 상의 두 벡터 \(\vec{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)\), \(\vec{y}=(y_1,y_2,\ldots,y_n)\) 의 dot product 는 \(\vec{x}\cdot\vec{y}=\sum_{i=1}^nx_iy_i=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n\)

6.2 선형독립과 선형종속

정의 6.3 \(\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}\)이 벡터공간 \(V\)의 벡터들이라 하고, \(a_1, a_2, \ldots, a_n\)이 스칼라일 때, \(a_1\vec{x_1}+a_2\vec{x_2}+\cdots+a_n\vec{x_n}\) 형태의 합을 \(\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}\)의 선형결합(linear combination)이라 한다.
예제 6.1 벡터공간 \(R^3\) 의 임의의 벡터가 다음과 같이 주어질 때, \(\vec{x}\) 가 \(\vec{x_1}, \vec{x_2}, \vec{x_3}\)의 선형결합인지 조사.

     \(\vec{x_1}=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\), \(\vec{x_2}=\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}\), \(\vec{x_3}=\begin{bmatrix}-1\\1\\3\end{bmatrix}\), \(\vec{x}=\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}\).

풀이. \(a_1\vec{x_1}+a_2\vec{x_2}+a_3\vec{x_3}=\vec{x}\) 가 성립하는 스칼라 \(a_1, a_2, a_3\) 파악.

     \(a_1\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}+a_2\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}+a_3\begin{bmatrix}-1\\1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}\)

     \(\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&0&1\\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\2\\-1\end{bmatrix}\)

source("./adjoint.R")
(A1 <- matrix(c(1, -1, 1, 1, 0, 2, -1, 1, 3), 3)) 
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    1   -1
## [2,]   -1    0    1
## [3,]    1    2    3
(b1 <- c(2, 1, -1))
## [1]  2  1 -1
det(A1)
## [1] 4
adjoint(A1)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]   -2   -5    1
## [2,]    4    4    0
## [3,]   -2   -1    1
adjoint(A1)/det(A1)
##      [,1]  [,2] [,3]
## [1,] -0.5 -1.25 0.25
## [2,]  1.0  1.00 0.00
## [3,] -0.5 -0.25 0.25
(adjoint(A1)/det(A1)) %*% b1
##      [,1]
## [1,] -2.5
## [2,]  3.0
## [3,] -1.5
solve(A1, b1)
## [1] -2.5  3.0 -1.5
정의 6.4 벡터공간 \(V\) 에서 어떤 벡터들의 집합 \(S=\{\vec{x_1},\vec{x_2},\ldots,\vec{x_n}\}\) 이 있어서 \(a_1\vec{x_1}+a_2\vec{x_2}+\cdots+a_n\vec{x_n}=0\) 을 만족하는 적어도 하나는 0이 아닌 스칼라 \(a_1,a_2,\ldots,a_n\)이 존재할 때, \(S\) 는 선형종속(linearly dependent). 선형종속이 아니면 선형독립(linearly independent)
예제 6.2 \(R^3\)의 세 벡터, \(\vec{x_1}=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\), \(\vec{x_2}=\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}\), \(\vec{x_3}=\begin{bmatrix}-1\\1\\3\end{bmatrix}\) 가 선형독립인지 파악.
풀이. \(a_1\vec{x_1}+a_2\vec{x_2}+a_3\vec{x_3}=\vec{0}\) 가 성립하는 경우가 \(a_1, a_2, a_3\)가 모두 0인 경우임을 보여주면 선형 독립.

     \(a_1\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}+a_2\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}+a_3\begin{bmatrix}-1\\1\\3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\)

     \(\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&0&1\\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}\) 을 풀면, 예제 6.1로부터 행렬 \(\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&0&1\\1&2&3\end{bmatrix}\) 의 역행렬이 존재함을 알기 때문에 \(a_1=a_2=a_3=0\) 임을 알 수 있음. 따라서 \(\{\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}\}\) 는 선형독립.

예제 6.3 \(R^3\)의 세 벡터, \(\vec{x_1}=\begin{bmatrix}1\\-1\\1\end{bmatrix}\), \(\vec{x_2}=\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}\), \(\vec{x_3}=\begin{bmatrix}3\\-2\\4\end{bmatrix}\) 가 선형독립인지 파악.
풀이. 쉽게 \(2\vec{x_1}+\vec{x_2}=\vec{x_3}\)
(A2 <- matrix(c(1, -1, 1, 1, 0, 2, 3, -2, 4), 3))
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    1    3
## [2,]   -1    0   -2
## [3,]    1    2    4
det(A2)
## [1] 0
2*A2[, 1] + A2[, 2]
## [1]  3 -2  4
A2[, 3]
## [1]  3 -2  4

6.3 벡터 공간의 기저

예제 6.4 벡터공간 \(R^3\) 의 세 벡터가 예제 6.2의 \(\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}\) 일 때 이들 벡터가 \(R^3\) 를 생성하는가?
풀이. \(R^3\) 의 모든 벡터가 \(\{\vec{x_1},\vec{x_2},\vec{x_3}\}\) 의 선형결합으로 표시될 수 있으면 되므로, 임의의 벡터 \(\vec{x}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}\) 에 대하여 성립함을 보여 줌.

     \(\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&0&1\\1&2&3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}\) 을 풀면

     \(\begin{bmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&1&-1\\-1&0&1\\1&2&3\end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=1/4\begin{bmatrix}-2&-5&1\\4&4&0\\-2&-1&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a\\b\\c\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-\frac{1}{2}a-\frac{5}{4}b+\frac{1}{4}c\\a+b\\-\frac{1}{2}a-\frac{1}{4}b+\frac{1}{4}c\end{bmatrix}\)

정의 6.6. \(V\) 가 벡터공간이고 \(S\) 가 \(V\) 의 벡터들의 유한한 집합일 때 \(S\) 가 선형독립이고 \(V\)를 생성하면, \(S\) 는 \(V\) 의 기저
     \(A=\begin{bmatrix}\vec{r_1}\\\vec{r_2}\\\vdots\\\vec{r_n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\vec{c_1}&\vec{c_2}&\cdots&\vec{c_n}\end{bmatrix}\) 로부터 생성되는 행공간(row space)과 열공간(column space)의 정의 숙지.

6.4 내적 공간

정리 6.6. Cauchy-Schwarz Inequality
증명.

     \(\vec{x}^*=\vec{x}/||\vec{x}||\), \(\vec{y}^*=\vec{x}/||\vec{x}||\), \(r=<\vec{x}^*,\vec{y}^*>\) 라 하면 \(|\,r\,|\le1\) 을 보이는 문제.

     \(<\vec{x}^*-r\vec{y}^*,\vec{y}^*>=0\) 임을 이용하여

     \(1=||\vec{x}^*||^2=||\vec{x}^*-r\vec{y}^*+r\vec{y}^*||^2=||\vec{x}^*-r\vec{y}^*||^2+r^2||\vec{y}^*||^2\ge r^2\).

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