Avant de plonger dans les détails du modèle Black-Scholes, il est important de comprendre pourquoi ce modèle joue un rôle crucial dans la finance moderne, notamment dans l’évaluation des options. Développé par Fischer Black et Myron Scholes dans les années 1970, ce modèle a transformé la manière dont les investisseurs perçoivent et gèrent les risques associés aux produits dérivés. En utilisant une formule mathématique qui repose sur certaines hypothèses de marché, le modèle Black-Scholes permet de déterminer un prix théorique pour les options de type européen, en fonction de paramètres clés comme la volatilité de l’actif sous-jacent, le taux d’intérêt sans risque, et le temps restant avant l’échéance. Dans cette étude, nous appliquons ce modèle à un cas réel en utilisant les données de Tesla, pour illustrer comment les hypothèses et les paramètres influencent la valorisation d’une option et les décisions d’investissement.

introduction

Le modèle Black Scholes est un modèle mathématique d’évaluation du prix d’une option de type européenne qui permet d’estimer sa valeur théorique en fonction de ses caractéristiques et des caractéristiques du sous-jacent sur lequel elle porte.

Le modèle Black Scholes est donc avant tout une formule mathématique dont la première publication date de 1973 par Robert Merton sur la base de travaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Cela vaudra d’ailleurs à Merton et Scholes le prix Nobel d’économie en 1997 (Fischer Black, qui est décédé en 1995, avant la remise de ce prix, a été cité comme contributeur). Il est utilisé pour l’évaluation des options sur actions . Le modèle BSM est utilisé pour déterminer le juste prix des options sur actions en fonction de six variables : la volatilité, le type, le prix de l’action sous-jacente, le prix d’exercice, le temps et le taux sans risque.

La grande innovation du modèle Black Scholes est de faire largement intervenir la variation de prix de l’actif sous-jacent dans le calcul de la valeur de l’option.

Qu’est-ce qu’une option ?

Une option en finance est un produit dérivé sur action (equity derivatives en anglais), c’est-à-dire un contrat passé entre deux opérateurs de marché et qui repose sur la transaction d’un actif sous-jacent (la plupart du temps une action, une obligation, une devise ou un taux).

Il existe deux grands types d’options : les calls et les puts -Un call est une option qui donne le droit à celui qui la détient d’acheter l’actif sous-jacent à la contrepartie de l’option à un prix fixé à l’avance pendant un laps de temps donné. -L’option put donne le droit à celui qui la détient de vendre l’actif sous-jacent à la contrepartie de l’option à un prix fixé à l’avance pendant un laps de temps donné.

*Comment évolue le prix d’une option ? Le prix de l’option (la prime) varie en permanence : il varie en fonction de celui du sous-jacent (action, indice, devise, matière première, etc.) mais également en fonction de l’offre et de la demande. La prime d’une option est théoriquement composée de deux éléments : la valeur « intrinsèque » et la valeur « temps ». La valeur intrinsèque représente le profit qui serait perçu immédiatement si l’on décidait d’exercer l’option. La valeur temps s’ajoute à la valeur intrinsèque : elle représente plus ou moins la probabilité que la valeur intrinsèque augmente. Différents facteurs vont en effet influencer la valeur temps comme le taux d’intérêt, la maturité, la volatilité, etc.

*Comment investir dans des options ? Les options sont achetées et vendues sur le marché des options, lieu de rencontre entre les acheteurs et les vendeurs d’options. Ces derniers ne se rencontrent pas personnellement, mais grâce à un intermédiaire qui achemine les ordres sur le marché, un courtier en ligne, et plus rarement une banque de réseau.

*Quels sont les risques des options ? Les options ne comportent aucune garantie de récupérer sa mise. Vous devez donc être conscient du fait qu’il est possible, dans le cas d’un achat de call ou de put, de perdre la prime payée au vendeur, si vous n’exercez pas votre option. Si vous êtes vendeur de call ou de put, vous aurez l’obligation d’acheter ou de vendre le sous-jacent, si l’autre partie du contrat exerce l’option. Dans ce cas, la perte potentielle est illimitée et dépend de l’évolution du cours du sous-jacent. Par ailleurs, d’autres risques existent, comme les risques de liquidité (ne pas pouvoir revendre rapidement), de contrepartie (la faillite de votre intermédiaire), etc.

Hypothèses du Modèle Black-Scholes

1)Le marché est efficient et sans arbitrage

Un marché efficient et sans arbitrage est fondamental pour la validité de nombreux modèles financiers, dont le modèle Black-Scholes. Dans un marché efficient, toutes les informations disponibles sont instantanément intégrées dans les prix des actifs, ce qui signifie qu’il est impossible de réaliser des profits anormaux basés sur des informations publiques. Cette hypothèse garantit que les prix reflètent toujours la “juste valeur” des actifs en fonction des risques et des rendements attendus. L’absence d’arbitrage, quant à elle, implique qu’il n’existe aucune opportunité de profit sans risque – autrement dit, il est impossible d’acheter un actif à un prix bas pour le revendre immédiatement à un prix plus élevé, sans prendre de risque. Ces deux caractéristiques sont cruciales pour le modèle Black-Scholes, car elles permettent de simplifier les calculs et d’obtenir des prix théoriques cohérents des options. En effet, sans ces hypothèses, les résultats du modèle pourraient être biaisés, et il pourrait y avoir des incohérences dans la valorisation des actifs. par exemple, Supposons qu’une entreprise annonce un nouveau produit innovant qui va probablement augmenter ses bénéfices futurs. Dans un marché efficient, cette information est immédiatement intégrée dans le prix de son action, qui augmente rapidement pour refléter les nouvelles attentes de rentabilité. Ainsi, même si un investisseur reçoit cette information quelques minutes après son annonce, il ne pourra pas en tirer profit, car le prix de l’action a déjà ajusté cette nouvelle. Pour illustrer l’absence d’arbitrage, imaginons qu’une action soit cotée à 100 dollar sur une bourse et à 101 dollar sur une autre. Dans un marché sans arbitrage, cette différence de prix est rapidement corrigée, car les investisseurs achèteraient l’action là où elle est à 100 dollar et la vendraient là où elle est à 101 $, profitant de cette différence sans risque. Cette action d’arbitrage fait disparaître le déséquilibre, rétablissant le même prix sur les deux marchés. Ce principe empêche les opportunités de gains sans risque et garantit que les prix restent justes et cohérents sur l’ensemble des marchés.

2)Le taux d’intérêt sans risque est constant et connu

Dans le modèle de Black-Scholes, l’hypothèse d’un taux d’intérêt sans risque constant et connu implique que le taux auquel un investisseur peut emprunter ou prêter de l’argent sans prendre de risque reste stable et connu tout au long de la période d’investissement. Ce taux est utilisé pour actualiser les flux de trésorerie futurs générés par l’option, ce qui permet de calculer le prix actuel de l’option de manière plus prévisible. Cette hypothèse simplifie considérablement les calculs dans le modèle, car elle suppose que l’environnement économique est stable et que les taux d’intérêt n’évoluent pas, ce qui n’est pas toujours le cas dans la réalité. Dans le cadre du modèle Black-Scholes, ce taux constant est souvent désigné par 𝑟. r et est intégré dans la formule de valorisation des options pour actualiser le prix d’exercice à la date d’échéance. Cependant, dans un contexte plus réaliste, où les taux d’intérêt varient, il serait nécessaire d’adapter le modèle pour prendre en compte ces fluctuations.

3)La volatilité du sous-jacent est constante et connue

Dans le modèle de Black-Scholes, l’une des hypothèses fondamentales repose sur la constance de la volatilité du sous-jacent. En effet, ce modèle suppose que la volatilité, qui mesure l’ampleur des variations du prix de l’actif sous-jacent, reste fixe et est connue à l’avance pendant toute la durée de vie de l’option. Cette hypothèse simplifie grandement les calculs mathématiques en rendant possible l’application d’une formule analytique pour le prix de l’option. Cependant, dans la réalité des marchés financiers, la volatilité peut varier au cours du temps, ce qui limite la précision du modèle dans certaines conditions. Malgré cette limite, la constance de la volatilité est un choix de modélisation qui permet de capturer l’essentiel du comportement des prix des options, en particulier dans des marchés relativement stables. Dans le modèle de Black-Scholes, l’une des hypothèses clés est que la volatilité de l’actif sous-jacent reste constante et est connue pendant toute la durée de vie de l’option. La volatilité, qui reflète l’ampleur des variations du prix du sous-jacent, influence directement le prix de l’option : une volatilité plus élevée rend l’option plus coûteuse, car elle augmente les chances de fluctuations importantes du prix. Cette hypothèse de volatilité constante rend possible le calcul analytique du prix de l’option et simplifie considérablement la modélisation. Toutefois, elle ne reflète pas toujours la réalité des marchés financiers, où la volatilité peut être imprévisible et varier selon les conditions économiques ou les événements de marché. Malgré cette limitation, l’hypothèse de volatilité constante permet d’obtenir une estimation approximative et reste largement utilisée pour sa simplicité et sa pertinence dans les marchés relativement stables.

4)Le sous-jacent suit un processus de mouvement brownien géométrique

en le modèle de Black-Scholes, il est supposé que le prix de l’actif sous-jacent suit un processus de mouvement brownien géométrique. Cela signifie que les variations du prix de l’actif sont aléatoires, mais avec une tendance à croître de manière exponentielle au fil du temps. En d’autres termes, le modèle suppose que les changements de prix sont dus à des mouvements imprévisibles (aléatoires) autour d’une tendance générale à la hausse, ce qui est typique dans de nombreux marchés financiers. Ce processus implique que les rendements des actifs sont distribués de manière normale, ce qui signifie que la probabilité d’observer de grandes variations de prix diminue à mesure que ces variations deviennent plus extrêmes. Le mouvement brownien géométrique permet ainsi de modéliser le comportement des prix de manière simple, mais efficace, en dépit de l’incertitude présente sur les marchés. Bien que cette hypothèse ne capture pas tous les aspects des mouvements de prix réels, elle constitue une approximation utile qui permet de calculer le prix des options et de simuler leur comportement dans le temps.

5)Les options sont de type européen, c’est-à-dire qu’elles ne peuvent être exercées qu’à l’échéance Dans le modèle de Black-Scholes, les options considérées sont de type européen, ce qui signifie qu’elles ne peuvent être exercées que à leur date d’échéance, et non avant. Cette caractéristique distingue les options européennes des options américaines, qui offrent la possibilité d’être exercées à tout moment pendant leur durée de vie. En limitant l’exercice à la date d’échéance, le modèle simplifie les calculs en se concentrant uniquement sur le prix de l’option à ce moment précis. Cela permet d’éviter la complexité liée aux décisions d’exercice anticipé, ce qui facilite l’estimation du prix de l’option. Toutefois, dans la réalité, cette contrainte peut ne pas refléter fidèlement les stratégies des investisseurs qui préfèrent avoir la possibilité d’agir à tout moment avant l’échéance, en fonction des évolutions du marché.

Modèle Black Scholes : formules et calculs de ce modèle financier

Maintenant que nous avons vu la définition et l’intérêt d’utiliser le modèle Black Scholes, voyons sa formule :

Formule du Prix d’une Option Call Européenne

Le prix \(C\) d’une option Call selon Black-Scholes est donné par :

\[ C = S_0N(d_1) - Ke^{-rT}N(d_2) \] où :

• \(S_0\) est le prix actuel du sous-jacent.

• \(K\) est le prix d’exercice de l’option.

• \(r\) est le taux d’intérêt sans risque.

• \(T\) est le temps jusqu’à l’échéance (en années).

• \(N(.)\) est la fonction de répartition de la loi normale cumulative.

• \(\sigma\) est la volatilité du sous-jacent.

• \(d_1\) et \(d_2\) sont définis comme suit :

\[ d_1 = \frac{\ln \left( \frac{S_0}{K} \right) + \left( r + \frac{\sigma^2}{2} \right) T}{\sigma_s \sqrt{T}} \] \[ d_2 = d_1 + \sigma \sqrt{T} \] Explication des Termes

• \(S_0N(d1)\) : La valeur actualisée du prix du sous-jacent pondéré par la probabilité d’exercer l’option. • \(Ke^{-rT} N(d_2)\) : La valeur actualisée du prix d’exercice pondérée par la probabilité de ne pas exercer l’option.

Interprétation

• Si le Call est “dans la monnaie” (c’est-à-dire que \(S_0>K\)), l’option a une valeur intrinsèque positive. • Le modèle prend en compte l’effet du temps et la volatilité, ce qui influence le prix de l’option.

Formule du Prix d’une Option Put Européenne

Le prix \(P\) d’une option Put selon Black-Scholes est donné par :

\[ C = Ke^{-rT}N(-d_2) - S_0N(-d_1) \] où :

• \(S_0\) est le prix actuel du sous-jacent.

• \(K\) est le prix d’exercice de l’option.

• \(r\) est le taux d’intérêt sans risque.

• \(T\) est le temps jusqu’à l’échéance (en années).

• \(N(⋅)\) est la fonction de répartition de la loi normale cumulative.

• \(\sigma\) est la volatilité du sous-jacent.

• \(d_1\) et \(d_2\) sont les mêmes que pour l’option Call :

Explication des Termes

• \(Ke^{-rT}N(-d_2)\) : La valeur actualisée du prix d’exercice pondérée par la probabilité d’exercer le Put.

• \(S_0N(−d1)\) : La valeur actualisée du prix du sous-jacent pondérée par la probabilité de ne pas exercer l’option.

Interprétation

• Le Put a une valeur intrinsèque positive lorsque le prix du sous-jacent est inférieur au prix d’exercice \(K\) (c’est-à-dire que l’option est “dans la monnaie”).

• Les termes \(N(−d1)\) et \(N(−d2)\) représentent les probabilités de ne pas exercer le Call et de profiter d’un Put.

Utilité concrète du modèle Black Scholes

Maintenant que nous avons vu ces notions primordiales à la compréhension du modèle Black Scholes, nous pouvons voir à quoi il sert concrètement.

Comme nous l’avons vu dans nos exemples précédents, une option, call ou put, n’est pas gratuite, elle s’achète. Toute la question est donc d’estimer un prix égal à sa valeur que l’on peut évaluer notamment grâce au modèle Black Scholes.

Ainsi, le modèle Black Scholes servira concrètement à deux types d’opérateurs de marché :

L’émetteur (ou vendeur) de l’option : il peut se servir du modèle Black Scholes pour savoir à quel prix émettre ou vendre une option en fonction des caractéristiques de l’option qu’il va émettre et de l’actif sous-jacent.

L’acheteur de l’option : pour savoir quelle est la valeur d’une option et donc à quel prix maximum il devrait l’acheter.

Avantages de la tarification des options Black-Scholes

Le modèle Black-Scholes offre plusieurs avantages notables qui ont contribué à sa popularité durable dans le secteur financier :

  1. Normalisation :

Le modèle fournit un cadre standardisé pour la tarification des options, ce qui permet aux investisseurs et aux traders d’évaluer plus facilement leur valeur de manière cohérente.

  1. Transparence :

La nature mathématique du modèle Black-Scholes offre une transparence dans la tarification des options, permettant aux acteurs du marché de comprendre et de comparer facilement les valorisations.

  1. Rapidité :

Grâce à la puissance de calcul moderne, le modèle Black-Scholes peut calculer rapidement les prix des options, ce qui permet une prise de décision en temps réel sur les marchés financiers.

  1. Gestion des risques :

En connaissant la valeur théorique des options, les investisseurs peuvent mieux gérer leur exposition au risque et prendre des décisions de trading éclairées.

  1. Stratégies d’options :

Le modèle facilite la création de stratégies d’options complexes en fournissant une base pour combiner divers contrats d’options.

Limitations de la tarification des options Black-Scholes

Bien que le modèle Black-Scholes soit un outil puissant, il n’est pas sans limites. Voici quelques-uns des principaux inconvénients à prendre en compte :

  1. Hypothèses :

Le modèle repose sur certaines hypothèses simplificatrices, telles qu’une volatilité constante et un taux d’intérêt sans risque, qui peuvent ne pas toujours être vraies sur les marchés réels.

  1. Options de style européen:

Le modèle Black-Scholes est principalement conçu pour les options de style européen, ce qui peut limiter son applicabilité sur les marchés où les options de style américain sont prédominantes.

  1. Dynamique du marché:

Le modèle ne tient pas compte des chocs soudains du marché ou des événements extrêmes, qui peuvent entraîner des écarts importants entre les prix des options théoriques et réels.

  1. Dividendes:

Il suppose que l’actif sous-jacent ne verse pas de dividendes, ce qui peut ne pas être vrai pour certaines actions.

  1. Estimation de la volatilité:

Une estimation précise de la volatilité peut être difficile, et de petites erreurs dans les données de volatilité peuvent entraîner des écarts importants dans la tarification des options.

# Installer et charger les packages nécessaires
library(zoo)
## 
## Attachement du package : 'zoo'
## Les objets suivants sont masqués depuis 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric
library(xts)
library(quantmod)
## Le chargement a nécessité le package : TTR
## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo
library(TTR)

# Obtenir les données du titre
# Remplacez "AAPL" par le symbole de votre titre
getSymbols("TSLA", src = "yahoo", from = "2023-01-01", to = Sys.Date())
## [1] "TSLA"
# Calculer les rendements quotidiens
returns <- dailyReturn(Cl(TSLA))

# Calculer la volatilité (écart-type des rendements)
volatility <- sd(returns) * sqrt(252)  # Annualiser

# Implémenter le modèle de Black-Scholes
black_scholes_call <- function(S, K, r, T, sigma) {
  d1 <- (log(S / K) + (r + (sigma^2) / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
  d2 <- d1 - sigma * sqrt(T)
  call_price <- S * pnorm(d1) - K * exp(-r * T) * pnorm(d2)
  return(call_price)
}

# Définir les paramètres
S <- Cl(TSLA)[nrow(TSLA)]  # Prix actuel du titre
K <- 150  # Prix d'exercice de l'option
r <- 0.01  # Taux d'intérêt sans risque
T <- 30 / 365  # Temps jusqu'à l'échéance en années
sigma <- volatility  # Volatilité calculée

# Calculer le prix de l'option
call_price <- black_scholes_call(S, K, r, T, sigma)
print(call_price)
##            TSLA.Close
## 2024-11-12   178.6132
library(quantmod)
library(TTR)
library(ggplot2)

# Obtenir les données de TSLA
getSymbols("TSLA", src = "yahoo", from = "2023-01-01", to = Sys.Date())
## [1] "TSLA"
# Calculer les rendements quotidiens
returns <- dailyReturn(Cl(TSLA))

# Calculer la volatilité (écart-type des rendements annualisé)
volatility <- sd(returns) * sqrt(252)  # 252 jours de bourse par an

# Implémenter le modèle de Black-Scholes pour une option put
black_scholes_put <- function(S, K, r, T, sigma) {
  d1 <- (log(S / K) + (r + (sigma^2) / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
  d2 <- d1 - sigma * sqrt(T)
  put_price <- K * exp(-r * T) * pnorm(-d2) - S * pnorm(-d1)
  return(put_price)
}

# Définir les paramètres
S <- Cl(TSLA)[nrow(TSLA)]  # Prix actuel de TSLA
r <- 0.01  # Taux d'intérêt sans risque
T <- 30 / 365  # Temps jusqu'à l'échéance en années
sigma <- volatility  # Volatilité calculée

# Créer un vecteur de prix d'exercice
K_values <- seq(150, 300, by = 5)  # Plage de prix d'exercice

# Calculer les prix des options put pour chaque prix d'exercice
put_prices <- sapply(K_values, function(K) black_scholes_put(S, K, r, T, sigma))

# Créer un dataframe pour ggplot
df <- data.frame(Strike = K_values, Put_Price = put_prices)

# Afficher le graphique
ggplot(df, aes(x = Strike, y = Put_Price)) +
  geom_line(color = "blue") +
  labs(title = "Prix de l'Option Put de TSLA",
       x = "Prix d'Exercice (K)",
       y = "Prix de l'Option Put") +
  theme_minimal()

library(quantmod)
library(TTR)
library(ggplot2)

# Obtenir les données de TSLA
getSymbols("TSLA", src = "yahoo", from = "2023-01-01", to = Sys.Date())
## [1] "TSLA"
# Calculer les rendements quotidiens
returns <- dailyReturn(Cl(TSLA))

# Calculer la volatilité (écart-type des rendements annualisé)
volatility <- sd(returns) * sqrt(252)  # 252 jours de bourse par an

# Implémenter le modèle de Black-Scholes pour une option call
black_scholes_call <- function(S, K, r, T, sigma) {
  d1 <- (log(S / K) + (r + (sigma^2) / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
  d2 <- d1 - sigma * sqrt(T)
  call_price <- S * pnorm(d1) - K * exp(-r * T) * pnorm(d2)
  return(call_price)
}

# Définir les paramètres
S <- Cl(TSLA)[nrow(TSLA)]  # Prix actuel de TSLA
r <- 0.01  # Taux d'intérêt sans risque
T <- 30 / 365  # Temps jusqu'à l'échéance en années
sigma <- volatility  # Volatilité calculée

# Créer un vecteur de prix d'exercice
K_values <- seq(150, 300, by = 5)  # Plage de prix d'exercice

# Calculer les prix des options call pour chaque prix d'exercice
call_prices <- sapply(K_values, function(K) black_scholes_call(S, K, r, T, sigma))

# Créer un dataframe pour ggplot
df <- data.frame(Strike = K_values, Call_Price = call_prices)

# Afficher le graphique
ggplot(df, aes(x = Strike, y = Call_Price)) +
  geom_line(color = "blue") +
  labs(title = "Prix de l'Option Call de TSLA",
       x = "Prix d'Exercice (K)",
       y = "Prix de l'Option Call") +
  theme_minimal()

library(quantmod)

# Obtenir les données de TSLA
getSymbols("TSLA", src = "yahoo", from = "2023-01-01", to = Sys.Date())
## [1] "TSLA"
# Définir les paramètres
S <- Cl(TSLA)[nrow(TSLA)]  # Prix actuel de TSLA
K <- 200  # Exemple de prix d'exercice (vous pouvez le modifier)
r <- 0.01  # Taux d'intérêt sans risque (par exemple, 1%)
T <- 30 / 365  # Temps jusqu'à l'échéance en années (par exemple, 30 jours)
returns <- dailyReturn(Cl(TSLA))  # Calculer les rendements quotidiens
volatility <- sd(returns) * sqrt(252)  # Calculer la volatilité annualisée

# Calculer d1 et d2
d1 <- (log(S / K) + (r + (volatility^2) / 2) * T) / (volatility * sqrt(T))
d2 <- d1 - volatility * sqrt(T)

# Afficher les résultats
cat("d1:", d1, "\n")
## d1: 3.067503
cat("d2:", d2, "\n")
## d2: 2.900957






``` r
library(quantmod)
library(TTR)
library(ggplot2)

# Obtenir les données de TSLA
getSymbols("TSLA", src = "yahoo", from = "2023-01-01", to = Sys.Date())
## [1] "TSLA"
# Calculer les rendements quotidiens
returns <- dailyReturn(Cl(TSLA))

# Calculer la volatilité (écart-type des rendements annualisé)
volatility <- sd(returns) * sqrt(252)  # 252 jours de bourse par an

# Implémenter le modèle de Black-Scholes pour une option call
black_scholes_call <- function(S, K, r, T, sigma) {
  d1 <- (log(S / K) + (r + (sigma^2) / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
  d2 <- d1 - sigma * sqrt(T)
  call_price <- S * pnorm(d1) - K * exp(-r * T) * pnorm(d2)
  return(call_price)
}

# Implémenter le modèle de Black-Scholes pour une option put
black_scholes_put <- function(S, K, r, T, sigma) {
  d1 <- (log(S / K) + (r + (sigma^2) / 2) * T) / (sigma * sqrt(T))
  d2 <- d1 - sigma * sqrt(T)
  put_price <- K * exp(-r * T) * pnorm(-d2) - S * pnorm(-d1)
  return(put_price)
}

# Définir les paramètres
S <- Cl(TSLA)[nrow(TSLA)]  # Prix actuel de TSLA
r <- 0.01  # Taux d'intérêt sans risque
T <- 30 / 365  # Temps jusqu'à l'échéance en années
sigma <- volatility  # Volatilité calculée

# Créer un vecteur de prix d'exercice
K_values <- seq(150, 300, by = 5)  # Plage de prix d'exercice

# Calculer les prix des options call et put pour chaque prix d'exercice
call_prices <- sapply(K_values, function(K) black_scholes_call(S, K, r, T, sigma))
put_prices <- sapply(K_values, function(K) black_scholes_put(S, K, r, T, sigma))

# Créer un dataframe pour ggplot
df_comparison <- data.frame(
  Strike = K_values,
  Call_Price = call_prices,
  Put_Price = put_prices
)

# Afficher le dataframe des prix
print(df_comparison)
##    Strike Call_Price    Put_Price
## 1     150  178.61324 8.891684e-06
## 2     155  173.61736 2.418829e-05
## 3     160  168.62150 6.158959e-05
## 4     165  163.62570 1.475633e-04
## 5     170  158.62999 3.342519e-04
## 6     175  153.63449 7.188644e-04
## 7     180  148.63935 1.473578e-03
## 8     185  143.64487 2.889160e-03
## 9     190  138.65153 5.435296e-03
## 10    195  133.66004 9.839813e-03
## 11    200  128.67149 1.718749e-02
## 12    205  123.68745 2.903712e-02
## 13    210  118.71007 4.755286e-02
## 14    215  113.74227 7.564335e-02
## 15    220  108.78784 1.170995e-01
## 16    225  103.85157 1.767204e-01
## 17    230   98.93937 2.604142e-01
## 18    235   94.05833 3.752650e-01
## 19    240   89.21672 5.295520e-01
## 20    245   84.42399 7.327166e-01
## 21    250   79.69066 9.952707e-01
## 22    255   75.02814 1.328649e+00
## 23    260   70.44861 1.745004e+00
## 24    265   65.96467 2.256961e+00
## 25    270   61.58915 2.877334e+00
## 26    275   57.33474 3.618818e+00
## 27    280   53.21372 4.493684e+00
## 28    285   49.23761 5.513473e+00
## 29    290   45.41697 6.688717e+00
## 30    295   41.76105 8.028692e+00
## 31    300   38.27768 9.541215e+00
# Afficher le graphique comparant les prix des options call et put
ggplot(df_comparison, aes(x = Strike)) +
  geom_line(aes(y = Call_Price, color = "Call Price"), size = 1) +
  geom_line(aes(y = Put_Price, color = "Put Price"), size = 1) +
  labs(title = "Comparaison entre Prix d'Exercice et Prix des Options Call et Put",
       x = "Prix d'Exercice (K)",
       y = "Prix des Options",
       color = "Légende") +
  theme_minimal()
## Warning: Using `size` aesthetic for lines was deprecated in ggplot2 3.4.0.
## ℹ Please use `linewidth` instead.
## This warning is displayed once every 8 hours.
## Call `lifecycle::last_lifecycle_warnings()` to see where this warning was
## generated.

library(quantmod)
library(TTR)
library(ggplot2)

# Obtenir les données de TSLA
getSymbols("TSLA", src = "yahoo", from = "2023-01-01", to = Sys.Date())
## [1] "TSLA"
# Calculer les rendements quotidiens
returns <- dailyReturn(Cl(TSLA))

# Calculer la volatilité (écart-type des rendements) sur une période glissante de 30 jours
rolling_volatility <- runSD(returns, n = 30) * sqrt(252)  # Annualiser la volatilité

# Créer un dataframe avec les dates et la volatilité
volatility_df <- data.frame(Date = index(rolling_volatility), Volatility = rolling_volatility)

# Afficher les valeurs numériques de la volatilité
print(volatility_df)
##                  Date Volatility
## 2023-01-03 2023-01-03         NA
## 2023-01-04 2023-01-04         NA
## 2023-01-05 2023-01-05         NA
## 2023-01-06 2023-01-06         NA
## 2023-01-09 2023-01-09         NA
## 2023-01-10 2023-01-10         NA
## 2023-01-11 2023-01-11         NA
## 2023-01-12 2023-01-12         NA
## 2023-01-13 2023-01-13         NA
## 2023-01-17 2023-01-17         NA
## 2023-01-18 2023-01-18         NA
## 2023-01-19 2023-01-19         NA
## 2023-01-20 2023-01-20         NA
## 2023-01-23 2023-01-23         NA
## 2023-01-24 2023-01-24         NA
## 2023-01-25 2023-01-25         NA
## 2023-01-26 2023-01-26         NA
## 2023-01-27 2023-01-27         NA
## 2023-01-30 2023-01-30         NA
## 2023-01-31 2023-01-31         NA
## 2023-02-01 2023-02-01         NA
## 2023-02-02 2023-02-02         NA
## 2023-02-03 2023-02-03         NA
## 2023-02-06 2023-02-06         NA
## 2023-02-07 2023-02-07         NA
## 2023-02-08 2023-02-08         NA
## 2023-02-09 2023-02-09         NA
## 2023-02-10 2023-02-10         NA
## 2023-02-13 2023-02-13         NA
## 2023-02-14 2023-02-14  0.6689523
## 2023-02-15 2023-02-15  0.6653586
## 2023-02-16 2023-02-16  0.6997075
## 2023-02-17 2023-02-17  0.6844041
## 2023-02-21 2023-02-21  0.7178166
## 2023-02-22 2023-02-22  0.7079148
## 2023-02-23 2023-02-23  0.7046464
## 2023-02-24 2023-02-24  0.7139801
## 2023-02-27 2023-02-27  0.7209595
## 2023-02-28 2023-02-28  0.7209124
## 2023-03-01 2023-03-01  0.7068683
## 2023-03-02 2023-03-02  0.7318049
## 2023-03-03 2023-03-03  0.7299375
## 2023-03-06 2023-03-06  0.7300781
## 2023-03-07 2023-03-07  0.7153319
## 2023-03-08 2023-03-08  0.7244635
## 2023-03-09 2023-03-09  0.7441590
## 2023-03-10 2023-03-10  0.6775916
## 2023-03-13 2023-03-13  0.5979153
## 2023-03-14 2023-03-14  0.5839564
## 2023-03-15 2023-03-15  0.5765017
## 2023-03-16 2023-03-16  0.5632660
## 2023-03-17 2023-03-17  0.5559321
## 2023-03-20 2023-03-20  0.5577247
## 2023-03-21 2023-03-21  0.5986957
## 2023-03-22 2023-03-22  0.6058139
## 2023-03-23 2023-03-23  0.6021741
## 2023-03-24 2023-03-24  0.5954486
## 2023-03-27 2023-03-27  0.5781297
## 2023-03-28 2023-03-28  0.5785412
## 2023-03-29 2023-03-29  0.5385983
## 2023-03-30 2023-03-30  0.5338032
## 2023-03-31 2023-03-31  0.5401054
## 2023-04-03 2023-04-03  0.5618719
## 2023-04-04 2023-04-04  0.5417666
## 2023-04-05 2023-04-05  0.5489737
## 2023-04-06 2023-04-06  0.5484370
## 2023-04-10 2023-04-10  0.5439738
## 2023-04-11 2023-04-11  0.5192666
## 2023-04-12 2023-04-12  0.5264873
## 2023-04-13 2023-04-13  0.5342537
## 2023-04-14 2023-04-14  0.5071561
## 2023-04-17 2023-04-17  0.4965077
## 2023-04-18 2023-04-18  0.4949520
## 2023-04-19 2023-04-19  0.4900095
## 2023-04-20 2023-04-20  0.5588678
## 2023-04-21 2023-04-21  0.5425274
## 2023-04-24 2023-04-24  0.5439579
## 2023-04-25 2023-04-25  0.5442118
## 2023-04-26 2023-04-26  0.5331320
## 2023-04-27 2023-04-27  0.5493085
## 2023-04-28 2023-04-28  0.5515237
## 2023-05-01 2023-05-01  0.5499211
## 2023-05-02 2023-05-02  0.5467933
## 2023-05-03 2023-05-03  0.4889316
## 2023-05-04 2023-05-04  0.4833482
## 2023-05-05 2023-05-05  0.5131911
## 2023-05-08 2023-05-08  0.5143882
## 2023-05-09 2023-05-09  0.5146646
## 2023-05-10 2023-05-10  0.5137924
## 2023-05-11 2023-05-11  0.5121062
## 2023-05-12 2023-05-12  0.5143814
## 2023-05-15 2023-05-15  0.4737828
## 2023-05-16 2023-05-16  0.4453060
## 2023-05-17 2023-05-17  0.4667239
## 2023-05-18 2023-05-18  0.4590677
## 2023-05-19 2023-05-19  0.4625177
## 2023-05-22 2023-05-22  0.4836490
## 2023-05-23 2023-05-23  0.4850859
## 2023-05-24 2023-05-24  0.4769416
## 2023-05-25 2023-05-25  0.4697306
## 2023-05-26 2023-05-26  0.4887038
## 2023-05-30 2023-05-30  0.5013680
## 2023-05-31 2023-05-31  0.4994946
## 2023-06-01 2023-06-01  0.4956785
## 2023-06-02 2023-06-02  0.3941147
## 2023-06-05 2023-06-05  0.3946168
## 2023-06-06 2023-06-06  0.3879776
## 2023-06-07 2023-06-07  0.3823531
## 2023-06-08 2023-06-08  0.3581373
## 2023-06-09 2023-06-09  0.3573126
## 2023-06-12 2023-06-12  0.3564937
## 2023-06-13 2023-06-13  0.3503632
## 2023-06-14 2023-06-14  0.3491667
## 2023-06-15 2023-06-15  0.3513868
## 2023-06-16 2023-06-16  0.3495156
## 2023-06-20 2023-06-20  0.3480320
## 2023-06-21 2023-06-21  0.4041040
## 2023-06-22 2023-06-22  0.3945266
## 2023-06-23 2023-06-23  0.4127912
## 2023-06-26 2023-06-26  0.4658534
## 2023-06-27 2023-06-27  0.4592804
## 2023-06-28 2023-06-28  0.4546897
## 2023-06-29 2023-06-29  0.4537956
## 2023-06-30 2023-06-30  0.4454227
## 2023-07-03 2023-07-03  0.4729352
## 2023-07-05 2023-07-05  0.4732197
## 2023-07-06 2023-07-06  0.4740656
## 2023-07-07 2023-07-07  0.4699600
## 2023-07-10 2023-07-10  0.4711309
## 2023-07-11 2023-07-11  0.4723976
## 2023-07-12 2023-07-12  0.4614154
## 2023-07-13 2023-07-13  0.4539629
## 2023-07-14 2023-07-14  0.4539166
## 2023-07-17 2023-07-17  0.4575828
## 2023-07-18 2023-07-18  0.4538701
## 2023-07-19 2023-07-19  0.4564495
## 2023-07-20 2023-07-20  0.5519373
## 2023-07-21 2023-07-21  0.5535670
## 2023-07-24 2023-07-24  0.5474630
## 2023-07-25 2023-07-25  0.5395358
## 2023-07-26 2023-07-26  0.5368445
## 2023-07-27 2023-07-27  0.5367122
## 2023-07-28 2023-07-28  0.5495697
## 2023-07-31 2023-07-31  0.5493637
## 2023-08-01 2023-08-01  0.5521313
## 2023-08-02 2023-08-02  0.5341538
## 2023-08-03 2023-08-03  0.5138441
## 2023-08-04 2023-08-04  0.5141336
## 2023-08-07 2023-08-07  0.5072886
## 2023-08-08 2023-08-08  0.4745306
## 2023-08-09 2023-08-09  0.4701694
## 2023-08-10 2023-08-10  0.4661764
## 2023-08-11 2023-08-11  0.4666895
## 2023-08-14 2023-08-14  0.4643680
## 2023-08-15 2023-08-15  0.4175331
## 2023-08-16 2023-08-16  0.4214588
## 2023-08-17 2023-08-17  0.4240549
## 2023-08-18 2023-08-18  0.4249783
## 2023-08-21 2023-08-21  0.4840499
## 2023-08-22 2023-08-22  0.4852721
## 2023-08-23 2023-08-23  0.4874687
## 2023-08-24 2023-08-24  0.4861628
## 2023-08-25 2023-08-25  0.4993131
## 2023-08-28 2023-08-28  0.4872954
## 2023-08-29 2023-08-29  0.5418649
## 2023-08-30 2023-08-30  0.5418286
## 2023-08-31 2023-08-31  0.4634273
## 2023-09-01 2023-09-01  0.4851858
## 2023-09-05 2023-09-05  0.4942264
## 2023-09-06 2023-09-06  0.4952019
## 2023-09-07 2023-09-07  0.4951584
## 2023-09-08 2023-09-08  0.4872736
## 2023-09-11 2023-09-11  0.5569190
## 2023-09-12 2023-09-12  0.5610907
## 2023-09-13 2023-09-13  0.5575560
## 2023-09-14 2023-09-14  0.5525880
## 2023-09-15 2023-09-15  0.5507646
## 2023-09-18 2023-09-18  0.5563653
## 2023-09-19 2023-09-19  0.5553239
## 2023-09-20 2023-09-20  0.5569148
## 2023-09-21 2023-09-21  0.5550868
## 2023-09-22 2023-09-22  0.5688743
## 2023-09-25 2023-09-25  0.5682632
## 2023-09-26 2023-09-26  0.5682057
## 2023-09-27 2023-09-27  0.5634204
## 2023-09-28 2023-09-28  0.5580697
## 2023-09-29 2023-09-29  0.5507811
## 2023-10-02 2023-10-02  0.5468175
## 2023-10-03 2023-10-03  0.5125104
## 2023-10-04 2023-10-04  0.5381381
## 2023-10-05 2023-10-05  0.5375722
## 2023-10-06 2023-10-06  0.5287620
## 2023-10-09 2023-10-09  0.5200931
## 2023-10-10 2023-10-10  0.5211679
## 2023-10-11 2023-10-11  0.4730019
## 2023-10-12 2023-10-12  0.4754854
## 2023-10-13 2023-10-13  0.4834797
## 2023-10-16 2023-10-16  0.4603788
## 2023-10-17 2023-10-17  0.4400435
## 2023-10-18 2023-10-18  0.4588162
## 2023-10-19 2023-10-19  0.5309274
## 2023-10-20 2023-10-20  0.5390810
## 2023-10-23 2023-10-23  0.4369370
## 2023-10-24 2023-10-24  0.4426403
## 2023-10-25 2023-10-25  0.4394576
## 2023-10-26 2023-10-26  0.4378937
## 2023-10-27 2023-10-27  0.4405306
## 2023-10-30 2023-10-30  0.4495749
## 2023-10-31 2023-10-31  0.4546635
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## 2024-10-30 2024-10-30  0.7960036
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## 2024-11-08 2024-11-08  0.9046037
## 2024-11-11 2024-11-11  0.9344896
## 2024-11-12 2024-11-12  0.9555835
# Afficher le graphique de la volatilité
ggplot(volatility_df, aes(x = Date, y = Volatility)) +
  geom_line(color = "blue") +
  labs(title = "Volatilité du Sous-Jacent (Tesla - TSLA)",
       x = "Date",
       y = "Volatilité Annualisée") +
  theme_minimal()
## Warning: Removed 29 rows containing missing values or values outside the scale range
## (`geom_line()`).

``` ## les limites de la modele Black&schols Les limites du modèles Black Scholes Différents économistes et intellectuels ont remis en question la robustesse du modèle Black Scholes, au premier rang desquels le mathématicien Benoît Mandelbrot. La principale critique qui est faite de cette méthode est sa supposée déconnexion de la réalité des marchés financiers. Le modèle, bien que brillamment construit, serait « trop théorique ». Cette déconnexion serait surtout la conséquence de l’utilisation de la loi normale. En effet, cette loi a le mérite de très bien fonctionner dans un environnement « normal », mais elle prédit très mal les évènements extrêmes. Par conséquent, le modèle Black Scholes serait incapable de s’adapter à des environnements très rares mais qui existent pourtant bel et bien comme les krachs boursiers. En bref, le modèle est mathématiquement cohérent, logique, compréhensible et facilement utilisable mais il simplifie beaucoup trop la réalité et prend des hypothèses trop théoriques et utopistes comme la notion de rationalité parfaite des investisseurs. Malgré ces critiques, il reste le modèle le plus utilisé pour valoriser des options et c’est la technique de référence qu’apprend tout bon étudiant en finance.

references

  1. Probability Default in Black Scholes Formula: A Qualitative Study
    Cet article explore le risque de défaut à travers le modèle Black-Scholes, en particulier comment ce modèle peut être appliqué pour calculer la probabilité de défaut dans le cadre du modèle de Merton. Les auteurs expliquent que le modèle de Merton, en combinant le modèle Black-Scholes avec la valeur de l’entreprise, permet une estimation plus précise du risque de défaut. Ils analysent également comment des facteurs tels que la volatilité et la durée d’investissement influencent cette probabilité de défaut Dar & Anuradha, 2016, Journal of Business and Economic Development, DOI: 10.11648/j.jbed.20170202.15.

  2. Black-Scholes Versus Artificial Neural Networks in Pricing FTSE 100 Options
    Cet article compare la performance du modèle Black-Scholes avec celle des réseaux de neurones artificiels (RNA) pour évaluer des options de style européen sur l’indice FTSE 100. Les résultats montrent que les RNA surpassent le modèle Black-Scholes pour les options hors du prix, alors que le modèle Black-Scholes reste plus précis pour les options dans le prix. Cette étude met en évidence le potentiel des RNA dans le pricing des options complexes pour lesquelles il n’existe pas de modèle analytique performant Bennell & Sutcliffe, 2003, SSRN.