Inferencia para la media con la Estadística Z para muestras grandes

Problema 4.13 del taller de ejercicios

De acuerdo a ciertos informes, la lluvia ácida, causada por la reacción de ciertos contaminantes del aire con el agua de la lluvia, parece ser un problema creciente en algunas áreas. (La lluvia ácida afecta las tierras de cultivo y causa corrosión den los metales expuestos.) La lluvia pura que cae a través de aire limpio registra un valor pH (el pH es una medida de la acidez; 0 es ácido y 14 es alcalino) de 5.7. Supongamos que se analiza el pH de muestras de agua de 40 caídas de lluvia. ¿ El pH medio es mayor a 4? Construya un I.C. del 95% para la media poblacional.

Solución
Potencia media del antibiótico
##  [1]  1.2  2.1  1.9  3.1  2.1  2.9  3.8  2.5  3.1  3.5  1.3  2.4  4.7  2.4  7.0
## [16]  1.4  3.4  0.2  3.7  3.3  2.3  4.5  1.4  2.2  3.0  1.0  2.1  0.1 11.7  2.4
## [31]  3.7  9.1  4.4  1.7  7.4  2.6  0.1  1.4  4.6  9.3
Prueba de normalidad

Sea \(X=\) pH medio de 40 caídas de lluvia

H0: \(X\) tiene distribución normal vs. Ha: \(X\) no tiene distribución normal

## 
##  RESULTADOS PARA LA PRUEBA DE NORMALIDAD 
##         Estadistica  ValorCal       Pvalor
## 1      Shapiro-Wilk 0.8378333 4.619134e-05
## 2 Cramer-Von-Misses 0.3697358 4.970393e-05
## 3  Anderson-Darling 2.1489419 1.462905e-05
## 4   Shapiro-Francia 0.8328368 1.026924e-04
## 5        Lilliefort 0.1924004 7.022172e-04
## Pvalor minimo: 1.462905e-05

Conclusión: Se observa que los p-valores obtenidos son muy pequeños (menores que 0.05) por lo que se rechaza \(H_0\) indicando que los datos no proceden de una distribución normal.

Como la variable \(X\) no tiene distribución normal pero el tamaño \(n≥30\), se usará la estadística \(Z\) para muestras grandes para inferir la media de la población.

Inferencia para la media con la estadística Z

Sea \(\mu=\) Potencia media de 100 cápsulas del antibiótico.

\(H_0\): = 4 vs. $H_a: < 4

## RESULTADOS CON LA ESTADISTICA Z PARA MUESTRAS GRANDES
##   Estadistica      Valor
## 1           n 40.0000000
## 2       Media  3.2750000
## 3     DesvEst  2.5174010
## 4    ErrorEst  0.3980360
## 5     LIMedia  2.4948637
## 6     LSMedia  4.0551363
## 7          Zc -1.8214431
## 8      Pvalor  0.9657302

Conclusión:El intervalo de confianza sugiere que la media poblacional del pH se encuentra entre 2.5071 y 4.0657. Dado que este intervalo incluye valores menores a 4, esto refuerza la conclusión de que no hay evidencia suficiente para afirmar que el pH medio es mayor a 4, lo que sugiere un problema potencial con la lluvia ácida en la zona analizada.