A continuación se presentan los siguientes conceptos para comprender los Procesos Estocásticos para aplicarlos al ramo de los seguros de daños.
Un proceso estocástico es una colección de variables aleatorias \(X_t\). indexadas en un conjunto de tiempo \(t\) (que puede ser discreto o continuo), donde cada \(X_t\) representa el estado del sistema en el tiempo \(t\). Este concepto es fundamental en el análisis de fenómenos que evolucionan de manera aleatoria a lo largo del tiempo, como el clima, el valor de las acciones o los siniestros en seguros.
En los seguros de daños, los procesos estocásticos permiten modelar la frecuencia y severidad de los eventos de siniestro, lo que ayuda en la evaluación de riesgos y la fijación de primas.
Una cadena de Markov es un tipo especial de proceso estocástico que se caracteriza por la propiedad de que el estado futuro depende solo del estado presente y no de los estados pasados. Formalmente, una cadena de Markov satisface la propiedad de Markov:
\[P\left(X_{t+1}=x|X_{t}=x_{t},X_{t-1}=x_{t-1},\ldots,X_{0}=x_{0}\right)=P\left(X_{t+1}=x|X_{t}=x_{t}\right)\]
Este tipo de proceso es particularmente útil para modelar fenómenos de transición entre estados, como las reclamaciones de seguros, donde las futuras reclamaciones dependen únicamente del estado actual de un asegurado.
La propiedad de Markov implica que el proceso “no tiene memoria” del pasado: el futuro depende únicamente del estado actual. Esta propiedad es crucial en aplicaciones como el análisis de la siniestralidad, donde se asume que la ocurrencia de futuros siniestros no depende del historial completo, sino del estado de riesgo actual.
La matriz de transición define las probabilidades de moverse de un estado \(i\) a un estado \(j\) en una cadena de Markov. Si los estados son finitos, la matriz de transición \(P\) está dada por:
\[ P = \left( \begin{matrix} p_{11} & p_{12} & \ldots & p_{1n}\\ p_{21} & p_{22} & \ldots & p_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ p_{n1} & p_{n2} & \ldots & p_{nn} \end{matrix} \right) \]
Donde \(p_{ij}=P\left(X_{t+1}=j|X_t=i\right)\). Cada entrada \(p_{ij}\) representa la probabilidad de transición de \(i\) a \(j\).
Un proceso estocástico es irreducible si todos los estados se comunican entre sí, es decir, es posible llegar de cualquier estado \(i\) a cualquier otro estado \(j\) en algún tiempo. Este tipo de proceso es interesante en seguros, donde podemos modelar un sistema en el cual todos los estados tienen alguna conexión o interdependencia. Debe cumplirse que exista \(n\) tal que \(p_{ij}>0\) y \(m\) tal que \(p_{ji}>0\) (Criterio de comunicación)
La distribución estacionaria de una cadena de Markov es una distribución de probabilidad ππ tal que si el proceso empieza con \(\pi\), permanece en ππ en el tiempo. Matricialmente:
\[ \pi P=\pi \]
Donde \(\pi=\left(\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n\right)\) y representa la probabilidad a largo plazo de que el proceso esté en cada estado.
Las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov describen cómo calcular la probabilidad de transición de estado en múltiples pasos en una cadena de Markov:
\[ p_{ij}\left(n,m\right)=\sum_kp_{ik}\left(n,u\right)p_{kj}\left(u,m\right) \]
A continuación se habla de matemáticos que contribuyeron enormemente a los Procesos Estocásticps.
Conocido por su trabajo en teoría de procesos estocásticos y por desarrollar el cálculo de Wiener (que se aplica en procesos Brownianos). Sus investigaciones sentaron las bases para el análisis de fenómenos aleatorios en campos como las finanzas y los seguros.
Fue el pionero en el desarrollo de las cadenas de Markov, que llevan su nombre. Su trabajo permitió modelar sistemas de transición probabilística, usados en seguros para modelar la ocurrencia de eventos dependientes del estado actual.
Sus contribuciones incluyen el desarrollo de la teoría moderna de la probabilidad y la formulación de las ecuaciones de Chapman-Kolmogorov, que se utilizan para estudiar procesos continuos en el tiempo, fundamentales en cálculos de seguros y finanzas.